第1章前提知識Prerequisites

1.6 Rational Expressions1.6 有理式

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Simplify rational expressions.• Multiply rational expressions.• Divide rational expressions.• Add and subtract rational expressions.• Simplify complex rational expressions.

・有理式を簡単にする。・有理式を掛ける。・有理式を割る。・有理式を足し引きする。・繁分数式を簡単にする。

A pastry shop has fixed costs of $$ 280$ per week and variable costs of $$ 9$ per box of pastries. The shop’s costs per week in terms of $x,$ the number of boxes made, is $280 + 9 x .$ We can divide the costs per week by the number of boxes made to determine the cost per box of pastries.

ある菓子店は週あたり $$ 280$ の固定費と、菓子1箱あたり $$ 9$ の変動費がかかる。作った箱の数 $x$ を使うと、この店の週あたりの費用は $280 + 9 x$ となる。週あたりの費用を作った箱の数で割れば、菓子1箱あたりの費用が分かる。

\frac{280 + 9 x}{x}

Notice that the result is a polynomial expression divided by a second polynomial expression. In this section, we will explore quotients of polynomial expressions.

結果が、多項式の式をもう一つの多項式の式で割ったものになっていることに注意せよ。この節では、多項式の式どうしの商を調べる。

Simplifying Rational Expressions有理式を簡単にする

The quotient of two polynomial expressions is called a rational expression. We can apply the properties of fractions to rational expressions, such as simplifying the expressions by canceling common factors from the numerator and the denominator. To do this, we first need to factor both the numerator and denominator. Let’s start with the rational expression shown.

二つの多項式の式の商を有理式という。分数の性質は有理式にも当てはめられる。たとえば、分子と分母から共通の因数を約分して式を簡単にできる。そのためには、まず分子と分母の両方を因数分解する必要がある。次に示す有理式から始めよう。

\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x^{2} + 11 x + 28}

We can factor the numerator and denominator to rewrite the expression.

分子と分母を因数分解して、式を書き直せる。

\frac{{(x + 4)}^{2}}{(x + 4) (x + 7)}

Then we can simplify that expression by canceling the common factor $(x + 4) .$

それから共通の因数 $(x + 4)$ を約分して、その式を簡単にできる。

\frac{x + 4}{x + 7}

How To 手順

Given a rational expression, simplify it.

有理式が与えられたとき、それを簡単にする。

1. Factor the numerator and denominator.2. Cancel any common factors.

1. 分子と分母を因数分解する。2. 共通の因数を約分する。

Example 1例1

Simplifying Rational Expressions有理式を簡単にする

Simplify $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 4 x + 3} .$

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 4 x + 3}$ を簡単にせよ。

Solution 解答

\begin{array}{l} \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x + 1)} & Factor the numerator and the denominator . \\ \frac{x - 3}{x + 1} & Cancel common factor (x + 3) . \end{array}

Analysis 考察

We can cancel the common factor because any expression divided by itself is equal to 1.

どんな式でもそれ自身で割れば1になるので、共通の因数は約分できる。

Q&A 疑問と答え

Can the $x^{2}$ term be cancelled in Example 1?

例1で $x^{2}$ の項は約分できるか。

No. A factor is an expression that is multiplied by another expression. The $x^{2}$ term is not a factor of the numerator or the denominator.

できない。因数とは、別の式に掛けられている式のことである。 $x^{2}$ の項は分子の因数でも分母の因数でもない。

Try It #1やってみよう1

Simplify $\frac{x - 6}{x^{2} - 36} .$

$\frac{x - 6}{x^{2} - 36}$ を簡単にせよ。

Multiplying Rational Expressions有理式を掛ける

Multiplication of rational expressions works the same way as multiplication of any other fractions. We multiply the numerators to find the numerator of the product, and then multiply the denominators to find the denominator of the product. Before multiplying, it is helpful to factor the numerators and denominators just as we did when simplifying rational expressions. We are often able to simplify the product of rational expressions.

有理式どうしの掛け算は、ほかの分数どうしの掛け算とまったく同じである。分子どうしを掛けて積の分子を求め、分母どうしを掛けて積の分母を求める。掛ける前に、有理式を簡単にしたときと同じように分子と分母を因数分解しておくとよい。有理式の積は簡単にできることが多い。

How To 手順

Given two rational expressions, multiply them.

二つの有理式が与えられたとき、それらを掛ける。

1. Factor the numerator and denominator.2. Multiply the numerators.3. Multiply the denominators.4. Simplify.

1. 分子と分母を因数分解する。2. 分子どうしを掛ける。3. 分母どうしを掛ける。4. 簡単にする。

Example 2例2

Multiplying Rational Expressions有理式を掛ける

Multiply the rational expressions and show the product in simplest form:

有理式どうしを掛け、積を最も簡単な形で示せ。

\frac{x^{2} + 4 x - 5}{3 x + 18} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 5}

Solution 解答

\begin{array}{l} \frac{(x + 5) (x - 1)}{3 (x + 6)} \cdot \frac{(2 x - 1)}{(x + 5)} & Factor the numerator and denominator . \\ \frac{(x + 5) (x - 1) (2 x - 1)}{3 (x + 6) (x + 5)} & Multiply numerators and denominators . \\ \frac{(x + 5) (x - 1) (2 x - 1)}{3 (x + 6) (x + 5)} & Cancel common factors to simplify . \\ \frac{(x - 1) (2 x - 1)}{3 (x + 6)} \end{array}

Try It #2やってみよう2

Multiply the rational expressions and show the product in simplest form:

有理式どうしを掛け、積を最も簡単な形で示せ。

\frac{x^{2} + 11 x + 30}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 12}{x^{2} + 8 x + 16}

Dividing Rational Expressions有理式を割る

Division of rational expressions works the same way as division of other fractions. To divide a rational expression by another rational expression, multiply the first expression by the reciprocal of the second. Using this approach, we would rewrite $\frac{1}{x} \div \frac{x^{2}}{3}$ as the product $\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{x^{2}} .$ Once the division expression has been rewritten as a multiplication expression, we can multiply as we did before.

有理式どうしの割り算は、ほかの分数どうしの割り算とまったく同じである。有理式を別の有理式で割るには、一つ目の式に二つ目の式の逆数を掛ける。この考え方で $\frac{1}{x} \div \frac{x^{2}}{3}$ を積 $\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{x^{2}}$ と書き直せる。割り算の式を掛け算の式に書き直してしまえば、あとは先ほどと同じように掛ければよい。

\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{x^{2}} = \frac{3}{x^{3}}

How To 手順

Given two rational expressions, divide them.

二つの有理式が与えられたとき、それらを割る。

1. Rewrite as the first rational expression multiplied by the reciprocal of the second.2. Factor the numerators and denominators.3. Multiply the numerators.4. Multiply the denominators.5. Simplify.

1. 一つ目の有理式に二つ目の逆数を掛けた形に書き直す。2. 分子と分母を因数分解する。3. 分子どうしを掛ける。4. 分母どうしを掛ける。5. 簡単にする。

Example 3例3

Dividing Rational Expressions有理式を割る

Divide the rational expressions and express the quotient in simplest form:

有理式どうしを割り、商を最も簡単な形で表せ。

\frac{2 x^{2} + x - 6}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x + 1}

Solution 解答

\begin{matrix} \frac{2 x^{2} + x - 6}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 4} & Rewrite as multiplication. \\ \frac{(2 x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} & Factor. \\ \frac{(2 x - 3) (x + 2) {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)} & Multiply. \\ \frac{(2 x - 3) (x + 1)}{(x - 1) (x - 2)} & Cancel common factors to simplify. \end{matrix}

Try It #3やってみよう3

Divide the rational expressions and express the quotient in simplest form:

有理式どうしを割り、商を最も簡単な形で表せ。

\frac{9 x^{2} - 16}{3 x^{2} + 17 x - 28} \div \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x - 14}

Adding and Subtracting Rational Expressions有理式を足し引きする

Adding and subtracting rational expressions works just like adding and subtracting numerical fractions. To add fractions, we need to find a common denominator. Let’s look at an example of fraction addition.

有理式の足し引きは、数の分数の足し引きとまったく同じである。分数を足すには、共通の分母を見つける必要がある。分数の足し算の例を見よう。

\begin{matrix} \frac{5}{24} + \frac{1}{40} & = & \frac{25}{120} + \frac{3}{120} \\ = & \frac{28}{120} \\ = & \frac{7}{30} \end{matrix}

We have to rewrite the fractions so they share a common denominator before we are able to add. We must do the same thing when adding or subtracting rational expressions.

足せるようにするには、共通の分母を持つように分数を書き直さなければならない。有理式を足し引きするときも同じことをする。

The easiest common denominator to use will be the least common denominator, or LCD. The LCD is the smallest multiple that the denominators have in common. To find the LCD of two rational expressions, we factor the expressions and multiply all of the distinct factors. For instance, if the factored denominators were $(x + 3) (x + 4)$ and $(x + 4) (x + 5),$ then the LCD would be $(x + 3) (x + 4) (x + 5) .$

使うのがいちばん楽な共通の分母は、最小公分母(LCD)である。LCD とは、分母どうしに共通する最小の倍数である。二つの有理式の LCD を求めるには、式を因数分解して、異なる因数をすべて掛け合わせる。たとえば因数分解した分母が $(x + 3) (x + 4)$ と $(x + 4) (x + 5)$ なら、LCD は $(x + 3) (x + 4) (x + 5)$ になる。

Once we find the LCD, we need to multiply each expression by the form of 1 that will change the denominator to the LCD. We would need to multiply the expression with a denominator of $(x + 3) (x + 4)$ by $\frac{x + 5}{x + 5}$ and the expression with a denominator of $(x + 4) (x + 5)$ by $\frac{x + 3}{x + 3} .$

LCD が求まったら、分母が LCD になるような形の1を各式に掛ける必要がある。分母が $(x + 3) (x + 4)$ の式には $\frac{x + 5}{x + 5}$ を、分母が $(x + 4) (x + 5)$ の式には $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けることになる。

How To 手順

Given two rational expressions, add or subtract them.

二つの有理式が与えられたとき、それらを足し引きする。

1. Factor the numerator and denominator.2. Find the LCD of the expressions.3. Multiply the expressions by a form of 1 that changes the denominators to the LCD.4. Add or subtract the numerators.5. Simplify.

1. 分子と分母を因数分解する。2. 式どうしの LCD を求める。3. 分母が LCD になるような形の1を各式に掛ける。4. 分子どうしを足し引きする。5. 簡単にする。

Example 4例4

Adding Rational Expressions有理式を足す

Add the rational expressions:

有理式どうしを足せ。

\frac{5}{x} + \frac{6}{y}

Solution 解答

First, we have to find the LCD. In this case, the LCD will be $x y .$ We then multiply each expression by the appropriate form of 1 to obtain $x y$ as the denominator for each fraction.

まず LCD を求めなければならない。この場合、LCD は $x y$ になる。それから各式に適切な形の1を掛けて、どちらの分数の分母も $x y$ にする。

\begin{array}{l} \frac{5}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{6}{y} \cdot \frac{x}{x} \\ \frac{5 y}{x y} + \frac{6 x}{x y} \end{array}

Now that the expressions have the same denominator, we simply add the numerators to find the sum.

これで両方の式の分母が同じになったので、分子どうしを足すだけで和が求まる。

\frac{6 x + 5 y}{x y}

Analysis 考察

Multiplying by $\frac{y}{y}$ or $\frac{x}{x}$ does not change the value of the original expression because any number divided by itself is 1, and multiplying an expression by 1 gives the original expression.

$\frac{y}{y}$ や $\frac{x}{x}$ を掛けても、もとの式の値は変わらない。どんな数もそれ自身で割れば1であり、式に1を掛ければもとの式のままだからである。

Example 5例5

Subtracting Rational Expressions有理式を引く

Subtract the rational expressions:

有理式どうしを引け。

\frac{6}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{2}{x^{2} −4}

Solution 解答

\begin{matrix} \frac{6}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} & Factor . \\ \frac{6}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} & Multiply each fraction to get LCD as denominator . \\ \frac{6 (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} & Multiply . \\ \frac{6 x - 12 - (2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} & Apply distributive property . \\ \frac{4 x - 16}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} & Subtract . \\ \frac{4 (x - 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} & Simplify . \end{matrix}

Q&A 疑問と答え

Do we have to use the LCD to add or subtract rational expressions?

有理式を足し引きするとき、必ず LCD を使わなければならないか。

No. Any common denominator will work, but it is easiest to use the LCD.

そうではない。共通の分母ならどれでもよいが、LCD を使うのがいちばん楽である。

Try It #4やってみよう4

Subtract the rational expressions: $\frac{3}{x + 5} - \frac{1}{x −3} .$

有理式どうしを引け。 $\frac{3}{x + 5} - \frac{1}{x −3}$

Simplifying Complex Rational Expressions繁分数式を簡単にする

A complex rational expression is a rational expression that contains additional rational expressions in the numerator, the denominator, or both. We can simplify complex rational expressions by rewriting the numerator and denominator as single rational expressions and dividing. The complex rational expression $\frac{a}{\frac{1}{b} + c}$ can be simplified by rewriting the numerator as the fraction $\frac{a}{1}$ and combining the expressions in the denominator as $\frac{1 + b c}{b} .$ We can then rewrite the expression as a multiplication problem using the reciprocal of the denominator. We get $\frac{a}{1} \cdot \frac{b}{1 + b c},$ which is equal to $\frac{a b}{1 + b c} .$

繁分数式とは、分子か分母、あるいはその両方にさらに有理式を含む有理式のことである。繁分数式は、分子と分母をそれぞれ一つの有理式に書き直して割ることで簡単にできる。繁分数式 $\frac{a}{\frac{1}{b} + c}$ は、分子を分数 $\frac{a}{1}$ と書き直し、分母の式どうしをまとめて $\frac{1 + b c}{b}$ とすれば簡単にできる。そのうえで、分母の逆数を使った掛け算の形に書き直せる。すると $\frac{a}{1} \cdot \frac{b}{1 + b c}$ となり、これは $\frac{a b}{1 + b c}$ に等しい。

How To 手順

Given a complex rational expression, simplify it.

繁分数式が与えられたとき、それを簡単にする。

1. Combine the expressions in the numerator into a single rational expression by adding or subtracting.2. Combine the expressions in the denominator into a single rational expression by adding or subtracting.3. Rewrite as the numerator divided by the denominator.4. Rewrite as multiplication.5. Multiply.6. Simplify.

1. 分子の式どうしを足し引きして、一つの有理式にまとめる。2. 分母の式どうしを足し引きして、一つの有理式にまとめる。3. 分子を分母で割った形に書き直す。4. 掛け算の形に書き直す。5. 掛ける。6. 簡単にする。

Example 6例6

Simplifying Complex Rational Expressions繁分数式を簡単にする

Simplify: $\frac{y + \frac{1}{x}}{\frac{x}{y}}$ .

$\frac{y + \frac{1}{x}}{\frac{x}{y}}$ を簡単にせよ。

Solution 解答

Begin by combining the expressions in the numerator into one expression.

まず分子の式どうしを一つの式にまとめる。

\begin{matrix} y \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} & Multiply by \frac{x}{x} to get LCD as denominator . \\ \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} \\ \frac{x y + 1}{x} & Add numerators . \end{matrix}

Now the numerator is a single rational expression and the denominator is a single rational expression.

これで分子も分母も、それぞれ一つの有理式になった。

\frac{\frac{x y + 1}{x}}{\frac{x}{y}}

We can rewrite this as division, and then multiplication.

これを割り算に、そして掛け算に書き直せる。

\begin{matrix} \frac{x y + 1}{x} \div \frac{x}{y} \\ \frac{x y + 1}{x} \cdot \frac{y}{x} & Rewrite as multiplication . \\ \frac{y (x y + 1)}{x^{2}} & Multiply . \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

Simplify: $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{y}$

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{y}$ を簡単にせよ。

Q&A 疑問と答え

Can a complex rational expression always be simplified?

繁分数式はつねに簡単にできるか。

Yes. We can always rewrite a complex rational expression as a simplified rational expression.

できる。繁分数式はつねに、簡単にした有理式として書き直せる。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with rational expressions.

有理式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Simplify Rational Expressions• Multiply and Divide Rational Expressions• Add and Subtract Rational Expressions• Simplify a Complex Fraction

・有理式を簡単にする・有理式を掛ける・割る・有理式を足し引きする・繁分数を簡単にする

Verbal言葉で答える問題

1. How can you use factoring to simplify rational expressions?

1. 因数分解をどう使えば有理式を簡単にできるか。

2. How do you use the LCD to combine two rational expressions?

2. 二つの有理式をまとめるのに LCD をどう使うか。

3. Tell whether the following statement is true or false and explain why: You only need to find the LCD when adding or subtracting rational expressions.

3. 次の文が正しいか誤りかを述べ、その理由を説明せよ。「LCD を求める必要があるのは、有理式を足し引きするときだけである。」

Algebraic代数の問題

For the following exercises, simplify the rational expressions.

次の各問について、有理式を簡単にせよ。

4. $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 5 x + 4}$

5. $\frac{y^{2} + 10 y + 25}{y^{2} + 11 y + 30}$

6. $\frac{6 a^{2} - 24 a + 24}{6 a^{2} - 24}$

7. $\frac{9 b^{2} + 18 b + 9}{3 b + 3}$

8. $\frac{m - 12}{m^{2} - 144}$

9. $\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{4 x^{2} + 2 x - 2}$

10. $\frac{6 x^{2} + 5 x - 4}{3 x^{2} + 19 x + 20}$

11. $\frac{a^{2} + 9 a + 18}{a^{2} + 3 a - 18}$

12. $\frac{3 c^{2} + 25 c - 18}{3 c^{2} - 23 c + 14}$

13. $\frac{12 n^{2} - 29 n - 8}{28 n^{2} - 5 n - 3}$

For the following exercises, multiply the rational expressions and express the product in simplest form.

次の各問について、有理式どうしを掛け、積を最も簡単な形で表せ。

14. $\frac{x^{2} - x - 6}{2 x^{2} + x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} - 9}$

15. $\frac{c^{2} + 2 c - 24}{c^{2} + 12 c + 36} \cdot \frac{c^{2} - 10 c + 24}{c^{2} - 8 c + 16}$

16. $\frac{2 d^{2} + 9 d - 35}{d^{2} + 10 d + 21} \cdot \frac{3 d^{2} + 2 d - 21}{3 d^{2} + 14 d - 49}$

17. $\frac{10 h^{2} - 9 h - 9}{2 h^{2} - 19 h + 24} \cdot \frac{h^{2} - 16 h + 64}{5 h^{2} - 37 h - 24}$

18. $\frac{6 b^{2} + 13 b + 6}{4 b^{2} - 9} \cdot \frac{6 b^{2} + 31 b - 30}{18 b^{2} - 3 b - 10}$

19. $\frac{2 d^{2} + 15 d + 25}{4 d^{2} - 25} \cdot \frac{2 d^{2} - 15 d + 25}{25 d^{2} - 1}$

20. $\frac{6 x^{2} - 5 x - 50}{15 x^{2} - 44 x - 20} \cdot \frac{20 x^{2} - 7 x - 6}{2 x^{2} + 9 x + 10}$

21. $\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 4 t + 3} \cdot \frac{t^{2} + 2 t - 15}{t^{2} - 4 t + 3}$

22. $\frac{2 n^{2} - n - 15}{6 n^{2} + 13 n - 5} \cdot \frac{12 n^{2} - 13 n + 3}{4 n^{2} - 15 n + 9}$

23. $\frac{36 x^{2} - 25}{6 x^{2} + 65 x + 50} \cdot \frac{3 x^{2} + 32 x + 20}{18 x^{2} + 27 x + 10}$

For the following exercises, divide the rational expressions.

次の各問について、有理式どうしを割れ。

24. $\frac{3 y^{2} - 7 y - 6}{2 y^{2} - 3 y - 9} \div \frac{y^{2} + y - 2}{2 y^{2} + y - 3}$

25. $\frac{6 p^{2} + p - 12}{8 p^{2} + 18 p + 9} \div \frac{6 p^{2} - 11 p + 4}{2 p^{2} + 11 p - 6}$

26. $\frac{q^{2} - 9}{q^{2} + 6 q + 9} \div \frac{q^{2} - 2 q - 3}{q^{2} + 2 q - 3}$

27. $\frac{18 d^{2} + 77 d - 18}{27 d^{2} - 15 d + 2} \div \frac{3 d^{2} + 29 d - 44}{9 d^{2} - 15 d + 4}$

28. $\frac{16 x^{2} + 18 x - 55}{32 x^{2} - 36 x - 11} \div \frac{2 x^{2} + 17 x + 30}{4 x^{2} + 25 x + 6}$

29. $\frac{144 b^{2} - 25}{72 b^{2} - 6 b - 10} \div \frac{18 b^{2} - 21 b + 5}{36 b^{2} - 18 b - 10}$

30. $\frac{16 a^{2} - 24 a + 9}{4 a^{2} + 17 a - 15} \div \frac{16 a^{2} - 9}{4 a^{2} + 11 a + 6}$

31. $\frac{22 y^{2} + 59 y + 10}{12 y^{2} + 28 y - 5} \div \frac{11 y^{2} + 46 y + 8}{24 y^{2} - 10 y + 1}$

32. $\frac{9 x^{2} + 3 x - 20}{3 x^{2} - 7 x + 4} \div \frac{6 x^{2} + 4 x - 10}{x^{2} - 2 x + 1}$

For the following exercises, add and subtract the rational expressions, and then simplify.

次の各問について、有理式を足し引きし、そのうえで簡単にせよ。

33. $\frac{4}{x} + \frac{10}{y}$

34. $\frac{12}{2 q} - \frac{6}{3 p}$

35. $\frac{4}{a + 1} + \frac{5}{a - 3}$

36. $\frac{c + 2}{3} - \frac{c - 4}{4}$

37. $\frac{y + 3}{y - 2} + \frac{y - 3}{y + 1}$

38. $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{2 x + 1}$

39. $\frac{3 z}{z + 1} + \frac{2 z + 5}{z - 2}$

40. $\frac{4 p}{p + 1} - \frac{p + 1}{4 p}$

41. $\frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1}$

For the following exercises, simplify the rational expression.

次の各問について、有理式を簡単にせよ。

42. $\frac{\frac{6}{y} - \frac{4}{x}}{y}$

43. $\frac{\frac{2}{a} + \frac{7}{b}}{b}$

44. $\frac{\frac{x}{4} - \frac{p}{8}}{p}$

45. $\frac{\frac{3}{a} + \frac{b}{6}}{\frac{2 b}{3 a}}$

46. $\frac{\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}}{\frac{x - 1}{x + 1}}$

47. $\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{a + b}{a b}}$

48. $\frac{\frac{2 x}{3} + \frac{4 x}{7}}{\frac{x}{2}}$

49. $\frac{\frac{2 c}{c + 2} + \frac{c - 1}{c + 1}}{\frac{2 c + 1}{c + 1}}$

50. $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Real-World Applications応用問題

51. Brenda is placing tile on her bathroom floor. The area of the floor is $15 x^{2} - 8 x - 7$ ft². The area of one tile is $x^{2} - 2 x + 1 {ft}^{2} .$ To find the number of tiles needed, simplify the rational expression: $\frac{15 x^{2} - 8 x - 7}{x^{2} - 2 x + 1} .$

51. Brenda は浴室の床にタイルを敷いている。床の面積は $15 x^{2} - 8 x - 7$ ft2 である。タイル1枚の面積は $x^{2} - 2 x + 1 {ft}^{2}$ である。必要なタイルの枚数を求めるため、有理式 $\frac{15 x^{2} - 8 x - 7}{x^{2} - 2 x + 1}$ を簡単にせよ。

A rectangle that’s labeled: Area = fifteen times x squared minus eight times x minus seven.

52. The area of Lijuan's yard is $25 x^{2} - 625$ ft². A patch of sod has an area of $x^{2} - 10 x + 25$ ft². Divide the two areas and simplify to find how many pieces of sod Lijuan needs to cover her yard.

52. Lijuan の庭の面積は $25 x^{2} - 625$ ft2 である。芝生の切り芝1枚の面積は $x^{2} - 10 x + 25$ ft2 である。二つの面積を割って簡単にし、庭を覆うのに必要な切り芝の枚数を求めよ。

53. Elroi wants to mulch his garden. His garden is $x^{2} + 18 x + 81$ ft². One bag of mulch covers $x^{2} - 81$ ft². Divide the expressions and simplify to find how many bags of mulch Elroi needs to mulch his garden.

53. Elroi は庭に根覆いを敷きたい。庭は $x^{2} + 18 x + 81$ ft2 である。根覆い1袋で $x^{2} - 81$ ft2 を覆える。式どうしを割って簡単にし、庭に根覆いを敷くのに必要な袋の数を求めよ。

Extensions発展問題

For the following exercises, perform the given operations and simplify.

次の各問について、与えられた計算を行い、簡単にせよ。

54. $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 2 x - 3} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x^{2} - x - 2} \div \frac{10 x^{2} + 27 x + 18}{x^{2} + 2 x + 1}$

55. $\frac{\frac{3 y^{2} - 10 y + 3}{3 y^{2} + 5 y - 2} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y - 20}{2 y^{2} - y - 15}}{y - 4}$

56. $\frac{\frac{4 a + 1}{2 a - 3} + \frac{2 a - 3}{2 a + 3}}{\frac{4 a^{2} + 9}{a}}$

57. $\frac{x^{2} + 7 x + 12}{x^{2} + x - 6} \div \frac{3 x^{2} + 19 x + 28}{8 x^{2} - 4 x - 24} \div \frac{2 x^{2} + x - 3}{3 x^{2} + 4 x - 7}$