第1章前提知識Prerequisites

Using the Negative Rule of Exponents負の指数の法則を使う

Another useful result occurs if we relax the condition that $m > n$ in the quotient rule even further. For example, can we simplify $\frac{h^{3}}{h^{5}} ?$ When $m < n$ —that is, where the difference $m - n$ is negative—we can use the negative rule of exponents to simplify the expression to its reciprocal.

商の規則の条件 $m > n$ をさらに緩めると、もう一つ役に立つ結果が出てくる。たとえば $\frac{h^{3}}{h^{5}} ?$ を簡単にできるだろうか。 $m < n$ のとき——つまり差 $m - n$ が負のとき——は、負の指数の法則を使って式をその逆数に簡単にできる。

Divide one exponential expression by another with a larger exponent. Use our example, $\frac{h^{3}}{h^{5}} .$

ある指数の式を、それより大きい指数を持つ式で割る。先ほどの例 $\frac{h^{3}}{h^{5}}$ を使う。

\begin{matrix} \frac{h^{3}}{h^{5}} & = & \frac{h \cdot h \cdot h}{h \cdot h \cdot h \cdot h \cdot h} \\ = & \frac{h \cdot h \cdot h}{h \cdot h \cdot h \cdot h \cdot h} \\ = & \frac{1}{h \cdot h} \\ = & \frac{1}{h^{2}} \end{matrix}

If we were to simplify the original expression using the quotient rule, we would have

もとの式を商の規則で簡単にすると、次のようになる。

\begin{matrix} \frac{h^{3}}{h^{5}} & = & h^{3 - 5} \\ = & h^{−2} \end{matrix}

Putting the answers together, we have $h^{−2} = \frac{1}{h^{2}} .$ This is true for any nonzero real number, or any variable representing a nonzero real number.

答えを合わせると $h^{−2} = \frac{1}{h^{2}}$ となる。これは0でないどの実数についても、0でない実数を表すどの変数についても正しい。

A factor with a negative exponent becomes the same factor with a positive exponent if it is moved across the fraction bar—from numerator to denominator or vice versa.

負の指数を持つ因数は、分数の横線をまたいで——分子から分母へ、またはその逆へ——移すと、同じ因数が正の指数を持つ形になる。

\begin{matrix} a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} & and & a^{n} = \frac{1}{a^{- n}} \end{matrix}

We have shown that the exponential expression $a^{n}$ is defined when $n$ is a natural number, 0, or the negative of a natural number. That means that $a^{n}$ is defined for any integer $n .$ Also, the product and quotient rules and all of the rules we will look at soon hold for any integer $n .$

指数の式 $a^{n}$ は、 $n$ が自然数、0、自然数の符号を変えたもののいずれであっても定義されることを示した。つまり $a^{n}$ はどの整数 $n$ についても定義される。また、積と商の規則、そしてこれから見ていく規則はすべて、どの整数 $n$ についても成り立つ。

The Negative Rule of Exponents 指数法則：負の指数

For any nonzero real number $a$ and natural number $n,$ the negative rule of exponents states that

0でないどの実数 $a$ と自然数 $n$ についても、負の指数の法則は次を述べる。

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Example 5例5

Using the Negative Exponent Rule負の指数の規則を使う

Write each of the following quotients with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.

次の各商を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。答えは正の指数で書け。

ⓐ $\frac{θ^{3}}{θ^{10}}$ ⓑ $\frac{z^{2} \cdot z}{z^{4}}$ ⓒ $\frac{{(−5 t^{3})}^{4}}{{(−5 t^{3})}^{8}}$

Solution 解答

ⓐ $\frac{θ^{3}}{θ^{10}} = θ^{3 - 10} = θ^{−7} = \frac{1}{θ^{7}}$ ⓑ $\frac{z^{2} \cdot z}{z^{4}} = \frac{z^{2 + 1}}{z^{4}} = \frac{z^{3}}{z^{4}} = z^{3 - 4} = z^{−1} = \frac{1}{z}$ ⓒ $\frac{{(−5 t^{3})}^{4}}{{(−5 t^{3})}^{8}} = {(−5 t^{3})}^{4 - 8} = {(−5 t^{3})}^{−4} = \frac{1}{{(−5 t^{3})}^{4}}$

Try It #5やってみよう5

Write each of the following quotients with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.

次の各商を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。答えは正の指数で書け。

Example 6例6

Using the Product and Quotient Rules積と商の規則を使う

Write each of the following products with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.

次の各積を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。答えは正の指数で書け。

Solution 解答

ⓐ $b^{2} \cdot b^{−8} = b^{2 - 8} = b^{−6} = \frac{1}{b^{6}}$ ⓑ ${(- x)}^{5} \cdot {(- x)}^{−5} = {(- x)}^{5 - 5} = {(- x)}^{0} = 1$ ⓒ $\frac{−7 z}{{(−7 z)}^{5}} = \frac{{(−7 z)}^{1}}{{(−7 z)}^{5}} = {(−7 z)}^{1 - 5} = {(−7 z)}^{−4} = \frac{1}{{(−7 z)}^{4}}$

Try It #6やってみよう6

Write each of the following products with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.

次の各積を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。答えは正の指数で書け。

ⓐ $t^{−11} \cdot t^{6}$ ⓑ $\frac{25^{12}}{25^{13}}$