第1章前提知識Prerequisites

• Rational numbers may be written as fractions or terminating or repeating decimals. See Example 1 and Example 2.• Determine whether a number is rational or irrational by writing it as a decimal. See Example 3.• The rational numbers and irrational numbers make up the set of real numbers. See Example 4. A number can be classified as natural, whole, integer, rational, or irrational. See Example 5.• The order of operations is used to evaluate expressions. See Example 6.• The real numbers under the operations of addition and multiplication obey basic rules, known as the properties of real numbers. These are the commutative properties, the associative properties, the distributive property, the identity properties, and the inverse properties. See Example 7.• Algebraic expressions are composed of constants and variables that are combined using addition, subtraction, multiplication, and division. See Example 8. They take on a numerical value when evaluated by replacing variables with constants. See Example 9, Example 10, and Example 12• Formulas are equations in which one quantity is represented in terms of other quantities. They may be simplified or evaluated as any mathematical expression. See Example 11 and Example 13.

・有理数は、分数か、有限小数か、循環小数として書ける。例1と例2を見よ。・小数に直して書けば、その数が有理数か無理数かを判定できる。例3を見よ。・有理数と無理数を合わせたものが実数の集合になる。例4を見よ。数は、自然数・非負整数・整数・有理数・無理数に分類できる。例5を見よ。・式の値を求めるには演算の順序を使う。例6を見よ。・加法と乗法のもとで、実数は実数の性質と呼ばれる基本の規則に従う。交換法則、結合法則、分配法則、単位元の法則、逆元の法則である。例7を見よ。・代数式は、定数と変数を加法・減法・乗法・除法で組み合わせたものである。例8を見よ。変数を定数に置き換えて値を求めると、数値になる。例9、例10、例12を見よ。・公式とは、ある量を別の量で表した方程式である。ほかの数式と同じように、簡単にすることも値を求めることもできる。例11と例13を見よ。

• Products of exponential expressions with the same base can be simplified by adding exponents. See Example 1.• Quotients of exponential expressions with the same base can be simplified by subtracting exponents. See Example 2.• Powers of exponential expressions with the same base can be simplified by multiplying exponents. See Example 3.• An expression with exponent zero is defined as 1. See Example 4.• An expression with a negative exponent is defined as a reciprocal. See Example 5 and Example 6.• The power of a product of factors is the same as the product of the powers of the same factors. See Example 7.• The power of a quotient of factors is the same as the quotient of the powers of the same factors. See Example 8.• The rules for exponential expressions can be combined to simplify more complicated expressions. See Example 9.• Scientific notation uses powers of 10 to simplify very large or very small numbers. See Example 10 and Example 11.• Scientific notation may be used to simplify calculations with very large or very small numbers. See Example 12 and Example 13.

・底の同じ指数の式どうしの積は、指数を足せば簡単にできる。例1を見よ。・底の同じ指数の式どうしの商は、指数を引けば簡単にできる。例2を見よ。・底の同じ指数の式の累乗は、指数を掛ければ簡単にできる。例3を見よ。・指数が0の式は1と定める。例4を見よ。・負の指数を持つ式は逆数と定める。例5と例6を見よ。・因数の積の累乗は、同じ因数それぞれの累乗の積に等しい。例7を見よ。・因数の商の累乗は、同じ因数それぞれの累乗の商に等しい。例8を見よ。・指数の式の規則は組み合わせられるので、より込み入った式も簡単にできる。例9を見よ。・科学的記数法は、10の累乗を使ってとても大きい数やとても小さい数を扱いやすくする。例10と例11を見よ。・科学的記数法は、とても大きい数やとても小さい数の計算を楽にするのにも使える。例12と例13を見よ。

• The principal square root of a number $a$ is the nonnegative number that when multiplied by itself equals $a.$ See Example 1.• If $a$ and $b$ are nonnegative, the square root of the product $ab$ is equal to the product of the square roots of $a$ and $b$ See Example 2 and Example 3.• If $a$ and $b$ are nonnegative, the square root of the quotient $\frac{a}{b}$ is equal to the quotient of the square roots of $a$ and $b$ See Example 4 and Example 5.• We can add and subtract radical expressions if they have the same radicand and the same index. See Example 6 and Example 7.• Radical expressions written in simplest form do not contain a radical in the denominator. To eliminate the square root radical from the denominator, multiply both the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator. See Example 8 and Example 9.• The principal nth root of $a$ is the number with the same sign as $a$ that when raised to the nth power equals $a.$ These roots have the same properties as square roots. See Example 10.• Radicals can be rewritten as rational exponents and rational exponents can be rewritten as radicals. See Example 11 and Example 12.• The properties of exponents apply to rational exponents. See Example 13.

・数 $a$ の正の平方根とは、それ自身に掛けると $a$ に等しくなる非負の数である。例1を見よ。・$a$ と $b$ が非負のとき、積 $ab$ の平方根は、$a$ の平方根と $b$ の平方根の積に等しい。例2と例3を見よ。・$a$ と $b$ が非負のとき、商 $\frac{a}{b}$ の平方根は、$a$ の平方根と $b$ の平方根の商に等しい。例4と例5を見よ。・根号の中身と根号の指数がどちらも同じなら、根号の式どうしを足し引きできる。例6と例7を見よ。・最も簡単な形に書いた根号の式は、分母に根号を含まない。分母から平方根の根号を消すには、分子と分母の両方に分母の共役を掛ける。例8と例9を見よ。・$a$ のn乗根の主値とは、$a$ と同じ符号を持ち、n乗すると $a$ に等しくなる数である。これらの根は平方根と同じ性質を持つ。例10を見よ。・根号は有理数の指数に書き直せ、有理数の指数は根号に書き直せる。例11と例12を見よ。・指数の性質は有理数の指数にも当てはまる。例13を見よ。

• A polynomial is a sum of terms each consisting of a variable raised to a non-negative integer power. The degree is the highest power of the variable that occurs in the polynomial. The leading term is the term containing the highest degree, and the leading coefficient is the coefficient of that term. See Example 1.• We can add and subtract polynomials by combining like terms. See Example 2 and Example 3.• To multiply polynomials, use the distributive property to multiply each term in the first polynomial by each term in the second. Then add the products. See Example 4.• FOIL (First, Outer, Inner, Last) is a shortcut that can be used to multiply binomials. See Example 5.• Perfect square trinomials and difference of squares are special products. See Example 6 and Example 7.• Follow the same rules to work with polynomials containing several variables. See Example 8.

・多項式とは、変数を非負整数の乗数に上げたものからなる項どうしの和である。次数とは、多項式に現れる変数の最も高い乗数である。最高次の項とは次数がいちばん高い項であり、最高次係数とはその項の係数である。例1を見よ。・多項式は同類項をまとめることで足し引きできる。例2と例3を見よ。・多項式どうしを掛けるには、分配法則を使って一つ目の多項式の各項を二つ目の各項に掛ける。それから積どうしを足す。例4を見よ。・FOIL(First、Outer、Inner、Last)は、二項式どうしを掛けるのに使える近道である。例5を見よ。・完全平方の三項式と平方の差は、特別な積である。例6と例7を見よ。・変数がいくつかある多項式も、同じ規則に従って扱う。例8を見よ。

• The greatest common factor, or GCF, can be factored out of a polynomial. Checking for a GCF should be the first step in any factoring problem. See Example 1.• Trinomials with leading coefficient 1 can be factored by finding numbers that have a product of the third term and a sum of the second term. See Example 2.• Trinomials can be factored using a process called factoring by grouping. See Example 3.• Perfect square trinomials and the difference of squares are special products and can be factored using equations. See Example 4 and Example 5.• The sum of cubes and the difference of cubes can be factored using equations. See Example 6 and Example 7.• Polynomials containing fractional and negative exponents can be factored by pulling out a GCF. See Example 8.

・多項式からは最大公約因数(GCF)をくくり出せる。どんな因数分解の問題でも、まず GCF がないかを確かめるべきである。例1を見よ。・最高次係数が1の三項式は、積が第三項、和が第二項になる数を見つければ因数分解できる。例2を見よ。・三項式は、組み分けによる因数分解と呼ばれる手続きで因数分解できる。例3を見よ。・完全平方の三項式と平方の差は特別な積であり、等式を使って因数分解できる。例4と例5を見よ。・立方の和と立方の差は、等式を使って因数分解できる。例6と例7を見よ。・分数の指数や負の指数を含む多項式は、GCF をくくり出せば因数分解できる。例8を見よ。

• Rational expressions can be simplified by cancelling common factors in the numerator and denominator. See Example 1.• We can multiply rational expressions by multiplying the numerators and multiplying the denominators. See Example 2.• To divide rational expressions, multiply by the reciprocal of the second expression. See Example 3.• Adding or subtracting rational expressions requires finding a common denominator. See Example 4 and Example 5.• Complex rational expressions have fractions in the numerator or the denominator. These expressions can be simplified. See Example 6.

・有理式は、分子と分母の共通の因数を約分すれば簡単にできる。例1を見よ。・有理式どうしは、分子どうしを掛け、分母どうしを掛ければ掛けられる。例2を見よ。・有理式を割るには、二つ目の式の逆数を掛ける。例3を見よ。・有理式を足し引きするには、共通の分母を求める必要がある。例4と例5を見よ。・繁分数式は、分子または分母に分数を含む。こうした式も簡単にできる。例6を見よ。