第1章前提知識Prerequisites

Using the Power Rule of Exponents指数の累乗の規則を使う

Suppose an exponential expression is raised to some power. Can we simplify the result? Yes. To do this, we use the power rule of exponents. Consider the expression ${(x^{2})}^{3} .$ The expression inside the parentheses is multiplied twice because it has an exponent of 2. Then the result is multiplied three times because the entire expression has an exponent of 3.

指数の式がさらにある乗数に上げられているとしよう。その結果を簡単にできるだろうか。できる。そのために指数の累乗の規則を使う。式 ${(x^{2})}^{3}$ を考えよう。括弧の中の式は指数が2なので二度掛けられる。そしてその結果は、式全体の指数が3なので三度掛けられる。

\begin{matrix} {(x^{2})}^{3} & = & \overset{3 factors}{\overset{}{(x^{2}) \cdot (x^{2}) \cdot (x^{2})}} \\ = & \overset{3 factors}{\overset{}{(\overset{2 factors}{\overset{⏞}{x \cdot x}}) \cdot (\overset{2 factors}{\overset{⏞}{x \cdot x}}) \cdot (\overset{2 factors}{\overset{⏞}{x \cdot x}})}} \\ = & x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\ = & x^{6} \end{matrix}

The exponent of the answer is the product of the exponents: ${(x^{2})}^{3} = x^{2 \cdot 3} = x^{6} .$ In other words, when raising an exponential expression to a power, we write the result with the common base and the product of the exponents.

答えの指数は、指数どうしの積 ${(x^{2})}^{3} = x^{2 \cdot 3} = x^{6}$ である。言い換えると、指数の式をある乗数に上げるときは、共通の底のまま指数の積を書く。

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Be careful to distinguish between uses of the product rule and the power rule. When using the product rule, different terms with the same bases are raised to exponents. In this case, you add the exponents. When using the power rule, a term in exponential notation is raised to a power. In this case, you multiply the exponents.

積の規則と累乗の規則の使い分けに気をつけよう。積の規則を使うのは、底が同じで別々の項がそれぞれ指数に上げられている場合である。このときは指数を足す。累乗の規則を使うのは、指数の書き方をした項がさらに乗数に上げられている場合である。このときは指数を掛ける。

\begin{matrix} Product Rule & Power Rule \\ 5^{3} \cdot 5^{4} & = & 5^{3 + 4} & = & 5^{7} & but & {(5^{3})}^{4} & = & 5^{3 \cdot 4} & = & 5^{12} \\ x^{5} \cdot x^{2} & = & x^{5 + 2} & = & x^{7} & but & {(x^{5})}^{2} & = & x^{5 \cdot 2} & = & x^{10} \\ {(3 a)}^{7} \cdot {(3 a)}^{10} & = & {(3 a)}^{7 + 10} & = & {(3 a)}^{17} & but & {({(3 a)}^{7})}^{10} & = & {(3 a)}^{7 \cdot 10} & = & {(3 a)}^{70} \end{matrix}

The Power Rule of Exponents 指数法則：累乗

For any real number $a$ and positive integers $m$ and $n,$ the power rule of exponents states that

どの実数 $a$ と正の整数 $m$ 、 $n$ についても、指数の累乗の規則は次を述べる。

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Example 3例3

Using the Power Rule累乗の規則を使う

Write each of the following products with a single base. Do not simplify further.

次の各積を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。

Solution 解答

Use the power rule to simplify each expression.

累乗の規則を使って各式を簡単にする。

ⓐ ${(x^{2})}^{7} = x^{2 \cdot 7} = x^{14}$ ⓑ ${({(2 t)}^{5})}^{3} = {(2 t)}^{5 \cdot 3} = {(2 t)}^{15}$ ⓒ ${({(−3)}^{5})}^{11} = {(−3)}^{5 \cdot 11} = {(−3)}^{55}$

Try It #3やってみよう3

Write each of the following products with a single base. Do not simplify further.

次の各積を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。