第1章前提知識Prerequisites

Recall at the beginning of the section that we found the number $1.3\times {10}^{13}$ when describing bits of information in digital images. Other extreme numbers include the width of a human hair, which is about 0.00005 m, and the radius of an electron, which is about 0.00000000000047 m. How can we effectively work, read, compare, and calculate with numbers such as these?

この節のはじめに、デジタル画像の情報のビット数を述べるとき $1.3\times {10}^{13}$ という数が出てきたのを思い出そう。極端な数は他にもある。人の髪の毛の太さはおよそ0.00005m、電子の半径はおよそ0.00000000000047mである。こうした数を、どうすればうまく扱い、読み、比べ、計算できるだろうか。

A shorthand method of writing very small and very large numbers is called scientific notation, in which we express numbers in terms of exponents of 10. To write a number in scientific notation, move the decimal point to the right of the first digit in the number. Write the digits as a decimal number between 1 and 10. Count the number of places n that you moved the decimal point. Multiply the decimal number by 10 raised to a power of n. If you moved the decimal left as in a very large number, $n$ is positive. If you moved the decimal right as in a very small number, $n$ is negative.

とても小さい数やとても大きい数を短く書く方法を科学的記数法という。数を10の指数を使って表す書き方である。数を科学的記数法で書くには、小数点を最初の桁の右へ動かす。桁の並びを1以上10未満の小数として書く。小数点を動かした桁数 n を数える。その小数に、10を n 乗したものを掛ける。とても大きい数のように小数点を左へ動かしたなら $n$ は正である。とても小さい数のように右へ動かしたなら $n$ は負である。

For example, consider the number 2,780,418. Move the decimal left until it is to the right of the first nonzero digit, which is 2.

たとえば 2,780,418 という数を考えよう。0でない最初の桁、すなわち2の右に来るまで小数点を左へ動かす。

We obtain 2.780418 by moving the decimal point 6 places to the left. Therefore, the exponent of 10 is 6, and it is positive because we moved the decimal point to the left. This is what we should expect for a large number.

小数点を6桁だけ左へ動かして 2.780418 を得た。よって10の指数は6であり、小数点を左へ動かしたので正である。大きい数ならこうなるはずである。

Working with small numbers is similar. Take, for example, the radius of an electron, 0.00000000000047 m. Perform the same series of steps as above, except move the decimal point to the right.

小さい数の扱いも同じである。たとえば電子の半径 0.00000000000047m をとろう。上と同じ手順を踏むが、小数点は右へ動かす。

Be careful not to include the leading 0 in your count. We move the decimal point 13 places to the right, so the exponent of 10 is 13. The exponent is negative because we moved the decimal point to the right. This is what we should expect for a small number.

先頭の0を数に入れないよう気をつけよう。小数点を13桁だけ右へ動かすので、10の指数は13である。小数点を右へ動かしたので指数は負になる。小さい数ならこうなるはずである。

To convert a number in scientific notation to standard notation, simply reverse the process. Move the decimal $n$ places to the right if $n$ is positive or $n$ places to the left if $n$ is negative and add zeros as needed. Remember, if $n$ is positive, the absolute value of the number is greater than 1, and if $n$ is negative, the absolute value of the number is less than one.

科学的記数法の数を通常の表記に直すには、手順を逆にたどればよい。$n$ が正なら小数点を $n$ 桁だけ右へ、$n$ が負なら $n$ 桁だけ左へ動かし、必要なだけ0を補う。$n$ が正ならその数の絶対値は1より大きく、$n$ が負なら絶対値は1より小さいことを覚えておこう。

Scientific notation, used with the rules of exponents, makes calculating with large or small numbers much easier than doing so using standard notation. For example, suppose we are asked to calculate the number of atoms in 1 L of water. Each water molecule contains 3 atoms (2 hydrogen and 1 oxygen). The average drop of water contains around $1.32\times {10}^{21}$ molecules of water and 1 L of water holds about $1.22\times {10}^4$ average drops. Therefore, there are approximately $3\cdot \left(1.32\times {10}^{21}\right)\cdot \left(1.22\times {10}^4\right)\approx 4.83\times {10}^{25}$ atoms in 1 L of water. We simply multiply the decimal terms and add the exponents. Imagine having to perform the calculation without using scientific notation!

科学的記数法を指数の規則と合わせて使うと、大きい数や小さい数の計算は、通常の表記でやるよりずっと楽になる。たとえば水1L に含まれる原子の数を求めよといわれたとしよう。水分子は1個あたり3個の原子(水素2個と酸素1個)からなる。水一滴には平均でおよそ $1.32\times {10}^{21}$ 個の水分子が含まれ、水1L にはおよそ $1.22\times {10}^4$ 滴分が入る。よって水1L にはおよそ $3\cdot \left(1.32\times {10}^{21}\right)\cdot \left(1.22\times {10}^4\right)\approx 4.83\times {10}^{25}$ 個の原子がある。小数の部分どうしを掛け、指数を足すだけでよい。科学的記数法を使わずにこの計算をするところを想像してみよ。

When performing calculations with scientific notation, be sure to write the answer in proper scientific notation. For example, consider the product $\left(7\times {10}^4\right)\cdot \left(5\times {10}^6\right)=35\times {10}^{10}.$ The answer is not in proper scientific notation because 35 is greater than 10. Consider 35 as $3.5\times 10.$ That adds a ten to the exponent of the answer.

科学的記数法で計算するときは、答えを正しい科学的記数法で書くよう気をつけよう。たとえば積 $\left(7\times {10}^4\right)\cdot \left(5\times {10}^6\right)=35\times {10}^{10}$ を考えよう。35は10より大きいので、この答えは正しい科学的記数法になっていない。35を $3.5\times 10.$ とみなす。そうすると答えの指数が1増える。