第1章前提知識Prerequisites

A hardware store sells 16-ft ladders and 24-ft ladders. A window is located 12 feet above the ground. A ladder needs to be purchased that will reach the window from a point on the ground 5 feet from the building. To find out the length of ladder needed, we can draw a right triangle as shown in Figure 1, and use the Pythagorean Theorem.

金物店では16フィートのはしごと24フィートのはしごを売っている。窓は地面から12フィートの高さにある。建物から5フィート離れた地面の一点から窓に届くはしごを買いたい。必要なはしごの長さを知るには、図1のような直角三角形を描き、ピタゴラスの定理を使えばよい。

Now, we need to find out the length that, when squared, is 169, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

どちらのはしごを選ぶかを決めるには、二乗すると169になる長さを求めなければならない。つまり平方根を求める必要がある。この節では、こうした問題の解を見つける方法を調べる。

When the square root of a number is squared, the result is the original number. Since $4^2=16,$ the square root of $16$ is $4.$ The square root function is the inverse of the squaring function just as subtraction is the inverse of addition. To undo squaring, we take the square root.

ある数の平方根を二乗すると、もとの数に戻る。$4^2=16$ なので、$16$ の平方根は $4.$ である。減法が加法の逆であるのと同じように、平方根をとる働きは二乗する働きの逆である。二乗を取り消すには、平方根をとればよい。

In general terms, if $a$ is a positive real number, then the square root of $a$ is a number that, when multiplied by itself, gives $a.$ The square root could be positive or negative because multiplying two negative numbers gives a positive number. The principal square root is the nonnegative number that when multiplied by itself equals $a.$ The square root obtained using a calculator is the principal square root.

一般に、$a$ が正の実数のとき、$a$ の平方根とは、それ自身に掛けると $a$ になる数である。負の数どうしを掛けると正の数になるので、平方根は正にも負にもなりうる。正の平方根とは、それ自身に掛けると $a$ に等しくなる非負の数のことである。電卓で得られる平方根は正の平方根である。

The principal square root of $a$ is written as $\sqrt{a}.$ The symbol is called a radical, the term under the symbol is called the radicand, and the entire expression is called a radical expression.

$a$ の正の平方根は $\sqrt{a}$ と書く。この記号を根号といい、記号の下にある項を根号の中身、式全体を根号の式という。

To simplify a square root, we rewrite it such that there are no perfect squares in the radicand. There are several properties of square roots that allow us to simplify complicated radical expressions. The first rule we will look at is the product rule for simplifying square roots, which allows us to separate the square root of a product of two numbers into the product of two separate rational expressions. For instance, we can rewrite $\sqrt{15}$ as $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}.$ We can also use the product rule to express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.

平方根を簡単にするとは、根号の中身に平方数が残らないように書き直すことである。込み入った根号の式を簡単にできる平方根の性質はいくつかある。まず見るのは平方根を簡単にするための積の規則で、二つの数の積の平方根を、別々の二つの式の積に分けられるという規則である。たとえば $\sqrt{15}$ を $\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}$ と書き直せる。積の規則を使えば、逆に複数の根号の式の積を一つの根号の式として表すこともできる。

Just as we can rewrite the square root of a product as a product of square roots, so too can we rewrite the square root of a quotient as a quotient of square roots, using the quotient rule for simplifying square roots. It can be helpful to separate the numerator and denominator of a fraction under a radical so that we can take their square roots separately. We can rewrite $\sqrt{\frac{5}{2}}$ as $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.$

積の平方根を平方根の積として書き直せたのと同じように、平方根を簡単にするための商の規則を使えば、商の平方根を平方根の商として書き直せる。根号の下にある分数の分子と分母を切り離して、それぞれの平方根をとれるようにすると役に立つことがある。$\sqrt{\frac{5}{2}}$ を $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ と書き直せる。

We can add or subtract radical expressions only when they have the same radicand and when they have the same radical type such as square roots. For example, the sum of $\sqrt{2}$ and $3\sqrt{2}$ is $4\sqrt{2}.$ However, it is often possible to simplify radical expressions, and that may change the radicand. The radical expression $\sqrt{18}$ can be written with a $2$ in the radicand, as $3\sqrt{2},$ so $\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$

根号の式どうしを足したり引いたりできるのは、根号の中身が同じで、なおかつ平方根どうしのように根号の種類も同じときに限る。たとえば $\sqrt{2}$ と $3\sqrt{2}$ の和は $4\sqrt{2}$ である。しかし根号の式は簡単にできることが多く、それによって根号の中身が変わることがある。根号の式 $\sqrt{18}$ は、根号の中身に $2$ が来るように $3\sqrt{2}$ と書けるので、$\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ となる。

When an expression involving square root radicals is written in simplest form, it will not contain a radical in the denominator. We can remove radicals from the denominators of fractions using a process called rationalizing the denominator.

平方根の根号を含む式を最も簡単な形に書くとき、分母に根号は残さない。分母の有理化と呼ばれる手続きを使えば、分数の分母から根号を取り除ける。

We know that multiplying by 1 does not change the value of an expression. We use this property of multiplication to change expressions that contain radicals in the denominator. To remove radicals from the denominators of fractions, multiply by the form of 1 that will eliminate the radical.

1を掛けても式の値は変わらない。この乗法の性質を使って、分母に根号を含む式を書き換える。分数の分母から根号を取り除くには、その根号を消せるような形の1を掛ければよい。

For a denominator containing a single term, multiply by the radical in the denominator over itself. In other words, if the denominator is $b\sqrt{c},$ multiply by $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}.$

分母が一つの項だけからなるときは、分母の根号を分子と分母の両方に掛ける。言い換えると、分母が $b\sqrt{c}$ なら $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$ を掛ける。

For a denominator containing the sum or difference of a rational and an irrational term, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, which is found by changing the sign of the radical portion of the denominator. If the denominator is $a+b\sqrt{c},$ then the conjugate is $a-b\sqrt{c}.$

分母が有理な項と無理な項の和または差からなるときは、分子と分母に分母の共役を掛ける。共役は、分母の根号の部分の符号を変えれば得られる。分母が $a+b\sqrt{c}$ なら、共役は $a-b\sqrt{c}$ である。

Although square roots are the most common rational roots, we can also find cube roots, 4th roots, 5th roots, and more. Just as the square root function is the inverse of the squaring function, these roots are the inverse of their respective power functions. These functions can be useful when we need to determine the number that, when raised to a certain power, gives a certain number.

平方根はもっともよく出てくる根だが、三乗根、4乗根、5乗根なども求められる。平方根をとる働きが二乗する働きの逆であるのと同じように、これらの根はそれぞれ対応する累乗の働きの逆である。ある数を決まった乗数に上げるとある数になる、そのもとの数を知りたいときに、これらは役に立つ。

Suppose we know that $a^3=8.$ We want to find what number raised to the 3rd power is equal to 8. Since $2^3=8,$ we say that 2 is the cube root of 8.

$a^3=8.$ と分かっているとしよう。3乗すると8になる数が知りたい。$2^3=8$ なので、2は8の三乗根であるという。

The nth root of $a$ is a number that, when raised to the nth power, gives $a.$ For example, $\mathrm{-3}$ is the 5th root of $\mathrm{-243}$ because ${(\mathrm{-3})}^5=\mathrm{-243.}$ If $a$ is a real number with at least one nth root, then the principal nth root of $a$ is the number with the same sign as $a$ that, when raised to the nth power, equals $a.$

$a$ のn乗根とは、n乗すると $a$ になる数である。たとえば ${(\mathrm{-3})}^5=\mathrm{-243.}$ なので、$\mathrm{-3}$ は $\mathrm{-243}$ の5乗根である。$a$ が実数で、n乗根を少なくとも一つ持つなら、$a$ のn乗根の主値とは、$a$ と同じ符号を持ち、n乗すると $a$ に等しくなる数である。

The principal nth root of $a$ is written as $\sqrt[n]{a},$ where $n$ is a positive integer greater than or equal to 2. In the radical expression, $n$ is called the index of the radical.

$a$ のn乗根の主値は $\sqrt[n]{a}$ と書く。ここで $n$ は2以上の正の整数である。この根号の式において、$n$ を根号の指数という。

Radical expressions can also be written without using the radical symbol. We can use rational (fractional) exponents. The index must be a positive integer. If the index $n$ is even, then $a$ cannot be negative.

根号の式は、根号の記号を使わずに書くこともできる。有理数(分数)の指数を使えばよい。根号の指数は正の整数でなければならない。根号の指数 $n$ が偶数なら、$a$ は負であってはならない。

We can also have rational exponents with numerators other than 1. In these cases, the exponent must be a fraction in lowest terms. We raise the base to a power and take an nth root. The numerator tells us the power and the denominator tells us the root.

有理数の指数の分子は1以外でもよい。その場合、指数は既約分数でなければならない。底をある乗数に上げ、n乗根をとる。分子が何乗するかを、分母が何乗根をとるかを教えてくれる。

All of the properties of exponents that we learned for integer exponents also hold for rational exponents.

整数の指数について学んだ指数の性質は、どれも有理数の指数についても成り立つ。