第1章前提知識Prerequisites

The numbers we use for counting, or enumerating items, are the natural numbers: 1, 2, 3, 4, 5, and so on. We describe them in set notation as $\left\{1,2,3,\mathrm{...}\right\}$ where the ellipsis (…) indicates that the numbers continue to infinity. The natural numbers are, of course, also called the counting numbers. Any time we enumerate the members of a team, count the coins in a collection, or tally the trees in a grove, we are using the set of natural numbers. The set of whole numbers is the set of natural numbers plus zero: $\left\{0,1,2,3,\mathrm{...}\right\}.$

物を数えるとき、すなわち個数を列挙するときに使う数が自然数で、1, 2, 3, 4, 5, …である。集合の記法では$\left\{1,2,3,\mathrm{...}\right\}$と書く。ここで省略記号(…)は、数が無限に続くことを示す。自然数はもちろん「数える数」とも呼ばれる。チームの人数を数えるとき、集めた硬貨を数えるとき、林の木を数えるとき、私たちは自然数の集合を使っている。非負整数の集合は、自然数の集合に0を加えたものである。$\left\{0,1,2,3,\mathrm{...}\right\}$

The set of integers adds the opposites of the natural numbers to the set of whole numbers: $\left\{\mathrm{...},\mathrm{-3},\mathrm{-2},\mathrm{-1},0,1,2,3,\mathrm{...}\right\}.$ It is useful to note that the set of integers is made up of three distinct subsets: negative integers, zero, and positive integers. In this sense, the positive integers are just the natural numbers. Another way to think about it is that the natural numbers are a subset of the integers.

整数の集合は、非負整数の集合に自然数の反対の数を加えたものである。$\left\{\mathrm{...},\mathrm{-3},\mathrm{-2},\mathrm{-1},0,1,2,3,\mathrm{...}\right\}$ 整数の集合が、負の整数、0、正の整数という三つの異なる部分集合からできていることに注意しておくと役に立つ。この意味で、正の整数はまさに自然数である。言い換えれば、自然数は整数の部分集合である。

The set of rational numbers is written as $\left\{\frac{m}{n}|m\text{and }n\text{are integers and }n\ne 0\right\}.$ Notice from the definition that rational numbers are fractions (or quotients) containing integers in both the numerator and the denominator, and the denominator is never 0. We can also see that every natural number, whole number, and integer is a rational number with a denominator of 1.

有理数の集合は$\left\{\frac{m}{n}|m\text{および}n\text{は整数であり}n\ne 0\right\}$と書く。定義から分かるように、有理数とは分子と分母がともに整数である分数(商)で、分母は決して0にならない。また、すべての自然数、非負整数、整数は、分母が1の有理数である。

Because they are fractions, any rational number can also be expressed as a terminating or repeating decimal. Any rational number can be represented as either:

分数であるから、どんな有理数も、有限小数か循環小数として表せる。つまり、どんな有理数も次のどちらかで表せる。

We use a line drawn over the repeating block of numbers instead of writing the group multiple times.

繰り返される数字のまとまりを何度も書く代わりに、そのまとまりの上に線を引く。

At some point in the ancient past, someone discovered that not all numbers are rational numbers. A builder, for instance, may have found that the diagonal of a square with unit sides was not 2 or even $\frac{3}{2},$ but was something else. Or a garment maker might have observed that the ratio of the circumference to the diameter of a roll of cloth was a little bit more than 3, but still not a rational number. Such numbers are said to be irrational because they cannot be written as fractions. These numbers make up the set of irrational numbers. Irrational numbers cannot be expressed as a fraction of two integers. It is impossible to describe this set of numbers by a single rule except to say that a number is irrational if it is not rational. So we write this as shown.

遠い昔のある時点で、誰かが、すべての数が有理数とは限らないことを発見した。たとえば建築職人は、一辺の長さが1の正方形の対角線が2でも$\frac{3}{2}$でもなく、別の何かであることに気づいたかもしれない。あるいは仕立て職人は、布の巻きの円周と直径の比が3より少し大きいのに、それでも有理数ではないことに気づいたかもしれない。こうした数は分数として書けないので、無理数と呼ばれる。これらの数が無理数の集合をなす。無理数は二つの整数の分数として表せない。この集合を一つの規則で言い表すことはできず、有理数でない数が無理数である、と言うしかない。そこで次のように書く。

Given any number n, we know that n is either rational or irrational. It cannot be both. The sets of rational and irrational numbers together make up the set of real numbers. As we saw with integers, the real numbers can be divided into three subsets: negative real numbers, zero, and positive real numbers. Negative and positive real numbers include fractions, decimals, and irrational numbers according to their algebraic sign (+ or –). Zero is considered neither positive nor negative.

どんな数nについても、nは有理数か無理数のどちらかである。両方であることはない。有理数の集合と無理数の集合を合わせたものが実数の集合である。整数のときと同じように、実数は負の実数、0、正の実数という三つの部分集合に分けられる。負と正の実数には、分数、小数、無理数が、その符号(+または–)に応じて含まれる。0は正でも負でもないとみなす。

The real numbers can be visualized on a horizontal number line with an arbitrary point chosen as 0, with negative numbers to the left of 0 and positive numbers to the right of 0. A fixed unit distance is then used to mark off each integer (or other basic value) on either side of 0. Any real number corresponds to a unique position on the number line.The converse is also true: Each location on the number line corresponds to exactly one real number. This is known as a one-to-one correspondence. We refer to this as the real number line as shown in Figure 1.

実数は、任意の点を0と定めた水平な数直線の上に、負の数を0の左、正の数を0の右に置いて見ることができる。そして0の両側に、一定の単位の長さで各整数(あるいは他の基本の値)を目盛る。どんな実数も、数直線上のただ一つの位置に対応する。逆も成り立つ。数直線上のどの位置も、ちょうど一つの実数に対応する。これを一対一対応という。これを実数直線と呼ぶ。図1に示す。

Beginning with the natural numbers, we have expanded each set to form a larger set, meaning that there is a subset relationship between the sets of numbers we have encountered so far. These relationships become more obvious when seen as a diagram, such as Figure 2.

自然数から始めて、それぞれの集合を広げてより大きな集合を作ってきた。つまり、ここまでに出てきた数の集合の間には部分集合の関係がある。この関係は、図2のような図にするとより分かりやすい。