第1章前提知識Prerequisites

1.5 Factoring Polynomials1.5 多項式の因数分解

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Factor the greatest common factor of a polynomial.• Factor a trinomial.• Factor by grouping.• Factor a perfect square trinomial.• Factor a difference of squares.• Factor the sum and difference of cubes.• Factor expressions using fractional or negative exponents.

・多項式の最大公約因数をくくり出す。・三項式を因数分解する。・組み分けによって因数分解する。・完全平方の三項式を因数分解する。・平方の差を因数分解する。・立方の和と差を因数分解する。・分数の指数や負の指数を使って式を因数分解する。

Imagine that we are trying to find the area of a lawn so that we can determine how much grass seed to purchase. The lawn is the green portion in Figure 1.

芝生の面積を求めて、芝の種をどれだけ買うかを決めようとしているとしよう。芝生は図1の緑の部分である。

A large rectangle with smaller squares and a rectangle inside. The length of the outer rectangle is 6x and the width is 10x. The side length of the squares is 4 and the height of the width of the inner rectangle is 4.

The area of the entire region can be found using the formula for the area of a rectangle.

全体の面積は、長方形の面積の公式で求められる。

\begin{matrix} A & = & l w \\ = & 10 x \cdot 6 x \\ = & 60 x^{2} {units}^{2} \end{matrix}

The areas of the portions that do not require grass seed need to be subtracted from the area of the entire region. The two square regions each have an area of $A = s^{2} = 4^{2} = 16$ units². The other rectangular region has one side of length $10 x - 8$ and one side of length $4,$ giving an area of $A = l w = 4 (10 x - 8) = 40 x - 32$ units². So the region that must be subtracted has an area of $2 (16) + 40 x - 32 = 40 x$ units².

芝の種が要らない部分の面積を、全体の面積から引かなければならない。二つの正方形の部分は、それぞれ面積が $A = s^{2} = 4^{2} = 16$ 平方単位である。もう一つの長方形の部分は、一辺の長さが $10 x - 8$ 、もう一辺の長さが $4$ なので、面積は $A = l w = 4 (10 x - 8) = 40 x - 32$ 平方単位である。よって引くべき部分の面積は $2 (16) + 40 x - 32 = 40 x$ 平方単位である。

The area of the region that requires grass seed is found by subtracting $60 x^{2} - 40 x$ units². This area can also be expressed in factored form as $20 x (3 x - 2)$ units². We can confirm that this is an equivalent expression by multiplying.

芝の種が要る部分の面積は、 $60 x^{2} - 40 x$ 平方単位を引けば求まる。この面積は、因数分解した形で $20 x (3 x - 2)$ 平方単位とも表せる。掛け合わせれば、これが等しい式であることを確かめられる。

Many polynomial expressions can be written in simpler forms by factoring. In this section, we will look at a variety of methods that can be used to factor polynomial expressions.

多くの多項式の式は、因数分解によってより単純な形に書ける。この節では、多項式の式を因数分解するのに使えるいろいろな方法を見ていく。

Factoring the Greatest Common Factor of a Polynomial多項式の最大公約因数をくくり出す

When we study fractions, we learn that the greatest common factor (GCF) of two numbers is the largest number that divides evenly into both numbers. For instance, $4$ is the GCF of $16$ and $20$ because it is the largest number that divides evenly into both $16$ and $20$ The GCF of polynomials works the same way: $4 x$ is the GCF of $16 x$ and $20 x^{2}$ because it is the largest polynomial that divides evenly into both $16 x$ and $20 x^{2} .$

分数を学ぶとき、二つの数の最大公約数(GCF)とは、両方を割り切る最大の数だと習う。たとえば $4$ は $16$ と $20$ の GCF である。 $16$ と $20$ の両方を割り切る最大の数だからである。多項式の GCF も同じ働きをする。 $4 x$ は $16 x$ と $20 x^{2}$ の GCF である。 $16 x$ と $20 x^{2}$ の両方を割り切る最大の多項式だからである。

When factoring a polynomial expression, our first step should be to check for a GCF. Look for the GCF of the coefficients, and then look for the GCF of the variables.

多項式の式を因数分解するときは、まず GCF がないかを確かめるべきである。係数の GCF を探し、次に変数の GCF を探す。

Greatest Common Factor 最大公約因数

The greatest common factor (GCF) of polynomials is the largest polynomial that divides evenly into the polynomials.

多項式の最大公約因数(GCF)とは、それらの多項式を割り切る最大の多項式である。

How To 手順

Given a polynomial expression, factor out the greatest common factor.

多項式の式が与えられたとき、最大公約因数をくくり出す。

1. Identify the GCF of the coefficients.2. Identify the GCF of the variables.3. Combine to find the GCF of the expression.4. Determine what the GCF needs to be multiplied by to obtain each term in the expression.5. Write the factored expression as the product of the GCF and the sum of the terms we need to multiply by.

1. 係数の GCF を見つける。2. 変数の GCF を見つける。3. 両者を合わせて、式全体の GCF を求める。4. 式の各項を得るには GCF に何を掛ければよいかを決める。5. 因数分解した式を、GCF と、掛けるべき項どうしの和との積として書く。

Example 1例1

Factoring the Greatest Common Factor最大公約因数をくくり出す

Factor $6 x^{3} y^{3} + 45 x^{2} y^{2} + 21 x y .$

$6 x^{3} y^{3} + 45 x^{2} y^{2} + 21 x y$ を因数分解せよ。

Solution 解答

First, find the GCF of the expression. The GCF of 6, 45, and 21 is 3. The GCF of $x^{3}, x^{2}$ , and $x$ is $x$ . (Note that the GCF of a set of expressions in the form $x^{n}$ will always be the exponent of lowest degree.) And the GCF of $y^{3}, y^{2}$ , and $y$ is $y$ . Combine these to find the GCF of the polynomial, $3 x y$ .

まず式の GCF を求める。6と45と21の GCF は3である。 $x^{3}, x^{2}$ と $x$ の GCF は $x$ である( $x^{n}$ の形の式の組の GCF は、つねに次数のいちばん低い指数になることに注意せよ)。そして $y^{3}, y^{2}$ と $y$ の GCF は $y$ である。これらを合わせると、この多項式の GCF は $3 x y$ となる。

Next, determine what the GCF needs to be multiplied by to obtain each term of the polynomial. We find that $3 x y (2 x^{2} y^{2}) = 6 x^{3} y^{3}, 3 x y (15 x y) = 45 x^{2} y^{2}$ , and $3 x y (7) = 21 x y .$

次に、多項式の各項を得るには GCF に何を掛ければよいかを決める。 $3 x y (2 x^{2} y^{2}) = 6 x^{3} y^{3}, 3 x y (15 x y) = 45 x^{2} y^{2}$ と $3 x y (7) = 21 x y$ が分かる。

Finally, write the factored expression as the product of the GCF and the sum of the terms we needed to multiply by.

最後に、因数分解した式を、GCF と、掛けるべき項どうしの和との積として書く。

(3 x y) (2 x^{2} y^{2} + 15 x y + 7)

Analysis 考察

After factoring, we can check our work by multiplying. Use the distributive property to confirm that $(3 x y) (2 x^{2} y^{2} + 15 x y + 7) = 6 x^{3} y^{3} + 45 x^{2} y^{2} + 21 x y .$

因数分解した後は、掛け合わせて確かめられる。分配法則を使って $(3 x y) (2 x^{2} y^{2} + 15 x y + 7) = 6 x^{3} y^{3} + 45 x^{2} y^{2} + 21 x y$ を確かめよ。

Try It #1やってみよう1

Factor $x (b^{2} - a) + 6 (b^{2} - a)$ by pulling out the GCF.

GCF をくくり出して $x (b^{2} - a) + 6 (b^{2} - a)$ を因数分解せよ。

Factoring a Trinomial with Leading Coefficient 1最高次係数が1の三項式を因数分解する

Although we should always begin by looking for a GCF, pulling out the GCF is not the only way that polynomial expressions can be factored. The polynomial $x^{2} + 5 x + 6$ has a GCF of 1, but it can be written as the product of the factors $(x + 2)$ and $(x + 3) .$

つねにまず GCF を探すべきではあるが、GCF をくくり出すことだけが多項式の因数分解ではない。多項式 $x^{2} + 5 x + 6$ の GCF は1だが、因数 $(x + 2)$ と $(x + 3)$ の積として書ける。

Trinomials of the form $x^{2} + b x + c$ can be factored by finding two numbers with a product of $c$ and a sum of $b .$ The trinomial $x^{2} + 10 x + 16,$ for example, can be factored using the numbers $2$ and $8$ because the product of those numbers is $16$ and their sum is $10.$ The trinomial can be rewritten as the product of $(x + 2)$ and $(x + 8) .$

$x^{2} + b x + c$ の形の三項式は、積が $c$ 、和が $b$ になる二つの数を見つければ因数分解できる。たとえば三項式 $x^{2} + 10 x + 16$ は、 $2$ と $8$ という数を使って因数分解できる。この二数の積が $16$ 、和が $10.$ だからである。この三項式は $(x + 2)$ と $(x + 8)$ の積として書き直せる。

Factoring a Trinomial with Leading Coefficient 1 最高次係数が1の三項式の因数分解

A trinomial of the form $x^{2} + b x + c$ can be written in factored form as $(x + p) (x + q)$ where $p q = c$ and $p + q = b .$

$x^{2} + b x + c$ の形の三項式は、因数分解した形で $(x + p) (x + q)$ と書ける。ここで $p q = c$ であり $p + q = b$ である。

Q&A 疑問と答え

Can every trinomial be factored as a product of binomials?

どんな三項式でも二項式どうしの積に因数分解できるか。

No. Some polynomials cannot be factored. These polynomials are said to be prime.

できない。因数分解できない多項式もある。そうした多項式を素であるという。

How To 手順

Given a trinomial in the form $x^{2} + b x + c,$ factor it.

$x^{2} + b x + c$ の形の三項式が与えられたとき、それを因数分解する。

1. List factors of $c .$ 2. Find $p$ and $q,$ a pair of factors of $c$ with a sum of $b .$ 3. Write the factored expression $(x + p) (x + q) .$

1. $c$ の因数を並べる。2. $c$ の因数の組のうち、和が $b$ になるもの $p$ と $q$ を見つける。3. 因数分解した式 $(x + p) (x + q)$ を書く。

Example 2例2

Factoring a Trinomial with Leading Coefficient 1最高次係数が1の三項式を因数分解する

Factor $x^{2} + 2 x - 15.$

$x^{2} + 2 x - 15.$ を因数分解せよ。

Solution 解答

We have a trinomial with leading coefficient $1, b = 2,$ and $c = −15.$ We need to find two numbers with a product of $−15$ and a sum of $2.$ In the table below, we list factors until we find a pair with the desired sum.

最高次係数が $1, b = 2$ で $c = −15.$ の三項式である。積が $−15$ 、和が $2.$ になる二つの数を見つける必要がある。下の表に、目当ての和になる組が見つかるまで因数を並べる。

Factors of $−15$ $−15$ の因数	Sum of Factors因数の和
$1, −15$	$−14$
$−1, 15$	14
$3, −5$	$−2$
$−3, 5$	2

Now that we have identified $p$ and $q$ as $−3$ and $5,$ write the factored form as $(x - 3) (x + 5) .$

$p$ と $q$ が $−3$ と $5$ だと分かったので、因数分解した形を $(x - 3) (x + 5)$ と書く。

Analysis 考察

We can check our work by multiplying. Use FOIL to confirm that $(x - 3) (x + 5) = x^{2} + 2 x - 15.$

掛け合わせれば確かめられる。FOIL を使って $(x - 3) (x + 5) = x^{2} + 2 x - 15.$ を確かめよ。

Q&A 疑問と答え

Does the order of the factors matter?

因数の順序は問題になるか。

No. Multiplication is commutative, so the order of the factors does not matter.

ならない。乗法には交換法則が成り立つので、因数の順序は問題にならない。

Try It #2やってみよう2

Factor $x^{2} - 7 x + 6.$

$x^{2} - 7 x + 6.$ を因数分解せよ。

Factoring by Grouping組み分けによる因数分解

Trinomials with leading coefficients other than 1 are slightly more complicated to factor. For these trinomials, we can factor by grouping by dividing the x term into the sum of two terms, factoring each portion of the expression separately, and then factoring out the GCF of the entire expression. The trinomial $2 x^{2} + 5 x + 3$ can be rewritten as $(2 x + 3) (x + 1)$ using this process. We begin by rewriting the original expression as $2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3$ and then factor each portion of the expression to obtain $2 x (x + 1) + 3 (x + 1) .$ We then pull out the GCF of $(x + 1)$ to find the factored expression.

最高次係数が1でない三項式の因数分解は、少し込み入る。こうした三項式は、x の項を二つの項の和に分け、式のそれぞれの部分を別々に因数分解し、最後に式全体の GCF をくくり出すという「組み分け」で因数分解できる。この手順を使えば、三項式 $2 x^{2} + 5 x + 3$ は $(2 x + 3) (x + 1)$ と書き直せる。まずもとの式を $2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3$ と書き直し、次に式のそれぞれの部分を因数分解して $2 x (x + 1) + 3 (x + 1)$ を得る。それから $(x + 1)$ の GCF をくくり出して、因数分解した式を求める。

Factor by Grouping 項を組み合わせる因数分解

To factor a trinomial in the form $a x^{2} + b x + c$ by grouping, we find two numbers with a product of $a c$ and a sum of $b .$ We use these numbers to divide the $x$ term into the sum of two terms and factor each portion of the expression separately, then factor out the GCF of the entire expression.

$a x^{2} + b x + c$ の形の三項式を組み分けで因数分解するには、積が $a c$ 、和が $b$ になる二つの数を見つける。その数を使って $x$ の項を二つの項の和に分け、式のそれぞれの部分を別々に因数分解し、最後に式全体の GCF をくくり出す。

How To 手順

Given a trinomial in the form

次の形の三項式が与えられたとき、

a x^{2} + b x + c,

factor by grouping.

項を組み合わせて因数分解する。

1. List factors of $a c .$ 2. Find $p$ and $q,$ a pair of factors of $a c$ with a sum of $b .$ 3. Rewrite the original expression as $a x^{2} + p x + q x + c .$ 4. Pull out the GCF of $a x^{2} + p x .$ 5. Pull out the GCF of $q x + c .$ 6. Factor out the GCF of the expression.

1. $a c$ の因数を並べる。2. $a c$ の因数の組のうち、和が $b$ になるもの $p$ と $q$ を見つける。3. もとの式を $a x^{2} + p x + q x + c$ と書き直す。4. $a x^{2} + p x$ の GCF をくくり出す。5. $q x + c$ の GCF をくくり出す。6. 式全体の GCF をくくり出す。

Example 3例3

Factoring a Trinomial by Grouping三項式を組み分けで因数分解する

Factor $5 x^{2} + 7 x - 6$ by grouping.

組み分けによって $5 x^{2} + 7 x - 6$ を因数分解せよ。

Solution 解答

We have a trinomial with $a = 5, b = 7,$ and $c = −6.$ First, determine $a c = −30.$ We need to find two numbers with a product of $−30$ and a sum of $7.$ In the table below, we list factors until we find a pair with the desired sum.

$a = 5, b = 7$ 、 $c = −6.$ の三項式である。まず $a c = −30.$ を求める。積が $−30$ 、和が $7.$ になる二つの数を見つける必要がある。下の表に、目当ての和になる組が見つかるまで因数を並べる。

Factors of $−30$ $−30$ の因数	Sum of Factors因数の和
$1, −30$	$−29$
$−1, 30$	29
$2, −15$	$−13$
$−2, 15$	13
$3, −10$	$−7$
$−3, 10$	7

So $p = −3$ and $q = 10.$

よって $p = −3$ と $q = 10.$ である。

\begin{matrix} 5 x^{2} - 3 x + 10 x - 6 & Rewrite the original expression as a x^{2} + p x + q x + c . \\ x (5 x - 3) + 2 (5 x - 3) & Factor out the GCF of each part . \\ (5 x - 3) (x + 2) & Factor out the GCF ​ of the expression . \end{matrix}

Analysis 考察

We can check our work by multiplying. Use FOIL to confirm that $(5 x - 3) (x + 2) = 5 x^{2} + 7 x - 6.$

掛け合わせれば確かめられる。FOIL を使って $(5 x - 3) (x + 2) = 5 x^{2} + 7 x - 6.$ を確かめよ。

Try It #3やってみよう3

Factor

因数分解せよ。

ⓐ $2 x^{2} + 9 x + 9$ ⓑ $6 x^{2} + x - 1$

Factoring a Perfect Square Trinomial完全平方の三項式を因数分解する

A perfect square trinomial is a trinomial that can be written as the square of a binomial. Recall that when a binomial is squared, the result is the square of the first term added to twice the product of the two terms and the square of the last term.

完全平方の三項式とは、二項式の二乗として書ける三項式のことである。二項式を二乗すると、最初の項の二乗に、二つの項の積の2倍と、最後の項の二乗を足したものになったのを思い出そう。

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} & = & {(a + b)}^{2} \\ and \\ a^{2} - 2 a b + b^{2} & = & {(a - b)}^{2} \end{matrix}

We can use this equation to factor any perfect square trinomial.

この等式を使えば、どんな完全平方の三項式でも因数分解できる。

Perfect Square Trinomials 完全平方の三項式

A perfect square trinomial can be written as the square of a binomial:

完全平方の三項式は、二項式の二乗として書ける。

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

How To 手順

Given a perfect square trinomial, factor it into the square of a binomial.

完全平方の三項式が与えられたとき、それを二項式の二乗に因数分解する。

1. Confirm that the first and last term are perfect squares.2. Confirm that the middle term is twice the product of $a b .$ 3. Write the factored form as ${(a + b)}^{2} .$

1. 最初の項と最後の項が平方数(完全平方)であることを確かめる。2. 真ん中の項が $a b$ の積の2倍であることを確かめる。3. 因数分解した形を ${(a + b)}^{2}$ と書く。

Example 4例4

Factoring a Perfect Square Trinomial完全平方の三項式を因数分解する

Factor $25 x^{2} + 20 x + 4.$

$25 x^{2} + 20 x + 4.$ を因数分解せよ。

Solution 解答

Notice that $25 x^{2}$ and $4$ are perfect squares because $25 x^{2} = {(5 x)}^{2}$ and $4 = 2^{2} .$ Then check to see if the middle term is twice the product of $5 x$ and $2.$ The middle term is, indeed, twice the product: $2 (5 x) (2) = 20 x .$ Therefore, the trinomial is a perfect square trinomial and can be written as ${(5 x + 2)}^{2} .$

$25 x^{2} = {(5 x)}^{2}$ であり $4 = 2^{2}$ なので、 $25 x^{2}$ と $4$ は完全平方であることに注意せよ。次に、真ん中の項が $5 x$ と $2.$ の積の2倍かどうかを確かめる。真ん中の項はたしかに積の2倍 $2 (5 x) (2) = 20 x$ である。よってこの三項式は完全平方の三項式であり、 ${(5 x + 2)}^{2}$ と書ける。

Try It #4やってみよう4

Factor $49 x^{2} - 14 x + 1.$

$49 x^{2} - 14 x + 1.$ を因数分解せよ。

Factoring a Difference of Squares平方の差を因数分解する

A difference of squares is a perfect square subtracted from a perfect square. Recall that a difference of squares can be rewritten as factors containing the same terms but opposite signs because the middle terms cancel each other out when the two factors are multiplied.

平方の差とは、完全平方から完全平方を引いたものである。平方の差は、項が同じで符号が逆の因数どうしに書き直せたのを思い出そう。二つの因数を掛けると真ん中の項が打ち消し合うからである。

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

We can use this equation to factor any differences of squares.

この等式を使えば、どんな平方の差でも因数分解できる。

Differences of Squares 平方の差

A difference of squares can be rewritten as two factors containing the same terms but opposite signs.

平方の差は、項が同じで符号が逆の二つの因数に書き直せる。

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

How To 手順

Given a difference of squares, factor it into binomials.

平方の差が与えられたとき、それを二項式に因数分解する。

1. Confirm that the first and last term are perfect squares.2. Write the factored form as $(a + b) (a - b) .$

1. 最初の項と最後の項が平方数(完全平方)であることを確かめる。2. 因数分解した形を $(a + b) (a - b)$ と書く。

Example 5例5

Factoring a Difference of Squares平方の差を因数分解する

Factor $9 x^{2} - 25.$

$9 x^{2} - 25.$ を因数分解せよ。

Solution 解答

Notice that $9 x^{2}$ and $25$ are perfect squares because $9 x^{2} = {(3 x)}^{2}$ and $25 = 5^{2} .$ The polynomial represents a difference of squares and can be rewritten as $(3 x + 5) (3 x - 5) .$

$9 x^{2} = {(3 x)}^{2}$ であり $25 = 5^{2}$ なので、 $9 x^{2}$ と $25$ は完全平方であることに注意せよ。この多項式は平方の差を表しており、 $(3 x + 5) (3 x - 5)$ と書き直せる。

Try It #5やってみよう5

Factor $81 y^{2} - 100.$

$81 y^{2} - 100.$ を因数分解せよ。

Q&A 疑問と答え

Is there a formula to factor the sum of squares?

平方の和を因数分解する公式はあるか。

No. A sum of squares cannot be factored.

無い。平方の和は因数分解できない。

Factoring the Sum and Difference of Cubes立方の和と差を因数分解する

Now, we will look at two new special products: the sum and difference of cubes. Although the sum of squares cannot be factored, the sum of cubes can be factored into a binomial and a trinomial.

ここでは新たに二つの特別な積、立方の和と差を見る。平方の和は因数分解できなかったが、立方の和は二項式と三項式に因数分解できる。

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Similarly, the difference of cubes can be factored into a binomial and a trinomial, but with different signs.

同じように、立方の差も二項式と三項式に因数分解できる。ただし符号が違う。

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

We can use the acronym SOAP to remember the signs when factoring the sum or difference of cubes. The first letter of each word relates to the signs: Same Opposite Always Positive. For example, consider the following example.

立方の和や差を因数分解するときの符号は、SOAP という頭字語で覚えられる。各語の頭文字が符号に対応する。Same(同じ)、Opposite(逆)、Always Positive(つねに正)である。たとえば次の例を考えよう。

x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

The sign of the first 2 is the same as the sign between $x^{3} - 2^{3} .$ The sign of the $2 x$ term is opposite the sign between $x^{3} - 2^{3} .$ And the sign of the last term, 4, is always positive.

最初の2の符号は、 $x^{3} - 2^{3}$ のあいだの符号と同じである。 $2 x$ の項の符号は、 $x^{3} - 2^{3}$ のあいだの符号と逆である。そして最後の項4の符号は、つねに正である。

Sum and Difference of Cubes 立方の和と差

We can factor the sum of two cubes as

二つの立方の和は、次のように因数分解できる。

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

We can factor the difference of two cubes as

二つの立方の差は、次のように因数分解できる。

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

How To 手順

Given a sum of cubes or difference of cubes, factor it.

立方の和または差が与えられたとき、それを因数分解する。

1. Confirm that the first and last term are cubes, $a^{3} + b^{3}$ or $a^{3} - b^{3} .$ 2. For a sum of cubes, write the factored form as $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) .$ For a difference of cubes, write the factored form as $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$

1. 最初の項と最後の項が立方数であること、すなわち $a^{3} + b^{3}$ または $a^{3} - b^{3}$ を確かめる。2. 立方の和なら、因数分解した形を $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ と書く。立方の差なら $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ と書く。

Example 6例6

Factoring a Sum of Cubes立方の和を因数分解する

Factor $x^{3} + 512.$

$x^{3} + 512.$ を因数分解せよ。

Solution 解答

Notice that $x^{3}$ and $512$ are cubes because $8^{3} = 512.$ Rewrite the sum of cubes as $(x + 8) (x^{2} - 8 x + 64) .$

$8^{3} = 512.$ なので、 $x^{3}$ と $512$ は立方数であることに注意せよ。立方の和を $(x + 8) (x^{2} - 8 x + 64)$ と書き直す。

Analysis 考察

After writing the sum of cubes this way, we might think we should check to see if the trinomial portion can be factored further. However, the trinomial portion cannot be factored, so we do not need to check.

立方の和をこう書いた後、三項式の部分をさらに因数分解できないか確かめるべきだと思うかもしれない。しかし三項式の部分は因数分解できないので、確かめる必要はない。

Try It #6やってみよう6

Factor the sum of cubes: $216 a^{3} + b^{3} .$

立方の和 $216 a^{3} + b^{3}$ を因数分解せよ。

Example 7例7

Factoring a Difference of Cubes立方の差を因数分解する

Factor $8 x^{3} - 125.$

$8 x^{3} - 125.$ を因数分解せよ。

Solution 解答

Notice that $8 x^{3}$ and $125$ are cubes because $8 x^{3} = {(2 x)}^{3}$ and $125 = 5^{3} .$ Write the difference of cubes as $(2 x - 5) (4 x^{2} + 10 x + 25) .$

$8 x^{3} = {(2 x)}^{3}$ であり $125 = 5^{3}$ なので、 $8 x^{3}$ と $125$ は立方数であることに注意せよ。立方の差を $(2 x - 5) (4 x^{2} + 10 x + 25)$ と書く。

Analysis 考察

Just as with the sum of cubes, we will not be able to further factor the trinomial portion.

立方の和のときと同じく、三項式の部分はそれ以上因数分解できない。

Try It #7やってみよう7

Factor the difference of cubes: $1,000 x^{3} - 1.$

立方の差 $1,000 x^{3} - 1.$ を因数分解せよ。

Factoring Expressions with Fractional or Negative Exponents分数の指数や負の指数を持つ式を因数分解する

Expressions with fractional or negative exponents can be factored by pulling out a GCF. Look for the variable or exponent that is common to each term of the expression and pull out that variable or exponent raised to the lowest power. These expressions follow the same factoring rules as those with integer exponents. For instance, $2 x^{\frac{1}{4}} + 5 x^{\frac{3}{4}}$ can be factored by pulling out $x^{\frac{1}{4}}$ and being rewritten as $x^{\frac{1}{4}} (2 + 5 x^{\frac{1}{2}}) .$

分数の指数や負の指数を持つ式も、GCF をくくり出せば因数分解できる。式の各項に共通する変数や指数を探し、その変数を最も低い乗数に上げたものをくくり出す。こうした式も、整数の指数の式と同じ因数分解の規則に従う。たとえば $2 x^{\frac{1}{4}} + 5 x^{\frac{3}{4}}$ は $x^{\frac{1}{4}}$ をくくり出して $x^{\frac{1}{4}} (2 + 5 x^{\frac{1}{2}})$ と書き直せる。

Example 8例8

Factoring an Expression with Fractional or Negative Exponents分数の指数や負の指数を持つ式を因数分解する

Factor $3 x {(x + 2)}^{\frac{−1}{3}} + 4 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} .$

$3 x {(x + 2)}^{\frac{−1}{3}} + 4 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ を因数分解せよ。

Solution 解答

Factor out the term with the lowest value of the exponent. In this case, that would be ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} .$

指数の値がいちばん小さい項をくくり出す。この場合は ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ である。

\begin{matrix} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} (3 x + 4 (x + 2)) & Factor out the GCF . \\ {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} (3 x + 4 x + 8) & Simplify . \\ {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} (7 x + 8) \end{matrix}

Try It #8やってみよう8

Factor $2 {(5 a - 1)}^{\frac{3}{4}} + 7 a {(5 a - 1)}^{- \frac{1}{4}} .$

$2 {(5 a - 1)}^{\frac{3}{4}} + 7 a {(5 a - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ を因数分解せよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with factoring polynomials.

多項式の因数分解についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Identify GCF• Factor Trinomials when a Equals 1• Factor Trinomials when a is not equal to 1• Factor Sum or Difference of Cubes

・GCF を見分ける・a が1のときの三項式の因数分解・a が1でないときの三項式の因数分解・立方の和・差の因数分解

Verbal言葉で答える問題

1. If the terms of a polynomial do not have a GCF, does that mean it is not factorable? Explain.

1. 多項式の項に GCF が無いとき、その多項式は因数分解できないということか。説明せよ。

2. A polynomial is factorable, but it is not a perfect square trinomial or a difference of two squares. Can you factor the polynomial without finding the GCF?

2. ある多項式は因数分解できるが、完全平方の三項式でも二つの平方の差でもない。GCF を求めずにこの多項式を因数分解できるか。

3. How do you factor by grouping?

3. 組み分けによる因数分解はどうやるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the greatest common factor.

次の各問について、最大公約因数を求めよ。

4. $14 x + 4 x y - 18 x y^{2}$

5. $49 m b^{2} - 35 m^{2} b a + 77 m a^{2}$

6. $30 x^{3} y - 45 x^{2} y^{2} + 135 x y^{3}$

7. $200 p^{3} m^{3} - 30 p^{2} m^{3} + 40 m^{3}$

8. $36 j^{4} k^{2} - 18 j^{3} k^{3} + 54 j^{2} k^{4}$

9. $6 y^{4} - 2 y^{3} + 3 y^{2} - y$

For the following exercises, factor by grouping.

次の各問について、組み分けによって因数分解せよ。

10. $6 x^{2} + 5 x - 4$

11. $2 a^{2} + 9 a - 18$

12. $6 c^{2} + 41 c + 63$

13. $6 n^{2} - 19 n - 11$

14. $20 w^{2} - 47 w + 24$

15. $2 p^{2} - 5 p - 7$

For the following exercises, factor the polynomial.

次の各問について、多項式を因数分解せよ。

16. $7 x^{2} + 48 x - 7$

17. $10 h^{2} - 9 h - 9$

18. $2 b^{2} - 25 b - 247$

19. $9 d^{2} −73 d + 8$

20. $90 v^{2} −181 v + 90$

21. $12 t^{2} + t - 13$

22. $2 n^{2} - n - 15$

23. $16 x^{2} - 100$

24. $25 y^{2} - 196$

25. $121 p^{2} - 169$

26. $4 m^{2} - 9$

27. $361 d^{2} - 81$

28. $324 x^{2} - 121$

29. $144 b^{2} - 25 c^{2}$

30. $16 a^{2} - 8 a + 1$

31. $49 n^{2} + 168 n + 144$

32. $121 x^{2} - 88 x + 16$

33. $225 y^{2} + 120 y + 16$

34. $m^{2} - 20 m + 100$

35. $25 p^{2} - 120 p + 144$

36. $36 q^{2} + 60 q + 25$

For the following exercises, factor the polynomials.

次の各問について、多項式を因数分解せよ。

37. $x^{3} + 216$

38. $27 y^{3} - 8$

39. $125 a^{3} + 343$

40. $b^{3} - 8 d^{3}$

41. $64 x^{3} −125$

42. $729 q^{3} + 1331$

43. $125 r^{3} + 1,728 s^{3}$

44. $4 x {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

45. $3 c {(2 c + 3)}^{- \frac{1}{4}} - 5 {(2 c + 3)}^{\frac{3}{4}}$

46. $3 t {(10 t + 3)}^{\frac{1}{3}} + 7 {(10 t + 3)}^{\frac{4}{3}}$

47. $14 x {(x + 2)}^{- \frac{2}{5}} + 5 {(x + 2)}^{\frac{3}{5}}$

48. $9 y {(3 y - 13)}^{\frac{1}{5}} - 2 {(3 y - 13)}^{\frac{6}{5}}$

49. $5 z {(2 z - 9)}^{- \frac{3}{2}} + 11 {(2 z - 9)}^{- \frac{1}{2}}$

50. $6 d {(2 d + 3)}^{- \frac{1}{6}} + 5 {(2 d + 3)}^{\frac{5}{6}}$

Real-World Applications応用問題

For the following exercises, consider this scenario:

次の各問は、この場面について考える。

Charlotte has appointed a chairperson to lead a city beautification project. The first act is to install statues and fountains in one of the city’s parks. The park is a rectangle with an area of $98 x^{2} + 105 x - 27$ m², as shown in the figure below. The length and width of the park are perfect factors of the area.

Charlotte は市の美化事業を率いる委員長を任命した。最初の仕事は、市内のある公園に彫像と噴水を据えることである。下の図のように、この公園は面積 $98 x^{2} + 105 x - 27$ m2 の長方形である。公園の縦と横の長さは、この面積のちょうどの因数になっている。

A rectangle that’s textured to look like a field. The field is labeled: l times w = ninety-eight times x squared plus one hundred five times x minus twenty-seven.

51. Factor by grouping to find the length and width of the park.

51. 組み分けによって因数分解し、公園の縦と横の長さを求めよ。

52. A statue is to be placed in the center of the park. The area of the base of the statue is $4 x^{2} + 12 x + 9 m^{2} .$ Factor the area to find the lengths of the sides of the statue.

52. 彫像は公園の中央に置くことになっている。彫像の台座の面積は $4 x^{2} + 12 x + 9 m^{2}$ である。面積を因数分解して、台座の各辺の長さを求めよ。

53. At the northwest corner of the park, the city is going to install a fountain. The area of the base of the fountain is $9 x^{2} - 25 m^{2} .$ Factor the area to find the lengths of the sides of the fountain.

53. 公園の北西の角に、市は噴水を据える予定である。噴水の土台の面積は $9 x^{2} - 25 m^{2}$ である。面積を因数分解して、土台の各辺の長さを求めよ。

For the following exercise, consider the following scenario:

次の問は、この場面について考える。

A school is installing a flagpole in the central plaza. The plaza is a square with side length 100 yd. as shown in the figure below. The flagpole will take up a square plot with area $x^{2} - 6 x + 9$ yd².

ある学校が中央広場に旗竿を立てようとしている。下の図のように、広場は一辺100ヤードの正方形である。旗竿は面積 $x^{2} - 6 x + 9$ 平方ヤードの正方形の区画を占める。

A square that’s textured to look like a field with a missing piece in the shape of a square in the center. The sides of the larger square are labeled: 100 yards. The center square is labeled: Area: x squared minus six times x plus nine.

54. Find the length of the base of the flagpole by factoring.

54. 因数分解によって、旗竿の土台の一辺の長さを求めよ。

Extensions発展問題

For the following exercises, factor the polynomials completely.

次の各問について、多項式を完全に因数分解せよ。

55. $16 x^{4} - 200 x^{2} + 625$

56. $81 y^{4} - 256$

57. $16 z^{4} - 2,401 a^{4}$

58. $5 x {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{4}} + {(12 x + 8)}^{\frac{3}{2}}$

59. ${(32 x^{3} + 48 x^{2} - 162 x - 243)}^{−1}$