第1章前提知識Prerequisites

Using the Zero Exponent Rule of Exponents指数の0乗の規則を使う

Return to the quotient rule. We made the condition that $m > n$ so that the difference $m - n$ would never be zero or negative. What would happen if $m = n ?$ In this case, we would use the zero exponent rule of exponents to simplify the expression to 1. To see how this is done, let us begin with an example.

商の規則に戻ろう。差 $m - n$ が0や負にならないように $m > n$ という条件を付けた。では $m = n ?$ のときはどうなるか。この場合は、指数の0乗の規則を使って式を1に簡単にする。どうしてそうなるかを見るために、例から始めよう。

\frac{t^{8}}{t^{8}} = \frac{t^{8}}{t^{8}} = 1

If we were to simplify the original expression using the quotient rule, we would have

もとの式を商の規則で簡単にすると、次のようになる。

\frac{t^{8}}{t^{8}} = t^{8 - 8} = t^{0}

If we equate the two answers, the result is $t^{0} = 1.$ This is true for any nonzero real number, or any variable representing a real number.

二つの答えを等号で結ぶと $t^{0} = 1.$ となる。これは0でないどの実数についても、実数を表すどの変数についても正しい。

a^{0} = 1

The sole exception is the expression $0^{0} .$ This appears later in more advanced courses, but for now, we will consider the value to be undefined.

唯一の例外は式 $0^{0}$ である。これはもっと進んだ講義で後に現れるが、いまのところ値は定義されないものとしておく。

The Zero Exponent Rule of Exponents 指数法則：0乗

For any nonzero real number $a,$ the zero exponent rule of exponents states that

0でないどの実数 $a$ についても、指数の0乗の規則は次を述べる。

a^{0} = 1

Example 4例4

Using the Zero Exponent Rule0乗の規則を使う

Simplify each expression using the zero exponent rule of exponents.

指数の0乗の規則を使って各式を簡単にせよ。

ⓐ $\frac{c^{3}}{c^{3}}$ ⓑ $\frac{−3 x^{5}}{x^{5}}$ ⓒ $\frac{{(j^{2} k)}^{4}}{(j^{2} k) \cdot {(j^{2} k)}^{3}}$ ⓓ $\frac{5 {(r s^{2})}^{2}}{{(r s^{2})}^{2}}$

Solution 解答

Use the zero exponent and other rules to simplify each expression.

0乗の規則とその他の規則を使って各式を簡単にする。

ⓐ
$\begin{matrix} \frac{c^{3}}{c^{3}} & = & c^{3 - 3} \\ = & c^{0} \\ = & 1 \end{matrix}$

ⓑ
$\begin{matrix} \frac{−3 x^{5}}{x^{5}} & = & −3 \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} \\ = & −3 \cdot x^{5 - 5} \\ = & −3 \cdot x^{0} \\ = & −3 \cdot 1 \\ = & −3 \end{matrix}$

ⓒ
$\begin{matrix} \frac{{(j^{2} k)}^{4}}{(j^{2} k) \cdot {(j^{2} k)}^{3}} & = & \frac{{(j^{2} k)}^{4}}{{(j^{2} k)}^{1 + 3}} & Use the product rule in the denominator . \\ = & \frac{{(j^{2} k)}^{4}}{{(j^{2} k)}^{4}} & Simplify . \\ = & {(j^{2} k)}^{4 - 4} & Use the quotient rule . \\ = & {(j^{2} k)}^{0} & Simplify . \\ = & 1 \end{matrix}$

式中の英語：Simplify：整理する／ Use the quotient rule：商の指数法則を使う

ⓓ
$\begin{matrix} \frac{5 {(r s^{2})}^{2}}{{(r s^{2})}^{2}} & = & 5 {(r s^{2})}^{2 - 2} & Use the quotient rule . \\ = & 5 {(r s^{2})}^{0} & Simplify . \\ = & 5 \cdot 1 & Use the zero exponent rule . \\ = & 5 & Simplify . \end{matrix}$

式中の英語：Use the quotient rule：商の指数法則を使う／ Simplify：整理する

Try It #4やってみよう4

Simplify each expression using the zero exponent rule of exponents.

指数の0乗の規則を使って各式を簡単にせよ。

ⓐ $\frac{t^{7}}{t^{7}}$ ⓑ $\frac{{(d e^{2})}^{11}}{2 {(d e^{2})}^{11}}$ ⓒ $\frac{w^{4} \cdot w^{2}}{w^{6}}$ ⓓ $\frac{t^{3} \cdot t^{4}}{t^{2} \cdot t^{5}}$