第1章前提知識Prerequisites

Using the Quotient Rule of Exponents指数の商の規則を使う

The quotient rule of exponents allows us to simplify an expression that divides two numbers with the same base but different exponents. In a similar way to the product rule, we can simplify an expression such as $\frac{y^{m}}{y^{n}},$ where $m > n .$ Consider the example $\frac{y^{9}}{y^{5}} .$ Perform the division by canceling common factors.

指数の商の規則を使うと、底が同じで指数の違う二つの数の割り算を簡単にできる。積の規則と同じように、 $\frac{y^{m}}{y^{n}}$ のような式を簡単にできる。ただし $m > n$ とする。例 $\frac{y^{9}}{y^{5}}$ を考えよう。共通の因数を約分して割り算をする。

\begin{matrix} \frac{y^{9}}{y^{5}} & = & \frac{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y} \\ = & \frac{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y} \\ = & \frac{y \cdot y \cdot y \cdot y}{1} \\ = & y^{4} \end{matrix}

Notice that the exponent of the quotient is the difference between the exponents of the divisor and dividend.

商の指数が、割られる数と割る数の指数の差になっていることに注意せよ。

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

In other words, when dividing exponential expressions with the same base, we write the result with the common base and subtract the exponents.

言い換えると、底の同じ指数の式どうしを割るときは、共通の底のまま指数を引いて書く。

\frac{y^{9}}{y^{5}} = y^{9 - 5} = y^{4}

For the time being, we must be aware of the condition $m > n .$ Otherwise, the difference $m - n$ could be zero or negative. Those possibilities will be explored shortly. Also, instead of qualifying variables as nonzero each time, we will simplify matters and assume from here on that all variables represent nonzero real numbers.

当面は $m > n$ という条件に気をつけなければならない。そうでないと、差 $m - n$ が0または負になりうる。その場合はすぐ後で扱う。また、変数が0でないことをそのつど断る代わりに、話を簡単にするため、ここから先はすべての変数が0でない実数を表すものとする。

The Quotient Rule of Exponents 指数法則：商

For any real number $a$ and natural numbers $m$ and $n,$ such that $m > n,$ the quotient rule of exponents states that

どの実数 $a$ と、 $m > n$ を満たす自然数 $m$ 、 $n$ についても、指数の商の規則は次を述べる。

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

Example 2例2

Using the Quotient Rule商の規則を使う

Write each of the following products with a single base. Do not simplify further.

次の各積を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。

Solution 解答

Use the quotient rule to simplify each expression.

商の規則を使って各式を簡単にする。

ⓐ $\frac{{(−2)}^{14}}{{(−2)}^{9}} = {(−2)}^{14 - 9} = {(−2)}^{5}$ ⓑ $\frac{t^{23}}{t^{15}} = t^{23 - 15} = t^{8}$ ⓒ $\frac{{(z \sqrt{2})}^{5}}{z \sqrt{2}} = {(z \sqrt{2})}^{5 - 1} = {(z \sqrt{2})}^{4}$

Try It #2やってみよう2

Write each of the following products with a single base. Do not simplify further.

次の各積を、底が一つの形に書け。それ以上簡単にしなくてよい。