第1章前提知識Prerequisites

Using Properties of Real Numbers実数の性質を使う

For some activities we perform, the order of certain operations does not matter, but the order of other operations does. For example, it does not make a difference if we put on the right shoe before the left or vice-versa. However, it does matter whether we put on shoes or socks first. The same thing is true for operations in mathematics.

日々の動作には、順序が問題にならないものと、問題になるものとがある。たとえば、右の靴を先に履こうが左を先に履こうが違いはない。しかし、靴と靴下のどちらを先に履くかは問題になる。数学の演算でも同じことが起きる。

Commutative Properties交換法則

The commutative property of addition states that numbers may be added in any order without affecting the sum.

加法の交換法則は、どんな順序で足しても和は変わらない、と述べる。

a + b = b + a

We can better see this relationship when using real numbers.

実数を使うと、この関係がよりはっきり見える。

\begin{array}{l} (−2) + 7 = 5 & and & 7 + (−2) = 5 \end{array}

Similarly, the commutative property of multiplication states that numbers may be multiplied in any order without affecting the product.

同じように、乗法の交換法則は、どんな順序で掛けても積は変わらない、と述べる。

a \cdot b = b \cdot a

Again, consider an example with real numbers.

これも実数の例で考えよう。

\begin{matrix} (−11) \cdot (−4) = 44 & and & (−4) \cdot (−11) = 44 \end{matrix}

It is important to note that neither subtraction nor division is commutative. For example, $17 - 5$ is not the same as $5 - 17.$ Similarly, $20 \div 5 \neq 5 \div 20.$

減法も除法も交換法則が成り立たないことに注意したい。たとえば $17 - 5$ は $5 - 17.$ と同じではない。同じく $20 \div 5 \neq 5 \div 20.$

Associative Properties結合法則

The associative property of multiplication tells us that it does not matter how we group numbers when multiplying. We can move the grouping symbols to make the calculation easier, and the product remains the same.

乗法の結合法則は、掛けるときに数をどうまとめても関係ないことを述べている。計算しやすくなるようにまとめる記号を動かしてよく、積は変わらない。

a (b c) = (a b) c

Consider this example.

次の例で考えよう。

\begin{matrix} (3 \cdot 4) \cdot 5 = 60 & and & 3 \cdot (4 \cdot 5) = 60 \end{matrix}

The associative property of addition tells us that numbers may be grouped differently without affecting the sum.

加法の結合法則は、数のまとめ方を変えても和は変わらないことを述べている。

a + (b + c) = (a + b) + c

This property can be especially helpful when dealing with negative integers. Consider this example.

この性質は、負の整数を扱うときにとりわけ役に立つ。次の例で考えよう。

\begin{matrix} [15 + (−9)] + 23 = 29 & and & 15 + [(−9) + 23] = 29 \end{matrix}

Are subtraction and division associative? Review these examples.

減法と除法では結合法則が成り立つだろうか。次の例を見よ。

\begin{matrix} 8 - (3 - 15) & \overset{?}{=} & (8 - 3) - 15 & 64 \div (8 \div 4) & \overset{?}{=} & (64 \div 8) \div 4 \\ 8 - (- 12) & = & 5 - 15 & 64 \div 2 & \overset{?}{=} & 8 \div 4 \\ 20 & \neq & - 10 & 32 & \neq & 2 \end{matrix}

As we can see, neither subtraction nor division is associative.

見てのとおり、減法も除法も結合法則は成り立たない。

Distributive Property分配法則

The distributive property states that the product of a factor times a sum is the sum of the factor times each term in the sum.

分配法則は、ある因数と和との積は、その因数と和の各項との積の和に等しい、と述べる。

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

This property combines both addition and multiplication (and is the only property to do so). Let us consider an example.

この性質は加法と乗法の両方を結びつける(そうする性質はこれだけである)。例で考えよう。

The number four is separated by a multiplication symbol from a bracketed expression reading: twelve plus negative seven. Arrows extend from the four pointing to the twelve and negative seven separately. This expression equals four times twelve plus four times negative seven. Under this line the expression reads forty eight plus negative twenty eight. Under this line the expression reads twenty as the answer.

Note that 4 is outside the grouping symbols, so we distribute the 4 by multiplying it by 12, multiplying it by –7, and adding the products.

4がまとめるための記号の外にあることに注意せよ。だから4を配って、12に掛け、–7に掛け、その積どうしを足す。

To be more precise when describing this property, we say that multiplication distributes over addition. The reverse is not true, as we can see in this example.

この性質をより正確にいうと、乗法は加法の上に分配される、となる。逆は成り立たない。次の例で分かる。

\begin{matrix} 6 + (3 \cdot 5) & \overset{?}{=} & (6 + 3) \cdot (6 + 5) \\ 6 + (15) & \overset{?}{=} & (9) \cdot (11) \\ 21 & \neq & 99 \end{matrix}

A special case of the distributive property occurs when a sum of terms is subtracted.

分配法則の特別な場合は、項の和を引くときに現れる。

a - b = a + (- b)

For example, consider the difference $12 - (5 + 3) .$ We can rewrite the difference of the two terms 12 and $(5 + 3)$ by turning the subtraction expression into addition of the opposite. So instead of subtracting $(5 + 3),$ we add the opposite.

たとえば差 $12 - (5 + 3)$ を考えよう。12 と $(5 + 3)$ という二つの項の差は、減法の式を「反数を足す」形に変えて書き直せる。つまり $(5 + 3)$ を引く代わりに、その反数を足す。

12 + (−1) \cdot (5 + 3)

Now, distribute $−1$ and simplify the result.

ここで $−1$ を配って、結果を簡単にする。

\begin{matrix} 12 - (5 + 3) & = & 12 + (−1) \cdot (5 + 3) \\ = & 12 + [(−1) \cdot 5 + (−1) \cdot 3] \\ = & 12 + (−8) \\ = & 4 \end{matrix}

This seems like a lot of trouble for a simple sum, but it illustrates a powerful result that will be useful once we introduce algebraic terms. To subtract a sum of terms, change the sign of each term and add the results. With this in mind, we can rewrite the last example.

単純な和にしては手間がかかったように見えるが、これは代数の項を導いた後に役立つ強力な結果を示している。項の和を引くには、各項の符号を変えて足せばよい。これを頭に置いて、いまの例を書き直せる。

\begin{matrix} 12 - (5 + 3) & = & 12 + (−5 - 3) \\ = & 12 + (−8) \\ = & 4 \end{matrix}

Identity Properties単位元の法則

The identity property of addition states that there is a unique number, called the additive identity (0) that, when added to a number, results in the original number.

加法の単位元の法則は、ある数に足すと元の数のままになる、ただ一つの数——加法の単位元(0)——が存在する、と述べる。

a + 0 = a

The identity property of multiplication states that there is a unique number, called the multiplicative identity (1) that, when multiplied by a number, results in the original number.

乗法の単位元の法則は、ある数に掛けると元の数のままになる、ただ一つの数——乗法の単位元(1)——が存在する、と述べる。

a \cdot 1 = a

For example, we have $(−6) + 0 = −6$ and $23 \cdot 1 = 23.$ There are no exceptions for these properties; they work for every real number, including 0 and 1.

たとえば $(−6) + 0 = −6$ であり $23 \cdot 1 = 23.$ である。これらの法則に例外はない。0と1を含め、すべての実数で成り立つ。

Inverse Properties逆元の法則

The inverse property of addition states that, for every real number a, there is a unique number, called the additive inverse (or opposite), denoted by (−a), that, when added to the original number, results in the additive identity, 0.

加法の逆元の法則は、どの実数 a についても、元の数に足すと加法の単位元0になる、ただ一つの数——加法の逆元(または反数)、(−a) と書く——が存在する、と述べる。

a + (- a) = 0

For example, if $a = −8,$ the additive inverse is 8, since $(−8) + 8 = 0.$

たとえば $a = −8$ のとき、加法の逆元は8である。 $(−8) + 8 = 0.$ だからである。

The inverse property of multiplication holds for all real numbers except 0 because the reciprocal of 0 is not defined. The property states that, for every real number a, there is a unique number, called the multiplicative inverse (or reciprocal), denoted $\frac{1}{a},$ that, when multiplied by the original number, results in the multiplicative identity, 1.

乗法の逆元の法則は、0を除くすべての実数で成り立つ。0の逆数は定義されないからである。この法則は、どの実数 a についても、元の数に掛けると乗法の単位元1になる、ただ一つの数——乗法の逆元(または逆数)、 $\frac{1}{a}$ と書く——が存在する、と述べる。

a \cdot \frac{1}{a} = 1

For example, if $a = - \frac{2}{3},$ the reciprocal, denoted $\frac{1}{a},$ is $- \frac{3}{2}$ because

たとえば $a = - \frac{2}{3}$ のとき、逆数は $\frac{1}{a}$ と書き、その値は $- \frac{3}{2}$ である。なぜなら

a \cdot \frac{1}{a} = (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{3}{2}) = 1

Properties of Real Numbers 実数の性質

The following properties hold for real numbers a, b, and c.

実数 a、b、c について、次の法則が成り立つ。

	Addition加法	Multiplication乗法
Commutative Property交換法則	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Associative Property結合法則	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a (b c) = (a b) c$
Distributive Property分配法則	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Identity Property単位元の法則	There exists a unique real number called the additive identity, 0, such that, for any real number a $a + 0 = a$ 加法の単位元と呼ばれるただ一つの実数0が存在し、どの実数 a についても $a + 0 = a$ が成り立つ。	There exists a unique real number called the multiplicative identity, 1, such that, for any real number a $a \cdot 1 = a$ 乗法の単位元と呼ばれるただ一つの実数1が存在し、どの実数 a についても $a \cdot 1 = a$ が成り立つ。
Inverse Property逆元の法則	Every real number a has an additive inverse, or opposite, denoted –a, such that $a + (- a) = 0$ どの実数 a にも加法の逆元、すなわち反数 –a があり、 $a + (- a) = 0$ が成り立つ。	Every nonzero real number a has a multiplicative inverse, or reciprocal, denoted $\frac{1}{a},$ such that $a \cdot (\frac{1}{a}) = 1$ 0でないどの実数 a にも乗法の逆元、すなわち逆数 $\frac{1}{a}$ があり、 $a \cdot (\frac{1}{a}) = 1$ が成り立つ。

Example 7例7

Using Properties of Real Numbers実数の性質を使う

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

実数の性質を使って各式を書き直し、簡単にせよ。どの性質を使ったかを述べよ。

ⓐ $3 \cdot 6 + 3 \cdot 4$ ⓑ $(5 + 8) + (−8)$ ⓒ $6 - (15 + 9)$ ⓓ $\frac{4}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4})$ ⓔ $100 \cdot [0.75 + (−2.38)]$

Solution 解答

ⓐ
$\begin{matrix} 3 \cdot 6 + 3 \cdot 4 & = & 3 \cdot (6 + 4) & Distributive property. \\ = & 3 \cdot 10 & Simplify. \\ = & 30 & Simplify. \end{matrix}$ ⓑ
$\begin{matrix} (5 + 8) + (−8) & = & 5 + [8 + (−8)] & Associative property of addition. \\ = & 5 + 0 & Inverse property of addition. \\ = & 5 & Identity property of addition. \end{matrix}$ ⓒ
$\begin{matrix} 6 - (15 + 9) & = & 6 + [(−15) + (−9)] & Distributive property. \\ = & 6 + (−24) & Simplify. \\ = & −18 & Simplify. \end{matrix}$ ⓓ
$\begin{matrix} \frac{4}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4}) & = & \frac{4}{7} \cdot (\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3}) & Commutative property of multiplication. \\ = & (\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4}) \cdot \frac{2}{3} & Associative property of multiplication. \\ = & 1 \cdot \frac{2}{3} & Inverse property of multiplication. \\ = & \frac{2}{3} & Identity property of multiplication. \end{matrix}$ ⓔ
$\begin{matrix} 100 \cdot [0.75 + (- 2.38)] & = & 100 \cdot 0.75 + 100 \cdot (−2.38) & Distributive property. \\ = & 75 + (−238) & Simplify. \\ = & −163 & Simplify. \end{matrix}$

式中の英語：Distributive property.：分配法則。／ Simplify.：整理する。／ Associative property of addition.：加法の結合法則。／ Inverse property of addition.：加法の逆元の性質。／ Identity property of addition.：加法の単位元の性質。／ Commutative property of multiplication.：乗法の交換法則。／ Associative property of multiplication.：乗法の結合法則。／ Inverse property of multiplication.：乗法の逆元の性質。／ Identity property of multiplication.：乗法の単位元の性質。

Try It #7やってみよう7

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

実数の性質を使って各式を書き直し、簡単にせよ。どの性質を使ったかを述べよ。

ⓐ $(- \frac{23}{5}) \cdot [11 \cdot (- \frac{5}{23})]$ ⓑ $5 \cdot (6.2 + 0.4)$ ⓒ $18 - (7 −15)$ ⓓ $\frac{17}{18} + [\frac{4}{9} + (- \frac{17}{18})]$ ⓔ $6 \cdot (−3) + 6 \cdot 3$

Evaluating Algebraic Expressions代数式の値を求める

So far, the mathematical expressions we have seen have involved real numbers only. In mathematics, we may see expressions such as $x + 5, \frac{4}{3} π r^{3},$ or $\sqrt{2 m^{3} n^{2}} .$ In the expression $x + 5,$ 5 is called a constant because it does not vary and x is called a variable because it does. (In naming the variable, ignore any exponents or radicals containing the variable.) An algebraic expression is a collection of constants and variables joined together by the algebraic operations of addition, subtraction, multiplication, and division.

ここまで見てきた数式には実数しか出てこなかった。数学では $x + 5, \frac{4}{3} π r^{3}$ や $\sqrt{2 m^{3} n^{2}}$ のような式も現れる。式 $x + 5$ において、5は変わらないので定数と呼び、x は変わるので変数と呼ぶ(変数の名を挙げるときは、その変数に付いた指数や根号は無視する)。代数式とは、定数と変数を、加法・減法・乗法・除法という代数の演算でつないだものである。

We have already seen some real number examples of exponential notation, a shorthand method of writing products of the same factor. When variables are used, the constants and variables are treated the same way.

同じ因数の積を短く書く方法である指数の書き方は、実数の例ですでに見た。変数を使うときも、定数と変数は同じように扱う。

\begin{matrix} {(−3)}^{5} & = & (−3) \cdot (−3) \cdot (−3) \cdot (−3) \cdot (−3) & x^{5} & = & x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\ {(2 \cdot 7)}^{3} & = & (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) & {(y z)}^{3} & = & (y z) \cdot (y z) \cdot (y z) \end{matrix}

In each case, the exponent tells us how many factors of the base to use, whether the base consists of constants or variables.

どの場合でも、指数は底をいくつ因数として使うかを示す。底が定数でも変数でも同じである。

Any variable in an algebraic expression may take on or be assigned different values. When that happens, the value of the algebraic expression changes. To evaluate an algebraic expression means to determine the value of the expression for a given value of each variable in the expression. Replace each variable in the expression with the given value, then simplify the resulting expression using the order of operations. If the algebraic expression contains more than one variable, replace each variable with its assigned value and simplify the expression as before.

代数式の中の変数は、それぞれ違う値をとることも、値を与えられることもある。そうすると代数式の値も変わる。代数式の値を求めるとは、式の中の各変数に値が与えられたときの、その式の値を決めることである。式の中の各変数を与えられた値に置き換え、できた式を演算の順序に従って簡単にする。代数式に変数が二つ以上あるときも、各変数をそれぞれ与えられた値に置き換え、同じように簡単にする。

Example 8例8

Describing Algebraic Expressions代数式を言い表す

List the constants and variables for each algebraic expression.

各代数式について、定数と変数を挙げよ。

ⓐx + 5ⓑ $\frac{4}{3} π r^{3}$ ⓒ $\sqrt{2 m^{3} n^{2}}$

Solution 解答

	Constants定数	Variables変数
a. x + 5	5	x
b. $\frac{4}{3} π r^{3}$	$\frac{4}{3}, π$	$r$
c. $\sqrt{2 m^{3} n^{2}}$	2	$m, n$

Try It #8やってみよう8

List the constants and variables for each algebraic expression.

各代数式について、定数と変数を挙げよ。

ⓐ $2 π r (r + h)$ ⓑ2(L + W)ⓒ $4 y^{3} + y$

Example 9例9

Evaluating an Algebraic Expression at Different Values代数式の値を、いろいろな値で求める

Evaluate the expression $2 x - 7$ for each value for x.

x の各値について、式 $2 x - 7$ の値を求めよ。

ⓐ $x = 0$ ⓑ $x = 1$ ⓒ $x = \frac{1}{2}$ ⓓ $x = −4$

Solution 解答

ⓐSubstitute 0 for $x .$ $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (0) - 7 \\ = & 0 - 7 \\ = & −7 \end{matrix}$ ⓑSubstitute 1 for $x .$ $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (1) - 7 \\ = & 2 - 7 \\ = & −5 \end{matrix}$ ⓒSubstitute $\frac{1}{2}$ for $x .$ $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (\frac{1}{2}) - 7 \\ = & 1 - 7 \\ = & −6 \end{matrix}$ ⓓSubstitute $−4$ for $x .$ $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (- 4) - 7 \\ = & - 8 - 7 \\ = & −15 \end{matrix}$

ⓐ $x$ に0を代入する。 $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (0) - 7 \\ = & 0 - 7 \\ = & −7 \end{matrix}$ ⓑ $x$ に1を代入する。 $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (1) - 7 \\ = & 2 - 7 \\ = & −5 \end{matrix}$ ⓒ $x$ に $\frac{1}{2}$ を代入する。 $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (\frac{1}{2}) - 7 \\ = & 1 - 7 \\ = & −6 \end{matrix}$ ⓓ $x$ に $−4$ を代入する。 $\begin{matrix} 2 x - 7 & = & 2 (- 4) - 7 \\ = & - 8 - 7 \\ = & −15 \end{matrix}$

Try It #9やってみよう9

Evaluate the expression $11 - 3 y$ for each value for y.

y の各値について、式 $11 - 3 y$ の値を求めよ。

ⓐ $y = 2$ ⓑ $y = 0$ ⓒ $y = \frac{2}{3}$ ⓓ $y = −5$

Example 10例10

Evaluating Algebraic Expressions代数式の値を求める

Evaluate each expression for the given values.

与えられた値について、各式の値を求めよ。

ⓐ $x + 5$ for $x = −5$ ⓑ $\frac{t}{2 t −1}$ for $t = 10$ ⓒ $\frac{4}{3} π r^{3}$ for $r = 5$ ⓓ $a + a b + b$ for $a = 11, b = −8$ ⓔ $\sqrt{2 m^{3} n^{2}}$ for $m = 2, n = 3$

ⓐ $x = −5$ のときの $x + 5$ ⓑ $t = 10$ のときの $\frac{t}{2 t −1}$ ⓒ $r = 5$ のときの $\frac{4}{3} π r^{3}$ ⓓ $a = 11, b = −8$ のときの $a + a b + b$ ⓔ $m = 2, n = 3$ のときの $\sqrt{2 m^{3} n^{2}}$

Solution 解答

ⓐSubstitute $−5$ for $x .$ $\begin{matrix} x + 5 & = & (−5) + 5 \\ = & 0 \end{matrix}$ ⓑSubstitute 10 for $t .$ $\begin{matrix} \frac{t}{2 t - 1} & = & \frac{(10)}{2 (10) - 1} \\ = & \frac{10}{20 - 1} \\ = & \frac{10}{19} \end{matrix}$ ⓒSubstitute 5 for $r .$ $\begin{matrix} \frac{4}{3} π r^{3} & = & \frac{4}{3} π {(5)}^{3} \\ = & \frac{4}{3} π (125) \\ = & \frac{500}{3} π \end{matrix}$ ⓓSubstitute 11 for $a$ and –8 for $b .$ $\begin{matrix} a + a b + b & = & (11) + (11) (−8) + (−8) \\ = & 11 - 88 - 8 \\ = & −85 \end{matrix}$ ⓔSubstitute 2 for $m$ and 3 for $n .$ $\begin{matrix} \sqrt{2 m^{3} n^{2}} & = & \sqrt{2 {(2)}^{3} {(3)}^{2}} \\ = & \sqrt{2 (8) (9)} \\ = & \sqrt{144} \\ = & 12 \end{matrix}$

ⓐ $x$ に $−5$ を代入する。 $\begin{matrix} x + 5 & = & (−5) + 5 \\ = & 0 \end{matrix}$ ⓑ $t$ に10を代入する。 $\begin{matrix} \frac{t}{2 t - 1} & = & \frac{(10)}{2 (10) - 1} \\ = & \frac{10}{20 - 1} \\ = & \frac{10}{19} \end{matrix}$ ⓒ $r$ に5を代入する。 $\begin{matrix} \frac{4}{3} π r^{3} & = & \frac{4}{3} π {(5)}^{3} \\ = & \frac{4}{3} π (125) \\ = & \frac{500}{3} π \end{matrix}$ ⓓ $a$ に11を、 $b$ に–8を代入する。 $\begin{matrix} a + a b + b & = & (11) + (11) (−8) + (−8) \\ = & 11 - 88 - 8 \\ = & −85 \end{matrix}$ ⓔ $m$ に2を、 $n$ に3を代入する。 $\begin{matrix} \sqrt{2 m^{3} n^{2}} & = & \sqrt{2 {(2)}^{3} {(3)}^{2}} \\ = & \sqrt{2 (8) (9)} \\ = & \sqrt{144} \\ = & 12 \end{matrix}$

Try It #10やってみよう10

Evaluate each expression for the given values.

与えられた値について、各式の値を求めよ。

ⓐ $\frac{y + 3}{y - 3}$ for $y = 5$ ⓑ $7 - 2 t$ for $t = −2$ ⓒ $\frac{1}{3} π r^{2}$ for $r = 11$ ⓓ ${(p^{2} q)}^{3}$ for $p = −2, q = 3$ ⓔ $4 (m - n) - 5 (n - m)$ for $m = \frac{2}{3}, n = \frac{1}{3}$

ⓐ $y = 5$ のときの $\frac{y + 3}{y - 3}$ ⓑ $t = −2$ のときの $7 - 2 t$ ⓒ $r = 11$ のときの $\frac{1}{3} π r^{2}$ ⓓ $p = −2, q = 3$ のときの ${(p^{2} q)}^{3}$ ⓔ $m = \frac{2}{3}, n = \frac{1}{3}$ のときの $4 (m - n) - 5 (n - m)$

Formulas公式

An equation is a mathematical statement indicating that two expressions are equal. The expressions can be numerical or algebraic. The equation is not inherently true or false, but only a proposition. The values that make the equation true, the solutions, are found using the properties of real numbers and other results. For example, the equation $2 x + 1 = 7$ has the solution of 3 because when we substitute 3 for $x$ in the equation, we obtain the true statement $2 (3) + 1 = 7.$

方程式とは、二つの式が等しいと述べる数学の文である。式は数値でも代数式でもよい。方程式はそれ自体が真でも偽でもなく、ただの主張である。方程式を真にする値、すなわち解は、実数の性質やその他の結果を使って見つける。たとえば方程式 $2 x + 1 = 7$ の解は3である。方程式の $x$ に3を代入すると、真の文 $2 (3) + 1 = 7.$ が得られるからだ。

A formula is an equation expressing a relationship between constant and variable quantities. Very often, the equation is a means of finding the value of one quantity (often a single variable) in terms of another or other quantities. One of the most common examples is the formula for finding the area $A$ of a circle in terms of the radius $r$ of the circle: $A = π r^{2} .$ For any value of $r,$ the area $A$ can be found by evaluating the expression $π r^{2} .$

公式とは、定数と変数の量のあいだの関係を表す方程式である。多くの場合、公式はある量(たいていは一つの変数)の値を、別の量や複数の量から求める手立てになる。もっともよく知られた例の一つが、円の面積 $A$ を円の半径 $r$ から求める公式 $A = π r^{2}$ である。 $r$ がどんな値でも、面積 $A$ は式 $π r^{2}$ の値を求めれば分かる。

Example 11例11

Using a Formula公式を使う

A right circular cylinder with radius $r$ and height $h$ has the surface area $S$ (in square units) given by the formula $S = 2 π r (r + h) .$ See Figure 3. Find the surface area of a cylinder with radius 6 in. and height 9 in. Leave the answer in terms of $π .$

半径 $r$ 、高さ $h$ の直円柱の表面積 $S$ (平方単位)は、公式 $S = 2 π r (r + h)$ で与えられる。図3を見よ。半径6インチ、高さ9インチの円柱の表面積を求めよ。答えは $π$ を使った形のままでよい。

A right circular cylinder with an arrow extending from the center of the top circle outward to the edge, labeled: r. Another arrow beside the image going from top to bottom, labeled: h. — Figure 3 Right circular cylinder図3 直円柱

Solution 解答

Evaluate the expression $2 π r (r + h)$ for $r = 6$ and $h = 9.$

$r = 6$ と $h = 9.$ のとき、式 $2 π r (r + h)$ の値を求める。

\begin{matrix} S & = & 2 π r (r + h) \\ = & 2 π (6) [(6) + (9)] \\ = & 2 π (6) (15) \\ = & 180 π \end{matrix}

The surface area is $180 π$ square inches.

表面積は $180 π$ 平方インチである。

Try It #11やってみよう11

A photograph with length L and width W is placed in a mat of width 8 centimeters (cm). The area of the mat (in square centimeters, or cm²) is found to be $A = (L + 16) (W + 16) - L \cdot W .$ See Figure 4. Find the area of a mat for a photograph with length 32 cm and width 24 cm.

縦 L、横 W の写真を、幅8センチメートル(cm)の台紙に貼る。台紙の面積(平方センチメートル、すなわち cm2)は $A = (L + 16) (W + 16) - L \cdot W$ となる。図4を見よ。縦32cm、横24cm の写真に使う台紙の面積を求めよ。

/ An art frame with a piece of artwork in the center. The frame has a width of 8 centimeters. The artwork itself has a length of 32 centimeters and a width of 24 centimeters.

Simplifying Algebraic Expressions代数式を簡単にする

Sometimes we can simplify an algebraic expression to make it easier to evaluate or to use in some other way. To do so, we use the properties of real numbers. We can use the same properties in formulas because they contain algebraic expressions.

代数式は、簡単にしておくと値を求めやすくなったり、他の使い道が開けたりすることがある。そのために実数の性質を使う。公式にも代数式が入っているので、同じ性質が使える。

Example 12例12

Simplifying Algebraic Expressions代数式を簡単にする

Simplify each algebraic expression.

各代数式を簡単にせよ。

ⓐ $3 x - 2 y + x - 3 y - 7$ ⓑ $2 r - 5 (3 - r) + 4$ ⓒ $(4 t - \frac{5}{4} s) - (\frac{2}{3} t + 2 s)$ ⓓ $2 m n - 5 m + 3 m n + n$

Solution 解答

ⓐ
$\begin{matrix} 3 x - 2 y + x - 3 y - 7 & = & 3 x + x - 2 y - 3 y - 7 & Commutative property of addition. \\ = & 4 x - 5 y - 7 & Simplify. \end{matrix}$ ⓑ
$\begin{matrix} 2 r - 5 (3 - r) + 4 & = & 2 r - 15 + 5 r + 4 & Distributive property. \\ = & 2 r + 5 r - 15 + 4 & Commutative property of addition. \\ = & 7 r - 11 & Simplify. \end{matrix}$ ⓒ
$\begin{matrix} (4 t - \frac{5}{4} s) - (\frac{2}{3} t + 2 s) & = & 4 t - \frac{5}{4} s - \frac{2}{3} t - 2 s & Distributive property. \\ = & 4 t - \frac{2}{3} t - \frac{5}{4} s - 2 s & Commutative property of addition. \\ = & \frac{10}{3} t - \frac{13}{4} s & Simplify. \end{matrix}$ ⓓ
$\begin{matrix} 2 m n - 5 m + 3 m n + n & = & 2 m n + 3 m n - 5 m + n & Commutative property of addition. \\ = & 5 m n - 5 m + n & Simplify. \end{matrix}$

式中の英語：Commutative property of addition.：加法の交換法則。／ Simplify.：整理する。／ Distributive property.：分配法則。

Try It #12やってみよう12

Simplify each algebraic expression.

各代数式を簡単にせよ。

ⓐ $\frac{2}{3} y - 2 (\frac{4}{3} y + z)$ ⓑ $\frac{5}{t} - 2 - \frac{3}{t} + 1$ ⓒ $4 p (q - 1) + q (1 - p)$ ⓓ $9 r - (s + 2 r) + (6 - s)$

Example 13例13

Simplifying a Formula公式を簡単にする

A rectangle with length $L$ and width $W$ has a perimeter $P$ given by $P = L + W + L + W .$ Simplify this expression.

縦 $L$ 、横 $W$ の長方形の周の長さ $P$ は $P = L + W + L + W$ で与えられる。この式を簡単にせよ。

Solution 解答

\begin{matrix} P & = & L + W + L + W \\ P & = & L + L + W + W & Commutative property of addition \\ P & = & 2 L + 2 W & Simplify \\ P & = & 2 (L + W) & Distributive property \end{matrix}

Try It #13やってみよう13

If the amount $P$ is deposited into an account paying simple interest $r$ for time $t,$ the total value of the deposit $A$ is given by $A = P + P r t .$ Simplify the expression. (This formula will be explored in more detail later in the course.)

金額 $P$ を単利 $r$ の口座に期間 $t$ だけ預けたとき、預けた金額の合計 $A$ は $A = P + P r t$ で与えられる。この式を簡単にせよ(この公式は、この講義の後の方で詳しく扱う)。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with real numbers.

実数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Simplify an Expression.• Evaluate an Expression 1.• Evaluate an Expression 2.

・式を簡単にする。・式の値を求める 1。・式の値を求める 2。

Verbal言葉で答える問題

1. Is $\sqrt{2}$ an example of a rational terminating, rational repeating, or irrational number? Tell why it fits that category.

1. $\sqrt{2}$ は、有限小数になる有理数、循環小数になる有理数、無理数のうちどれの例か。なぜその分類にあたるのかを述べよ。

2. What is the order of operations? What acronym is used to describe the order of operations, and what does it stand for?

2. 演算の順序とは何か。演算の順序を言い表すのにどんな頭字語を使い、それは何を表しているか。

3. What do the Associative Properties allow us to do when following the order of operations? Explain your answer.

3. 演算の順序に従うとき、結合法則は何をすることを許してくれるか。答えを説明せよ。

Numeric数値の問題

For the following exercises, simplify the given expression.

次の各問について、与えられた式を簡単にせよ。

4. $10 + 2 \times (5 - 3)$

5. $6 \div 2 - (81 \div 3^{2})$

6. $18 + {(6 - 8)}^{3}$

7. $−2 \times {[16 \div {(8 - 4)}^{2}]}^{2}$

8. $4 - 6 + 2 \times 7$

9. $3 (5 - 8)$

10. $4 + 6 - 10 \div 2$

11. $12 \div (36 \div 9) + 6$

12. ${(4 + 5)}^{2} \div 3$

13. $3 - 12 \times 2 + 19$

14. $2 + 8 \times 7 \div 4$

15. $5 + (6 + 4) - 11$

16. $9 - 18 \div 3^{2}$

17. $14 \times 3 \div 7 - 6$

18. $9 - (3 + 11) \times 2$

19. $6 + 2 \times 2 - 1$

20. $64 \div (8 + 4 \times 2)$

21. $9 + 4 (2^{2})$

22. ${(12 \div 3 \times 3)}^{2}$

23. $25 \div 5^{2} - 7$

24. $(15 - 7) \times (3 - 7)$

25. $2 \times 4 - 9 (−1)$

26. $4^{2} - 25 \times \frac{1}{5}$

27. $12 (3 - 1) \div 6$

Algebraic代数の問題

For the following exercises, evaluate the expression using the given value of the variable.

次の各問について、与えられた変数の値を使って式の値を求めよ。

28. $8 (x + 3) - 64$ for $x = 2$

28. $x = 2$ のときの $8 (x + 3) - 64$

29. $4 y + 8 - 2 y$ for $y = 3$

29. $y = 3$ のときの $4 y + 8 - 2 y$

30. $(11 a + 3) - 18 a + 4$ for $a = –2$

30. $a = –2$ のときの $(11 a + 3) - 18 a + 4$

31. $4 z - 2 z (1 + 4) - 36$ for $z = 5$

31. $z = 5$ のときの $4 z - 2 z (1 + 4) - 36$

32. $4 y {(7 - 2)}^{2} + 200$ for $y = –2$

32. $y = –2$ のときの $4 y {(7 - 2)}^{2} + 200$

33. $- {(2 x)}^{2} + 1 + 3$ for $x = 2$

33. $x = 2$ のときの $- {(2 x)}^{2} + 1 + 3$

34. $8 (2 + 4) - 15 b + b$ for $b = –3$

34. $b = –3$ のときの $8 (2 + 4) - 15 b + b$

35. $2 (11 c - 4) - 36$ for $c = 0$

35. $c = 0$ のときの $2 (11 c - 4) - 36$

36. $4 (3 - 1) x - 4$ for $x = 10$

36. $x = 10$ のときの $4 (3 - 1) x - 4$

37. $\frac{1}{4} (8 w - 4^{2})$ for $w = 1$

37. $w = 1$ のときの $\frac{1}{4} (8 w - 4^{2})$

For the following exercises, simplify the expression.

次の各問について、式を簡単にせよ。

38. $4 x + x (13 - 7)$

39. $2 y - {(4)}^{2} y - 11$

40. $\frac{a}{2^{3}} (64) - 12 a \div 6$

41. $8 b - 4 b (3) + 1$

42. $5 l \div 3 l \times (9 - 6)$

43. $7 z - 3 + z \times 6^{2}$

44. $4 \times 3 + 18 x \div 9 - 12$

45. $9 (y + 8) - 27$

46. $(\frac{9}{6} t - 4) 2$

47. $6 + 12 b - 3 \times 6 b$

48. $18 y - 2 (1 + 7 y)$

49. ${(\frac{4}{9})}^{2} \times 27 x$

50. $8 (3 - m) + 1 (- 8)$

51. $9 x + 4 x (2 + 3) - 4 (2 x + 3 x)$

52. $5^{2} - 4 (3 x)$

Real-World Applications応用問題

For the following exercises, consider this scenario: Fred earns $40 at the community garden. He spends $10 on a streaming subscription, puts half of what is left in a savings account, and gets another $5 for walking his neighbor’s dog.

次の各問は、この場面について考える。Fred は共同菜園で40ドル稼ぐ。定額配信の料金に10ドルを使い、残りの半分を貯金口座に入れ、隣家の犬を散歩させてさらに5ドルを受け取る。

53. Write the expression that represents the number of dollars Fred keeps (and does not put in his savings account). Remember the order of operations.

53. Fred の手元に残る(貯金口座に入れない)ドルの額を表す式を書け。演算の順序を忘れないこと。

54. How much money does Fred keep?

54. Fred の手元にはいくら残るか。

For the following exercises, solve the given problem.

次の各問について、与えられた問題を解け。

55. According to the U.S. Mint, the diameter of a quarter is 0.955 inches. The circumference of the quarter would be the diameter multiplied by $π .$ Is the circumference of a quarter a whole number, a rational number, or an irrational number?

55. 合衆国造幣局によれば、25セント硬貨の直径は0.955インチである。この硬貨の円周は、直径に $π$ を掛けたものになる。25セント硬貨の円周は、非負整数、有理数、無理数のうちどれか。

56. Jessica and her roommate, Adriana, have decided to share a change jar for joint expenses. Jessica put her loose change in the jar first, and then Adriana put her change in the jar. We know that it does not matter in which order the change was added to the jar. What property of addition describes this fact?

56. Jessica と同居人の Adriana は、共同の出費のために小銭入れを一つ分け合うことにした。まず Jessica が自分の小銭を入れ、次に Adriana が自分の小銭を入れた。どちらの順で入れても結果は変わらないと分かっている。この事実を言い表す加法の性質はどれか。

For the following exercises, consider this scenario: There is a mound of $g$ pounds of gravel in a quarry. Throughout the day, 400 pounds of gravel is added to the mound. Two orders of 600 pounds are sold and the gravel is removed from the mound. At the end of the day, the mound has 1,200 pounds of gravel.

次の各問は、この場面について考える。採石場に $g$ ポンドの砂利の山がある。その日のうちに400ポンドの砂利が山に加えられる。600ポンドの注文が二件あり、その分の砂利が山から運び出される。一日の終わりに、山には1,200ポンドの砂利がある。

57. Write the equation that describes the situation.

57. この場面を表す方程式を書け。

58. Solve for g.

58. g について解け。

For the following exercise, solve the given problem.

次の問について、与えられた問題を解け。

59. Ramon runs the marketing department at their company. Their department gets a budget every year, and every year, they must spend the entire budget without going over. If they spend less than the budget, then the department gets a smaller budget the following year. At the beginning of this year, Ramon got $2.5 million for the annual marketing budget. They must spend the budget such that $2,500,000 - x = 0.$ What property of addition tells us what the value of x must be?

59. Ramon は勤め先で販売促進部門を率いている。部門には毎年予算が下り、毎年その予算を超えずに使い切らなければならない。予算より少なく使うと、翌年の予算が減らされる。今年のはじめ、Ramon は年間の販売促進予算として250万ドルを受け取った。 $2,500,000 - x = 0.$ となるように予算を使わなければならない。x の値がいくつでなければならないかを教えてくれる加法の性質はどれか。

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a graphing calculator to solve for x. Round the answers to the nearest hundredth.

次の各問について、グラフ電卓を使って x を求めよ。答えは小数第二位まで四捨五入せよ。

60. $0.5 {(12.3)}^{2} - 48 x = \frac{3}{5}$

61. ${(0.25 - 0.75)}^{2} x - 7.2 = 9.9$

Extensions発展問題

62. If a whole number is not a natural number, what must the number be?

62. ある非負整数が自然数でないとすると、その数は何でなければならないか。

63. Determine whether the statement is true or false: The multiplicative inverse of a rational number is also rational.

63. 次の文が正しいか誤りかを判定せよ。有理数の乗法の逆元もまた有理数である。

64. Determine whether the statement is true or false: The product of a rational and irrational number is always irrational.

64. 次の文が正しいか誤りかを判定せよ。有理数と無理数の積はつねに無理数である。

65. Determine whether the simplified expression is rational or irrational: $\sqrt{−18 - 4 (5) (−1)} .$

65. 簡単にした式が有理数か無理数かを判定せよ。 $\sqrt{−18 - 4 (5) (−1)}$

66. Determine whether the simplified expression is rational or irrational: $\sqrt{−16 + 4 (5) + 5} .$

66. 簡単にした式が有理数か無理数かを判定せよ。 $\sqrt{−16 + 4 (5) + 5}$

67. The division of two natural numbers will always result in what type of number?

67. 自然数どうしの除法の結果は、つねにどの種類の数になるか。

68. What property of real numbers would simplify the following expression: $4 + 7 (x - 1) ?$

68. 次の式を簡単にするのに使える実数の性質はどれか。 $4 + 7 (x - 1) ?$