第1章前提知識Prerequisites

When we multiply a number by itself, we square it or raise it to a power of 2. For example, $4^2=4\cdot 4=16.$ We can raise any number to any power. In general, the exponential notation $a^n$ means that the number or variable $a$ is used as a factor $n$ times.

ある数をそれ自身に掛けることを、二乗する、あるいは2乗に上げるという。たとえば $4^2=4\cdot 4=16.$ どんな数でも、どんな乗数に上げてよい。一般に、指数の書き方 $a^n$ は、数または変数 $a$ を $n$ 回だけ因数として使うという意味である。

In this notation, $a^n$ is read as the nth power of $a,$or $a$ to the $n$ where $a$ is called the base and $n$ is called the exponent. A term in exponential notation may be part of a mathematical expression, which is a combination of numbers and operators, i.e., + addition, – subtraction, × multiplication, ÷ division. For example, $24+6\cdot \frac{2}{3}-4^2$ is a mathematical expression.

この書き方では、$a^n$ を「$a$のn乗」または「$a$の$n$乗」と読む。$a$ を底、$n$ を指数という。指数の書き方をした項は、数式の一部になることがある。数式とは、数と演算子——+ の加法、– の減法、× の乗法、÷ の除法——を組み合わせたものである。たとえば $24+6\cdot \frac{2}{3}-4^2$ は数式である。

To evaluate a mathematical expression, we perform the various operations. However, we do not perform them in any random order. We use the order of operations. This is a sequence of rules for evaluating such expressions.

数式の値を求めるには、いろいろな演算を行う。ただし、順番は好き勝手でよいわけではない。演算の順序に従う。これは、そうした式の値を求めるための一続きの規則である。

Recall that in mathematics we use parentheses ( ), brackets [ ], and braces { } to group numbers and expressions so that anything appearing within the symbols is treated as a unit. Additionally, fraction bars, radicals, and absolute value bars are treated as grouping symbols. When evaluating a mathematical expression, begin by simplifying expressions within grouping symbols.

数学では、丸括弧 ( )、角括弧 [ ]、波括弧 { } を使って数や式をひとまとめにし、その記号の中にあるものを一つのかたまりとして扱うことを思い出そう。さらに、分数の横線、根号、絶対値の縦線も、まとめるための記号として扱う。数式の値を求めるときは、まとめるための記号の中の式を簡単にするところから始める。

The next step is to address any exponents or radicals. Afterward, perform multiplication and division from left to right and finally addition and subtraction from left to right.

次の段階は、指数と根号を片づけることである。その後、左から右へ乗法と除法を行い、最後に左から右へ加法と減法を行う。

Let’s take a look at the expression provided.

示された式を見てみよう。

There are no grouping symbols, so we move on to exponents or radicals. The number 4 is raised to a power of 2, so simplify $4^2$ as 16.

まとめるための記号は無いので、指数と根号へ進む。4が2乗に上げられているので、$4^2$ を16にする。

Next, perform multiplication or division, left to right.

次に、左から右へ乗法または除法を行う。

Lastly, perform addition or subtraction, left to right.

最後に、左から右へ加法または減法を行う。

Therefore, $24+6\cdot \frac{2}{3}-4^2=12.$

よって $24+6\cdot \frac{2}{3}-4^2=12.$

For some complicated expressions, several passes through the order of operations will be needed. For instance, there may be a radical expression inside parentheses that must be simplified before the parentheses are evaluated. Following the order of operations ensures that anyone simplifying the same mathematical expression will get the same result.

込み入った式では、演算の順序を何巡か通す必要がある。たとえば、括弧の中に根号の式があり、括弧の値を求める前にそれを簡単にしなければならないことがある。演算の順序に従えば、同じ数式を簡単にした人は誰でも同じ結果になる。