第1章前提知識Prerequisites
1.1 Real Numbers: Algebra Essentials1.1 実数:代数の基礎
Learning Objectives 学習目標
In this section, you will:
この節を終えると、次のことができるようになる。
• Classify a real number as a natural, whole, integer, rational, or irrational number.• Perform calculations using order of operations.• Use the following properties of real numbers: commutative, associative, distributive, inverse, and identity.• Evaluate algebraic expressions.• Simplify algebraic expressions.
・実数を、自然数・非負整数・整数・有理数・無理数に分類する。・演算の順序に従って計算する。・実数の次の性質を使う:交換法則、結合法則、分配法則、逆元、単位元。・代数式の値を求める。・代数式を簡単にする。
It is often said that mathematics is the language of science. If this is true, then an essential part of the language of mathematics is numbers. The earliest use of numbers occurred 100 centuries ago in the Middle East to count, or enumerate items. Farmers, cattle herders, and traders used tokens, stones, or markers to signify a single quantity—a sheaf of grain, a head of livestock, or a fixed length of cloth, for example. Doing so made commerce possible, leading to improved communications and the spread of civilization.
数学は科学の言語だとよく言われる。もしそうなら、数学という言語の本質的な部分は数である。数が最初に使われたのは100世紀前の中東で、物を数える、すなわち個数を列挙するためだった。農民や牧畜民や商人は、穀物の束一つ、家畜一頭、布の一定の長さといった一つの量を表すのに、しるしや石や目印を使った。そうすることで商いが可能になり、意思疎通が進み、文明が広がった。
Three to four thousand years ago, Egyptians introduced fractions. They first used them to show reciprocals. Later, they used them to represent the amount when a quantity was divided into equal parts.
三、四千年前、エジプト人は分数を導入した。最初は逆数を表すのに使い、後には、ある量を等分したときの量を表すのに使った。
But what if there were no cattle to trade or an entire crop of grain was lost in a flood? How could someone indicate the existence of nothing? From earliest times, people had thought of a “base state” while counting and used various symbols to represent this null condition. However, it was not until about the fifth century CE in India that zero was added to the number system and used as a numeral in calculations.
だが、交換する牛がいなかったり、穀物の収穫がまるごと洪水で失われたりしたらどうか。何も無いことをどう示せばよいのか。ごく古い時代から、人は数えるときに「基準の状態」を考え、この無の状態をいろいろな記号で表していた。しかし、0が数体系に加わり、計算の中で数字として使われるようになったのは、5世紀ごろのインドになってからである。
Clearly, there was also a need for numbers to represent loss or debt. In India, in the seventh century CE, negative numbers were used as solutions to mathematical equations and commercial debts. The opposites of the counting numbers expanded the number system even further.
損失や負債を表す数も、当然必要だった。インドでは7世紀に、負の数が数学の方程式の解や商いの負債として使われていた。数える数の反対の数が、数体系をさらに広げた。
Because of the evolution of the number system, we can now perform complex calculations using these and other categories of real numbers. In this section, we will explore sets of numbers, calculations with different kinds of numbers, and the use of numbers in expressions.
数体系がこのように発展したおかげで、いま私たちは、これらをはじめとするさまざまな種類の実数を使って複雑な計算ができる。この節では、数の集合、いろいろな種類の数を使った計算、そして式の中での数の使い方を見ていく。