第6章正規分布

Exercises 41–42練習問題 41–42

Use the following information to answer the next two exercises: The life of wearable fitness devices is normally distributed with mean of 4.1 years and a standard deviation of 1.3 years. A wearable fitness device is guaranteed for three years. We are interested in the length of time a wearable fitness device lasts.

次の情報を使って、この後の2問に答えよ。ウェアラブル運動管理機器の寿命は、平均4.1年、標準偏差1.3年の正規分布に従う。この機器には3年間の保証がある。機器が使える期間に関心がある。

Exercise 41問題 41

Define the random variable X in words. X = _______________.

確率変数Xを言葉で定義せよ。X = _______________。

Solution解き方

The lifetime of a wearable fitness device measured in years.

ウェアラブル運動管理機器の寿命（年）。

Exercise 42問題 42

X ~ _____(_____,_____)

Homework宿題

Exercises 43–50練習問題 43–50

Use the following information to answer the next two exercises: The patient recovery time from a particular surgical procedure is normally distributed with a mean of 5.3 days and a standard deviation of 2.1 days.

英語のヒント

次の情報を使って、この後の2問に答えよ。ある手術から患者が回復するまでの時間は、平均5.3日、標準偏差2.1日の正規分布に従う。

Exercise 43問題 43

What is the median recovery time?

回復までの時間の中央値はいくつか。

Exercise 44問題 44

What is the z-score for a patient who takes ten days to recover?

回復に10日かかる患者のzスコアはいくつか。

Solution解き方

Exercise 45問題 45

The length of time to find a parking space at 9 A.M. follows a normal distribution with a mean of five minutes and a standard deviation of two minutes. If the mean is significantly greater than the standard deviation, which of the following statements is true?

午前9時に駐車場所を見つけるまでの時間は、平均5分、標準偏差2分の正規分布に従う。平均が標準偏差よりかなり大きいとき、次の記述のうち正しいものはどれか。

The data cannot follow the uniform distribution.
このデータは一様分布には従いえない。
The data cannot follow the exponential distribution..
このデータは指数分布には従いえない。
The data cannot follow the normal distribution.
このデータは正規分布には従いえない。

I only
Iのみ。
II only
IIのみ。
III only
IIIのみ。
I, II, and III
I、II、III。

Exercise 46問題 46

The heights of the 430 National Basketball Association players were listed on team rosters at the start of a recent season. The heights of basketball players have an approximate normal distribution with mean, µ = 79 inches and a standard deviation, σ = 3.89 inches. For each of the following heights, calculate the z-score and interpret it using complete sentences.

英語のヒント

ある近年のシーズン開始時、全米バスケットボール協会(NBA)の430選手の身長が、各チームの登録選手名簿に掲載されていた。選手の身長は平均μ = 79インチ、標準偏差σ = 3.89インチの正規分布にほぼ従う。次の各身長についてzスコアを計算し、その意味を完全な文で説明せよ。

77 inches
77インチ。
85 inches
85インチ。
If an NBA player reported his height had a z-score of 3.5, would you believe him? Explain your answer.
英語のヒント
あるNBA選手が、自分の身長のzスコアは3.5だと言ったら信じるか。理由を説明せよ。

Solution解き方

Use the z-score formula. z = –0.5141. The height of 77 inches is 0.5141 standard deviations below the mean. An NBA player whose height is 77 inches is shorter than average.
zスコアの公式を使うと、z = –0.5141となる。77インチは平均より標準偏差0.5141個分だけ下にある。身長77インチのNBA選手は、平均より背が低い。
Use the z-score formula. z = 1.5424. The height 85 inches is 1.5424 standard deviations above the mean. An NBA player whose height is 85 inches is taller than average.
zスコアの公式を使うと、z = 1.5424となる。85インチは平均より標準偏差1.5424個分だけ上にある。身長85インチのNBA選手は、平均より背が高い。
Height = 79 + 3.5(3.89) = 92.615 inches, which is taller than 7 feet, 8 inches. There are very few NBA players this tall so the answer is no, not likely.
身長 = 79 + 3.5(3.89) = 92.615インチとなり、7フィート8インチを超える。これほど背の高いNBA選手はごく少ないので、答えは「いいえ、そうとは考えにくい」である。

Exercise 47問題 47

The systolic blood pressure (given in millimeters) of males has an approximately normal distribution with mean µ = 125 and standard deviation σ = 14. Systolic blood pressure for males follows a normal distribution.

英語のヒント

男性の収縮期血圧（ミリメートル単位）は、平均μ = 125、標準偏差σ = 14の正規分布にほぼ従う。男性の収縮期血圧は正規分布に従う。

Calculate the z-scores for the male systolic blood pressures 100 and 150 millimeters.
男性の収縮期血圧100ミリメートルと150ミリメートルのzスコアを計算せよ。
If a male friend of yours said he thought his systolic blood pressure was 2.5 standard deviations below the mean, but that he believed his blood pressure was between 100 and 150 millimeters, what would you say to him?
男性の友人が、自分の収縮期血圧は平均より標準偏差2.5個分だけ低いと思うが、100〜150ミリメートルの間だとも思う、と言ったら、何と答えるか。

Exercise 48問題 48

Kyle’s doctor told him that the z-score for his systolic blood pressure is 1.75. Which of the following is the best interpretation of this standardized score? The systolic blood pressure (given in millimeters) of males has an approximately normal distribution with mean µ = 125 and standard deviation σ = 14. If X = a systolic blood pressure score then X ~ N (125, 14).

カイルは医師から、自分の収縮期血圧のzスコアは1.75だと伝えられた。この標準化した得点の最も適切な解釈は、次のうちどれか。男性の収縮期血圧（ミリメートル単位）は、平均μ = 125、標準偏差σ = 14の正規分布にほぼ従う。X = 収縮期血圧の値とすると、X ~ N(125, 14)となる。

Which answer(s) is/are correct?
正しい答えはどれか。複数ある場合はすべて選べ。
1. Kyle’s systolic blood pressure is 175.
  カイルの収縮期血圧は175である。
2. Kyle’s systolic blood pressure is 1.75 times the average blood pressure of men his age.
  カイルの収縮期血圧は、同年齢の男性の平均血圧の1.75倍である。
3. Kyle’s systolic blood pressure is 1.75 above the average systolic blood pressure of men his age.
  カイルの収縮期血圧は、同年齢の男性の平均収縮期血圧より1.75高い。
4. Kyles’s systolic blood pressure is 1.75 standard deviations above the average systolic blood pressure for men.
  カイルの収縮期血圧は、男性の平均収縮期血圧より標準偏差1.75個分だけ高い。
Calculate Kyle’s blood pressure.
カイルの血圧を計算せよ。

Solution解き方

iv
iv。
Kyle’s blood pressure is equal to 125 + (1.75)(14) = 149.5.
カイルの血圧は125 + (1.75)(14) = 149.5である。

Exercise 49問題 49

Height and weight are two measurements used to track a child’s development. The World Health Organization measures child development by comparing the weights of children who are the same height and the same gender. In 2009, weights for all 80 cm girls in the reference population had a mean µ = 10.2 kg and standard deviation σ = 0.8 kg. Weights are normally distributed. X ~ N(10.2, 0.8). Calculate the z-scores that correspond to the following weights and interpret them.

英語のヒント

身長と体重は、子どもの発育を追跡するために使う2つの測定値である。世界保健機関は、身長と性別が同じ子どもの体重を比較して発育を測る。2009年の基準母集団で、身長80 cmの女子全体の体重は、平均μ = 10.2 kg、標準偏差σ = 0.8 kgだった。体重は正規分布に従い、X ~ N(10.2, 0.8)である。次の体重に対応するzスコアを計算し、その意味を説明せよ。

11 kg
7.9 kg
12.2 kg

Exercise 50問題 50

During a certain year, 1,475,623 students heading to college took the SAT. The distribution of scores in the math section of the SAT follows a normal distribution with mean µ = 520 and standard deviation σ = 115.

ある年、大学進学を目指す1,475,623人がSATを受験した。SATの数学分野の得点は、平均μ = 520、標準偏差σ = 115の正規分布に従う。

Calculate the z-score for an SAT score of 720. Interpret it using a complete sentence.
SAT得点720のzスコアを計算し、その意味を完全な文で説明せよ。
What math SAT score is 1.5 standard deviations above the mean? What can you say about this SAT score?
平均より標準偏差1.5個分だけ高いSAT数学の得点はいくつか。その得点について何がいえるか。
During a different year, the SAT math test had a mean of 514 and standard deviation 117. The ACT math test is an alternate to the SAT and is approximately normally distributed with mean 21 and standard deviation 5.3. If one person took the SAT math test and scored 700 and a second person took the ACT math test and scored 30, who did better with respect to the test they took?
英語のヒント
別の年のSAT数学は、平均514、標準偏差117だった。ACT数学はSATの代わりに受けられる試験で、平均21、標準偏差5.3の正規分布にほぼ従う。ある人がSAT数学で700点、別の人がACT数学で30点を取った場合、それぞれの試験の中ではどちらの成績がよかったか。

Solution解き方

Let X = an SAT math score and Y = an ACT math score. Use the z-score formula.

X = SAT数学の得点、Y = ACT数学の得点とする。zスコアの公式を使う。

X = 720 : $z = \frac{720 - 520}{115} = 1.74$ . The exam score of 720 is 1.74 standard deviations above the mean of 520.
X = 720： $z = \frac{720 - 520}{115} = 1.74$ 。得点720は、平均520より標準偏差1.74個分だけ高い。
z = 1.5
The math SAT score is 520 + 1.5(115) ≈ 692.5. The exam score of 692.5 is 1.5 standard deviations above the mean of 520.
z = 1.5。SAT数学の得点は520 + 1.5(115) ≈ 692.5である。得点692.5は、平均520より標準偏差1.5個分だけ高い。
$\frac{X – μ}{σ}$ = $\frac{700 – 514}{117}$ ≈ 1.59, the z-score for the SAT. $\frac{Y – μ}{σ}$ = $\frac{30 – 21}{5.3}$ ≈ 1.70, the z-scores for the ACT. With respect to the test they took, the person who took the ACT did better (has the higher z-score).
SATのzスコアは $\frac{X – μ}{σ}$ = $\frac{700 – 514}{117}$ ≈ 1.59、ACTのzスコアは $\frac{Y – μ}{σ}$ = $\frac{30 – 21}{5.3}$ ≈ 1.70である。それぞれが受けた試験の中では、ACTを受けた人のほうがよい成績（高いzスコア）を取った。

Standard Normal Distribution

標準正規分布

a continuous random variable (RV) X ~ N(0, 1); when X follows the standard normal distribution, it is often noted as Z ~ N(0, 1).

連続確率変数(RV)X ~ N(0, 1)の分布。Xが標準正規分布に従うとき、Z ~ N(0, 1)と表すことが多い。

z-score

zスコア

the linear transformation of the form z =

\frac{x - μ}{σ}

; if this transformation is applied to any normal distribution X ~ N(μ, σ) the result is the standard normal distribution Z ~ N(0,1). If this transformation is applied to any specific value x of the RV with mean μ and standard deviation σ, the result is called the z-score of x. The z-score allows us to compare data that are normally distributed but scaled differently.

z =

\frac{x - μ}{σ}

という形の線形変換。この変換を任意の正規分布X ~ N(μ, σ)に適用すると、標準正規分布Z ~ N(0,1)になる。平均μ、標準偏差σの確率変数の特定の値xに適用した結果を、xのzスコアという。zスコアにより、正規分布に従うが尺度の異なるデータを比較できる。