第6章正規分布

References参考文献

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「教育統計要覧：性別・人種／民族別のACT得点平均および標準偏差、ならびに総合得点の指定範囲別・進学予定分野別のACT受験者比率：1995〜2009年の選定年」。国立教育統計センター。http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp（2013年5月14日閲覧）。

Data from the San Jose Mercury News.

データ出典：San Jose Mercury News。

Data from The World Almanac and Book of Facts.

データ出典：The World Almanac and Book of Facts。

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「収容人数別スタジアム一覧」。Wikipedia。https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity（2013年5月14日閲覧）。

Data from the National Basketball Association. Available online at www.nba.com (accessed May 14, 2013).

データ出典：全米バスケットボール協会。www.nba.com（2013年5月14日閲覧）。

Chapter Review章の復習

A z-score is a standardized value. Its distribution is the standard normal, Z ~ N(0, 1). The mean of the z-scores is zero and the standard deviation is one. If z is the z-score for a value x from the normal distribution N(µ, σ) then z tells you how many standard deviations x is above (greater than) or below (less than) µ.

zスコアは標準化した値である。その分布は標準正規分布Z ~ N(0, 1)となる。zスコアの平均は0、標準偏差は1である。正規分布N(μ, σ)の値xに対応するzスコアがzであるとき、zはxがμより標準偏差いくつ分だけ上（大きい）または下（小さい）にあるかを示す。

Formula Review公式の復習

z = a standardized value (z-score)

z = 標準化した値（zスコア）

mean = 0; standard deviation = 1

平均 = 0、標準偏差 = 1

To find the observed value, x, when the z-scores is known:
x = μ + (z)σ

zスコアがわかっているとき、観測値xを求める式：x = μ + (z)σ

z-score: z =

\frac{x – μ}{σ}

zスコア：z =

\frac{x – μ}{σ}

Z = the random variable for z-scores

Z = zスコアを表す確率変数

Exercises 1–40練習問題 1–40

Exercise 1問題 1

A bottle of water contains 12.05 fluid ounces with a standard deviation of 0.01 ounces. Define the random variable X in words. X = ____________.

ボトル1本の水の量は12.05液量オンスで、標準偏差は0.01オンスである。確率変数Xを言葉で定義せよ。X = ____________。

Solution解き方

ounces of water in a bottle

ボトル1本に入っている水の量（オンス）。

Exercise 2問題 2

A normal distribution has a mean of 61 and a standard deviation of 15. What is the median?

ある正規分布の平均は61、標準偏差は15である。中央値はいくつか。

Exercise 3問題 3

X ~ N(1, 2)

σ = _______

Solution解き方

Exercise 4問題 4

A company manufactures rubber balls. The mean diameter of a ball is 12 cm with a standard deviation of 0.2 cm. Define the random variable X in words. X = ______________.

ある会社がゴムボールを製造している。ボールの直径は平均12 cm、標準偏差0.2 cmである。確率変数Xを言葉で定義せよ。X = ______________。

Exercise 5問題 5

X ~ N(–4, 1)

What is the median?

中央値はいくつか。

Solution解き方

–4

Exercise 6問題 6

X ~ N(3, 5)

σ = _______

Exercise 7問題 7

X ~ N(–2, 1)

μ = _______

Solution解き方

–2

Exercise 8問題 8

What does a z-score measure?

zスコアは何を測るか。

Exercise 9問題 9

What does standardizing a normal distribution do to the mean?

正規分布を標準化すると、平均はどうなるか。

Solution解き方

The mean becomes zero.

平均は0になる。

Exercise 10問題 10

Is X ~ N(0, 1) a standardized normal distribution? Why or why not?

X ~ N(0, 1)は標準化した正規分布か。理由も述べよ。

Exercise 11問題 11

What is the z-score of x = 12, if it is two standard deviations to the right of the mean?

x = 12が平均より標準偏差2つ分だけ右にあるとき、zスコアはいくつか。

Solution解き方

z = 2

Exercise 12問題 12

What is the z-score of x = 9, if it is 1.5 standard deviations to the left of the mean?

x = 9が平均より標準偏差1.5個分だけ左にあるとき、zスコアはいくつか。

Exercise 13問題 13

What is the z-score of x = –2, if it is 2.78 standard deviations to the right of the mean?

x = –2が平均より標準偏差2.78個分だけ右にあるとき、zスコアはいくつか。

Solution解き方

z = 2.78

Exercise 14問題 14

What is the z-score of x = 7, if it is 0.133 standard deviations to the left of the mean?

x = 7が平均より標準偏差0.133個分だけ左にあるとき、zスコアはいくつか。

Exercise 15問題 15

Suppose X ~ N(2, 6). What value of x has a z-score of three?

X ~ N(2, 6)とする。zスコアが3となるxの値はいくつか。

Solution解き方

x = 20

Exercise 16問題 16

Suppose X ~ N(8, 1). What value of x has a z-score of –2.25?

X ~ N(8, 1)とする。zスコアが–2.25となるxの値はいくつか。

Exercise 17問題 17

Suppose X ~ N(9, 5). What value of x has a z-score of –0.5?

X ~ N(9, 5)とする。zスコアが–0.5となるxの値はいくつか。

Solution解き方

x = 6.5

Exercise 18問題 18

Suppose X ~ N(2, 3). What value of x has a z-score of –0.67?

X ~ N(2, 3)とする。zスコアが–0.67となるxの値はいくつか。

Exercise 19問題 19

Suppose X ~ N(4, 2). What value of x is 1.5 standard deviations to the left of the mean?

X ~ N(4, 2)とする。平均より標準偏差1.5個分だけ左にあるxの値はいくつか。

Solution解き方

x = 1

Exercise 20問題 20

Suppose X ~ N(4, 2). What value of x is two standard deviations to the right of the mean?

X ~ N(4, 2)とする。平均より標準偏差2つ分だけ右にあるxの値はいくつか。

Exercise 21問題 21

Suppose X ~ N(8, 9). What value of x is 0.67 standard deviations to the left of the mean?

X ~ N(8, 9)とする。平均より標準偏差0.67個分だけ左にあるxの値はいくつか。

Solution解き方

x = 1.97

Exercise 22問題 22

Suppose X ~ N(–1, 2). What is the z-score of x = 2?

X ~ N(–1, 2)とする。x = 2のzスコアはいくつか。

Exercise 23問題 23

Suppose X ~ N(12, 6). What is the z-score of x = 2?

X ~ N(12, 6)とする。x = 2のzスコアはいくつか。

Solution解き方

z = –1.67

Exercise 24問題 24

Suppose X ~ N(9, 3). What is the z-score of x = 9?

X ~ N(9, 3)とする。x = 9のzスコアはいくつか。

Exercise 25問題 25

Suppose a normal distribution has a mean of six and a standard deviation of 1.5. What is the z-score of x = 5.5?

ある正規分布の平均を6、標準偏差を1.5とする。x = 5.5のzスコアはいくつか。

Solution解き方

z ≈ –0.33

Exercise 26問題 26

In a normal distribution, x = 5 and z = –1.25. This tells you that x = 5 is ____ standard deviations to the ____ (right or left) of the mean.

ある正規分布で、x = 5、z = –1.25である。これは、x = 5が平均の____（右または左）に標準偏差____個分だけ離れていることを示す。

Exercise 27問題 27

In a normal distribution, x = 3 and z = 0.67. This tells you that x = 3 is ____ standard deviations to the ____ (right or left) of the mean.

ある正規分布で、x = 3、z = 0.67である。これは、x = 3が平均の____（右または左）に標準偏差____個分だけ離れていることを示す。

Solution解き方

0.67, right

0.67、右。

Exercise 28問題 28

In a normal distribution, x = –2 and z = 6. This tells you that x = –2 is ____ standard deviations to the ____ (right or left) of the mean.

ある正規分布で、x = –2、z = 6である。これは、x = –2が平均の____（右または左）に標準偏差____個分だけ離れていることを示す。

Exercise 29問題 29

In a normal distribution, x = –5 and z = –3.14. This tells you that x = –5 is ____ standard deviations to the ____ (right or left) of the mean.

ある正規分布で、x = –5、z = –3.14である。これは、x = –5が平均の____（右または左）に標準偏差____個分だけ離れていることを示す。

Solution解き方

3.14, left

3.14、左。

Exercise 30問題 30

In a normal distribution, x = 6 and z = –1.7. This tells you that x = 6 is ____ standard deviations to the ____ (right or left) of the mean.

ある正規分布で、x = 6、z = –1.7である。これは、x = 6が平均の____（右または左）に標準偏差____個分だけ離れていることを示す。

Exercise 31問題 31

About what percent of x values from a normal distribution lie within one standard deviation (left and right) of the mean of that distribution?

正規分布のxの値の約何%が、その分布の平均から左右に標準偏差1つ分以内に入るか。

Solution解き方

about 68%

約68%。

Exercise 32問題 32

About what percent of the x values from a normal distribution lie within two standard deviations (left and right) of the mean of that distribution?

正規分布のxの値の約何%が、その分布の平均から左右に標準偏差2つ分以内に入るか。

Exercise 33問題 33

About what percent of x values lie between the second and third standard deviations (both sides)?

xの値の約何%が、平均から標準偏差2つ分と3つ分の間に入るか（両側）。

Solution解き方

about 4%

約4%。

Exercise 34問題 34

Suppose X ~ N(15, 3). Between what x values does 68.27% of the data lie? The range of x values is centered at the mean of the distribution (i.e., 15).

X ~ N(15, 3)とする。データの68.27%は、xのどの値とどの値の間に入るか。xの範囲は分布の平均（すなわち15）を中心とする。

Exercise 35問題 35

Suppose X ~ N(–3, 1). Between what x values does 95.45% of the data lie? The range of x values is centered at the mean of the distribution(i.e., –3).

X ~ N(–3, 1)とする。データの95.45%は、xのどの値とどの値の間に入るか。xの範囲は分布の平均（すなわち–3）を中心とする。

Solution解き方

between –5 and –1

–5と–1の間。

Exercise 36問題 36

Suppose X ~ N(–3, 1). Between what x values does 34.14% of the data lie?

X ~ N(–3, 1)とする。データの34.14%は、xのどの値とどの値の間に入るか。

Exercise 37問題 37

About what percent of x values lie between the mean and three standard deviations?

xの値の約何%が、平均とそこから標準偏差3つ分離れた値の間に入るか。

Solution解き方

about 50%

約50%。

Exercise 38問題 38

About what percent of x values lie between the mean and one standard deviation?

xの値の約何%が、平均とそこから標準偏差1つ分離れた値の間に入るか。

Exercise 39問題 39

About what percent of x values lie between the first and second standard deviations from the mean (both sides)?

xの値の約何%が、平均から標準偏差1つ分と2つ分の間に入るか（両側）。

Solution解き方

about 27%

約27%。

Exercise 40問題 40

About what percent of x values lie between the first and third standard deviations(both sides)?

xの値の約何%が、平均から標準偏差1つ分と3つ分の間に入るか（両側）。