第6章円運動と回転運動Circular and Rotational Motion原書 p.205–234

SECTION LEARNING OBJECTIVES By the end of this section, you will be able to do the following:

この節の学習目標 この節を終えると、次のことができるようになる。

• Describe the angle of rotation and relate it to its linear counterpart• Describe angular velocity and relate it to its linear counterpart• Solve problems involving angle of rotation and angular velocity

・回転角を述べ、直線運動での対応物と結びつける・角速度を述べ、直線運動での対応物と結びつける・回転角と角速度に関する問題を解く

What exactly do we mean by circular motion or rotation? Rotational motion is the circular motion of an object about an axis of rotation. We will discuss specifically circular motion and spin. Circular motion is when an object moves in a circular path. Examples of circular motion include a race car speeding around a circular curve, a toy attached to a string swinging in a circle around your head, or the circular loop-the-loop on a roller coaster. Spin is rotation about an axis that goes through the center of mass of the object, such as Earth rotating on its axis, a wheel turning on its axle, the spin of a tornado on its path of destruction, or a figure skater spinning during a performance at the Olympics. Sometimes, objects will be spinning while in circular motion, like the Earth spinning on its axis while revolving around the Sun, but we will focus on these two motions separately.

円運動と回転とは、どのような運動だろうか。回転運動は、物体がある軸のまわりを回る運動である。ここでは、円運動と自転を区別して考える。円運動では、物体が円形の軌道をたどる。円形のカーブを走るレーシングカー、ひもをつけて頭上で振り回すおもちゃ、ジェットコースターの宙返りなどが例になる。自転は、物体自身の重心を通る軸のまわりの回転である。地球の自転、車軸のまわりを回る車輪、竜巻の渦、フィギュアスケーターのスピンなどがこれにあたる。地球が自転しながら太陽のまわりを公転するように、両方の運動が同時に起こる場合もあるが、ここでは別々に扱う。

When solving problems involving rotational motion, we use variables that are similar to linear variables (distance, velocity, acceleration, and force) but take into account the curvature or rotation of the motion. Here, we define the angle of rotation, which is the angular equivalence of distance; and angular velocity, which is the angular equivalence of linear velocity.

回転運動の問題を解くときには、直線運動の変数(距離、速度、加速度、力)に似た変数を使うが、それらは運動の曲がりや回転を考えに入れたものである。ここでは、距離に対応する回転角と、直線運動の速度に対応する角速度を定義する。

When objects rotate about some axis—for example, when the CD in Figure 6.2 rotates about its center—each point in the object follows a circular path.

物体がある軸のまわりを回るとき——たとえば図6.2のCDが中心のまわりを回るとき——物体の各点は円の道筋をたどる。

The arc length, Δs, is the distance traveled along a circular path. The radius of curvature, r, is the radius of the circular path. Both are shown in Figure 6.3.

弧の長さΔsは、円の道筋に沿って進んだ距離である。曲率半径rは、円の道筋の半径である。どちらも図6.3に示す。

Consider a line from the center of the CD to its edge. In a given time, each pit (used to record information) on this line moves through the same angle. The angle of rotation is the amount of rotation and is the angular analog of distance. The angle of rotation $\text{Δ}\theta$ is the arc length divided by the radius of curvature.

CDの中心から縁へ引いた線を考えよう。ある時間の間に、この線の上の(情報を記録するのに使われる)各ピットは同じ角だけ動く。回転角は回転の量であり、距離に対応する角の量である。回転角$\text{Δ}\theta$は、弧の長さを曲率半径で割ったものである。

The angle of rotation is often measured by using a unit called the radian. (Radians are actually dimensionless, because a radian is defined as the ratio of two distances, radius and arc length.) A revolution is one complete rotation, where every point on the circle returns to its original position. One revolution covers $2\pi$ radians (or 360 degrees), and therefore has an angle of rotation of $2\pi$ radians, and an arc length that is the same as the circumference of the circle. We can convert between radians, revolutions, and degrees using the relationship

回転角はしばしば、ラジアンという単位で測られる。(ラジアンは実は無次元である。半径と弧の長さという二つの距離の比として定義されるからである。)1回転とは、円上のすべての点がもとの位置に戻る、ひとまわりの回転である。1回転は$2\pi$ラジアン(すなわち360度)にあたり、したがって回転角は$2\pi$ラジアン、弧の長さは円周に等しい。ラジアン・回転・度の間は、次の関係で換算できる。

1 revolution = $2\pi$ rad = 360°. See Table 6.1 for the conversion of degrees to radians for some common angles.

1回転 = $2\pi$ rad = 360°。よく使う角について、度からラジアンへの換算を表6.1に示す。

How fast is an object rotating? We can answer this question by using the concept of angular velocity. Consider first the angular speed $(\omega )$ is the rate at which the angle of rotation changes. In equation form, the angular speed is

物体はどれくらい速く回っているのか。この問いには角速度という概念で答えられる。まず角速さ$(\omega )$を考える。これは回転角の変化する割合である。式で書けば、角速さは次のとおりである。

which means that an angular rotation $(\Delta \theta )$ occurs in a time, $\text{Δ}t$ . If an object rotates through a greater angle of rotation in a given time, it has a greater angular speed. The units for angular speed are radians per second (rad/s).

これは、時間$\text{Δ}t$の間に角$(\Delta \theta )$だけ回転が起こるということである。ある時間の間により大きな回転角だけ回る物体は、角速さが大きい。角速さの単位は毎秒ラジアン(rad/s)である。

Now let’s consider the direction of the angular speed, which means we now must call it the angular velocity. The direction of the angular velocity is along the axis of rotation. For an object rotating clockwise, the angular velocity points away from you along the axis of rotation. For an object rotating counterclockwise, the angular velocity points toward you along the axis of rotation.

次に角速さの向きを考えよう。向きまで考えるなら、これは角速度と呼ばねばならない。角速度の向きは回転軸に沿っている。時計回りに回る物体では、角速度は回転軸に沿ってあなたから遠ざかる向きを指す。反時計回りに回る物体では、角速度は回転軸に沿ってあなたのほうを指す。

Angular velocity (ω) is the angular version of linear velocity v. Tangential velocity is the instantaneous linear velocity of an object in rotational motion. To get the precise relationship between angular velocity and tangential velocity, consider again a pit on the rotating CD. This pit moves through an arc length $$(\Delta s)$$ in a short time $$(\Delta t)$$ so its tangential speed is

角速度(ω)は、直線運動の速度vに対応する角の量である。接線速度とは、回転運動する物体の瞬間の直線速度である。角速度と接線速度の厳密な関係を得るために、もう一度回っているCDの上のピットを考えよう。このピットは短い時間$$(\Delta t)$$の間に弧の長さ$$(\Delta s)$$だけ動くので、その接線速さは次のようになる。

From the definition of the angle of rotation, $\text{Δ}\theta =\frac{\text{Δ}s}{r}$, we see that $\text{Δ}s=r\text{Δ}\theta$ . Substituting this into the expression for v gives

回転角の定義$\text{Δ}\theta =\frac{\text{Δ}s}{r}$から、$\text{Δ}s=r\text{Δ}\theta$であることが分かる。これをvの式に代入すると、次が得られる。

The equation $v=r\omega$ says that the tangential speed v is proportional to the distance r from the center of rotation.

式$v=r\omega$は、接線速さvが回転の中心からの距離rに比例することを述べている。

Consequently, tangential speed is greater for a point on the outer edge of the CD (with larger r) than for a point closer to the center of the CD (with smaller r). This makes sense because a point farther out from the center has to cover a longer arc length in the same amount of time as a point closer to the center. Note that both points will still have the same angular speed, regardless of their distance from the center of rotation. See Figure 6.4.

したがって接線速さは、CDの中心に近い点(rが小さい)より、外縁の点(rが大きい)のほうが大きい。中心から遠い点は、中心に近い点と同じ時間の間により長い弧を進まねばならないのだから、これは筋が通っている。ただし、どちらの点も回転の中心からの距離によらず同じ角速さを持つことに注意しよう。図6.4を見よ。

Now, consider another example: the tire of a moving car (see Figure 6.5). The faster the tire spins, the faster the car moves—large $\omega$ means large v because $v=r\omega$ . Similarly, a larger-radius tire rotating at the same angular velocity, $\omega$, will produce a greater linear (tangential) velocity, v, for the car. This is because a larger radius means a longer arc length must contact the road, so the car must move farther in the same amount of time.

今度は別の例、走っている車のタイヤを考えよう(図6.5を見よ)。タイヤが速く回るほど車は速く進む。$v=r\omega$なので、$\omega$が大きければvも大きい。同じように、同じ角速度$\omega$で回る半径の大きいタイヤは、車により大きな直線(接線)速度vを与える。半径が大きいということは、路面に触れる弧の長さが長いということであり、したがって車は同じ時間の間により遠くまで進まねばならないからである。

However, there are cases where linear velocity and tangential velocity are not equivalent, such as a car spinning its tires on ice. In this case, the linear velocity will be less than the tangential velocity. Due to the lack of friction under the tires of a car on ice, the arc length through which the tire treads move is greater than the linear distance through which the car moves. It’s similar to running on a treadmill or pedaling a stationary bike; you are literally going nowhere fast.

ただし、氷の上でタイヤを空転させる車のように、直線速度と接線速度が一致しない場合もある。この場合、直線速度は接線速度より小さくなる。氷の上の車のタイヤの下には摩擦がないので、タイヤの接地面が動く弧の長さは、車が進む直線距離より大きい。ランニングマシンで走ったり、固定した自転車をこいだりするのと似ている。文字どおり、速くどこへも行っていないのである。

Relationship between Angular Velocity and Speed This video reviews the definition and units of angular velocity and relates it to linear speed. It also shows how to convert between revolutions and radians.

角速度と速さの関係 この動画は、角速度の定義と単位を復習し、直線の速さと結びつける。回転とラジアンの間の換算も示す。

Access multimedia content (http://openstax.org/books/physics/pages/6-1-angle-of-rotation-and-angular-velocity) For an object traveling in a circular path at a constant angular speed, would the linear speed of the object change if the radius of the path increases?

マルチメディア教材はこちら(http://openstax.org/books/physics/pages/6-1-angle-of-rotation-and-angular-velocity) 一定の角速さで円の道筋を進む物体について、道筋の半径が大きくなったら物体の直線の速さは変わるか。

Now that we have an understanding of the concepts of angle of rotation and angular velocity, we’ll apply them to the real-world situations of a clock tower and a spinning tire.

回転角と角速度の考えが分かったので、これを時計塔と回るタイヤという現実の場面に当てはめてみよう。

Angle of rotation at a Clock Tower The clock on a clock tower has a radius of 1.0 m. (a) What angle of rotation does the hour hand of the clock travel through when it moves from 12 p.m. to 3 p.m.? (b) What’s the arc length along the outermost edge of the clock between the hour hand at these two times?Strategy

時計塔での回転角 ある時計塔の時計の半径は1.0 mである。(a)午後12時から午後3時まで動くとき、時計の短針は何ラジアンの回転角を通るか。(b)この二つの時刻における短針の間の、時計の最も外の縁に沿った弧の長さはいくらか。方針

We can figure out the angle of rotation by multiplying a full revolution ( $2\pi$ radians) by the fraction of the 12 hours covered by the hour hand in going from 12 to 3. Once we have the angle of rotation, we can solve for the arc length by rearranging the equation $\text{Δ}\theta =\frac{\text{Δ}s}{r}$ since the radius is given.

1回転($2\pi$ラジアン)に、短針が12時から3時まで動く間に占める12時間のうちの割合を掛ければ、回転角が求まる。回転角が分かれば、半径が与えられているので、式$\text{Δ}\theta =\frac{\text{Δ}s}{r}$を変形して弧の長さを求められる。

In going from 12 to 3, the hour hand covers 1/4 of the 12 hours needed to make a complete revolution. Therefore, the angle between the hour hand at 12 and at 3 is $\frac{1}{4}\times 2\text{π}\mathrm{rad}=\frac{\text{π}}{2}$ (i.e., 90 degrees).

12時から3時まで動く間に、短針はひとまわりに必要な12時間の4分の1を進む。したがって12時の短針と3時の短針の間の角は$\frac{1}{4}\times 2\text{π}\mathrm{rad}=\frac{\text{π}}{2}$(すなわち90度)である。

Rearranging the equation

次の式を変形すると、

we get

次が得られる。

Inserting the known values gives an arc length of

分かっている値を入れると、弧の長さは次のようになる。

We were able to drop the radians from the final solution to part (b) because radians are actually dimensionless. This is because the radian is defined as the ratio of two distances (radius and arc length). Thus, the formula gives an answer in units of meters, as expected for an arc length.

（b）の最後の答えで rad を省略できるのは、ラジアンが無次元の単位だからである。ラジアンで表した角度は、弧の長さを半径で割った比として定義される。長さどうしの比なので次元を持たず、この式から得られる弧の長さの単位は m になる。

How Fast Does a Car Tire Spin? Calculate the angular speed of a 0.300 m radius car tire when the car travels at 15.0 m/s (about 54 km/h). See Figure 6.5. Strategy

車のタイヤはどれくらい速く回るか 車が15.0 m/s(時速約54 km)で走るとき、半径0.300 mのタイヤの角速さを計算せよ。図6.5を見よ。 方針

In this case, the speed of the tire tread with respect to the tire axle is the same as the speed of the car with respect to the road, so we have v = 15.0 m/s. The radius of the tire is r = 0.300 m. Since we know v and r, we can rearrange the equation $v=r\omega$, to get $\omega =\frac{v}{r}$ and find the angular speed.

この場合、車軸に対するタイヤの接地面の速さは、路面に対する車の速さと同じなので、v = 15.0 m/sである。タイヤの半径は r = 0.300 m である。vとrが分かっているので、式$v=r\omega$を変形して$\omega =\frac{v}{r}$とし、角速さを求められる。

To find the angular speed, we use the relationship: $\omega =\frac{v}{r}$ .

角速さを求めるには、関係$\omega =\frac{v}{r}$を使う。

Inserting the known quantities gives

分かっている量を入れると、次が得られる。

When we cancel units in the above calculation, we get 50.0/s (i.e., 50.0 per second, which is usually written as 50.0 s⁻¹). But the angular speed must have units of rad/s. Because radians are dimensionless, we can insert them into the answer for the angular speed because we know that the motion is circular. Also note that, if an earth mover with much larger tires, say 1.20 m in radius, were moving at the same speed of 15.0 m/s, its tires would rotate more slowly. They would have an angular speed of

上の計算で単位を約分すると 50.0/s(すなわち毎秒50.0、ふつう50.0 s^-1と書く)になる。しかし角速さの単位はrad/sでなければならない。ラジアンは無次元なので、運動が円運動だと分かっている以上、角速さの答えにラジアンを入れてよい。また、たとえば半径1.20 mというはるかに大きなタイヤを持つ土木機械が同じ15.0 m/sで動いていたら、そのタイヤはもっとゆっくり回ることにも注意しよう。その角速さは次のようになる。