第13章数列、確率、数え上げSequences, Probability, and Counting Theory

1. Write the first four terms of the sequence defined by the recursive formula $a=–14,a_n=\frac{2+a_{n–1}}{2}.$

1. 漸化式 $a=–14,a_n=\frac{2+a_{n–1}}{2}$ で定められる数列の初めの四項を書け。

2. Write the first four terms of the sequence defined by the explicit formula $a_n=\frac{n^2–n–1}{n!}.$

2. 一般項の公式 $a_n=\frac{n^2–n–1}{n!}$ で定められる数列の初めの四項を書け。

3. Is the sequence $0.3,1.2,2.1,3,\dots$ arithmetic? If so find the common difference.

3. 数列 $0.3,1.2,2.1,3,\dots$ は等差数列か。そうなら公差を求めよ。

4. An arithmetic sequence has the first term $a_1=-4$ and common difference $d=–\frac{4}{3}.$ What is the 6^th term?

4. ある等差数列の第一項が $a_1=-4$、公差が $d=–\frac{4}{3}$ である。第6項は何か。

5. Write a recursive formula for the arithmetic sequence $-2,-\frac{7}{2},-5,-\frac{13}{2},\dots$ and then find the 22^nd term.

5. 等差数列 $-2,-\frac{7}{2},-5,-\frac{13}{2},\dots$ の漸化式を書き、そして第22項を求めよ。

6. Write an explicit formula for the arithmetic sequence $15.6,15,14.4,13.8,\dots$ and then find the 32^nd term.

6. 等差数列 $15.6,15,14.4,13.8,\dots$ の一般項の公式を書き、そして第32項を求めよ。

7. Is the sequence $-2\text{,}-1\text{,}-\frac{1}{2}\text{,}-\frac{1}{4}\text{,}\dots$ geometric? If so find the common ratio. If not, explain why.

7. 数列 $-2\text{,}-1\text{,}-\frac{1}{2}\text{,}-\frac{1}{4}\text{,}\dots$ は等比数列か。そうなら公比を求めよ。そうでないなら理由を説明せよ。

8. What is the 11^th term of the geometric sequence $-1.5,-3,-6,-12,\dots ?$

8. 等比数列 $-1.5,-3,-6,-12,\dots ?$ の第11項は何か。

9. Write a recursive formula for the geometric sequence $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\dots$

9. 等比数列 $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\dots$ の漸化式を書け。

10. Write an explicit formula for the geometric sequence $4,-\frac{4}{3},\frac{4}{9},-\frac{4}{27},\dots$

10. 等比数列 $4,-\frac{4}{3},\frac{4}{9},-\frac{4}{27},\dots$ の一般項の公式を書け。

11. Use summation notation to write the sum of terms $3k^2-\frac{5}{6}k$ from $k=-3$ to $k=15.$

11. 和の表記を使い、$k=-3$ から $k=15.$ までの項 $3k^2-\frac{5}{6}k$ の和を書け。

12. A community baseball stadium has 10 seats in the first row, 13 seats in the second row, 16 seats in the third row, and so on. There are 56 rows in all. What is the seating capacity of the stadium?

12. ある地域の野球場は、一列目に座席が10、二列目に13、三列目に16、という具合にある。全部で56列ある。この球場の収容人数はいくらか。

13. Use the formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series to find ${\displaystyle \sum _{k=1}^7-0.2\cdot {\left(-5\right)}^{k-1}.}$

13. 等比級数の初めの $n$ 項の和の公式を使い、${\displaystyle \sum _{k=1}^7-0.2\cdot {\left(-5\right)}^{k-1}}$ を求めよ。

14. Find the sum of the infinite geometric series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{3}\cdot {\left(-\frac{1}{5}\right)}^{k-1}}.$

14. 無限等比級数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{3}\cdot {\left(-\frac{1}{5}\right)}^{k-1}}$ の和を求めよ。

15. Ramla deposits $3,600 into a retirement fund each year. The fund earns 7.5% annual interest, compounded monthly. If she opened her account when she was 20 years old, how much will she have by the time she’s 55? How much of that amount was interest earned?

15. ラムラは毎年3,600ドルを退職の資金に預ける。この資金は年利7.5%、月ごとの複利である。20歳のときに口座を開いたとすると、55歳までにいくら貯まるか。そのうち利息はいくらか。

16. In a competition of 50 professional ballroom dancers, 22 compete in the fox-trot competition, 18 compete in the tango competition, and 6 compete in both the fox-trot and tango competitions. How many dancers compete in the fox-trot or tango competitions?

16. 50人の職業の社交舞踏家の競技会で、22人がフォックストロットの部、18人がタンゴの部に出て、6人がフォックストロットとタンゴの両方の部に出る。フォックストロットかタンゴの部に出る舞踏家は何人か。

17. A buyer of a new sedan can custom order the car by choosing from 5 different exterior colors, 3 different interior colors, 2 sound systems, 3 motor designs, and either manual or automatic transmission. How many choices does the buyer have?

17. 新しい四人乗り乗用車の買い手は、外装5色、内装3色、音響装置2種、原動機の設計3種、そして手動か自動の変速機から選んであつらえの注文ができる。買い手には何通りの選び方があるか。

18. To allocate annual bonuses, a manager must choose his top four employees and rank them first to fourth. In how many ways can he create the “Top-Four” list out of the 32 employees?

18. 年ごとの賞与を割り当てるため、ある管理者は上位四人の従業員を選び、一位から四位まで順位を付けねばならない。32人の従業員から「上位四人」の一覧を作るしかたは何通りあるか。

19. A music group needs to choose 3 songs to play at the annual Battle of the Bands. How many ways can they choose their set if they have 15 songs to pick from?

19. ある音楽の集団は、毎年のバンド合戦で演奏する曲を3つ選ぶ必要がある。選べる曲が15あるとき、演目の選び方は何通りあるか。

20. A self-serve frozen yogurt shop has 8 candy toppings and 4 fruit toppings to choose from. How many ways are there to top a frozen yogurt?

20. ある自分で盛る冷凍ヨーグルトの店には、選べる菓子の具が8種、果物の具が4種ある。冷凍ヨーグルトに具を載せるしかたは何通りあるか。

21. How many distinct ways can the word EVANESCENCE be arranged if the anagram must end with the letter E?

21. 綴り替えが文字Eで終わらねばならないとき、語 EVANESCENCE を並べる異なるしかたは何通りあるか。

22. Use the Binomial Theorem to expand ${\left(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}y\right)}^5.$

22. 二項定理を使って ${\left(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}y\right)}^5$ を展開せよ。

23. Find the seventh term of ${\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^{13}$ without fully expanding the binomial.

23. 二項式を完全に展開せずに、${\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^{13}$ の第七項を求めよ。

24. Construct a probability model showing each possible outcome and its associated probability. (Use the first letter for colors.)

24. ありうる各結果とそれに結び付いた確率を示す確率のモデルを作れ。(色は頭文字を使え。)

25. What is the probability of landing on an odd number?

25. 奇数で止まる確率はいくらか。

26. What is the probability of landing on blue?

26. 青で止まる確率はいくらか。

27. What is the probability of landing on blue or an odd number?

27. 青か奇数で止まる確率はいくらか。

28. What is the probability of landing on anything other than blue or an odd number?

28. 青でも奇数でもないところで止まる確率はいくらか。

29. A bowl of candy holds 16 peppermint, 14 butterscotch, and 10 strawberry flavored candies. Suppose a person grabs a handful of 7 candies. What is the percent chance that exactly 3 are butterscotch? (Show calculations and round to the nearest tenth of a percent.)

29. ある菓子の鉢に、薄荷味16個、バタースコッチ味14個、いちご味10個の菓子が入っている。ある人がひとつかみ7個を取るとする。ちょうど3個がバタースコッチである見込みは何パーセントか。(計算を示し、百分率で小数第一位まで求めよ。)