第13章数列、確率、数え上げSequences, Probability, and Counting Theory

13.4 Series and Their Notations13.4 級数とその表記

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Use summation notation.• Use the formula for the sum of the ﬁrst n terms of an arithmetic series.• Use the formula for the sum of the ﬁrst n terms of a geometric series.• Use the formula for the sum of an inﬁnite geometric series.• Solve annuity problems.

・和の表記を使う。・等差級数の初めのn項の和の公式を使う。・等比級数の初めのn項の和の公式を使う。・無限等比級数の和の公式を使う。・年金の問題を解く。

A parent decides to start a college fund for their daughter. They plan to invest $50 in the fund each month. The fund pays 6% annual interest, compounded monthly. How much money will they have saved when their daughter is ready to start college in 6 years? In this section, we will learn how to answer this question. To do so, we need to consider the amount of money invested and the amount of interest earned.

ある親が娘のために大学の資金を積み立て始めることにする。毎月50ドルをこの資金に投じるつもりである。この資金は年利6%、月ごとの複利である。娘が6年後に大学に入る用意ができたとき、いくら貯まっているか。この節では、この問いへの答えかたを学ぶ。そのために、投じた金額と得た利息を考える必要がある。

Using Summation Notation和の表記を使う

To find the total amount of money in the college fund and the sum of the amounts deposited, we need to add the amounts deposited each month and the amounts earned monthly. The sum of the terms of a sequence is called a series. Consider, for example, the following series.

大学の資金の総額と、預けた額の和を求めるには、毎月預けた額と毎月得た額を足す必要がある。数列の項の和を級数という。たとえば次の級数を考えよ。

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ...

The nth partial sum of a series is the sum of a finite number of consecutive terms beginning with the first term. The notation $S_{n}$ represents the partial sum.

級数の第n部分和とは、第一項から始まる有限個の連続する項の和である。 $S_{n}$ という表記が部分和を表す。

\begin{array}{l} S_{1} = 3 \\ S_{2} = 3 + 7 = 10 \\ S_{3} = 3 + 7 + 11 = 21 \\ S_{4} = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 \end{array}

Summation notation is used to represent series. Summation notation is often known as sigma notation because it uses the Greek capital letter sigma, $Σ,$ to represent the sum. Summation notation includes an explicit formula and specifies the first and last terms in the series. An explicit formula for each term of the series is given to the right of the sigma. A variable called the index of summation is written below the sigma. The index of summation is set equal to the lower limit of summation, which is the number used to generate the first term in the series. The number above the sigma, called the upper limit of summation, is the number used to generate the last term in a series.

級数を表すのに和の表記を使う。和の表記は、和を表すのにギリシャ文字の大文字シグマ $Σ$ を使うので、しばしばシグマの表記として知られる。和の表記には一般項の公式が含まれ、級数の最初と最後の項を指定する。級数の各項の一般項の公式はシグマの右に書く。和の指標という変数はシグマの下に書く。和の指標は和の下限に等しいと置く。これは級数の第一項を生む数である。シグマの上の数は和の上限といい、級数の最後の項を生む数である。

Explanation of summation notion as described in the text.

If we interpret the given notation, we see that it asks us to find the sum of the terms in the series $a_{k} = 2 k$ for $k = 1$ through $k = 5.$ We can begin by substituting the terms for $k$ and listing out the terms of this series.

与えられた表記を読み解くと、 $k = 1$ から $k = 5.$ までの級数 $a_{k} = 2 k$ の項の和を求めよ、という意味だと分かる。まず $k$ に項を代入し、この級数の項を並べればよい。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{1} = 2 (1) = 2 \end{array} \\ a_{2} = 2 (2) = 4 \\ a_{3} = 2 (3) = 6 \\ a_{4} = 2 (4) = 8 \\ a_{5} = 2 (5) = 10 \end{array}

We can find the sum of the series by adding the terms:

項どうしを足せばこの級数の和が求まる。

\sum_{k = 1}^{5} 2 k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Summation Notation 和の記号

The sum of the first $n$ terms of a series can be expressed in summation notation as follows:

級数の初めの $n$ 項の和は、和の表記で次のように表せる。

\sum_{k = 1}^{n} a_{k}

This notation tells us to find the sum of $a_{k}$ from $k = 1$ to $k = n .$

この表記は、 $k = 1$ から $k = n$ までの $a_{k}$ の和を求めよという意味である。

$k$ is called the index of summation, 1 is the lower limit of summation, and $n$ is the upper limit of summation.

$k$ を和の指標といい、1が和の下限、 $n$ が和の上限である。

Q&A 疑問と答え

Does the lower limit of summation have to be 1?

和の下限は1でなければならないか。

No. The lower limit of summation can be any number, but 1 is frequently used. We will look at examples with lower limits of summation other than 1.

そうではない。和の下限はどんな数でもよいが、1がよく使われる。和の下限が1でない例も見る。

How To 手順

Given summation notation for a series, evaluate the value.

級数の和の表記が与えられたとき、その値を求める。

1. Identify the lower limit of summation.2. Identify the upper limit of summation.3. Substitute each value of $k$ from the lower limit to the upper limit into the formula.4. Add to find the sum.

1. 和の下限を見分ける。2. 和の上限を見分ける。3. 下限から上限までの $k$ の各値を公式に代入する。4. 足して和を求める。

Example 1例1

Using Summation Notation和の表記を使う

Evaluate $\sum_{k = 3}^{7} k^{2} .$

$\sum_{k = 3}^{7} k^{2}$ の値を求めよ。

Solution 解答

According to the notation, the lower limit of summation is 3 and the upper limit is 7. So we need to find the sum of $k^{2}$ from $k = 3$ to $k = 7.$ We find the terms of the series by substituting $k = 3, 4, 5, 6,$ and $7$ into the function $k^{2} .$ We add the terms to find the sum.

この表記によれば、和の下限は3、上限は7である。よって $k = 3$ から $k = 7.$ までの $k^{2}$ の和を求める必要がある。関数 $k^{2}$ に $k = 3, 4, 5, 6$ と $7$ を代入して級数の項を求める。項どうしを足して和を求める。

\begin{array}{l} \sum_{k = 3}^{7} k^{2} & = 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} \\ = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 \\ = 135 \end{array}

Try It #1やってみよう1

Evaluate $\sum_{k = 2}^{5} (3 k - 1) .$

$\sum_{k = 2}^{5} (3 k - 1)$ の値を求めよ。

Using the Formula for Arithmetic Series等差級数の公式を使う

Just as we studied special types of sequences, we will look at special types of series. Recall that an arithmetic sequence is a sequence in which the difference between any two consecutive terms is the common difference, $d .$ The sum of the terms of an arithmetic sequence is called an arithmetic series. We can write the sum of the first $n$ terms of an arithmetic series as:

数列の特別な種類を学んだのと同じく、級数の特別な種類を見る。等差数列とは、連続するどの二項の差も公差 $d$ である数列であったことを思い出せ。等差数列の項の和を等差級数という。等差級数の初めの $n$ 項の和は次のように書ける。

S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + (a_{n} - d) + a_{n} .

We can also reverse the order of the terms and write the sum as

項の順序を逆にして、和を次のように書くこともできる。

S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + ... + (a_{1} + d) + a_{1} .

If we add these two expressions for the sum of the first $n$ terms of an arithmetic series, we can derive a formula for the sum of the first $n$ terms of any arithmetic series.

等差級数の初めの $n$ 項の和を表すこの二つの式を足せば、どんな等差級数についても初めの $n$ 項の和の公式が導ける。

\frac{\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + (a_{n} - d) + a_{n} \\ + S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + ... + (a_{1} + d) + a_{1} \end{array}}{2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + ... + (a_{1} + a_{n})}

Because there are $n$ terms in the series, we can simplify this sum to

この級数には $n$ 項あるので、この和は次のように簡単にできる。

2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) .

We divide by 2 to find the formula for the sum of the first $n$ terms of an arithmetic series.

2で割れば、等差級数の初めの $n$ 項の和の公式が求まる。

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

Formula for the Sum of the First 初項からの和の公式

Formula for the Sum of the First n Terms of an Arithmetic Series等差級数の初めのn項の和の公式

An arithmetic series is the sum of the terms of an arithmetic sequence. The formula for the sum of the first $n$ terms of an arithmetic sequence is

等差級数とは、等差数列の項の和である。等差数列の初めの $n$ 項の和の公式は次である。

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

How To 手順

Given terms of an arithmetic series, find the sum of the first $n$ terms.

等差級数の項が与えられたとき、初めの $n$ 項の和を求める。

1. Identify $a_{1}$ and $a_{n} .$ 2. Determine $n .$ 3. Substitute values for $a_{1}, a_{n},$ and $n$ into the formula $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} .$ 4. Simplify to find $S_{n} .$

1. $a_{1}$ と $a_{n}$ を見分ける。2. $n$ を決める。3. 公式 $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$ に $a_{1}, a_{n}$ と $n$ の値を代入する。4. 簡単にして $S_{n}$ を求める。

Example 2例2

Finding the First n Terms of an Arithmetic Series等差級数の初めのn項を求める

Find the sum of each arithmetic series.

各等差級数の和を求めよ。

ⓐ $5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32$ ⓑ $20 + 15 + 10 +…+ −50$ ⓒ $\sum_{k = 1}^{12} 3 k - 8$

Solution 解答

ⓐWe are given $a_{1} = 5$ and $a_{n} = 32.$ Count the number of terms in the sequence to find $n = 10.$ Substitute values for $a_{1}, a_{n},$ and $n$ into the formula and simplify. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{10} = \frac{10 (5 + 32)}{2} = 185 \end{array}$ ⓑWe are given $a_{1} = 20$ and $a_{n} = - 50.$ Use the formula for the general term of an arithmetic sequence to find $n .$ $\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ - 50 = 20 + (n - 1) (- 5) \\ - 70 = (n - 1) (- 5) \\ 14 = n - 1 \\ 15 = n \end{array}$ Substitute values for $a_{1}, a_{n}, n$ into the formula and simplify.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{15} = \frac{15 (20 - 50)}{2} = - 225 \end{array}$ ⓒTo find $a_{1},$ substitute $k = 1$ into the given explicit formula. $\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{1} = 3 (1) - 8 = - 5 \end{array}$ We are given that $n = 12.$ To find $a_{12},$ substitute $k = 12$ into the given explicit formula. $\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{12} = 3 (12) - 8 = 28 \end{array}$ Substitute values for $a_{1}, a_{n},$ and $n$ into the formula and simplify. $\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{12} = \frac{12 (- 5 + 28)}{2} = 138 \end{array}$

ⓐ $a_{1} = 5$ と $a_{n} = 32.$ が与えられている。この数列の項の数を数えて $n = 10.$ を求める。公式に $a_{1}, a_{n}$ と $n$ の値を代入し、簡単にする。 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{10} = \frac{10 (5 + 32)}{2} = 185 \end{array}$ ⓑ $a_{1} = 20$ と $a_{n} = - 50.$ が与えられている。等差数列の一般項の公式を使って $n$ を求める。 $\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ - 50 = 20 + (n - 1) (- 5) \\ - 70 = (n - 1) (- 5) \\ 14 = n - 1 \\ 15 = n \end{array}$ 公式に $a_{1}, a_{n}, n$ の値を代入し、簡単にする。 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{15} = \frac{15 (20 - 50)}{2} = - 225 \end{array}$ ⓒ $a_{1}$ を求めるには、与えられた一般項の公式に $k = 1$ を代入する。 $\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{1} = 3 (1) - 8 = - 5 \end{array}$ $n = 12.$ と与えられている。 $a_{12}$ を求めるには、与えられた一般項の公式に $k = 12$ を代入する。 $\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{12} = 3 (12) - 8 = 28 \end{array}$ 公式に $a_{1}, a_{n}$ と $n$ の値を代入し、簡単にする。 $\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{12} = \frac{12 (- 5 + 28)}{2} = 138 \end{array}$

Use the formula to find the sum of each arithmetic series.

公式を使って各等差級数の和を求めよ。

Try It #2やってみよう2

$1 .4 + 1 .6 + 1 .8 + 2 .0 + 2 .2 + 2 .4 + 2 .6 + 2 .8 + 3 .0 + 3 .2 + 3 .4$

Try It #3やってみよう3

$13 + 21 + 29 + \dots + 69$

Try It #4やってみよう4

$\sum_{k = 1}^{10} 5 - 6 k$

Example 3例3

Solving Application Problems with Arithmetic Series等差級数で応用問題を解く

On the Sunday after a minor surgery, a woman is able to walk a half-mile. Each Sunday, she walks an additional quarter-mile. After 8 weeks, what will be the total number of miles she has walked?

軽い手術のあとの日曜、ある女性は半マイル歩ける。毎週日曜、彼女はさらに4分の1マイルずつ歩く。8週後、彼女が歩いた距離の合計は何マイルになるか。

Solution 解答

This problem can be modeled by an arithmetic series with $a_{1} = \frac{1}{2}$ and $d = \frac{1}{4} .$ We are looking for the total number of miles walked after 8 weeks, so we know that $n = 8,$ and we are looking for $S_{8} .$ To find $a_{8},$ we can use the explicit formula for an arithmetic sequence.

この問題は $a_{1} = \frac{1}{2}$ かつ $d = \frac{1}{4}$ の等差級数でモデルにできる。8週後に歩いた距離の合計を求めたいので、 $n = 8$ だと分かり、 $S_{8}$ を求めることになる。 $a_{8}$ を求めるには、等差数列の一般項の公式が使える。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + d (n - 1) \end{array} \\ a_{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (8 - 1) = \frac{9}{4} \end{array}

We can now use the formula for arithmetic series.

これで等差級数の公式が使える。

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{8} = \frac{8 (\frac{1}{2} + \frac{9}{4})}{2} = 11 \end{array}

She will have walked a total of 11 miles.

彼女は合わせて11マイル歩くことになる。

Try It #5やってみよう5

A man earns $100 in the first week of June. Each week, he earns $12.50 more than the previous week. After 12 weeks, how much has he earned?

ある男性が6月の最初の週に100ドル稼ぐ。毎週、前の週より12.50ドル多く稼ぐ。12週後、彼はいくら稼いだか。

Using the Formula for Geometric Series等比級数の公式を使う

Just as the sum of the terms of an arithmetic sequence is called an arithmetic series, the sum of the terms in a geometric sequence is called a geometric series. Recall that a geometric sequence is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the common ratio, $r .$ We can write the sum of the first $n$ terms of a geometric series as

等差数列の項の和を等差級数というのと同じく、等比数列の項の和を等比級数という。等比数列とは、連続するどの二項の比も公比 $r$ である数列であったことを思い出せ。等比級数の初めの $n$ 項の和は次のように書ける。

S_{n} = a_{1} + r a_{1} + r^{2} a_{1} + ... + r^{n - 1} a_{1} .

Just as with arithmetic series, we can do some algebraic manipulation to derive a formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series. We will begin by multiplying both sides of the equation by $r .$

等差級数と同じく、代数の変形をすれば、等比級数の初めの $n$ 項の和の公式が導ける。まず式の両辺に $r$ を掛けることから始める。

r S_{n} = r a_{1} + r^{2} a_{1} + r^{3} a_{1} + ... + r^{n} a_{1}

Next, we subtract this equation from the original equation.

次に、この式を元の式から引く。

\begin{array}{l} \frac{\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + r a_{1} + r^{2} a_{1} + ... + r^{n - 1} a_{1} \\ - r S_{n} = - (r a_{1} + r^{2} a_{1} + r^{3} a_{1} + ... + r^{n} a_{1}) \end{array}}{(1 - r) S_{n} = a_{1} - r^{n} a_{1}} \end{array}

Notice that when we subtract, all but the first term of the top equation and the last term of the bottom equation cancel out. To obtain a formula for $S_{n},$ divide both sides by $(1 - r) .$

引くと、上の式の第一項と下の式の最後の項を除いてすべて消えることに注意せよ。 $S_{n}$ の公式を得るには、両辺を $(1 - r)$ で割る。

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} r \neq 1

Formula for the Sum of the First 初項からの和の公式

Formula for the Sum of the First n Terms of a Geometric Series等比級数の初めのn項の和の公式

A geometric series is the sum of the terms in a geometric sequence. The formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric sequence is represented as

等比級数とは、等比数列の項の和である。等比数列の初めの $n$ 項の和の公式は次のように表される。

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} r \neq 1

How To 手順

Given a geometric series, find the sum of the first

terms.

1. Identify $a_{1}, r, and n .$ 2. Substitute values for $a_{1}, r,$ and $n$ into the formula $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} .$ 3. Simplify to find $S_{n} .$

1. $a_{1}, r, および n$ を見分ける。2. 公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ に $a_{1}, r$ と $n$ の値を代入する。3. 簡単にして $S_{n}$ を求める。

Example 4例4

Finding the First n Terms of a Geometric Series等比級数の初めのn項を求める

Use the formula to find the indicated partial sum of each geometric series.

公式を使って、各等比級数の示された部分和を求めよ。

ⓐ $S_{11}$ for the series $8 + -4 + 2 + \dots$ ⓑ ${\sum^{}}_{k = 1}^{6} 3 \cdot 2^{k}$

ⓐ級数 $8 + -4 + 2 + \dots$ についての $S_{11}$

Solution 解答

ⓐ $a_{1} = 8,$ and we are given that $n = 11.$ We can find $r$ by dividing the second term of the series by the first. $r = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$ Substitute values for $a_{1}, r, and n$ into the formula and simplify. $\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{11} = \frac{8 (1 - {(- \frac{1}{2})}^{11})}{1 - (- \frac{1}{2})} \approx 5.336 \end{array}$ ⓑFind $a_{1}$ by substituting $k = 1$ into the given explicit formula. $a_{1} = 3 \cdot 2^{1} = 6$ We can see from the given explicit formula that $r = 2.$ The upper limit of summation is 6, so $n = 6.$ Substitute values for $a_{1}, r,$ and $n$ into the formula, and simplify. $\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{6} = \frac{6 (1 - 2^{6})}{1 - 2} = 378 \end{array}$

ⓐ $a_{1} = 8$ であり、 $n = 11.$ と与えられている。この級数の第二項を第一項で割れば $r$ が求まる。 $r = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$ 公式に $a_{1}, r, および n$ の値を代入し、簡単にする。 $\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{11} = \frac{8 (1 - {(- \frac{1}{2})}^{11})}{1 - (- \frac{1}{2})} \approx 5.336 \end{array}$ ⓑ与えられた一般項の公式に $k = 1$ を代入して $a_{1}$ を求める。 $a_{1} = 3 \cdot 2^{1} = 6$ 与えられた一般項の公式から $r = 2.$ だと分かる。和の上限は6なので $n = 6.$ である。公式に $a_{1}, r$ と $n$ の値を代入し、簡単にする。 $\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{6} = \frac{6 (1 - 2^{6})}{1 - 2} = 378 \end{array}$

Use the formula to find the indicated partial sum of each geometric series.

公式を使って、各等比級数の示された部分和を求めよ。

Try It #6やってみよう6

$S_{20}$ for the series $1,000 + 500 + 250 + \dots$

級数 $1,000 + 500 + 250 + \dots$ についての $S_{20}$

Try It #7やってみよう7

$\sum_{k = 1}^{8} 3^{k}$

Example 5例5

Solving an Application Problem with a Geometric Series等比級数で応用問題を解く

At a new job, an employee’s starting salary is $26,750. He receives a 1.6% annual raise. Find his total earnings at the end of 5 years.

新しい職で、ある従業員の初めの年俸は26,750ドルである。彼は毎年1.6%の昇給を受ける。5年の終わりまでの彼の稼ぎの合計を求めよ。

Solution 解答

The problem can be represented by a geometric series with $a_{1} = 26, 750;$ $n = 5;$ and $r = 1.016.$ Substitute values for $a_{1},$ $r,$ and $n$ into the formula and simplify to find the total amount earned at the end of 5 years.

この問題は $a_{1} = 26, 750;$ $n = 5;$ $r = 1.016.$ の等比級数で表せる。公式に $a_{1}$ $r$ $n$ の値を代入し、簡単にして5年の終わりまでの稼ぎの合計を求める。

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{5} = \frac{26, 750 (1 - {1.016}^{5})}{1 - 1.016} \approx 138, 099.03 \end{array}

He will have earned a total of $138,099.03 by the end of 5 years.

彼は5年の終わりまでに合わせて138,099.03ドル稼ぐことになる。

Try It #8やってみよう8

At a new job, an employee’s starting salary is $32,100. She receives a 2% annual raise. How much will she have earned by the end of 8 years?

新しい職で、ある従業員の初めの年俸は32,100ドルである。彼女は毎年2%の昇給を受ける。8年の終わりまでにいくら稼ぐか。

Using the Formula for the Sum of an Infinite Geometric Series無限等比級数の和の公式を使う

Thus far, we have looked only at finite series. Sometimes, however, we are interested in the sum of the terms of an infinite sequence rather than the sum of only the first $n$ terms. An infinite series is the sum of the terms of an infinite sequence. An example of an infinite series is $2 + 4 + 6 + 8 + ...$

ここまでは有限の級数だけを見てきた。だが、初めの $n$ 項だけの和ではなく、無限数列の項の和に関心があることもある。無限級数とは、無限数列の項の和である。無限級数の例が $2 + 4 + 6 + 8 + ...$ である。

This series can also be written in summation notation as $\sum_{k = 1}^{\infty} 2 k,$ where the upper limit of summation is infinity. Because the terms are not tending to zero, the sum of the series increases without bound as we add more terms. Therefore, the sum of this infinite series is not defined. When the sum is not a real number, we say the series diverges.

この級数は、和の上限を無限として、和の表記で $\sum_{k = 1}^{\infty} 2 k$ とも書ける。項が零に近づいていかないので、項を足すほどこの級数の和は限りなく増える。したがって、この無限級数の和は定められない。和が実数でないとき、この級数は発散するという。

Determining Whether the Sum of an Infinite Geometric Series is Defined無限等比級数の和が定められるかどうかを決める

If the terms of an infinite geometric sequence approach 0, the sum of an infinite geometric series can be defined. The terms in this series approach 0:

無限等比数列の項が0に近づくなら、無限等比級数の和が定められる。この級数の項は0に近づく。

1 + 0.2 + 0.04 + 0.008 + 0.0016 + ...

The common ratio $r = 0 .2 .$ As $n$ gets very large, the values of $r^{n}$ get very small and approach 0. Each successive term affects the sum less than the preceding term. As each succeeding term gets closer to 0, the sum of the terms approaches a finite value. The terms of any infinite geometric series with $- 1 < r < 1$ approach 0; the sum of a geometric series is defined when $- 1 < r < 1.$

公比は $r = 0 .2$ である。 $n$ がたいへん大きくなると、 $r^{n}$ の値はたいへん小さくなり0に近づく。後続の各項は、直前の項より和への効きが小さい。後に続く項が0に近づくにつれ、項の和は有限の値に近づく。 $- 1 < r < 1$ であるどの無限等比級数の項も0に近づく。 $- 1 < r < 1.$ のとき、等比級数の和が定められる。

Determining Whether the Sum of an Infinite Geometric Series is Defined 無限等比級数が収束する条件

The sum of an infinite series is defined if the series is geometric and $- 1 < r < 1.$

級数が等比級数で $- 1 < r < 1.$ のとき、無限級数の和が定められる。

How To 手順

Given the first several terms of an infinite series, determine if the sum of the series exists.

無限級数の初めのいくつかの項が与えられたとき、その級数の和が存在するかどうかを決める。

1. Find the ratio of the second term to the first term.2. Find the ratio of the third term to the second term.3. Continue this process to ensure the ratio of a term to the preceding term is constant throughout. If so, the series is geometric.4. If a common ratio, $r,$ was found in step 3, check to see if $- 1 < r < 1$ . If so, the sum is defined. If not, the sum is not defined.

1. 第二項と第一項の比を求める。2. 第三項と第二項の比を求める。3. この手順を続け、項と直前の項の比が全体で一定であることを確かめる。そうなら、この級数は等比級数である。4. 第3歩で公比 $r$ が求まったなら、 $- 1 < r < 1$ かどうかを調べる。そうなら和は定められる。そうでないなら和は定められない。

Example 6例6

Determining Whether the Sum of an Infinite Series is Defined無限級数の和が定められるかどうかを決める

Determine whether the sum of each infinite series is defined.

各無限級数の和が定められるかどうかを判定せよ。

ⓐ $12 + 8 + 4 + \dots$ ⓑ $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...$ ⓒ $\sum_{k = 1}^{\infty} 27 \cdot {(\frac{1}{3})}^{k}$ ⓓ $\sum_{k = 1}^{\infty} 5 k$

Solution 解答

ⓐThe ratio of the second term to the first is $\frac{2}{3},$ which is not the same as the ratio of the third term to the second, $\frac{1}{2} .$ The series is not geometric.ⓑThe ratio of the second term to the first is the same as the ratio of the third term to the second. The series is geometric with a common ratio of $\frac{2}{3} .$ The sum of the infinite series is defined.ⓒThe given formula is exponential with a base of $\frac{1}{3};$ the series is geometric with a common ratio of $\frac{1}{3} .$ The sum of the infinite series is defined.ⓓThe given formula is not exponential; the series is not geometric because the terms are increasing, and so cannot yield a finite sum.

ⓐ第二項と第一項の比は $\frac{2}{3}$ であり、第三項と第二項の比 $\frac{1}{2}$ と同じでない。この級数は等比級数でない。ⓑ第二項と第一項の比は、第三項と第二項の比と同じである。この級数は公比 $\frac{2}{3}$ の等比級数である。この無限級数の和は定められる。ⓒ与えられた公式は底 $\frac{1}{3};$ の指数であり、この級数は公比 $\frac{1}{3}$ の等比級数である。この無限級数の和は定められる。ⓓ与えられた公式は指数でない。項が増えていくのでこの級数は等比級数でなく、有限の和を生めない。

Determine whether the sum of the infinite series is defined.

この無限級数の和が定められるかどうかを判定せよ。

Try It #9やってみよう9

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{8} + ...$

Try It #10やってみよう10

$24 + (−12) + 6 + (−3) + ...$

Try It #11やってみよう11

$\sum_{k = 1}^{\infty} 15 \cdot {(- 0.3)}^{k}$

Finding Sums of Infinite Series無限級数の和を求める

When the sum of an infinite geometric series exists, we can calculate the sum. The formula for the sum of an infinite series is related to the formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series.

無限等比級数の和が存在するとき、その和は計算できる。無限級数の和の公式は、等比級数の初めの $n$ 項の和の公式と関わっている。

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}

We will examine an infinite series with $r = \frac{1}{2} .$ What happens to $r^{n}$ as $n$ increases?

$r = \frac{1}{2}$ の無限級数を調べる。 $n$ が増えると $r^{n}$ はどうなるか。

\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \\ {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8} \\ {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16} \end{array}

The value of $r^{n}$ decreases rapidly. What happens for greater values of $n ?$

$r^{n}$ の値は急速に減る。 $n ?$ がもっと大きくなるとどうなるか。

\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{10} = \frac{1}{1, 024} \\ {(\frac{1}{2})}^{20} = \frac{1}{1, 048, 576} \\ {(\frac{1}{2})}^{30} = \frac{1}{1, 073, 741, 824} \end{array}

As $n$ gets very large, $r^{n}$ gets very small. We say that, as $n$ increases without bound, $r^{n}$ approaches 0. As $r^{n}$ approaches 0, $1 - r^{n}$ approaches 1. When this happens, the numerator approaches $a_{1} .$ This give us a formula for the sum of an infinite geometric series.

$n$ がたいへん大きくなると、 $r^{n}$ はたいへん小さくなる。 $n$ が限りなく増えると $r^{n}$ は0に近づくという。 $r^{n}$ が0に近づくにつれ、 $1 - r^{n}$ は1に近づく。そうなると、分子は $a_{1}$ に近づく。これで無限等比級数の和の公式が得られる。

Formula for the Sum of an Infinite Geometric Series 無限等比級数の和の公式

The formula for the sum of an infinite geometric series with $−1 < r < 1$ is

$−1 < r < 1$ である無限等比級数の和の公式は次である。

S = \frac{a_{1}}{1 - r}

How To 手順

Given an infinite geometric series, find its sum.

無限等比級数が与えられたとき、その和を求める。

1. Identify $a_{1}$ and $r .$ 2. Confirm that $- 1 < r < 1.$ 3. Substitute values for $a_{1}$ and $r$ into the formula, $S = \frac{a_{1}}{1 - r} .$ 4. Simplify to find $S .$

1. $a_{1}$ と $r$ を見分ける。2. $- 1 < r < 1.$ であることを確かめる。3. 公式 $S = \frac{a_{1}}{1 - r}$ に $a_{1}$ と $r$ の値を代入する。4. 簡単にして $S$ を求める。

Example 7例7

Finding the Sum of an Infinite Geometric Series無限等比級数の和を求める

Find the sum, if it exists, for the following:

次について、和が存在するなら求めよ。

ⓐ $10 + 9 + 8 + 7 + \dots$ ⓑ $248.6 + 99.44 + 39.776 + \dots$ ⓒ $\sum_{k = 1}^{\infty} 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{k - 1}$ ⓓ $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{9} \cdot {(\frac{4}{3})}^{k}$

Solution 解答

ⓐThere is not a constant ratio; the series is not geometric.ⓑThere is a constant ratio; the series is geometric. $a_{1} = 248.6$ and $r = \frac{99.44}{248.6} = 0.4,$ so the sum exists. Substitute $a_{1} = 248.6$ and $r = 0.4$ into the formula and simplify to find the sum: $\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{248.6}{1 - 0.4} = 414. \bar{3} \end{array}$ ⓒThe formula is exponential, so the series is geometric with $r = - \frac{1}{3} .$ Find $a_{1}$ by substituting $k = 1$ into the given explicit formula: $a_{1} = 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1} = 4, 374$ Substitute $a_{1} = 4, 374$ and $r = - \frac{1}{3}$ into the formula, and simplify to find the sum: $\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{4, 374}{1 - (- \frac{1}{3})} = 3, 280.5 \end{array}$ ⓓThe formula is exponential, so the series is geometric, but $r > 1.$ The sum does not exist.

ⓐ一定の比が無い。この級数は等比級数でない。ⓑ一定の比がある。この級数は等比級数である。 $a_{1} = 248.6$ かつ $r = \frac{99.44}{248.6} = 0.4$ なので和は存在する。公式に $a_{1} = 248.6$ と $r = 0.4$ を代入し、簡単にして和を求める。 $\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{248.6}{1 - 0.4} = 414. \bar{3} \end{array}$ ⓒこの公式は指数なので、この級数は $r = - \frac{1}{3}$ の等比級数である。与えられた一般項の公式に $k = 1$ を代入して $a_{1}$ を求める。 $a_{1} = 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1} = 4, 374$ 公式に $a_{1} = 4, 374$ と $r = - \frac{1}{3}$ を代入し、簡単にして和を求める。 $\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{4, 374}{1 - (- \frac{1}{3})} = 3, 280.5 \end{array}$ ⓓこの公式は指数なので、この級数は等比級数だが $r > 1.$ である。和は存在しない。

Example 8例8

Finding an Equivalent Fraction for a Repeating Decimal循環小数と等しい分数を求める

Find an equivalent fraction for the repeating decimal $0. \bar{3}$

循環小数 $0. \bar{3}$ と等しい分数を求めよ。

Solution 解答

We notice the repeating decimal $0. \bar{3} = 0.333...$ so we can rewrite the repeating decimal as a sum of terms.

循環小数 $0. \bar{3} = 0.333...$ に気づくので、この循環小数を項の和として書き直せる。

0. \bar{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...

Looking for a pattern, we rewrite the sum, noticing that we see the first term multiplied to 0.1 in the second term, and the second term multiplied to 0.1 in the third term.

型を探して和を書き直すと、第二項では第一項に0.1が掛かり、第三項では第二項に0.1が掛かっているのが見える。

The image shows how to decompose a repeating decimal into an infinite geometric series using the example decimal.

Notice the pattern; we multiply each consecutive term by a common ratio of 0.1 starting with the first term of 0.3. So, substituting into our formula for an infinite geometric sum, we have

型に注意せよ。第一項0.3から始めて、連続する各項に公比0.1を掛けている。よって無限等比級数の和の公式に代入すると、次を得る。

S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3} .

Find the sum, if it exists.

和が存在するなら求めよ。

Try It #12やってみよう12

$2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + ...$

Try It #13やってみよう13

$\sum_{k = 1}^{\infty} 0.76 k + 1$

Try It #14やってみよう14

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(- \frac{3}{8})}^{k}$

Solving Annuity Problems年金の問題を解く

At the beginning of the section, we looked at a problem in which a parent invested a set amount of money each month into a college fund for six years. An annuity is an investment in which the purchaser makes a sequence of periodic, equal payments. To find the amount of an annuity, we need to find the sum of all the payments and the interest earned. In the example, the parent invests $50 each month. This is the value of the initial deposit. The account paid 6% annual interest, compounded monthly. To find the interest rate per payment period, we need to divide the 6% annual percentage interest (APR) rate by 12. So the monthly interest rate is 0.5%. We can multiply the amount in the account each month by 100.5% to find the value of the account after interest has been added.

この節の初めに、ある親が毎月決まった額を6年間、大学の資金に投じる問題を見た。年金とは、買い手が定期の等しい支払いを続ける投資である。年金の額を求めるには、すべての支払いと得た利息の和を求める必要がある。この例では、親は毎月50ドルを投じる。これが初めの預金の値である。この口座は年利6%、月ごとの複利だった。支払いの期間あたりの利率を求めるには、年利6%(APR)を12で割る必要がある。よって月の利率は0.5%である。毎月の口座の額に100.5%を掛ければ、利息が加わったあとの口座の値が求まる。

We can find the value of the annuity right after the last deposit by using a geometric series with $a_{1} = 50$ and $r = 100.5 % = 1.005.$ After the first deposit, the value of the annuity will be $50. Let us see if we can determine the amount in the college fund and the interest earned.

最後の預金の直後の年金の値は、 $a_{1} = 50$ かつ $r = 100.5 % = 1.005.$ の等比級数を使って求められる。最初の預金のあと、年金の値は50ドルになる。大学の資金の額と得た利息が決められるか見てみよう。

We can find the value of the annuity after $n$ deposits using the formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series. In 6 years, there are 72 months, so $n = 72.$ We can substitute $a_{1} = 50, r = 1.005, and n = 72$ into the formula, and simplify to find the value of the annuity after 6 years.

$n$ 回預けたあとの年金の値は、等比級数の初めの $n$ 項の和の公式を使えば求まる。6年には72か月あるので $n = 72.$ である。公式に $a_{1} = 50, r = 1.005, および n = 72$ を代入し、簡単にして6年後の年金の値を求められる。

S_{72} = \frac{50 (1 - {1.005}^{72})}{1 - 1.005} \approx 4, 320.44

After the last deposit, the parent will have a total of $4,320.44 in the account. Notice, the parent made 72 payments of $50 each for a total of $72(50) = $3,600 .$ This means that because of the annuity, the parent earned $720.44 interest in their college fund.

最後の預金のあと、この親は口座に合わせて4,320.44ドルを持つ。この親は50ドルの支払いを72回行い、合計 $72(50) = $3,600$ になることに注意せよ。これは、年金のおかげでこの親が大学の資金で720.44ドルの利息を得たということである。

How To 手順

Given an initial deposit and an interest rate, find the value of an annuity.

初めの預金と利率が与えられたとき、年金の値を求める。

1. Determine $a_{1},$ the value of the initial deposit.2. Determine $n,$ the number of deposits.3. Determine $r .$ Divide the annual interest rate by the number of times per year that interest is compounded. Add 1 to this amount to find $r .$ 4. Substitute values for $a_{1}, r, and n$ into the formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series, $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} .$ 5. Simplify to find $S_{n},$ the value of the annuity after $n$ deposits.

1. 初めの預金の値 $a_{1}$ を決める。2. 預金の回数 $n$ を決める。3. $r$ を決める。年利を、年に複利がつく回数で割る。この額に1を足して $r$ を求める。4. 等比級数の初めの $n$ 項の和の公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ に $a_{1}, r, および n$ の値を代入する。5. 簡単にして、 $n$ 回預けたあとの年金の値 $S_{n}$ を求める。

Example 9例9

Solving an Annuity Problem年金の問題を解く

A deposit of $100 is placed into a college fund at the beginning of every month for 10 years. The fund earns 9% annual interest, compounded monthly, and paid at the end of the month. How much is in the account right after the last deposit?

10年のあいだ、毎月の初めに100ドルが大学の資金に預けられる。この資金は年利9%、月ごとの複利で、月末に支払われる。最後の預金の直後、口座にはいくらあるか。

Solution 解答

The value of the initial deposit is $100, so $a_{1} = 100.$ A total of 120 monthly deposits are made in the 10 years, so $n = 120.$ To find $r,$ divide the annual interest rate by 12 to find the monthly interest rate and add 1 to represent the new monthly deposit.

初めの預金の値は100ドルなので $a_{1} = 100.$ である。10年で合わせて120回の月ごとの預金が行われるので $n = 120.$ である。 $r$ を求めるには、年利を12で割って月の利率を求め、新しい月ごとの預金を表すために1を足す。

r = 1 + \frac{0.09}{12} = 1.0075

Substitute $a_{1} = 100, r = 1.0075, and n = 120$ into the formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series, and simplify to find the value of the annuity.

等比級数の初めの $n$ 項の和の公式に $a_{1} = 100, r = 1.0075, および n = 120$ を代入し、簡単にして年金の値を求める。

S_{120} = \frac{100 (1 - {1.0075}^{120})}{1 - 1.0075} \approx 19, 351.43

So the account has $19,351.43 after the last deposit is made.

よって、最後の預金のあと口座には19,351.43ドルある。

Try It #15やってみよう15

At the beginning of each month, $200 is deposited into a retirement fund. The fund earns 6% annual interest, compounded monthly, and paid into the account at the end of the month. How much is in the account if deposits are made for 10 years?

毎月の初めに200ドルが退職の資金に預けられる。この資金は年利6%、月ごとの複利で、月末に口座に支払われる。10年のあいだ預けたなら、口座にはいくらあるか。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with series.

級数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Arithmetic Series• Geometric Series• Summation Notation

・等差級数・等比級数・和の表記

Verbal言葉で答える問題

1. What is an $n th$ partial sum?

1. 第 $n th$ 部分和とは何か。

2. What is the difference between an arithmetic sequence and an arithmetic series?

2. 等差数列と等差級数の違いは何か。

3. What is a geometric series?

3. 等比級数とは何か。

4. How is finding the sum of an infinite geometric series different from finding the $n th$ partial sum?

4. 無限等比級数の和を求めるのは、第 $n th$ 部分和を求めるのとどう違うか。

5. What is an annuity?

5. 年金とは何か。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, express each description of a sum using summation notation.

次の各問について、和の各説明を和の表記で表せ。

6. The sum of terms $m^{2} + 3 m$ from $m = 1$ to $m = 5$

6. $m = 1$ から $m = 5$ までの項 $m^{2} + 3 m$ の和

7. The sum from of $n = 0$ to $n = 4$ of $5 n$

7. $n = 0$ から $n = 4$ までの $5 n$ の和

8. The sum of $6 k - 5$ from $k = - 2$ to $k = 1$

8. $k = - 2$ から $k = 1$ までの $6 k - 5$ の和

9. The sum that results from adding the number 4 five times

9. 数4を五回足してできる和

For the following exercises, express each arithmetic sum using summation notation.

次の各問について、各等差の和を和の表記で表せ。

10. $5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50$

11. $10 + 18 + 26 + \dots + 162$

12. $\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 + \dots + 4$

For the following exercises, use the formula for the sum of the first $n$ terms of each arithmetic sequence.

次の各問について、各等差数列の初めの $n$ 項の和の公式を使え。

13. $\frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} + 3 + \frac{7}{2}$

14. $19 + 25 + 31 + \dots + 73$

15. $3.2 + 3.4 + 3.6 + \dots + 5.6$

For the following exercises, express each geometric sum using summation notation.

次の各問について、各等比の和を和の表記で表せ。

16. $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187$

17. $8 + 4 + 2 + \dots + 0.125$

18. $- \frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{24} + \dots + \frac{1}{768}$

For the following exercises, use the formula for the sum of the first $n$ terms of each geometric sequence, and then state the indicated sum.

次の各問について、各等比数列の初めの $n$ 項の和の公式を使い、そして示された和を述べよ。

19. $9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

20. $\sum_{n = 1}^{9} 5 \cdot 2^{n - 1}$

21. $\sum_{a = 1}^{11} 64 \cdot {0.2}^{a - 1}$

For the following exercises, determine whether the infinite series has a sum. If so, write the formula for the sum. If not, state the reason.

次の各問について、この無限級数に和があるかどうかを判定せよ。あるなら和の公式を書け。無いならその理由を述べよ。

22. $12 + 18 + 24 + 30 + ...$

23. $2 + 1.6 + 1.28 + 1.024 + ...$

24. $\sum_{m = 1}^{\infty} 4^{m - 1}$

25. ${\sum^{}}_{\infty}^{k = 1} - {(- \frac{1}{2})}^{k - 1}$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use the following scenario. Javier makes monthly deposits into a savings account. He opened the account with an initial deposit of $50. Each month thereafter he increased the previous deposit amount by $20.

次の各問では、次の筋書きを使え。ハビエルは毎月、貯蓄口座に預金する。彼は初めの預金50ドルでこの口座を開いた。その後は毎月、前の預金額より20ドル多く預けた。

26. Graph the arithmetic sequence showing one year of Javier’s deposits.

26. ハビエルの一年分の預金を示す等差数列のグラフを描け。

27. Graph the arithmetic series showing the monthly sums of one year of Javier’s deposits.

27. ハビエルの一年分の預金の、月ごとの和を示す等差級数のグラフを描け。

For the following exercises, use the geometric series ${\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{k} .$

次の各問について、等比級数 ${\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{k}$ を使え。

28. Graph the first 7 partial sums of the series.

28. この級数の初めの7つの部分和のグラフを描け。

29. What number does $S_{n}$ seem to be approaching in the graph? Find the sum to explain why this makes sense.

29. グラフで $S_{n}$ はどの数に近づいているように見えるか。和を求めて、なぜそれが理にかなうかを説明せよ。

Numeric数の問題

For the following exercises, find the indicated sum.

次の各問について、示された和を求めよ。

30. $\sum_{a = 1}^{14} a$

31. $\sum_{n = 1}^{6} n (n - 2)$

32. $\sum_{k = 1}^{17} k^{2}$

33. $\sum_{k = 1}^{7} 2^{k}$

For the following exercises, use the formula for the sum of the first $n$ terms of an arithmetic series to find the sum.

次の各問について、等差級数の初めの $n$ 項の和の公式を使って和を求めよ。

34. $- 1.7 + - 0.4 + 0.9 + 2.2 + 3.5 + 4.8$

35. $6 + \frac{15}{2} + 9 + \frac{21}{2} + 12 + \frac{27}{2} + 15$

36. $- 1 + 3 + 7 + ... + 31$

37. $\sum_{k = 1}^{11} (\frac{k}{2} - \frac{1}{2})$

For the following exercises, use the formula for the sum of the first $n$ terms of a geometric series to find the partial sum.

次の各問について、等比級数の初めの $n$ 項の和の公式を使って部分和を求めよ。

38. $S_{6}$ for the series $- 2 - 10 - 50 - 250...$

38. 級数 $- 2 - 10 - 50 - 250...$ についての $S_{6}$

39. $S_{7}$ for the series $0.4 - 2 + 10 - 50...$

39. 級数 $0.4 - 2 + 10 - 50...$ についての $S_{7}$

40. $\sum_{k = 1}^{9} 2^{k - 1}$

41. $\sum_{n = 1}^{10} - 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

For the following exercises, find the sum of the infinite geometric series.

次の各問について、この無限等比級数の和を求めよ。

42. $4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} ...$

43. $- 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} ...$

44. ${\sum^{}}_{\infty}^{k = 1} 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{k - 1}$

45. $\sum_{n = 1}^{\infty} 4.6 \cdot {0.5}^{n - 1}$

For the following exercises, determine the value of the annuity for the indicated monthly deposit amount, the number of deposits, and the interest rate.

次の各問について、示された月々の預金額、預金の回数、利率について、年金の値を決めよ。

46. Deposit amount: $$ 50;$ total deposits: $60;$ interest rate: $5 %,$ compounded monthly

46. 預金額: $$ 50;$ 預金の回数: $60;$ 利率: $5 %$ 月ごとの複利

47. Deposit amount: $$ 150;$ total deposits: $24;$ interest rate: $3 %,$ compounded monthly

47. 預金額: $$ 150;$ 預金の回数: $24;$ 利率: $3 %$ 月ごとの複利

48. Deposit amount: $$ 450;$ total deposits: $60;$ interest rate: $4.5 %,$ compounded quarterly

48. 預金額: $$ 450;$ 預金の回数: $60;$ 利率: $4.5 %$ 四半期ごとの複利

49. Deposit amount: $$ 100;$ total deposits: $120;$ interest rate: $10 %,$ compounded semi-annually

49. 預金額: $$ 100;$ 預金の回数: $120;$ 利率: $10 %$ 半年ごとの複利

Extensions発展問題

50. The sum of terms $50 - k^{2}$ from $k = x$ through $7$ is $115.$ What is x?

50. $k = x$ から $7$ までの項 $50 - k^{2}$ の和は $115.$ である。x はいくらか。

51. Write an explicit formula for $a_{k}$ such that $\sum_{k = 0}^{6} a_{k} = 189.$ Assume this is an arithmetic series.

51. $\sum_{k = 0}^{6} a_{k} = 189.$ となる $a_{k}$ の一般項の公式を書け。これは等差級数とせよ。

52. Find the smallest value of n such that $\sum_{k = 1}^{n} (3 k - 5) > 100.$

52. $\sum_{k = 1}^{n} (3 k - 5) > 100.$ となる n の最小の値を求めよ。

53. How many terms must be added before the series $- 1 - 3 - 5 - 7 ....$ has a sum less than $- 75 ?$

53. 級数 $- 1 - 3 - 5 - 7 ....$ の和が $- 75 ?$ より小さくなるには、何項足さねばならないか。

54. Write $0. \bar{65}$ as an infinite geometric series using summation notation. Then use the formula for finding the sum of an infinite geometric series to convert $0. \bar{65}$ to a fraction.

54. 和の表記を使って $0. \bar{65}$ を無限等比級数として書け。そして無限等比級数の和を求める公式を使い、 $0. \bar{65}$ を分数に直せ。

55. The sum of an infinite geometric series is five times the value of the first term. What is the common ratio of the series?

55. ある無限等比級数の和は、その第一項の値の5倍である。この級数の公比はいくらか。

56. To get the best loan rates available, the Coleman family want to save enough money to place 20% down on a $160,000 home. They plan to make monthly deposits of $125 in an investment account that offers 8.5% annual interest compounded semi-annually. Will the Colemans have enough for a 20% down payment after five years of saving? How much money will they have saved?

56. 手に入るいちばん良い融資の利率を得るため、コールマン家は160,000ドルの家に20%の頭金を入れるだけの金を貯めたい。年利8.5%、半年ごとの複利の投資口座に、毎月125ドル預けるつもりである。コールマン家は5年貯めれば20%の頭金に足りるか。いくら貯まるか。

57. Karl has two years to save $$ 10, 000$ to buy a used car when he graduates. To the nearest dollar, what would his monthly deposits need to be if he invests in an account offering a 4.2% annual interest rate that compounds monthly?

57. カールは卒業のときに中古車を買うため、 $$ 10, 000$ を2年で貯めることになっている。年利4.2%、月ごとの複利の口座に投じるとすると、月々の預金は1ドル単位でいくらにする必要があるか。

Real-World Applications現実世界への応用

58. Keisha devised a week-long study plan to prepare for finals. On the first day, she plans to study for $1$ hour, and each successive day she will increase her study time by $30$ minutes. How many hours will Keisha have studied after one week?

58. キーシャは期末試験に備えて一週間の学習の計画を立てた。初日は $1$ 時間学ぶつもりで、以後は毎日 $30$ 分ずつ学ぶ時間を増やす。一週間後、キーシャは何時間学んだことになるか。

59. A boulder rolled down a mountain, traveling 6 feet in the first second. Each successive second, its distance increased by 8 feet. How far did the boulder travel after 10 seconds?

59. 大きな岩が山を転がり落ち、最初の1秒で6フィート進んだ。以後の各秒で、進む距離は8フィートずつ増えた。10秒後、この岩はどれだけ進んだか。

60. A scientist places 50 cells in a petri dish. Every hour, the population increases by 1.5%. What will the cell count be after 1 day?

60. ある科学者が培養皿に50個の細胞を置く。毎時、その数は1.5%ずつ増える。1日後、細胞の数はいくつになるか。

61. A pendulum travels a distance of 3 feet on its first swing. On each successive swing, it travels $\frac{3}{4}$ the distance of the previous swing. What is the total distance traveled by the pendulum when it stops swinging?

61. ある振り子は、最初の振れで3フィートの距離を進む。以後の各振れでは、前の振れの $\frac{3}{4}$ の距離を進む。この振り子が振れを止めるまでに進む距離の合計はいくらか。

62. Rachael deposits $1,500 into a retirement fund each year. The fund earns 8.2% annual interest, compounded monthly. If she opened her account when she was 19 years old, how much will she have by the time she is 55? How much of that amount will be interest earned?

62. レイチェルは毎年1,500ドルを退職の資金に預ける。この資金は年利8.2%、月ごとの複利である。19歳のときに口座を開いたとすると、55歳までにいくら貯まるか。そのうち利息はいくらか。