第13章数列、確率、数え上げSequences, Probability, and Counting Theory

Key Equations重要な式

Formula for a factorial階乗の公式

\begin{array}{l} 0! = 1 \\ 1! = 1 \\ n! = n (n - 1) (n - 2) \dots (2) (1), for n \geq 2 \end{array}

recursive formula for nth term of an arithmetic sequence等差数列の第n項の漸化式	$a_{n} = a_{n - 1} + d, n \geq 2$
explicit formula for nth term of an arithmetic sequence等差数列の一般項の公式	$\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + d (n - 1) \end{array}$

recursive formula for $n t h$ term of a geometric sequence等比数列の第 $n t h$ 項の漸化式	$a_{n} = r a_{n - 1}, n \geq 2$
explicit formula for $n t h$ term of a geometric sequence等比数列の第 $n t h$ 項の一般項の公式	$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

sum of the first $n$ terms of an arithmetic series等差級数の初めの $n$ 項の和	$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$
sum of the first $n$ terms of a geometric series等比級数の初めの $n$ 項の和	$S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}, r \neq 1$
sum of an infinite geometric series with $- 1 < r < 1$ $- 1 < r < 1$ である無限等比級数の和	$S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r}, r \neq 1$

number of permutations of $n$ distinct objects taken $r$ at a time $n$ 個の異なる物から $r$ 個ずつ取る順列の数	$P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$
number of combinations of $n$ distinct objects taken $r$ at a time $n$ 個の異なる物から $r$ 個ずつ取る組合せの数	$C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$
number of permutations of $n$ non-distinct objects $n$ 個の同じものを含む順列の数	$\frac{n!}{r_{1}! r_{2}! \dots r_{k}!}$

Binomial Theorem二項定理	${(x + y)}^{n} = \sum_{k - 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k}$
$(r + 1) t h$ term of a binomial expansion二項展開の第 $(r + 1) t h$ 項	$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}$

probability of an event with equally likely outcomes同様に確からしい結果を持つ事象の確率	$P (E) = \frac{n (E)}{n (S)}$
probability of the union of two events二つの事象の和事象の確率	$P (E \cup F) = P (E) + P (F) - P (E \cap F)$
probability of the union of mutually exclusive events互いに排反な事象の和事象の確率	$P (E \cup F) = P (E) + P (F)$
probability of the complement of an event事象の余事象の確率	$P (E') = 1 - P (E)$

Key Concepts重要な概念

• A sequence is a list of numbers, called terms, written in a specific order.• Explicit formulas define each term of a sequence using the position of the term. See Example 1, Example 2, and Example 3.• An explicit formula for the $n th$ term of a sequence can be written by analyzing the pattern of several terms. See Example 4.• Recursive formulas define each term of a sequence using previous terms.• Recursive formulas must state the initial term, or terms, of a sequence.• A set of terms can be written by using a recursive formula. See Example 5 and Example 6.• A factorial is a mathematical operation that can be defined recursively.• The factorial of $n$ is the product of all integers from 1 to $n$ See Example 7.

・数列とは、決まった順に書かれた、項という数の並びである。・一般項の公式は、項の位置を使って数列の各項を定める。例1、例2、例3を見よ。・数列の第 $n th$ 項の一般項の公式は、いくつかの項の型を調べれば書ける。例4を見よ。・漸化式は、前の項を使って数列の各項を定める。・漸化式は、数列の初めの項(または項)を述べねばならない。・漸化式を使えば項の組が書ける。例5と例6を見よ。・階乗は、漸化式で定められる数学の演算である。・ $n$ の階乗は、1から $n$ までのすべての整数の積である。例7を見よ。

• An arithmetic sequence is a sequence where the difference between any two consecutive terms is a constant.• The constant between two consecutive terms is called the common difference.• The common difference is the number added to any one term of an arithmetic sequence that generates the subsequent term. See Example 1.• The terms of an arithmetic sequence can be found by beginning with the initial term and adding the common difference repeatedly. See Example 2 and Example 3.• A recursive formula for an arithmetic sequence with common difference $d$ is given by $a_{n} = a_{n - 1} + d, n \geq 2.$ See Example 4.• As with any recursive formula, the initial term of the sequence must be given.• An explicit formula for an arithmetic sequence with common difference $d$ is given by $a_{n} = a_{1} + d (n - 1) .$ See Example 5.• An explicit formula can be used to find the number of terms in a sequence. See Example 6.• In application problems, we sometimes alter the explicit formula slightly to $a_{n} = a_{0} + d n .$ See Example 7.

・等差数列とは、連続するどの二項の差も一定である数列である。・連続する二項のあいだの定数を公差という。・公差とは、等差数列のどの項に足しても次の項が生まれる数である。例1を見よ。・等差数列の項は、初めの項から始めて公差を繰り返し足せば求まる。例2と例3を見よ。・公差 $d$ の等差数列の漸化式は $a_{n} = a_{n - 1} + d, n \geq 2.$ で与えられる。例4を見よ。・どの漸化式でもそうだが、数列の初めの項が与えられねばならない。・公差 $d$ の等差数列の一般項の公式は $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ で与えられる。例5を見よ。・一般項の公式は、数列の項の数を求めるのに使える。例6を見よ。・応用問題では、一般項の公式を少し変えて $a_{n} = a_{0} + d n$ とすることがある。例7を見よ。

• A geometric sequence is a sequence in which the ratio between any two consecutive terms is a constant.• The constant ratio between two consecutive terms is called the common ratio.• The common ratio can be found by dividing any term in the sequence by the previous term. See Example 1.• The terms of a geometric sequence can be found by beginning with the first term and multiplying by the common ratio repeatedly. See Example 2 and Example 4.• A recursive formula for a geometric sequence with common ratio $r$ is given by $a_{n} = r a_{n - 1}$ for $n \geq 2$ .• As with any recursive formula, the initial term of the sequence must be given. See Example 3.• An explicit formula for a geometric sequence with common ratio $r$ is given by $a_{n} = a_{1} r^{n - 1} .$ See Example 5.• In application problems, we sometimes alter the explicit formula slightly to $a_{n} = a_{0} r^{n} .$ See Example 6.

・等比数列とは、連続するどの二項の比も一定である数列である。・連続する二項のあいだの一定の比を公比という。・公比は、この数列のどの項でも前の項で割れば求まる。例1を見よ。・等比数列の項は、第一項から始めて公比を繰り返し掛ければ求まる。例2と例4を見よ。・公比 $r$ の等比数列の漸化式は、 $n \geq 2$ について $a_{n} = r a_{n - 1}$ で与えられる。・どの漸化式でもそうだが、数列の初めの項が与えられねばならない。例3を見よ。・公比 $r$ の等比数列の一般項の公式は $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ で与えられる。例5を見よ。・応用問題では、一般項の公式を少し変えて $a_{n} = a_{0} r^{n}$ とすることがある。例6を見よ。

• The sum of the terms in a sequence is called a series.• A common notation for series is called summation notation, which uses the Greek letter sigma to represent the sum. See Example 1.• The sum of the terms in an arithmetic sequence is called an arithmetic series.• The sum of the first $n$ terms of an arithmetic series can be found using a formula. See Example 2 and Example 3.• The sum of the terms in a geometric sequence is called a geometric series.• The sum of the first $n$ terms of a geometric series can be found using a formula. See Example 4 and Example 5.• The sum of an infinite series exists if the series is geometric with $–1 < r < 1.$ • If the sum of an infinite series exists, it can be found using a formula. See Example 6, Example 7, and Example 8.• An annuity is an account into which the investor makes a series of regularly scheduled payments. The value of an annuity can be found using geometric series. See Example 9.

・数列の項の和を級数という。・級数のよくある表記を和の表記といい、和を表すのにギリシャ文字シグマを使う。例1を見よ。・等差数列の項の和を等差級数という。・等差級数の初めの $n$ 項の和は公式を使えば求まる。例2と例3を見よ。・等比数列の項の和を等比級数という。・等比級数の初めの $n$ 項の和は公式を使えば求まる。例4と例5を見よ。・級数が等比級数で $–1 < r < 1.$ のとき、無限級数の和が存在する。・無限級数の和が存在するなら、それは公式を使えば求まる。例6、例7、例8を見よ。・年金とは、投資する人が定期の支払いを続ける口座である。年金の値は等比級数を使えば求まる。例9を見よ。

• If one event can occur in $m$ ways and a second event with no common outcomes can occur in $n$ ways, then the first or second event can occur in $m + n$ ways. See Example 1.• If one event can occur in $m$ ways and a second event can occur in $n$ ways after the first event has occurred, then the two events can occur in $m \times n$ ways. See Example 2.• A permutation is an ordering of $n$ objects.• If we have a set of $n$ objects and we want to choose $r$ objects from the set in order, we write $P (n, r) .$ • Permutation problems can be solved using the Multiplication Principle or the formula for $P (n, r) .$ See Example 3 and Example 4.• A selection of objects where the order does not matter is a combination.• Given $n$ distinct objects, the number of ways to select $r$ objects from the set is $C (n, r)$ and can be found using a formula. See Example 5.• A set containing $n$ distinct objects has $2^{n}$ subsets. See Example 6.• For counting problems involving non-distinct objects, we need to divide to avoid counting duplicate permutations. See Example 7.

・ある出来事が $m$ 通りに起こり、共通の結果を持たない第二の出来事が $n$ 通りに起こりうるなら、第一または第二の出来事は $m + n$ 通りに起こりうる。例1を見よ。・ある出来事が $m$ 通りに起こり、その出来事が起こったあと第二の出来事が $n$ 通りに起こりうるなら、この二つの出来事は $m \times n$ 通りに起こりうる。例2を見よ。・順列とは、 $n$ 個の物の並べ方である。・ $n$ 個の物の集合があり、その集合から $r$ 個を順に選びたいとき、 $P (n, r)$ と書く。・順列の問題は、積の原理か $P (n, r)$ の公式を使えば解ける。例3と例4を見よ。・順序が効かない物の選び方が組合せである。・ $n$ 個の異なる物が与えられたとき、その集合から $r$ 個を選ぶしかたの数は $C (n, r)$ であり、公式を使えば求まる。例5を見よ。・ $n$ 個の異なる物を含む集合は $2^{n}$ 個の部分集合を持つ。例6を見よ。・異ならない物を含む数え上げの問題では、重複する順列を数えないように割る必要がある。例7を見よ。

• $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ is called a binomial coefficient and is equal to $C (n, r) .$ See Example 1.• The Binomial Theorem allows us to expand binomials without multiplying. See Example 2.• We can find a given term of a binomial expansion without fully expanding the binomial. See Example 3.

・ $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ を二項係数といい、 $C (n, r)$ に等しい。例1を見よ。・二項定理を使えば、掛け算をせずに二項式が展開できる。例2を見よ。・二項式を完全に展開せずに、二項展開の指定された項が求められる。例3を見よ。

• Probability is always a number between 0 and 1, where 0 means an event is impossible and 1 means an event is certain.• The probabilities in a probability model must sum to 1. See Example 1.• When the outcomes of an experiment are all equally likely, we can find the probability of an event by dividing the number of outcomes in the event by the total number of outcomes in the sample space for the experiment. See Example 2.• To find the probability of the union of two events, we add the probabilities of the two events and subtract the probability that both events occur simultaneously. See Example 3.• To find the probability of the union of two mutually exclusive events, we add the probabilities of each of the events. See Example 4.• The probability of the complement of an event is the difference between 1 and the probability that the event occurs. See Example 5.• In some probability problems, we need to use permutations and combinations to find the number of elements in events and sample spaces. See Example 6.

・確率はつねに0と1のあいだの数である。0は事象が起こりえないこと、1は事象が必ず起こることを意味する。・確率のモデルの確率は、足すと1にならねばならない。例1を見よ。・試行の結果がすべて同様に確からしいとき、事象の結果の数を、その試行の標本空間の結果の総数で割れば、その事象の確率が求まる。例2を見よ。・二つの事象の和事象の確率を求めるには、二つの事象の確率を足し、両方の事象が同時に起こる確率を引く。例3を見よ。・互いに排反な二つの事象の和事象の確率を求めるには、各事象の確率を足す。例4を見よ。・事象の余事象の確率は、1とその事象が起こる確率との差である。例5を見よ。・確率の問題によっては、事象と標本空間の要素の数を求めるのに順列と組合せを使う必要がある。例6を見よ。