第13章数列、確率、数え上げSequences, Probability, and Counting Theory

1. Write the first four terms of the sequence defined by the recursive formula $a_1=2,a_n=a_{n-1}+n.$

1. 漸化式 $a_1=2,a_n=a_{n-1}+n$ で定められる数列の初めの四項を書け。

2. Evaluate $\frac{6!}{(5-3)!3!}.$

2. $\frac{6!}{(5-3)!3!}$ の値を求めよ。

3. Write the first four terms of the sequence defined by the explicit formula $a_n={10}^n+3.$

3. 一般項の公式 $a_n={10}^n+3.$ で定められる数列の初めの四項を書け。

4. Write the first four terms of the sequence defined by the explicit formula $a_n=\frac{n!}{n(n+1)}.$

4. 一般項の公式 $a_n=\frac{n!}{n(n+1)}$ で定められる数列の初めの四項を書け。

5. Is the sequence $\frac{4}{7},\frac{47}{21},\frac{82}{21},\frac{39}{7},\mathrm{...}$ arithmetic? If so, find the common difference.

5. 数列 $\frac{4}{7},\frac{47}{21},\frac{82}{21},\frac{39}{7},\mathrm{...}$ は等差数列か。そうなら公差を求めよ。

6. Is the sequence $2,4,8,16,\mathrm{...}$ arithmetic? If so, find the common difference.

6. 数列 $2,4,8,16,\mathrm{...}$ は等差数列か。そうなら公差を求めよ。

7. An arithmetic sequence has the first term $a_1=18$ and common difference $d=-8.$ What are the first five terms?

7. ある等差数列の第一項が $a_1=18$、公差が $d=-8.$ である。初めの五項は何か。

8. An arithmetic sequence has terms $a_3=11.7$ and $a_8=-\mathrm{14.6.}$ What is the first term?

8. ある等差数列に項 $a_3=11.7$ と $a_8=-\mathrm{14.6.}$ がある。第一項は何か。

9. Write a recursive formula for the arithmetic sequence $-20\text{,}-10,0\text{,}10\text{,…}$

9. 等差数列 $-20\text{,}-10,0\text{,}10\text{,…}$ の漸化式を書け。

10. Write a recursive formula for the arithmetic sequence $0,-\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2},\dots ,$ and then find the 31^st term.

10. 等差数列 $0,-\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2},\dots$ の漸化式を書き、そして第31項を求めよ。

11. Write an explicit formula for the arithmetic sequence $\frac{7}{8},\frac{29}{24},\frac{37}{24},\frac{15}{8},\dots$

11. 等差数列 $\frac{7}{8},\frac{29}{24},\frac{37}{24},\frac{15}{8},\dots$ の一般項の公式を書け。

12. How many terms are in the finite arithmetic sequence $12,20,28,\dots ,172?$

12. 有限の等差数列 $12,20,28,\dots ,172?$ には項がいくつあるか。

13. Find the common ratio for the geometric sequence $2.5,5,10,20,\dots$

13. 等比数列 $2.5,5,10,20,\dots$ の公比を求めよ。

14. Is the sequence 4, 16, 28, 40 … geometric? If so find the common ratio. If not, explain why.

14. 数列 4, 16, 28, 40 … は等比数列か。そうなら公比を求めよ。そうでないなら理由を説明せよ。

15. A geometric sequence has terms $a_7=16\text{,}384$ and $a_9=262\text{,}144$. What are the first five terms?

15. ある等比数列に項 $a_7=16\text{,}384$ と $a_9=262\text{,}144$ がある。初めの五項は何か。

16. A geometric sequence has the first term $a_1\text{=}-3$ and common ratio $r=\frac{1}{2}.$ What is the 8^th term?

16. ある等比数列の第一項が $a_1\text{=}-3$、公比が $r=\frac{1}{2}$ である。第8項は何か。

17. What are the first five terms of the geometric sequence $a_1=3,a_n=4\cdot a_{n-1}?$

17. 等比数列 $a_1=3,a_n=4\cdot a_{n-1}?$ の初めの五項は何か。

18. Write a recursive formula for the geometric sequence $1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\dots$

18. 等比数列 $1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\dots$ の漸化式を書け。

19. Write an explicit formula for the geometric sequence $-\frac{1}{5},-\frac{1}{15},-\frac{1}{45},-\frac{1}{135},\dots$

19. 等比数列 $-\frac{1}{5},-\frac{1}{15},-\frac{1}{45},-\frac{1}{135},\dots$ の一般項の公式を書け。

20. How many terms are in the finite geometric sequence $-5, -\frac{5}{3}, -\frac{5}{9},\dots , -\frac{5}{59\text{,}049}?$

20. 有限の等比数列 $-5, -\frac{5}{3}, -\frac{5}{9},\dots , -\frac{5}{59\text{,}049}?$ には項がいくつあるか。

21. Use summation notation to write the sum of terms $\frac{1}{2}m+5$ from $m=0$ to $m=5.$

21. 和の表記を使い、$m=0$ から $m=5.$ までの項 $\frac{1}{2}m+5$ の和を書け。

22. Use summation notation to write the sum that results from adding the number $13$ twenty times.

22. 和の表記を使い、数 $13$ を二十回足してできる和を書け。

23. Use the formula for the sum of the first $n$ terms of an arithmetic series to find the sum of the first eleven terms of the arithmetic series 2.5, 4, 5.5, … .

23. 等差級数の初めの $n$ 項の和の公式を使い、等差級数 2.5, 4, 5.5, … の初めの十一項の和を求めよ。

24. A ladder has $15$ tapered rungs, the lengths of which increase by a common difference. The first rung is 5 inches long, and the last rung is 20 inches long. What is the sum of the lengths of the rungs?

24. ある梯子には $15$ 本の先細りの横木があり、その長さは一定の差で増える。最初の横木は長さ5インチ、最後の横木は20インチである。横木の長さの和はいくらか。

25. Use the formula for the sum of the first n terms of a geometric series to find $S_9$ for the series $12,6,3,\frac{3}{2},\dots$

25. 等比級数の初めのn項の和の公式を使い、級数 $12,6,3,\frac{3}{2},\dots$ の $S_9$ を求めよ。

26. The fees for the first three years of a hunting club membership are given in Table 1. If fees continue to rise at the same rate, how much will the total cost be for the first ten years of membership?

26. ある狩猟の会の会費の最初の三年分を表1に示す。会費が同じ割合で上がり続けるなら、会員になって最初の十年の総費用はいくらになるか。

27. Find the sum of the infinite geometric series ${\displaystyle \sum }_{k=1}^{\infty }45\cdot {(-\frac{1}{3})}^{k-1}.$

27. 無限等比級数 ${\displaystyle \sum }_{k=1}^{\infty }45\cdot {(-\frac{1}{3})}^{k-1}$ の和を求めよ。

28. A ball has a bounce-back ratio of $\frac{3}{5}$ the height of the previous bounce. Write a series representing the total distance traveled by the ball, assuming it was initially dropped from a height of 5 feet. What is the total distance? (Hint: the total distance the ball travels on each bounce is the sum of the heights of the rise and the fall.)

28. ある球は、前の弾みの高さの $\frac{3}{5}$ の割合で弾み返る。初めに高さ5フィートから落としたとして、この球が進む距離の合計を表す級数を書け。距離の合計はいくらか。(手がかり: 各弾みで球が進む距離の合計は、上がる高さと落ちる高さの和である。)

29. Alejandro deposits $80 of his monthly earnings into an annuity that earns 6.25% annual interest, compounded monthly. How much money will he have saved after 5 years?

29. アレハンドロは毎月の稼ぎから80ドルを、年利6.25%、月ごとの複利の年金に預ける。5年後にいくら貯まるか。

30. The twins Hoa and Binh both opened retirement accounts on their 21^st birthday. Hoa deposits $4,800.00 each year, earning 5.5% annual interest, compounded monthly. Binh deposits $3,600.00 each year, earning 8.5% annual interest, compounded monthly. Which twin will earn the most interest by the time they are $55$ years old? How much more?

30. 双子のホアとビンは、21歳の誕生日にどちらも退職の口座を開いた。ホアは毎年4,800.00ドルを預け、年利5.5%、月ごとの複利である。ビンは毎年3,600.00ドルを預け、年利8.5%、月ごとの複利である。$55$ 歳になるまでに、どちらの双子が多く利息を得るか。どれだけ多いか。

31. How many ways are there to choose a number from the set $\{-10\text{,}-6\text{,}4\text{,}10\text{,}12\text{,}18\text{,}24\text{,}32\}$ that is divisible by either $4$ or $6?$

31. 集合 $\{-10\text{,}-6\text{,}4\text{,}10\text{,}12\text{,}18\text{,}24\text{,}32\}$ から、$4$ か $6?$ で割り切れる数を選ぶしかたは何通りあるか。

32. In a group of $20$ musicians, $12$ play piano, $7$ play trumpet, and $2$ play both piano and trumpet. How many musicians play either piano or trumpet?

32. $20$ 人の音楽家の群で、$12$ 人がピアノ、$7$ 人がトランペット、$2$ 人がピアノとトランペットの両方を演奏する。ピアノかトランペットを演奏する音楽家は何人か。

33. How many ways are there to construct a 4-digit code if numbers can be repeated?

33. 数を繰り返してよいとき、4桁の暗証番号を作るしかたは何通りあるか。

34. A palette of water color paints has 3 shades of green, 3 shades of blue, 2 shades of red, 2 shades of yellow, and 1 shade of black. How many ways are there to choose one shade of each color?

34. ある水彩絵具の一組には、緑3色、青3色、赤2色、黄2色、黒1色がある。各色を一色ずつ選ぶしかたは何通りあるか。

35. Calculate $P\left(18,4\right).$

35. $P\left(18,4\right)$ を計算せよ。

36. In a group of $5$ first-year, $10$ second-year, $3$ third-year, and $2$ fourth-year students, how many ways can a president, vice president, and treasurer be elected?

36. 1年生 $5$ 人、2年生 $10$ 人、3年生 $3$ 人、4年生 $2$ 人の群から、会長・副会長・会計を選ぶしかたは何通りあるか。

37. Calculate $C\left(15,6\right).$

37. $C\left(15,6\right)$ を計算せよ。

38. A coffee shop has 7 Guatemalan roasts, 4 Cuban roasts, and 10 Costa Rican roasts. How many ways can the shop choose 2 Guatemalan, 2 Cuban, and 3 Costa Rican roasts for a coffee tasting event?

38. ある喫茶店にはグアテマラの焙煎が7種、キューバの焙煎が4種、コスタリカの焙煎が10種ある。試飲会のためにグアテマラ2種、キューバ2種、コスタリカ3種を選ぶしかたは何通りあるか。

39. How many subsets does the set $\left\{1,3,5,\dots ,99\right\}$ have?

39. 集合 $\left\{1,3,5,\dots ,99\right\}$ はいくつの部分集合を持つか。

40. A day spa charges a basic day rate that includes use of a sauna, pool, and showers. For an extra charge, guests can choose from the following additional services: massage, body scrub, manicure, pedicure, facial, and straight-razor shave. How many ways are there to order additional services at the day spa?

40. ある日帰り湯治場は、サウナ、浴槽、シャワーの利用を含む基本の日額を取る。追加の料金で、客は次の追加の役務から選べる。指圧、体の垢すり、爪の手入れ、足の爪の手入れ、顔の手入れ、剃刀での髭剃りである。この湯治場で追加の役務を注文するしかたは何通りあるか。

41. How many distinct ways can the word DEADWOOD be arranged?

41. 語 DEADWOOD を並べる異なるしかたは何通りあるか。

42. How many distinct rearrangements of the letters of the word DEADWOOD are there if the arrangement must begin and end with the letter D?

42. 並べ方が文字Dで始まり文字Dで終わらねばならないとき、語 DEADWOOD の文字の異なる並べ替えは何通りあるか。

43. Evaluate the binomial coefficient $\left(\begin{array}{c}23\\ 8\end{array}\right).$

43. 二項係数 $\left(\begin{array}{c}23\\ 8\end{array}\right)$ の値を求めよ。

44. Use the Binomial Theorem to expand ${\left(3x+\frac{1}{2}y\right)}^6.$

44. 二項定理を使って ${\left(3x+\frac{1}{2}y\right)}^6$ を展開せよ。

45. Use the Binomial Theorem to write the first three terms of ${\left(2a+b\right)}^{17}.$

45. 二項定理を使って ${\left(2a+b\right)}^{17}$ の初めの三項を書け。

46. Find the fourth term of ${\left(3a^2-2b\right)}^{11}$ without fully expanding the binomial.

46. 二項式を完全に展開せずに、${\left(3a^2-2b\right)}^{11}$ の第四項を求めよ。

47. Construct a table showing the sample space.

47. 標本空間を示す表を作れ。

48. What is the probability that a roll includes a $2?$

48. $2?$ を含む出目になる確率はいくらか。

49. What is the probability of rolling a pair?

49. ぞろ目が出る確率はいくらか。

50. What is the probability that a roll includes a 2 or results in a pair?

50. 2を含むか、ぞろ目になる確率はいくらか。

51. What is the probability that a roll doesn’t include a 2 or result in a pair?

51. 2を含まず、ぞろ目にもならない確率はいくらか。

52. What is the probability of rolling a 5 or a 6?

52. 5か6が出る確率はいくらか。

53. What is the probability that a roll includes neither a 5 nor a 6?

53. 5も6も含まない出目になる確率はいくらか。

54. What is the percent chance that all the children attending the party prefer soda?

54. 会に出る子どもが全員炭酸飲料を好む見込みは何パーセントか。

55. What is the percent chance that at least one of the children attending the party prefers milk?

55. 会に出る子どもの少なくとも一人が牛乳を好む見込みは何パーセントか。

56. What is the percent chance that exactly 3 of the children attending the party prefer soda?

56. 会に出る子どものちょうど3人が炭酸飲料を好む見込みは何パーセントか。

57. What is the percent chance that exactly 3 of the children attending the party prefer milk?

57. 会に出る子どものちょうど3人が牛乳を好む見込みは何パーセントか。