第13章数列、確率、数え上げSequences, Probability, and Counting Theory

Residents of the Southeastern United States are all too familiar with charts, known as spaghetti models, such as the one in Figure 1. They combine a collection of weather data to predict the most likely path of a hurricane. Each colored line represents one possible path. The group of squiggly lines can begin to resemble strands of spaghetti, hence the name. In this section, we will investigate methods for making these types of predictions.

合衆国南東部の住民は、図1のようなスパゲッティモデルとして知られる図をよく知りすぎている。これは気象の資料をまとめて、颶風のもっともありそうな道筋を予測する。色の付いた各線が、ありうる一つの道筋を表す。くねくねした線の群がスパゲッティの束のように見えてくるので、この名がある。この節では、この種の予測を立てる方法を調べる。

Suppose we roll a six-sided number cube. Rolling a number cube is an example of an experiment, or an activity with an observable result. The numbers on the cube are possible results, or outcomes, of this experiment. The set of all possible outcomes of an experiment is called the sample space of the experiment. The sample space for this experiment is $\left\{1,2,3,4,5,6\right\}.$ An event is any subset of a sample space.

6面の数の立方体を振るとしよう。数の立方体を振ることは、試行、すなわち観測できる結果を持つ行いの例である。この立方体の数はこの試行の結果である。試行のありうる結果すべての集合を、その試行の標本空間という。この試行の標本空間は $\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ である。事象とは、標本空間の部分集合すべてである。

The likelihood of an event is known as probability. The probability of an event $p$ is a number that always satisfies $0\le p\le 1,$ where 0 indicates an impossible event and 1 indicates a certain event. A probability model is a mathematical description of an experiment listing all possible outcomes and their associated probabilities. For instance, if there is a 1% chance of winning a raffle and a 99% chance of losing the raffle, a probability model would look much like Table 1.

事象の起こりやすさを確率という。事象 $p$ の確率は、つねに $0\le p\le 1$ を満たす数である。0は起こりえない事象、1は必ず起こる事象を示す。確率のモデルとは、ありうる結果すべてとそれに結び付いた確率を並べた、試行の数学的な記述である。たとえば、富くじに当たる見込みが1%、外れる見込みが99%なら、確率のモデルは表1のようになる。

The sum of the probabilities listed in a probability model must equal 1, or 100%.

確率のモデルに並べた確率の和は、1すなわち100%に等しくなければならない。

Let $S$ be a sample space for an experiment. When investigating probability, an event is any subset of $S.$ When the outcomes of an experiment are all equally likely, we can find the probability of an event by dividing the number of outcomes in the event by the total number of outcomes in $S.$ Suppose a number cube is rolled, and we are interested in finding the probability of the event “rolling a number less than or equal to 4.” There are 4 possible outcomes in the event and 6 possible outcomes in $S,$ so the probability of the event is $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

$S$ をある試行の標本空間とする。確率を調べるとき、事象とは $S$ の部分集合すべてである。試行の結果がすべて同様に確からしいとき、事象の結果の数を $S$ の結果の総数で割れば、その事象の確率が求まる。数の立方体を振り、「4以下の数が出る」という事象の確率を求めたいとしよう。この事象にはありうる結果が4つあり、$S$ にはありうる結果が6つあるので、この事象の確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ である。

We are often interested in finding the probability that one of multiple events occurs. Suppose we are playing a card game, and we will win if the next card drawn is either a heart or a king. We would be interested in finding the probability of the next card being a heart or a king. The union of two events $E\text{and }F,\text{written }E\cup F,$ is the event that occurs if either or both events occur.

複数の事象のどれかが起こる確率を求めたいことがしばしばある。トランプの遊びをしていて、次に引く札がハートかキングなら勝ちだとしよう。次の札がハートかキングである確率を求めたくなる。二つの事象 $E\text{および}F,\text{written }E\cup F$ の和事象とは、どちらか一方または両方が起こるときに起こる事象である。

Suppose the spinner in Figure 2 is spun. We want to find the probability of spinning orange or spinning a $b.$

図2の回転盤を回すとしよう。橙が出るか $b$ が出る確率を求めたい。

There are a total of 6 sections, and 3 of them are orange. So the probability of spinning orange is $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$ There are a total of 6 sections, and 2 of them have a $b.$ So the probability of spinning a $b$ is $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$ If we added these two probabilities, we would be counting the sector that is both orange and a $b$ twice. To find the probability of spinning an orange or a $b,$ we need to subtract the probability that the sector is both orange and has a $b.$

区画は全部で6つあり、そのうち3つが橙である。よって橙が出る確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。区画は全部で6つあり、そのうち2つに $b$ がある。よって $b$ が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。この二つの確率を足すと、橙でありかつ $b$ でもある区画を二度数えてしまう。橙か $b$ が出る確率を求めるには、区画が橙でありかつ $b$ を持つ確率を引く必要がある。

The probability of spinning orange or a $b$ is $\frac{2}{3}.$

橙か $b$ が出る確率は $\frac{2}{3}$ である。

Suppose the spinner in Figure 2 is spun again, but this time we are interested in the probability of spinning an orange or a $d.$ There are no sectors that are both orange and contain a $d,$ so these two events have no outcomes in common. Events are said to be mutually exclusive events when they have no outcomes in common. Because there is no overlap, there is nothing to subtract, so the general formula is

図2の回転盤をもう一度回すとしよう。だが今度は、橙か $d$ が出る確率に関心がある。橙でありかつ $d$ を含む区画は無いので、この二つの事象に共通の結果は無い。共通の結果が無いとき、事象は互いに排反な事象であるという。重なりが無いので引くものが無く、一般の公式は次になる。

Notice that with mutually exclusive events, the intersection of $E$ and $F$ is the empty set. The probability of spinning an orange is $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ and the probability of spinning a $d$ is $\frac{1}{6}.$ We can find the probability of spinning an orange or a $d$ simply by adding the two probabilities.

互いに排反な事象では、$E$ と $F$ の積事象が空集合であることに注意せよ。橙が出る確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$、$d$ が出る確率は $\frac{1}{6}$ である。二つの確率を足すだけで、橙か $d$ が出る確率が求まる。

The probability of spinning an orange or a $d$ is $\frac{2}{3}.$

橙か $d$ が出る確率は $\frac{2}{3}$ である。

We have discussed how to calculate the probability that an event will happen. Sometimes, we are interested in finding the probability that an event will not happen. The complement of an event $E,$ denoted $E^{\prime },$ is the set of outcomes in the sample space that are not in $E.$ For example, suppose we are interested in the probability that a horse will lose a race. If event $W$ is the horse winning the race, then the complement of event $W$ is the horse losing the race.

事象が起こる確率の計算のしかたを論じてきた。事象が起こらない確率を求めたいこともある。$E^{\prime }$ と書く事象 $E$ の余事象とは、標本空間のうち $E$ に入らない結果の集合である。たとえば、ある馬が競走に負ける確率に関心があるとしよう。事象 $W$ がその馬が競走に勝つことなら、事象 $W$ の余事象はその馬が競走に負けることである。

To find the probability that the horse loses the race, we need to use the fact that the sum of all probabilities in a probability model must be 1.

その馬が負ける確率を求めるには、確率のモデルのすべての確率の和が1でなければならないという事実を使う必要がある。

The probability of the horse winning added to the probability of the horse losing must be equal to 1. Therefore, if the probability of the horse winning the race is $\frac{1}{9},$ the probability of the horse losing the race is simply

その馬が勝つ確率とその馬が負ける確率を足すと1に等しくなければならない。したがって、その馬が競走に勝つ確率が $\frac{1}{9}$ なら、その馬が競走に負ける確率は単に次である。

Many interesting probability problems involve counting principles, permutations, and combinations. In these problems, we will use permutations and combinations to find the number of elements in events and sample spaces. These problems can be complicated, but they can be made easier by breaking them down into smaller counting problems.

興味深い確率の問題の多くは、数え上げの原理、順列、組合せにかかわる。この問題では、順列と組合せを使って事象と標本空間の要素の数を求める。この問題は込み入りうるが、小さな数え上げの問題に分ければ楽になる。

Assume, for example, that a store has 8 cellular phones and that 3 of those are defective. We might want to find the probability that a couple purchasing 2 phones receives 2 phones that are not defective. To solve this problem, we need to calculate all of the ways to select 2 phones that are not defective as well as all of the ways to select 2 phones. There are 5 phones that are not defective, so there are $C(5,2)$ ways to select 2 phones that are not defective. There are 8 phones, so there are $C(8,2)$ ways to select 2 phones. The probability of selecting 2 phones that are not defective is:

たとえば、ある店に携帯電話が8台あり、そのうち3台が不良品だとしよう。夫婦が2台買って、不良品でない2台を受け取る確率を求めたいかもしれない。この問題を解くには、不良品でない2台を選ぶしかたすべてと、2台を選ぶしかたすべてを計算する必要がある。不良品でない電話は5台なので、不良品でない2台を選ぶしかたは $C(5,2)$ 通りある。電話は8台なので、2台を選ぶしかたは $C(8,2)$ 通りある。不良品でない2台を選ぶ確率は次である。

For the following exercises, use the spinner shown in Figure 3 to find the probabilities indicated.

次の各問について、図3に示す回転盤を使い、示された確率を求めよ。

For the following exercises, two coins are tossed.

次の各問では、硬貨を二枚投げる。

For the following exercises, four coins are tossed.

次の各問では、硬貨を四枚投げる。

For the following exercises, one card is drawn from a standard deck of $52$ cards. Find the probability of drawing the following:

次の各問では、標準の $52$ 枚の一組から札を一枚引く。次を引く確率を求めよ。

For the following exercises, two dice are rolled, and the results are summed.

次の各問では、さいころを二個振り、出た目を足す。

For the following exercises, a coin is tossed, and a card is pulled from a standard deck. Find the probability of the following:

次の各問では、硬貨を一枚投げ、標準の一組から札を一枚引く。次の確率を求めよ。

For the following exercises, use this scenario: a bag of M&Ms contains $12$ blue, $6$ brown, $10$ orange, $8$ yellow, $8$ red, and $4$ green M&Ms. Reaching into the bag, a person grabs 5 M&Ms.

次の各問では、次の筋書きを使え。ある袋のM&Mには、青 $12$、茶 $6$、橙 $10$、黄 $8$、赤 $8$、緑 $4$ のM&Mが入っている。袋に手を入れ、ある人がM&Mを5個つかむ。

Use this data for the exercises that follow: In 2013, there were roughly 317 million citizens in the United States, and about 40 million were elderly (aged 65 and over).2

次の各問にはこの資料を使え。2013年、合衆国の国民はおよそ3億1700万人で、そのうちおよそ4000万人が高齢者(65歳以上)だった。2