第13章数列、確率、数え上げSequences, Probability, and Counting Theory

A polynomial with two terms is called a binomial. We have already learned to multiply binomials and to raise binomials to powers, but raising a binomial to a high power can be tedious and time-consuming. In this section, we will discuss a shortcut that will allow us to find ${(x+y)}^n$ without multiplying the binomial by itself $n$ times.

二項からなる多項式を二項式という。二項式どうしを掛けることと二項式を累乗することはすでに学んだが、二項式を高い累乗にするのは面倒で時間がかかりうる。この節では、二項式をそれ自身と $n$ 回掛けずに ${(x+y)}^n$ を求められる近道を論じる。

In Counting Principles, we studied combinations. In the shortcut to finding ${(x+y)}^n,$ we will need to use combinations to find the coefficients that will appear in the expansion of the binomial. In this case, we use the notation $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ instead of $C(n,r),$ but it can be calculated in the same way. So

「数え上げの原理」で組合せを学んだ。${(x+y)}^n$ を求める近道では、二項式の展開に現れる係数を求めるのに組合せを使う必要がある。この場合、$C(n,r)$ の代わりに $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ という表記を使うが、同じように計算できる。よって、

The combination $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ is called a binomial coefficient. An example of a binomial coefficient is $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=C(5,2)=10.$

組合せ $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ を二項係数という。二項係数の例が $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=C(5,2)=10.$ である。

When we expand ${(x+y)}^n$ by multiplying, the result is called a binomial expansion, and it includes binomial coefficients. If we wanted to expand ${(x+y)}^{52},$ we might multiply $(x+y)$ by itself fifty-two times. This could take hours! If we examine some simple binomial expansions, we can find patterns that will lead us to a shortcut for finding more complicated binomial expansions.

${(x+y)}^n$ を掛け算で展開すると、その結果を二項展開といい、二項係数を含む。${(x+y)}^{52}$ を展開したいなら、$(x+y)$ をそれ自身と五十二回掛けることになる。何時間もかかりかねない。簡単な二項展開をいくつか調べれば、もっと込み入った二項展開を求める近道につながる型が見つかる。

First, let’s examine the exponents. With each successive term, the exponent for $x$ decreases and the exponent for $y$ increases. The sum of the two exponents is $n$ for each term.

まず指数を調べよう。後の項へ進むごとに、$x$ の指数は減り、$y$ の指数は増える。どの項でも二つの指数の和は $n$ である。

Next, let’s examine the coefficients. Notice that the coefficients increase and then decrease in a symmetrical pattern. The coefficients follow a pattern:

次に係数を調べよう。係数が対称な型で増えてから減ることに注意せよ。係数は次の型に従う。

These patterns lead us to the Binomial Theorem, which can be used to expand any binomial.

この型から二項定理が導かれる。二項定理はどの二項式の展開にも使える。

Another way to see the coefficients is to examine the expansion of a binomial in general form, $x+y,$ to successive powers 1, 2, 3, and 4.

係数を見るもう一つのしかたは、一般の形の二項式 $x+y$ を1乗、2乗、3乗、4乗と順に展開したものを調べることである。

Can you guess the next expansion for the binomial ${(x+y)}^5?$

二項式 ${(x+y)}^5?$ の次の展開が言い当てられるか。

See Figure 1, which illustrates the following:

図1を見よ。次を示している。

• There are $n+1$ terms in the expansion of ${(x+y)}^n.$• The degree (or sum of the exponents) for each term is $n.$• The powers on $x$ begin with $n$ and decrease to 0.• The powers on $y$ begin with 0 and increase to $n.$• The coefficients are symmetric.

・${(x+y)}^n$ の展開には $n+1$ 個の項がある。・各項の次数(すなわち指数の和)は $n$ である。・$x$ の累乗は $n$ から始まり0まで減る。・$y$ の累乗は0から始まり $n$ まで増える。・係数は対称である。

To determine the expansion on ${(x+y)}^5,$ we see $n=5,$ thus, there will be 5+1 = 6 terms. Each term has a combined degree of 5. In descending order for powers of $x,$ the pattern is as follows:

${(x+y)}^5$ の展開を決めるには、$n=5$ と見るので、項は 5+1 = 6 個になる。各項の合わせた次数は5である。$x$ の累乗を降べきの順にすると、型は次である。

• Introduce $x^5,$ and then for each successive term reduce the exponent on $x$ by 1 until $x^0=1$ is reached.• Introduce $y^0=1,$ and then increase the exponent on $y$ by 1 until $y^5$ is reached. $$x^5,x^{4}y,x^3{y}^2,x^2{y}^3,x{y}^4,y^5$$

・$x^5$ を出し、そして後続の各項で $x^0=1$ に達するまで $x$ の指数を1ずつ減らす。・$y^0=1$ を出し、そして $y^5$ に達するまで $y$ の指数を1ずつ増やす。$$x^5,x^{4}y,x^3{y}^2,x^2{y}^3,x{y}^4,y^5$$

The next expansion would be

次の展開は次になる。

But where do those coefficients come from? The binomial coefficients are symmetric. We can see these coefficients in an array known as Pascal's Triangle, shown in Figure 2. Pascal didn't invent the triangle. The underlying principles had been developed and written about for over 1500 years, first by the Indian mathematician (and poet) Pingala in the second century BCE. Others throughout Asia and Europe worked with the concepts throughout, and the triangle was first published in its graphical form by Omar Khayyam, an Iranian mathematician and astronomer, for whom the triangle is named in Iran. French mathematician Blaise Pascal repopularized it when he republished it and used it to solve a number of probability problems.

だがこの係数はどこから来るのか。二項係数は対称である。この係数は、図2に示すパスカルの三角形として知られる並びに見て取れる。パスカルがこの三角形を発明したのではない。その底にある原理は1500年以上前から作られ書かれてきた。最初は紀元前二世紀のインドの数学者(にして詩人)ピンガラである。アジアと欧州の各地でほかの人々もこの考えを扱い、この三角形を初めて図の形で発表したのはイランの数学者で天文学者のオマル・ハイヤームであり、イランではこの三角形は彼の名で呼ばれる。フランスの数学者ブレーズ・パスカルがこれを再び発表し、多くの確率の問題を解くのに使ったことで、再び広まった。

To generate Pascal’s Triangle, we start by writing a 1. In the row below, row 2, we write two 1’s. In the 3^rd row, flank the ends of the rows with 1’s, and add $1+1$ to find the middle number, 2. In the $n\text{th}$ row, flank the ends of the row with 1’s. Each element in the triangle is the sum of the two elements immediately above it.

パスカルの三角形を作るには、まず1を書く。その下の行、第2行には1を二つ書く。第3行では行の両端を1で挟み、$1+1$ を足して真ん中の数2を求める。第 $n\text{th}$ 行では行の両端を1で挟む。この三角形の各要素は、そのすぐ上の二つの要素の和である。

To see the connection between Pascal’s Triangle and binomial coefficients, let us revisit the expansion of the binomials in general form.

パスカルの三角形と二項係数のつながりを見るために、一般の形の二項式の展開に戻ろう。

Expanding a binomial with a high exponent such as ${(x+2y)}^{16}$ can be a lengthy process.

${(x+2y)}^{16}$ のような高い指数の二項式を展開するのは長い手順になりうる。

Sometimes we are interested only in a certain term of a binomial expansion. We do not need to fully expand a binomial to find a single specific term.

二項展開のある項だけに関心があることもある。ある一つの項を求めるのに、二項式を完全に展開する必要は無い。

Note the pattern of coefficients in the expansion of ${(x+y)}^5.$

${(x+y)}^5$ の展開での係数の型に注意せよ。

The second term is $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)x^{4}y.$ The third term is $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)x^3{y}^2.$ We can generalize this result.

第二項は $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)x^{4}y$ である。第三項は $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)x^3{y}^2$ である。この結果は一般化できる。