第8章周期関数Periodic Functions

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For the following exercises, sketch the graph of each function for two full periods. Determine the amplitude, the period, and the equation for the midline.

次の各問について、各関数のグラフの概形を2周期分描け。振幅・周期・中央線の式を決めよ。

1. $f (x) = 0.5 \sin x$

2. $f (x) = 5 \cos x$

3. $f (x) = 5 \sin x$

4. $f (x) = \sin (3 x)$

5. $f (x) = - \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$

6. $f (x) = 5 \sin (3 (x - \frac{π}{6})) + 4$

7. $f (x) = 3 \cos (\frac{1}{3} x - \frac{5 π}{6})$

8. $f (x) = \tan (4 x)$

9. $f (x) = - 2 \tan (x - \frac{7 π}{6}) + 2$

10. $f (x) = π \cos (3 x + π)$

11. $f (x) = 5 \csc (3 x)$

12. $f (x) = π \sec (\frac{π}{2} x)$

13. $f (x) = 2 \csc (x + \frac{π}{4}) - 3$

For the following exercises, determine the amplitude, period, and midline of the graph, and then find a formula for the function.

次の各問について、グラフの振幅・周期・中央線を決め、その関数の式を求めよ。

14. Give in terms of a sine function.

14. 正弦関数で示せ。

A graph of two periods of a sine function, graphed from -2 to 2. Range is [-6,-2], period is 2, and amplitude is 2.

15. Give in terms of a sine function.

15. 正弦関数で示せ。

A graph of two periods of a sine function, graphed over -2 to 2. Range is [-2,2], period is 2, and amplitude is 2.

16. Give in terms of a tangent function.

16. 正接関数で示せ。

A graph of two periods of a tangent function, graphed over -3pi/4 to 5pi/4. Vertical asymptotes at x=-pi/4, 3pi/4. Period is pi.

For the following exercises, find the amplitude, period, phase shift, and midline.

次の各問について、振幅・周期・位相のずれ・中央線を求めよ。

17. $y = \sin (\frac{π}{6} x + π) - 3$

18. $y = 8 \sin (\frac{7 π}{6} x + \frac{7 π}{2}) + 6$

19. The outside temperature over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose you know the temperature is 68°F at midnight and the high and low temperatures during the day are 80°F and 56°F, respectively. Assuming $t$ is the number of hours since midnight, find a function for the temperature, $D,$ in terms of $t .$

19. 1日の外気温は正弦曲線状の関数でモデル化できる。真夜中の気温が68°F、その日の最高気温と最低気温がそれぞれ80°Fと56°Fだと分かっているとする。 $t$ を真夜中からの時間数として、気温 $D$ を $t$ の関数として求めよ。

20. Water is pumped into a storage bin and empties according to a periodic rate. The depth of the water is 3 feet at its lowest at 2:00 a.m. and 71 feet at its highest, which occurs every 5 hours. Write a cosine function that models the depth of the water as a function of time, and then graph the function for one period.

20. 水が貯水槽に汲み入れられ、周期的な割合で空になる。水の深さは午前2時に最も低い3フィート、最も高いときは71フィートで、これは5時間ごとに起こる。水の深さを時間の関数としてモデル化する余弦関数を書き、1周期分のグラフを描け。

For the following exercises, find the period and horizontal shift of each function.

次の各問について、各関数の周期と横の移動を求めよ。

21. $g (x) = 3 \tan (6 x + 42)$

22. $n (x) = 4 \csc (\frac{5 π}{3} x - \frac{20 π}{3})$

23. Write the equation for the graph in Figure 1 in terms of the secant function and give the period and phase shift.

23. 図1のグラフの式を正割関数で書き、周期と位相のずれを示せ。

A graph of 2 periods of a secant function, graphed over -2 to 2. The period is 2 and there is no phase shift.

24. If $\tan x = 3,$ find $\tan (- x) .$

24. $\tan x = 3$ のとき、 $\tan (- x)$ を求めよ。

25. If $\sec x = 4,$ find $\sec (- x) .$

25. $\sec x = 4$ のとき、 $\sec (- x)$ を求めよ。

For the following exercises, graph the functions on the specified window and answer the questions.

次の各問について、指定された表示範囲で関数のグラフを描き、問いに答えよ。

26. Graph $m (x) = \sin (2 x) + \cos (3 x)$ on the viewing window $[- 10, 10]$ by $[- 3, 3] .$ Approximate the graph’s period.

26. 表示範囲 $[- 10, 10]$ × $[- 3, 3]$ で $m (x) = \sin (2 x) + \cos (3 x)$ のグラフを描け。このグラフの周期を近似せよ。

27. Graph $n (x) = 0.02 \sin (50 π x)$ on the following domains in $x :$ $[0, 1]$ and $[0, 3] .$ Suppose this function models sound waves. Why would these views look so different?

27. $x :$ の次の定義域 $[0, 1]$ と $[0, 3]$ で $n (x) = 0.02 \sin (50 π x)$ のグラフを描け。この関数が音波のモデルだとする。この二つの見え方がこれほど違うのはなぜか。

28. Graph $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ on $[- 0.5, 0.5]$ and explain any observations.

28. $[- 0.5, 0.5]$ で $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ のグラフを描き、気づいたことを説明せよ。

For the following exercises, let $f (x) = \frac{3}{5} \cos (6 x) .$

次の各問では $f (x) = \frac{3}{5} \cos (6 x)$ とせよ。

29. What is the largest possible value for $f (x) ?$

29. $f (x) ?$ のとりうる最大の値はいくらか。

30. What is the smallest possible value for $f (x) ?$

30. $f (x) ?$ のとりうる最小の値はいくらか。

31. Where is the function increasing on the interval $[0, 2 π] ?$

31. 区間 $[0, 2 π] ?$ で、この関数はどこで増加するか。

For the following exercises, find and graph one period of the periodic function with the given amplitude, period, and phase shift.

次の各問について、与えられた振幅・周期・位相のずれを持つ周期関数を求め、その1周期分のグラフを描け。

32. Sine curve with amplitude 3, period $\frac{π}{3},$ and phase shift $(h, k) = (\frac{π}{4}, 2)$

32. 振幅3、周期 $\frac{π}{3}$ 、位相のずれ $(h, k) = (\frac{π}{4}, 2)$ の正弦曲線。

33. Cosine curve with amplitude 2, period $\frac{π}{6},$ and phase shift $(h, k) = (- \frac{π}{4}, 3)$

33. 振幅2、周期 $\frac{π}{6}$ 、位相のずれ $(h, k) = (- \frac{π}{4}, 3)$ の余弦曲線。

For the following exercises, graph the function. Describe the graph and, wherever applicable, any periodic behavior, amplitude, asymptotes, or undefined points.

次の各問について、関数のグラフを描け。そのグラフを述べ、当てはまるなら周期のふるまい・振幅・漸近線・定義されない点を述べよ。

34. $f (x) = 5 \cos (3 x) + 4 \sin (2 x)$

35. $f (x) = e^{\sin t}$

For the following exercises, find the exact value.

次の各問について、厳密な値を求めよ。

36. $\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

37. $\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

38. $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

39. $\cos^{- 1} (\sin (π))$

40. $\cos^{- 1} (\tan (\frac{7 π}{4}))$

41. $\cos (\sin^{- 1} (1 - 2 x))$

42. $\cos^{- 1} (- 0.4)$

43. $\cos (\tan^{- 1} (x^{2}))$

For the following exercises, suppose $\sin t = \frac{x}{x + 1} .$ Evaluate the following expressions.

次の各問では $\sin t = \frac{x}{x + 1}$ とする。次の式の値を求めよ。

44. $\tan t$

45. $\csc t$

46. Given Figure 2, find the measure of angle $θ$ to three decimal places. Answer in radians.

46. 図2が与えられたとき、角 $θ$ の大きさを小数第三位まで求めよ。ラジアンで答えよ。

An illustration of a right triangle with angle theta. Opposite the angle theta is a side with length 12, adjacent to the angle theta is a side with length 19.

For the following exercises, determine whether the equation is true or false.

次の各問について、その式が正しいか正しくないかを判定せよ。

47. $\arcsin (\sin (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

48. $\arccos (\cos (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

49. The grade of a road is 7%. This means that for every horizontal distance of 100 feet on the road, the vertical rise is 7 feet. Find the angle the road makes with the horizontal in radians.

49. ある道の勾配は7%である。つまり、この道の水平距離100フィートごとに、縦に7フィート上がる。この道が水平線となす角をラジアンで求めよ。