第8章周期関数Periodic Functions

Using the Graphs of Trigonometric Functions to Solve Real-World Problems三角関数のグラフを使って現実の問題を解く

Many real-world scenarios represent periodic functions and may be modeled by trigonometric functions. As an example, let’s return to the scenario from the section opener. Have you ever observed the beam formed by the rotating light on a fire truck and wondered about the movement of the light beam itself across the wall? The periodic behavior of the distance the light shines as a function of time is obvious, but how do we determine the distance? We can use the tangent function.

現実の多くの筋書きが周期関数を表しており、三角関数でモデル化できる。例として、この節の初めの筋書きに戻ろう。消防車の回転灯が作る光の筋を見て、その光の筋そのものが壁を横切る動きについて考えたことはあるだろうか。光が当たる距離の時間の関数としての周期のふるまいは明らかだが、その距離をどう決めればよいか。正接関数が使える。

Example 10例10

Using Trigonometric Functions to Solve Real-World Scenarios三角関数を使って現実の筋書きを解く

Suppose the function $y = 5 \tan (\frac{π}{4} t)$ marks the distance in the movement of a light beam from the top of a police car across a wall where $t$ is the time in seconds and $y$ is the distance in feet from a point on the wall directly across from the police car.

関数 $y = 5 \tan (\frac{π}{4} t)$ が、パトカーの屋根から出た光の筋が壁を横切る動きの距離を表すとする。ここで $t$ は秒での時間、 $y$ はパトカーの真向かいの壁上の点からのフィートでの距離である。

ⓐFind and interpret the stretching factor and period.ⓑGraph on the interval $[0, 5] .$ ⓒEvaluate $f (1)$ and discuss the function’s value at that input.

ⓐ伸びの倍率と周期を求め、読み解け。ⓑ区間 $[0, 5]$ でグラフを描け。ⓒ $f (1)$ の値を求め、その入力での関数の値について論じよ。

Solution 解答

ⓐWe know from the general form of $y = A \tan (B t)$ that $| A |$ is the stretching factor and $\frac{π}{B}$ is the period. Figure 16 The vertical stretch factor of 5 means that the beam will have moved 5 feet in the one-quarter period before or after the half-period mark. This corresponds to the y-value of the standard tangent function being 1 at one-quarter of the period away from the center of the period, multiplied by the stretching factor of 5. The period is $\frac{π}{\frac{π}{4}} = \frac{π}{1} \cdot \frac{4}{π} = 4.$ This means that every 4 seconds, the beam of light sweeps the wall. The distance from the spot across from the police car grows larger as the police car approaches.ⓑTo graph the function, we draw an asymptote at $t = 2$ and use the stretching factor and period. See Figure 17 Figure 17ⓒperiod: $f (1) = 5 \tan (\frac{π}{4} (1)) = 5 (1) = 5;$ after 1 second, the beam of has moved 5 ft from the spot across from the police car.

ⓐ $y = A \tan (B t)$ の一般形から、 $| A |$ が伸びの倍率、 $\frac{π}{B}$ が周期だと分かっている。図16 縦の伸びの倍率5は、半周期の印の前後の4分の1周期で、光の筋が5フィート動くことを意味する。これは、標準の正接関数の y の値が、周期の中心から4分の1周期離れたところで1になり、それに伸びの倍率5を掛けたものにあたる。周期は $\frac{π}{\frac{π}{4}} = \frac{π}{1} \cdot \frac{4}{π} = 4.$ である。つまり4秒ごとに光の筋が壁を掃く。パトカーが近づくにつれて、パトカーの真向かいの点からの距離は大きくなる。ⓑこの関数のグラフを描くには、 $t = 2$ に漸近線を引き、伸びの倍率と周期を使う。図17を見よ。図17ⓒ周期: $f (1) = 5 \tan (\frac{π}{4} (1)) = 5 (1) = 5;$ 。1秒後、光の筋はパトカーの真向かいの点から5フィート動いている。

Media関連教材

Access these online resources for additional instruction and practice with graphs of other trigonometric functions.

そのほかの三角関数のグラフについての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Graphing the Tangent• Graphing Cosecant and Secant• Graphing the Cotangent

・正接のグラフを描く・余割と正割のグラフを描く・余接のグラフを描く

Verbal言葉で答える問題

1. Explain how the graph of the sine function can be used to graph $y = \csc x .$

1. 正弦関数のグラフを使って $y = \csc x$ のグラフをどう描けるかを説明せよ。

2. How can the graph of $y = \cos x$ be used to construct the graph of $y = \sec x ?$

2. $y = \cos x$ のグラフを使って、 $y = \sec x ?$ のグラフをどう作れるか。

3. Explain why the period of $\tan x$ is equal to $π .$

3. $\tan x$ の周期が $π$ に等しい理由を説明せよ。

4. Why are there no intercepts on the graph of $y = \csc x ?$

4. $y = \csc x ?$ のグラフに切片が無いのはなぜか。

5. How does the period of $y = \csc x$ compare with the period of $y = \sin x ?$

5. $y = \csc x$ の周期は $y = \sin x ?$ の周期とどう比べられるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, match each trigonometric function with one of the following graphs.

次の各問について、各三角関数を次のグラフのどれかに対応させよ。

The image presents four distinct graphs, each labeled with a Roman numeral and representing a trigonometric function. Graph I shows the tangent function, y = tan(x), characterized by increasing curves passing through the origin with vertical asymptotes at x = ±π/2. Graph II depicts the cosecant function, y = csc(x), with U-shaped branches opening upwards and downwards, and vertical asymptotes at integer multiples of π, such as x = π. Graph III illustrates the cotangent function, y = cot(x), featuring decreasing curves that cross the x-axis at x = π/2, with vertical asymptotes at integer multiples of π. Graph IV represents the secant function, y = sec(x), also showing U-shaped branches opening upwards and downwards, with vertical asymptotes at odd multiples of π/2, such as x = π/2 and x = 3π/2.

6. $f (x) = \tan x$

7. $f (x) = \sec x$

8. $f (x) = \csc x$

9. $f (x) = \cot x$

For the following exercises, find the period and horizontal shift of each of the functions.

次の各問について、各関数の周期と横の移動を求めよ。

10. $f (x) = 2 \tan (4 x - 32)$

11. $h (x) = 2 \sec (\frac{π}{4} (x + 1))$

12. $m (x) = 6 \csc (\frac{π}{3} x + π)$

For the following exercises, evaluate the transformed functions.

次の各問について、変形した関数の値を求めよ。

13. If $\tan x = - 1.5,$ find $\tan (- x) .$

13. $\tan x = - 1.5$ のとき、 $\tan (- x)$ を求めよ。

14. If $\sec x = 2,$ find $\sec (- x) .$

14. $\sec x = 2$ のとき、 $\sec (- x)$ を求めよ。

15. If $\csc x = - 5,$ find $\csc (- x) .$

15. $\csc x = - 5$ のとき、 $\csc (- x)$ を求めよ。

16. If $x \sin x = 2,$ find $(- x) \sin (- x) .$

16. $x \sin x = 2$ のとき、 $(- x) \sin (- x)$ を求めよ。

For the following exercises, rewrite each expression such that the argument $x$ is positive.

次の各問について、変数 $x$ が正になるように各式を書き直せ。

17. $\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

18. $\cos (- x) + \tan (- x) \sin (- x)$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, sketch two periods of the graph for each of the following functions. Identify the stretching factor, period, and asymptotes.

次の各問について、各関数のグラフを2周期分描け。伸びの倍率・周期・漸近線を見分けよ。

19. $f (x) = 2 \tan (4 x - 32)$

20. $h (x) = 2 \sec (\frac{π}{4} (x + 1))$

21. $m (x) = 6 \csc (\frac{π}{3} x + π)$

22. $j (x) = \tan (\frac{π}{2} x)$

23. $p (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$

24. $f (x) = 4 \tan (x)$

25. $f (x) = \tan (x + \frac{π}{4})$

26. $f (x) = π \tan (π x - π) - π$

27. $f (x) = 2 \csc (x)$

28. $f (x) = - \frac{1}{4} \csc (x)$

29. $f (x) = 4 \sec (3 x)$

30. $f (x) = - 3 \cot (2 x)$

31. $f (x) = 7 \sec (5 x)$

32. $f (x) = \frac{9}{10} \csc (π x)$

33. $f (x) = 2 \csc (x + \frac{π}{4}) - 1$

34. $f (x) = - \sec (x - \frac{π}{3}) - 2$

35. $f (x) = \frac{7}{5} \csc (x - \frac{π}{4})$

36. $f (x) = 5 (\cot (x + \frac{π}{2}) - 3)$

For the following exercises, find and graph two periods of the periodic function with the given stretching factor, $| A |,$ period, and phase shift.

次の各問について、与えられた伸びの倍率 $| A |$ 、周期、位相のずれを持つ周期関数を求め、そのグラフを2周期分描け。

37. A tangent curve, $A = 1,$ period of $\frac{π}{3};$ and phase shift $(h, k) = (\frac{π}{4}, 2)$

37. 正接曲線。 $A = 1$ 、周期 $\frac{π}{3};$ 、位相のずれ $(h, k) = (\frac{π}{4}, 2)$ 。

38. A tangent curve, $A = −2,$ period of $\frac{π}{4},$ and phase shift $(h, k) = (- \frac{π}{4}, −2)$

38. 正接曲線。 $A = −2$ 、周期 $\frac{π}{4}$ 、位相のずれ $(h, k) = (- \frac{π}{4}, −2)$ 。

For the following exercises, find an equation for the graph of each function.

次の各問について、各関数のグラフの式を求めよ。

39.

A graph of two periods of a modified cosecant function, with asymptotes at multiples of pi/2.

40.

A graph of a modified cotangent function. Vertical asymptotes at x=-1 and x=0 and x=1.

41.

A graph of a modified cosecant function. Vertical asymptotes at multiples of pi/4.

42.

A graph of a modified tangent function. Vertical asymptotes at -pi/8 and 3pi/8.

43.

A graph of a modified cosecant function. Vertical asymptotyes at multiples of pi.

44.

A graph of a modified secant function. Four vertical asymptotes.

45.

graph of two periods of a modified tangent function. Vertical asymptotes at x=-0.005 and x=0.005.

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a graphing calculator to graph two periods of the given function. Note: most graphing calculators do not have a cosecant button; therefore, you will need to input $\csc x$ as $\frac{1}{\sin x} .$

次の各問について、グラフ電卓を使って、与えられた関数のグラフを2周期分描け。注意: ほとんどのグラフ電卓には余割のボタンが無いので、 $\csc x$ を $\frac{1}{\sin x}$ として入れる必要がある。

46. $f (x) = | \csc (x) |$

47. $f (x) = | \cot (x) |$

48. $f (x) = 2^{\csc (x)}$

49. $f (x) = \frac{\csc (x)}{\sec (x)}$

50. Graph $f (x) = 1 + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) .$ What is the function shown in the graph?

50. $f (x) = 1 + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ のグラフを描け。このグラフが示す関数は何か。

51. $f (x) = \sec (0.001 x)$

52. $f (x) = \cot (100 π x)$

53. $f (x) = \sin^{2} x + \cos^{2} x$

Real-World Applications応用問題

54. The function $f (x) = 20 \tan (\frac{π}{10} x)$ marks the distance in the movement of a light beam from a police car across a wall for time $x,$ in seconds, and distance $f (x),$ in feet.

54. 関数 $f (x) = 20 \tan (\frac{π}{10} x)$ は、パトカーから出た光の筋が壁を横切る動きの距離を表す。 $x$ は秒での時間、 $f (x)$ はフィートでの距離である。

ⓐGraph on the interval $[0, 5] .$ ⓑFind and interpret the stretching factor, period, and asymptote.ⓒEvaluate $f (1)$ and $f (2.5)$ and discuss the function’s values at those inputs.

55. Standing on the shore of a lake, a fisherman sights a boat far in the distance to his left. Let $x,$ measured in radians, be the angle formed by the line of sight to the ship and a line due north from his position. Assume due north is 0 and $x$ is measured negative to the left and positive to the right. (See Figure 19.) The boat travels from due west to due east and, ignoring the curvature of the Earth, the distance $d (x),$ in kilometers, from the fisherman to the boat is given by the function $d (x) = 1.5 \sec (x) .$

55. 湖の岸に立った釣り人が、はるか左の遠くに船を見つける。船への視線と、その人の位置から真北に伸びる線がなす角を、ラジアンで測った $x$ とする。真北を0とし、 $x$ は左を負、右を正として測る。(図19を見よ。)船は真西から真東へ進む。地球の曲がりを無視すると、釣り人から船までのキロメートルでの距離 $d (x)$ は、関数 $d (x) = 1.5 \sec (x)$ で与えられる。

ⓐWhat is a reasonable domain for $d (x) ?$ ⓑGraph $d (x)$ on this domain.ⓒFind and discuss the meaning of any vertical asymptotes on the graph of $d (x) .$ ⓓCalculate and interpret $d (- \frac{π}{3}) .$ Round to the second decimal place.ⓔCalculate and interpret $d (\frac{π}{6}) .$ Round to the second decimal place.ⓕWhat is the minimum distance between the fisherman and the boat? When does this occur?

ⓐ $d (x) ?$ の理にかなった定義域は何か。ⓑこの定義域で $d (x)$ のグラフを描け。ⓒ $d (x)$ のグラフの垂直漸近線があれば求め、その意味を論じよ。ⓓ $d (- \frac{π}{3})$ を計算して読み解け。小数第二位まで丸めよ。ⓔ $d (\frac{π}{6})$ を計算して読み解け。小数第二位まで丸めよ。ⓕ釣り人と船のあいだの最小の距離はいくらか。それはいつ起こるか。

An illustration of a man and the distance he is away from a boat.

56. A laser rangefinder is locked on a comet approaching Earth. The distance $g (x),$ in kilometers, of the comet after $x$ days, for $x$ in the interval 0 to 30 days, is given by $g (x) = 250,000 \csc (\frac{π}{30} x) .$

56. レーザー測距儀が、地球に近づく彗星をとらえている。0日から30日までの区間の $x$ について、 $x$ 日後の彗星のキロメートルでの距離 $g (x)$ は $g (x) = 250,000 \csc (\frac{π}{30} x)$ で与えられる。

ⓐGraph $g (x)$ on the interval $[0, 30] .$ ⓑEvaluate $g (5)$ and interpret the information.ⓒWhat is the minimum distance between the comet and Earth? When does this occur? To which constant in the equation does this correspond?ⓓFind and discuss the meaning of any vertical asymptotes.

ⓐ区間 $[0, 30]$ で $g (x)$ のグラフを描け。ⓑ $g (5)$ の値を求め、その情報を読み解け。ⓒ彗星と地球のあいだの最小の距離はいくらか。それはいつ起こるか。この式のどの定数がそれに対応するか。ⓓ垂直漸近線があれば求め、その意味を論じよ。

57. A video camera is focused on a rocket on a launching pad 2 miles from the camera. The angle of elevation from the ground to the rocket after $x$ seconds is $\frac{π}{120} x .$

57. ビデオカメラが、カメラから2マイル離れた発射台のロケットに向けられている。 $x$ 秒後の地面からロケットへの仰角は $\frac{π}{120} x$ である。

ⓐWrite a function expressing the altitude $h (x),$ in miles, of the rocket above the ground after $x$ seconds. Ignore the curvature of the Earth.ⓑGraph $h (x)$ on the interval $(0, 60) .$ ⓒEvaluate and interpret the values $h (0)$ and $h (30) .$ ⓓWhat happens to the values of $h (x)$ as $x$ approaches 60 seconds? Interpret the meaning of this in terms of the problem.

ⓐ $x$ 秒後のロケットの地面からのマイルでの高度 $h (x)$ を表す関数を書け。地球の曲がりは無視せよ。ⓑ区間 $(0, 60)$ で $h (x)$ のグラフを描け。ⓒ値 $h (0)$ と $h (30)$ を求めて読み解け。ⓓ $x$ が60秒に近づくと、 $h (x)$ の値はどうなるか。この問題に即してその意味を読み解け。