第8章周期関数Periodic Functions

Graphing Variations of y = tan xy = tan x を変形したもののグラフを描く

As with the sine and cosine functions, the tangent function can be described by a general equation.

正弦関数や余弦関数と同じく、正接関数も一般の式で述べられる。

y = A \tan (B x)

We can identify horizontal and vertical stretches and compressions using values of $A$ and $B .$ The horizontal stretch can typically be determined from the period of the graph. With tangent graphs, it is often necessary to determine a vertical stretch using a point on the graph.

$A$ と $B$ の値を使えば、横と縦の伸びと縮みが見分けられる。横の伸びはふつうグラフの周期から決められる。正接のグラフでは、しばしばグラフ上の点を使って縦の伸びを決める必要がある。

Because there are no maximum or minimum values of a tangent function, the term amplitude cannot be interpreted as it is for the sine and cosine functions. Instead, we will use the phrase stretching/compressing factor when referring to the constant $A .$

正接関数には最大値も最小値も無いので、振幅という語は正弦関数や余弦関数のようには読み解けない。代わりに、定数 $A$ を指すときは伸縮の倍率という言い方をする。

Note重要事項

Features of the Graph of y = Atan(Bx)y = Atan(Bx) のグラフの特徴

• The stretching factor is $| A | .$ • The period is $P = \frac{π}{| B |} .$ • The domain is all real numbers $x,$ where $x \neq \frac{π}{2 | B |} + \frac{π}{| B |} k$ such that $k$ is an integer.• The range is $(−∞, \infty) .$ • The asymptotes occur at $x = \frac{π}{2 | B |} + \frac{π}{| B |} k,$ where $k$ is an integer.• $y = A \tan (B x)$ is an odd function.

・伸びの倍率は $| A |$ である。・周期は $P = \frac{π}{| B |}$ である。・定義域は、 $k$ を整数として $x \neq \frac{π}{2 | B |} + \frac{π}{| B |} k$ となるものを除いた実数 $x$ 全体である。・値域は $(−∞, \infty)$ である。・漸近線は、 $k$ を整数として $x = \frac{π}{2 | B |} + \frac{π}{| B |} k$ に現れる。・ $y = A \tan (B x)$ は奇関数である。

Graphing One Period of a Stretched or Compressed Tangent Function伸ばした、あるいは縮めた正接関数の1周期のグラフを描く

We can use what we know about the properties of the tangent function to quickly sketch a graph of any stretched and/or compressed tangent function of the form $f (x) = A \tan (B x) .$ We focus on a single period of the function including the origin, because the periodic property enables us to extend the graph to the rest of the function’s domain if we wish. Our limited domain is then the interval $(- \frac{P}{2}, \frac{P}{2})$ and the graph has vertical asymptotes at $\pm \frac{P}{2}$ where $P = \frac{π}{B} .$ On $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}),$ the graph will come up from the left asymptote at $x = - \frac{π}{2},$ cross through the origin, and continue to increase as it approaches the right asymptote at $x = \frac{π}{2} .$ To make the function approach the asymptotes at the correct rate, we also need to set the vertical scale by actually evaluating the function for at least one point that the graph will pass through. For example, we can use

正接関数の性質について知っていることを使えば、 $f (x) = A \tan (B x)$ の形に伸ばしたり縮めたりした正接関数のグラフを手早く描ける。原点を含む1周期に絞る。周期の性質のおかげで、望むならグラフをこの関数の定義域の残りにも広げられるからである。よって限られた定義域は区間 $(- \frac{P}{2}, \frac{P}{2})$ となり、グラフは $P = \frac{π}{B}$ として $\pm \frac{P}{2}$ に垂直漸近線を持つ。 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ では、グラフは $x = - \frac{π}{2}$ の左の漸近線から上がってきて原点を通り、 $x = \frac{π}{2}$ の右の漸近線に近づきながら増え続ける。関数を正しい速さで漸近線に近づけるには、グラフが通る点を少なくとも一つ実際に計算して、縦の目盛りも決める必要がある。たとえば次が使える。

f (\frac{P}{4}) = A \tan (B \frac{P}{4}) = A \tan (B \frac{π}{4 B}) = A

because $\tan (\frac{π}{4}) = 1.$

$\tan (\frac{π}{4}) = 1.$ だからである。

How To手順

Given the function $f (x) = A \tan (B x),$ graph one period.

関数 $f (x) = A \tan (B x)$ が与えられたとき、1周期分のグラフを描く。

1. Identify the stretching factor, $| A | .$ 2. Identify $B$ and determine the period, $P = \frac{π}{| B |} .$ 3. Draw vertical asymptotes at $x = - \frac{P}{2}$ and $x = \frac{P}{2} .$ 4. For $A B > 0,$ the graph approaches the left asymptote at negative output values and the right asymptote at positive output values (reverse for $A B < 0$ ).5. Plot reference points at $(\frac{P}{4}, A),$ $(0, 0),$ and $(- \frac{P}{4},- A),$ and draw the graph through these points.

1. 伸びの倍率 $| A |$ を見分ける。2. $B$ を見分け、周期 $P = \frac{π}{| B |}$ を決める。3. $x = - \frac{P}{2}$ と $x = \frac{P}{2}$ に垂直漸近線を描く。4. $A B > 0$ では、グラフは負の出力値で左の漸近線に、正の出力値で右の漸近線に近づく( $A B < 0$ なら逆)。5. $(\frac{P}{4}, A)$ 、 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{P}{4},- A)$ に目印の点を打ち、その点を通るグラフを描く。

Example 1例1

Sketching a Compressed Tangent縮めた正接の概形を描く

Sketch a graph of one period of the function $y = 0.5 \tan (\frac{π}{2} x) .$

関数 $y = 0.5 \tan (\frac{π}{2} x)$ の1周期分のグラフの概形を描け。

Solution 解答

First, we identify $A$ and $B .$

まず $A$ と $B$ を見分ける。

An illustration of equations showing that A is the coefficient of tangent and B is the coefficient of x, which is within the tangent function.

Because $A = 0.5$ and $B = \frac{π}{2},$ we can find the stretching/compressing factor and period. The period is $\frac{π}{\frac{π}{2}} = 2,$ so the asymptotes are at $x = \pm 1.$ At a quarter period from the origin, we have

$A = 0.5$ かつ $B = \frac{π}{2}$ なので、伸縮の倍率と周期が求められる。周期は $\frac{π}{\frac{π}{2}} = 2$ なので、漸近線は $x = \pm 1.$ にある。原点から4分の1周期のところで、次が得られる。

\begin{array}{l} f (0.5) = 0.5 \tan (\frac{0.5 π}{2}) \\ = 0.5 \tan (\frac{π}{4}) \\ = 0.5 \end{array}

This means the curve must pass through the points $(0.5, 0.5),$ $(0, 0),$ and $(- 0.5, −0.5) .$ The only inflection point is at the origin. Figure 2 shows the graph of one period of the function.

つまり、この曲線は点 $(0.5, 0.5)$ 、 $(0, 0)$ 、 $(- 0.5, −0.5)$ を通らなければならない。変曲点は原点だけである。図2に、この関数の1周期分のグラフを示す。

A graph of one period of a modified tangent function, with asymptotes at x=-1 and x=1.

Try IT Feature #1確認問題 1

Sketch a graph of $f (x) = 3 \tan (\frac{π}{6} x) .$

$f (x) = 3 \tan (\frac{π}{6} x)$ のグラフの概形を描け。

Graphing One Period of a Shifted Tangent Function移した正接関数の1周期のグラフを描く

Now that we can graph a tangent function that is stretched or compressed, we will add a vertical and/or horizontal (or phase) shift. In this case, we add $C$ and $D$ to the general form of the tangent function.

伸ばしたり縮めたりした正接関数のグラフが描けるようになったので、縦や横(すなわち位相)の移動を加えよう。この場合、正接関数の一般形に $C$ と $D$ を加える。

f (x) = A \tan (B x - C) + D

The graph of a transformed tangent function is different from the basic tangent function $\tan x$ in several ways:

変形した正接関数のグラフは、基本の正接関数 $\tan x$ といくつかの点で違う。

Noteグラフの特徴

Features of the Graph of y = Atan(Bx−C)+Dy = Atan(Bx−C)+D のグラフの特徴

• The stretching factor is $| A | .$ • The period is $\frac{π}{| B |} .$ • The domain is $x \neq \frac{C}{B} + \frac{π}{2 | B |} k,$ where $k$ is an integer.• The range is $(−∞, \infty) .$ • The vertical asymptotes occur at $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{2 | B |} k,$ where $k$ is an odd integer.• There is no amplitude.

・伸びの倍率は $| A |$ である。・周期は $\frac{π}{| B |}$ である。・定義域は、 $k$ を整数として $x \neq \frac{C}{B} + \frac{π}{2 | B |} k$ である。・値域は $(−∞, \infty)$ である。・垂直漸近線は、 $k$ を奇数として $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{2 | B |} k$ に現れる。・振幅は無い。

How To手順

Given the function $y = A \tan (B x - C) + D,$ sketch the graph of one period.

関数 $y = A \tan (B x - C) + D$ が与えられたとき、1周期分のグラフの概形を描く。

1. Express the function given in the form $y = A \tan (B x - C) + D .$ 2. Identify the stretching/compressing factor, $| A | .$ 3. Identify $B$ and determine the period, $P = \frac{π}{| B |} .$ 4. Identify $C$ and determine the phase shift, $\frac{C}{B} .$ 5. Draw the graph of $y = A \tan (B x)$ shifted to the right by $\frac{C}{B}$ and up by $D .$ 6. Sketch the vertical asymptotes, which occur at $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{2 | B |} k,$ where $k$ is an odd integer.7. Plot any three reference points and draw the graph through these points.

1. 与えられた関数を $y = A \tan (B x - C) + D$ の形で表す。2. 伸縮の倍率 $| A |$ を見分ける。3. $B$ を見分け、周期 $P = \frac{π}{| B |}$ を決める。4. $C$ を見分け、位相のずれ $\frac{C}{B}$ を決める。5. $y = A \tan (B x)$ を右に $\frac{C}{B}$ 、上に $D$ 移したグラフを描く。6. 垂直漸近線の概形を描く。これは $k$ を奇数として $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{2 | B |} k$ に現れる。7. 目印の点を三つ打ち、その点を通るグラフを描く。

Example 2例2

Graphing One Period of a Shifted Tangent Function移した正接関数の1周期のグラフを描く

Graph one period of the function $y = −2 \tan (π x + π) −1.$

関数 $y = −2 \tan (π x + π) −1.$ の1周期分のグラフを描け。

Solution 解答

• Step 1. The function is already written in the form $y = A \tan (B x - C) + D .$ • Step 2. $A = −2,$ so the stretching factor is $| A | = 2.$ • Step 3. $B = π,$ so the period is $P = \frac{π}{| B |} = \frac{π}{π} = 1.$ • Step 4. $C = - π,$ so the phase shift is $\frac{C}{B} = \frac{- π}{π} = −1.$ • Step 5-7. The asymptotes are at $x = - \frac{3}{2}$ and $x = - \frac{1}{2}$ and the three recommended reference points are $(−1.25, 1),$ $(−1, −1),$ and $(−0.75, −3) .$ The graph is shown in Figure 3. Figure 3

・手順1。この関数はすでに $y = A \tan (B x - C) + D$ の形で書かれている。・手順2。 $A = −2$ なので、伸びの倍率は $| A | = 2.$ である。・手順3。 $B = π$ なので、周期は $P = \frac{π}{| B |} = \frac{π}{π} = 1.$ である。・手順4。 $C = - π$ なので、位相のずれは $\frac{C}{B} = \frac{- π}{π} = −1.$ である。・手順5〜7。漸近線は $x = - \frac{3}{2}$ と $x = - \frac{1}{2}$ にあり、勧められる三つの目印の点は $(−1.25, 1)$ 、 $(−1, −1)$ 、 $(−0.75, −3)$ である。グラフを図3に示す。図3

Analysis 考察

Note that this is a decreasing function because $A < 0.$

$A < 0.$ なので、これは減少する関数であることに注意せよ。

Try IT Feature #2確認問題 2

How would the graph in Example 2 look different if we made $A = 2$ instead of $−2 ?$

例2で $−2 ?$ の代わりに $A = 2$ としたら、グラフはどう違って見えるか。

How To手順

Given the graph of a tangent function, identify horizontal and vertical stretches.

正接関数のグラフが与えられたとき、横と縦の伸びを見分ける。

1. Find the period $P$ from the spacing between successive vertical asymptotes or x-intercepts.2. Write $f (x) = A \tan (\frac{π}{P} x) .$ 3. Determine a convenient point $(x, f (x))$ on the given graph and use it to determine $A .$

1. 隣り合う垂直漸近線どうし、あるいは x切片どうしの間隔から周期 $P$ を求める。2. $f (x) = A \tan (\frac{π}{P} x)$ と書く。3. 与えられたグラフ上で都合のよい点 $(x, f (x))$ を決め、それを使って $A$ を決める。

Example 3例3

Identifying the Graph of a Stretched Tangent伸ばした正接のグラフを見分ける

Find a formula for the function graphed in Figure 4.

図4にグラフを描いた関数の式を求めよ。

A graph of two periods of a modified tangent function, with asymptotes at x=-4 and x=4. — Figure 4 A stretched tangent function図4 伸ばした正接関数

Solution 解答

The graph has the shape of a tangent function.

このグラフは正接関数の形をしている。

• Step 1. One cycle extends from –4 to 4, so the period is $P = 8.$ Since $P = \frac{π}{| B |},$ we have $B = \frac{π}{P} = \frac{π}{8} .$ • Step 2. The equation must have the form $f (x) = A \tan (\frac{π}{8} x) .$ • Step 3. To find the vertical stretch $A,$ we can use the point $(2, 2) .$ $2 = A \tan (\frac{π}{8} \cdot 2) = A \tan (\frac{π}{4})$

・手順1。1周期が–4から4まで伸びているので、周期は $P = 8.$ である。 $P = \frac{π}{| B |}$ なので $B = \frac{π}{P} = \frac{π}{8}$ である。・手順2。この式は $f (x) = A \tan (\frac{π}{8} x)$ の形でなければならない。・手順3。縦の伸び $A$ を求めるには、点 $(2, 2)$ が使える。 $2 = A \tan (\frac{π}{8} \cdot 2) = A \tan (\frac{π}{4})$

Because $\tan (\frac{π}{4}) = 1,$ $A = 2.$

$\tan (\frac{π}{4}) = 1$ なので $A = 2.$ である。

This function would have a formula $f (x) = 2 \tan (\frac{π}{8} x) .$

この関数の式は $f (x) = 2 \tan (\frac{π}{8} x)$ になる。

Try IT Feature #3確認問題 3

Find a formula for the function in Figure 5.

図5の関数の式を求めよ。

A graph of four periods of a modified tangent function, Vertical asymptotes at -3pi/4, -pi/4, pi/4, and 3pi/4.