第8章周期関数Periodic Functions

Graphing Sine and Cosine Functions正弦関数と余弦関数のグラフを描く

Recall that the sine and cosine functions relate real number values to the x- and y-coordinates of a point on the unit circle. So what do they look like on a graph on a coordinate plane? Let’s start with the sine function. We can create a table of values and use them to sketch a graph. Table 1 lists some of the values for the sine function on a unit circle.

正弦関数と余弦関数が、実数の値を単位円上の点の x座標と y座標に結びつけることを思い出そう。では、座標平面のグラフではどう見えるのか。まず正弦関数から始めよう。値の表を作り、それを使ってグラフの概形を描ける。表1に、単位円上の正弦関数の値のいくつかを挙げる。

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$\sin (x)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Plotting the points from the table and continuing along the x-axis gives the shape of the sine function. See Figure 2.

表の点を打ち、x軸に沿って続けると、正弦関数の形が得られる。図2を見よ。

A graph of sin(x). Local maximum at (pi/2, 1). Local minimum at (3pi/2, -1). Period of 2pi. — Figure 2 The sine function図2 正弦関数

Notice how the sine values are positive between 0 and $π,$ which correspond to the values of the sine function in quadrants I and II on the unit circle, and the sine values are negative between $π$ and $2 π,$ which correspond to the values of the sine function in quadrants III and IV on the unit circle. See Figure 3.

正弦の値が0と $π$ のあいだで正であることに注目しよう。これは単位円の第I象限と第II象限の正弦関数の値に対応する。そして正弦の値は $π$ と $2 π$ のあいだで負であり、これは単位円の第III象限と第IV象限の正弦関数の値に対応する。図3を見よ。

A side-by-side graph of a unit circle and a graph of sin(x). The two graphs show the equivalence of the coordinates. — Figure 3 Plotting values of the sine function図3 正弦関数の値を打つ

Now let’s take a similar look at the cosine function. Again, we can create a table of values and use them to sketch a graph. Table 2 lists some of the values for the cosine function on a unit circle.

次に余弦関数も同じように見よう。ここでも値の表を作り、それを使ってグラフの概形を描ける。表2に、単位円上の余弦関数の値のいくつかを挙げる。

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$\cos (x)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$

As with the sine function, we can plots points to create a graph of the cosine function as in Figure 4.

正弦関数と同じく、点を打てば図4のように余弦関数のグラフが作れる。

A graph of cos(x). Local maxima at (0,1) and (2pi, 1). Local minimum at (pi, -1). Period of 2pi. — Figure 4 The cosine function図4 余弦関数

Because we can evaluate the sine and cosine of any real number, both of these functions are defined for all real numbers. By thinking of the sine and cosine values as coordinates of points on a unit circle, it becomes clear that the range of both functions must be the interval $[- 1, 1] .$

どんな実数の正弦と余弦も値を求められるので、この二つの関数はどちらも実数全体で定義される。正弦と余弦の値を単位円上の点の座標と考えれば、どちらの関数の値域も区間 $[- 1, 1]$ でなければならないとはっきり分かる。

In both graphs, the shape of the graph repeats after $2 π,$ which means the functions are periodic with a period of $2 π .$ A periodic function is a function for which a specific horizontal shift, P, results in a function equal to the original function: $f (x + P) = f (x)$ for all values of $x$ in the domain of $f .$ When this occurs, we call the smallest such horizontal shift with $P > 0$ the period of the function. Figure 5 shows several periods of the sine and cosine functions.

どちらのグラフでも、 $2 π$ のあとで形が繰り返す。つまりこの関数は周期 $2 π$ の周期関数である。周期関数とは、ある特定の横の移動 P で元の関数と等しい関数になる関数である。すなわち $f$ の定義域のすべての $x$ の値について $f (x + P) = f (x)$ となる。このとき、 $P > 0$ となる最も小さいそうした横の移動を、その関数の周期という。図5に、正弦関数と余弦関数の周期をいくつか示す。

Side-by-side graphs of sin(x) and cos(x). Graphs show period lengths for both functions, which is 2pi.

Looking again at the sine and cosine functions on a domain centered at the y-axis helps reveal symmetries. As we can see in Figure 6, the sine function is symmetric about the origin. Recall from The Other Trigonometric Functions that we determined from the unit circle that the sine function is an odd function because $\sin (- x) = - \sin x .$ Now we can clearly see this property from the graph.

y軸を中心とする定義域で正弦関数と余弦関数をもう一度見ると、対称性が明らかになる。図6から分かるとおり、正弦関数は原点に関して対称である。「そのほかの三角関数」で、 $\sin (- x) = - \sin x$ なので正弦関数が奇関数だと単位円から決めたのを思い出そう。この性質が、グラフからはっきり見てとれる。

A graph of sin(x) that shows that sin(x) is an odd function due to the odd symmetry of the graph. — Figure 6 Odd symmetry of the sine function図6 正弦関数の奇の対称性

Figure 7 shows that the cosine function is symmetric about the y-axis. Again, we determined that the cosine function is an even function. Now we can see from the graph that $\cos (- x) = \cos x .$

図7は、余弦関数が y軸に関して対称であることを示している。ここでも、余弦関数が偶関数だと決めた。 $\cos (- x) = \cos x$ であることが、グラフから見てとれる。

A graph of cos(x) that shows that cos(x) is an even function due to the even symmetry of the graph. — Figure 7 Even symmetry of the cosine function図7 余弦関数の偶の対称性

Note重要事項

Characteristics of Sine and Cosine Functions正弦関数と余弦関数の特徴

The sine and cosine functions have several distinct characteristics:

正弦関数と余弦関数には、際立った特徴がいくつかある。

• They are periodic functions with a period of $2 π .$ • The domain of each function is $(- \infty, \infty)$ and the range is $[- 1, 1] .$ • The graph of $y = \sin x$ is symmetric about the origin, because it is an odd function.• The graph of $y = \cos x$ is symmetric about the $y$ -axis, because it is an even function.

・周期 $2 π$ の周期関数である。・どちらの関数も定義域は $(- \infty, \infty)$ 、値域は $[- 1, 1]$ である。・ $y = \sin x$ のグラフは、奇関数なので原点に関して対称である。・ $y = \cos x$ のグラフは、偶関数なので $y$ 軸に関して対称である。