第8章周期関数Periodic Functions

Review Exercises復習問題

Graphs of the Sine and Cosine Functions正弦関数と余弦関数のグラフ

For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes.

次の各問について、関数のグラフを2周期分描き、振幅または伸びの倍率・周期・中央線の式・漸近線を決めよ。

1. $f (x) = - 3 \cos x + 3$

2. $f (x) = \frac{1}{4} \sin x$

3. $f (x) = 3 \cos (x + \frac{π}{6})$

4. $f (x) = - 2 \sin (x - \frac{2 π}{3})$

5. $f (x) = 3 \sin (x - \frac{π}{4}) - 4$

6. $f (x) = 2 (\cos (x - \frac{4 π}{3}) + 1)$

7. $f (x) = 6 \sin (3 x - \frac{π}{6}) - 1$

8. $f (x) = - 100 \sin (50 x - 20)$

Graphs of the Other Trigonometric Functionsそのほかの三角関数のグラフ

For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes.

次の各問について、関数のグラフを2周期分描き、振幅または伸びの倍率・周期・中央線の式・漸近線を決めよ。

9. $f (x) = \tan x - 4$

10. $f (x) = 2 \tan (x - \frac{π}{6})$

11. $f (x) = - 3 \tan (4 x) - 2$

12. $f (x) = 0.2 \cos (0.1 x) + 0.3$

For the following exercises, graph two full periods. Identify the period, the phase shift, the amplitude, and asymptotes.

次の各問について、2周期分のグラフを描け。周期・位相のずれ・振幅・漸近線を見分けよ。

13. $f (x) = \frac{1}{3} \sec x$

14. $f (x) = 3 \cot x$

15. $f (x) = 4 \csc (5 x)$

16. $f (x) = 8 \sec (\frac{1}{4} x)$

17. $f (x) = \frac{2}{3} \csc (\frac{1}{2} x)$

18. $f (x) = - \csc (2 x + π)$

For the following exercises, use this scenario: The population of a city has risen and fallen over a 20-year interval. Its population may be modeled by the following function: $y = 12, 000 + 8, 000 \sin (0.628 x),$ where the domain is the years since 1980 and the range is the population of the city.

次の各問では、次の筋書きを使え。ある都市の人口が20年の間に上下した。その人口は次の関数でモデル化できる: $y = 12, 000 + 8, 000 \sin (0.628 x),$ 。定義域は1980年からの年数、値域はこの都市の人口である。

19. What is the largest and smallest population the city may have?

19. この都市の人口の最大と最小はいくらになりうるか。

20. Graph the function on the domain of $[0, 40]$ .

20. 定義域 $[0, 40]$ でこの関数のグラフを描け。

21. What are the amplitude, period, and phase shift for the function?

21. この関数の振幅・周期・位相のずれはいくらか。

22. Over this domain, when does the population reach 18,000? 13,000?

22. この定義域で、人口が18,000に達するのはいつか。13,000ではいつか。

23. What is the predicted population in 2007? 2010?

23. 2007年の人口の予測はいくらか。2010年ではいくらか。

For the following exercises, suppose a weight is attached to a spring and bobs up and down, exhibiting symmetry.

次の各問では、ばねに重りを付け、対称に上下に揺れているとする。

24. Suppose the graph of the displacement function is shown in Figure 1, where the values on the x-axis represent the time in seconds and the y-axis represents the displacement in inches. Give the equation that models the vertical displacement of the weight on the spring.

24. 変位の関数のグラフが図1に示されているとする。x軸の値は秒での時間、y軸はインチでの変位を表す。ばねの重りの縦の変位のモデルとなる式を示せ。

A graph of a consine function over one period. Graphed on the domain of [0,10]. Range is [-5,5].

25. At time = 0, what is the displacement of the weight?

25. 時間 = 0 のとき、重りの変位はいくらか。

26. At what time does the displacement from the equilibrium point equal zero?

26. 釣り合いの点からの変位が0になるのは、どの時刻か。

27. What is the time required for the weight to return to its initial height of 5 inches? In other words, what is the period for the displacement function?

27. 重りが初めの高さ5インチに戻るのに要する時間はいくらか。言い換えれば、この変位の関数の周期はいくらか。

Inverse Trigonometric Functions逆三角関数

For the following exercises, find the exact value without the aid of a calculator.

次の各問について、電卓を使わずに厳密な値を求めよ。

28. $\sin^{- 1} (1)$

29. $\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

30. $\tan^{−1} (−1)$

31. $\cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{2}})$

32. $\sin^{- 1} (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

33. $\sin^{- 1} (\cos (\frac{π}{6}))$

34. $\cos^{- 1} (\tan (\frac{3 π}{4}))$

35. $\sin (\sec^{- 1} (\frac{3}{5}))$

36. $\cot (\sin^{- 1} (\frac{3}{5}))$

37. $\tan (\cos^{- 1} (\frac{5}{13}))$

38. $\sin (\cos^{- 1} (\frac{x}{x + 1}))$

39. Graph $f (x) = \cos x$ and $f (x) = \sec x$ on the interval $[0, 2 π)$ and explain any observations.

39. 区間 $[0, 2 π)$ で $f (x) = \cos x$ と $f (x) = \sec x$ のグラフを描き、気づいたことを説明せよ。

40. Graph $f (x) = \sin x$ and $f (x) = \csc x$ and explain any observations.

40. $f (x) = \sin x$ と $f (x) = \csc x$ のグラフを描き、気づいたことを説明せよ。

41. Graph the function $f (x) = \frac{x}{1} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!}$ on the interval $[- 1, 1]$ and compare the graph to the graph of $f (x) = \sin x$ on the same interval. Describe any observations.

41. 区間 $[- 1, 1]$ で関数 $f (x) = \frac{x}{1} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!}$ のグラフを描き、同じ区間の $f (x) = \sin x$ のグラフと比べよ。気づいたことを述べよ。