第8章周期関数Periodic Functions

• Periodic functions repeat after a given value. The smallest such value is the period. The basic sine and cosine functions have a period of $2\pi .$• The function $\sin x$ is odd, so its graph is symmetric about the origin. The function $\cos x$ is even, so its graph is symmetric about the y-axis.• The graph of a sinusoidal function has the same general shape as a sine or cosine function.• In the general formula for a sinusoidal function, the period is $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}.$ See Example 1.• In the general formula for a sinusoidal function, $\left|A\right|$ represents amplitude. If $\left|A\right|>1,$ the function is stretched, whereas if the function is compressed. See Example 2.• The value $\frac{C}{B}$ in the general formula for a sinusoidal function indicates the phase shift. See Example 3.• The value $D$ in the general formula for a sinusoidal function indicates the vertical shift from the midline. See Example 4.• Combinations of variations of sinusoidal functions can be detected from an equation. See Example 5.• The equation for a sinusoidal function can be determined from a graph. See Example 6 and Example 7.• A function can be graphed by identifying its amplitude and period. See Example 8 and Example 9.• A function can also be graphed by identifying its amplitude, period, phase shift, and horizontal shift. See Example 10.• Sinusoidal functions can be used to solve real-world problems. See Example 11, Example 12, and Example 13.

・周期関数はある値の後で繰り返す。そうした最小の値が周期である。基本の正弦関数と余弦関数の周期は $2\pi$ である。・関数 $\sin x$ は奇関数なので、そのグラフは原点に関して対称である。関数 $\cos x$ は偶関数なので、そのグラフは y軸に関して対称である。・正弦曲線状の関数のグラフは、正弦関数や余弦関数と全体の形が同じである。・正弦曲線状の関数の一般の公式では、周期は $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ である。例1を見よ。・正弦曲線状の関数の一般の公式では、$\left|A\right|$ が振幅を表す。$\left|A\right|>1$ なら関数は伸び、 なら縮む。例2を見よ。・正弦曲線状の関数の一般の公式の値 $\frac{C}{B}$ は、位相のずれを示す。例3を見よ。・正弦曲線状の関数の一般の公式の値 $D$ は、中央線からの縦の移動を示す。例4を見よ。・正弦曲線状の関数の変形の組み合わせは、式から見てとれる。例5を見よ。・正弦曲線状の関数の式は、グラフから決められる。例6と例7を見よ。・振幅と周期を見分ければ、関数のグラフが描ける。例8と例9を見よ。・振幅・周期・位相のずれ・横の移動を見分けても、関数のグラフが描ける。例10を見よ。・正弦曲線状の関数を使えば、現実の問題が解ける。例11、例12、例13を見よ。

• The tangent function has period $\pi .$• $f\left(x\right)=A\tan \left(Bx-C\right)+D$ is a tangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 1, Example 2, and Example 3.• The secant and cosecant are both periodic functions with a period of $2\pi .$ $f\left(x\right)=A\sec \left(Bx-C\right)+D$ gives a shifted, compressed, and/or stretched secant function graph. See Example 4 and Example 5.• $f\left(x\right)=A\csc \left(Bx-C\right)+D$ gives a shifted, compressed, and/or stretched cosecant function graph. See Example 6 and Example 7.• The cotangent function has period $\pi$ and vertical asymptotes at $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\mathrm{...}$• The range of cotangent is $\left(-\infty ,\infty \right),$ and the function is decreasing at each point in its range.• The cotangent is zero at $\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\mathrm{...}$• $f\left(x\right)=A\cot \left(Bx-C\right)+D$ is a cotangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 8 and Example 9.• Real-world scenarios can be solved using graphs of trigonometric functions. See Example 10.

・正接関数の周期は $\pi$ である。・$f\left(x\right)=A\tan \left(Bx-C\right)+D$ は、縦や横に伸縮し移動した正接である。例1、例2、例3を見よ。・正割と余割はどちらも周期 $2\pi$ の周期関数である。$f\left(x\right)=A\sec \left(Bx-C\right)+D$ は、移し、縮め、また伸ばした正割関数のグラフを与える。例4と例5を見よ。・$f\left(x\right)=A\csc \left(Bx-C\right)+D$ は、移し、縮め、また伸ばした余割関数のグラフを与える。例6と例7を見よ。・余接関数の周期は $\pi$ で、$0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\mathrm{...}$ に垂直漸近線を持つ。・余接の値域は $\left(-\infty ,\infty \right)$ で、この関数は値域のどの点でも減少する。・余接は $\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\mathrm{...}$ で0になる。・$f\left(x\right)=A\cot \left(Bx-C\right)+D$ は、縦や横に伸縮し移動した余接である。例8と例9を見よ。・三角関数のグラフを使えば、現実の筋書きが解ける。例10を見よ。

• An inverse function is one that “undoes” another function. The domain of an inverse function is the range of the original function and the range of an inverse function is the domain of the original function.• Because the trigonometric functions are not one-to-one on their natural domains, inverse trigonometric functions are defined for restricted domains.• For any trigonometric function $f(x),$ if $x=f^{-1}(y),$ then $f(x)=y.$ However, $f(x)=y$ only implies $x=f^{-1}(y)$ if $x$ is in the restricted domain of $f.$ See Example 1.• Special angles are the outputs of inverse trigonometric functions for special input values; for example, $\frac{\pi }{4}={\tan }^{-1}(1)\text{and}\frac{\pi }{6}={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right).$ See Example 2.• A calculator will return an angle within the restricted domain of the original trigonometric function. See Example 3.• Inverse functions allow us to find an angle when given two sides of a right triangle. See Example 4.• In function composition, if the inside function is an inverse trigonometric function, then there are exact expressions; for example, $\sin \left({\cos }^{-1}\left(x\right)\right)=\sqrt{1-x^2}.$ See Example 5.• If the inside function is a trigonometric function, then the only possible combinations are ${\sin }^{-1}\left(\cos x\right)=\frac{\pi }{2}-x$ if $0\le x\le \pi$ and ${\cos }^{-1}\left(\sin x\right)=\frac{\pi }{2}-x$ if $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}.$ See Example 6 and Example 7.• When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, draw a reference triangle to assist in determining the ratio of sides that represents the output of the trigonometric function. See Example 8.• When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, you may use trig identities to assist in determining the ratio of sides. See Example 9.

・逆関数とは、別の関数を「元に戻す」関数である。逆関数の定義域は元の関数の値域であり、逆関数の値域は元の関数の定義域である。・三角関数は自然な定義域では一対一でないので、逆三角関数は制限した定義域で定められる。・どの三角関数 $f(x)$ についても、$x=f^{-1}(y)$ なら $f(x)=y$ である。だが $f(x)=y$ から $x=f^{-1}(y)$ が従うのは、$x$ が $f$ の制限した定義域に入るときだけである。例1を見よ。・特別な角は、特別な入力値に対する逆三角関数の出力である。たとえば $\frac{\pi }{4}={\tan }^{-1}(1)\text{および}\frac{\pi }{6}={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ である。例2を見よ。・電卓は、元の三角関数の制限した定義域に入る角を返す。例3を見よ。・逆関数のおかげで、直角三角形の二辺が与えられたときに角が求められる。例4を見よ。・関数の合成で、内側の関数が逆三角関数なら厳密な式がある。たとえば $\sin \left({\cos }^{-1}\left(x\right)\right)=\sqrt{1-x^2}$ である。例5を見よ。・内側の関数が三角関数なら、ありうる組み合わせは、$0\le x\le \pi$ のときの ${\sin }^{-1}\left(\cos x\right)=\frac{\pi }{2}-x$ と、$-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ のときの ${\cos }^{-1}\left(\sin x\right)=\frac{\pi }{2}-x$ だけである。例6と例7を見よ。・三角関数と逆三角関数の合成の値を求めるときは、基準となる三角形を描くと、その三角関数の出力を表す辺の比を決めるのに役立つ。例8を見よ。・三角関数と逆三角関数の合成の値を求めるとき、三角関数の恒等式を使うと辺の比を決めるのに役立つことがある。例9を見よ。