第8章周期関数Periodic Functions

$\frac{1}{2}$ compressed

$\frac{1}{2}$、縮む

$\frac{\pi }{2};$ right

$\frac{\pi }{2};$ 右

2 units up

上に2単位

midline: $y=0;$ amplitude: $\left|A\right|=\frac{1}{2};$ period: $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}=6\pi ;$ phase shift: $\frac{C}{B}=\pi$

中央線: $y=0;$、振幅: $\left|A\right|=\frac{1}{2};$、周期: $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}=6\pi ;$、位相のずれ: $\frac{C}{B}=\pi$

two possibilities: $y=4\sin \left(\frac{\pi }{5}x-\frac{\pi }{5}\right)+4$ or $y=-4\sin \left(\frac{\pi }{5}x+\frac{4\pi }{5}\right)+4$

二通りありうる: $y=4\sin \left(\frac{\pi }{5}x-\frac{\pi }{5}\right)+4$ または $y=-4\sin \left(\frac{\pi }{5}x+\frac{4\pi }{5}\right)+4$

midline: $y=0;$ amplitude: $\left|A\right|=0.8;$ period: $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}=\pi ;$ phase shift: $\frac{C}{B}=0$ or none

中央線: $y=0;$、振幅: $\left|A\right|=0.8;$、周期: $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}=\pi ;$、位相のずれ: $\frac{C}{B}=0$ または無し

midline: $y=0;$ amplitude: $\left|A\right|=2;$ period: $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}=6;$ phase shift: $\frac{C}{B}=-\frac{1}{2}$

中央線: $y=0;$、振幅: $\left|A\right|=2;$、周期: $P=\frac{2\pi }{\left|B\right|}=6;$、位相のずれ: $\frac{C}{B}=-\frac{1}{2}$

It would be reflected across the line $y=-1,$ becoming an increasing function.

直線 $y=-1$ に関して折り返され、増加する関数になる。

This is a vertical reflection of the preceding graph because $A$ is negative.

$A$ が負なので、これは前のグラフを縦に折り返したものである。

1.9823 or 113.578°

1.9823 すなわち 113.578°

${\sin }^{\mathrm{-1}}(0.6)=\mathrm{36.87°}=0.6435$ radians

${\sin }^{\mathrm{-1}}(0.6)=\mathrm{36.87°}=0.6435$ ラジアン

The sine and cosine functions have the property that $f\left(x+P\right)=f\left(x\right)$ for a certain $P.$ This means that the function values repeat for every $P$ units on the x-axis.

正弦関数と余弦関数は、ある $P$ について $f\left(x+P\right)=f\left(x\right)$ という性質を持つ。つまり、x軸上で $P$ 単位ごとに関数の値が繰り返す。

The absolute value of the constant $A$ (amplitude) increases the total range and the constant $D$ (vertical shift) shifts the graph vertically.

定数 $A$ の絶対値(振幅)が値域の幅を広げ、定数 $D$(縦の移動)がグラフを縦に移す。

At the point where the terminal side of $t$ intersects the unit circle, you can determine that the $\sin t$ equals the y-coordinate of the point.

$t$ の動径が単位円と交わる点で、$\sin t$ がその点の y座標に等しいと決められる。

amplitude: $\frac{2}{3};$ period: $2\pi ;$ midline: $y=0;$ maximum: $y=\frac{2}{3}$ occurs at $x=2\mathrm{\pi };$ minimum: $y=-\frac{2}{3}$ occurs at $x=\pi ;$ for one period, the graph starts at 0 and ends at $2\pi$

振幅: $\frac{2}{3};$、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=0;$、最大値: $y=\frac{2}{3}$($x=2\mathrm{\pi };$ で生じる)、最小値: $y=-\frac{2}{3}$($x=\pi ;$ で生じる)。1周期分のグラフは0から始まり $2\pi$ で終わる。

amplitude: 4; period: $2\pi ;$ midline: $y=0;$ maximum $y=4$ occurs at $x=\frac{\pi }{2};$ minimum: $y=-4$ occurs at $x=\frac{3\pi }{2};$ one full period occurs from $x=0$ to $x=2\pi$

振幅: 4、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=0;$、最大値: $y=4$($x=\frac{\pi }{2};$ で生じる)、最小値: $y=-4$($x=\frac{3\pi }{2};$ で生じる)。1周期は $x=0$ から $x=2\pi$ まで。

amplitude: 1; period: $\pi ;$ midline: $y=0;$ maximum: $y=1$ occurs at $x=\pi ;$ minimum: $y=-1$ occurs at $x=\frac{\pi }{2};$ one full period is graphed from $x=0$ to $x=\pi$

振幅: 1、周期: $\pi ;$、中央線: $y=0;$、最大値: $y=1$($x=\pi ;$ で生じる)、最小値: $y=-1$($x=\frac{\pi }{2};$ で生じる)。1周期分は $x=0$ から $x=\pi$ まで描かれる。

amplitude: 4; period: 2; midline: $y=0;$ maximum: $y=4$ occurs at $x=2;$ minimum: $y=-4$ occurs at $x=1$

振幅: 4、周期: 2、中央線: $y=0;$、最大値: $y=4$($x=2;$ で生じる)、最小値: $y=-4$($x=1$ で生じる)。

amplitude: 3; period: $\frac{\pi }{4};$ midline: $y=5;$ maximum: $y=8$ occurs at $x=0.12;$ minimum: $y=2$ occurs at $x=0.516;$ horizontal shift: $-4;$ vertical translation 5; one period occurs from $x=0$ to $x=\frac{\pi }{4}$

振幅: 3、周期: $\frac{\pi }{4};$、中央線: $y=5;$、最大値: $y=8$($x=0.12;$ で生じる)、最小値: $y=2$($x=0.516;$ で生じる)、横の移動: $-4;$、縦の平行移動: 5。1周期は $x=0$ から $x=\frac{\pi }{4}$ まで。

amplitude: 5; period: $\frac{2\pi }{5};$ midline: $y=\mathrm{-2};$ maximum: $y=3$ occurs at $x=0.08;$ minimum: $y=\mathrm{-7}$ occurs at $x=\mathrm{0.71;}$ phase shift: $\mathrm{-4};$ vertical translation: $\mathrm{-2;}$ one full period can be graphed on $x=0$ to $x=\frac{2\pi }{5}$

振幅: 5、周期: $\frac{2\pi }{5};$、中央線: $y=\mathrm{-2};$、最大値: $y=3$($x=0.08;$ で生じる)、最小値: $y=\mathrm{-7}$($x=\mathrm{0.71;}$ で生じる)、位相のずれ: $\mathrm{-4};$、縦の平行移動: $\mathrm{-2;}$。1周期分は $x=0$ から $x=\frac{2\pi }{5}$ まで描ける。

amplitude: 1 ; period: $2\pi ;$ midline: $y=1;$ maximum: $y=2$ occurs at $x=2.09;$ minimum: $y=0$ occurs at $t=5.24;$ phase shift: $-\frac{\pi }{3};$ vertical translation: 1; one full period is from $t=0$ to $t=2\pi$

振幅: 1、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=1;$、最大値: $y=2$($x=2.09;$ で生じる)、最小値: $y=0$($t=5.24;$ で生じる)、位相のずれ: $-\frac{\pi }{3};$、縦の平行移動: 1。1周期分は $t=0$ から $t=2\pi$ まで。

amplitude: 1; period: $4\pi ;$ midline: $y=0;$ maximum: $y=1$ occurs at $t=11.52;$ minimum: $y=-1$ occurs at $t=5.24;$ phase shift: $-\frac{10\pi }{3};$ vertical shift: 0

振幅: 1、周期: $4\pi ;$、中央線: $y=0;$、最大値: $y=1$($t=11.52;$ で生じる)、最小値: $y=-1$($t=5.24;$ で生じる)、位相のずれ: $-\frac{10\pi }{3};$、縦の移動: 0。

amplitude: 2; midline: $y=-3;$ period: 4; equation: $f(x)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)-3$

振幅: 2、中央線: $y=-3;$、周期: 4、式: $f(x)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)-3$

amplitude: 2; period: 5; midline: $y=3;$ equation: $f(x)=-2\cos \left(\frac{2\pi }{5}x\right)+3$

振幅: 2、周期: 5、中央線: $y=3;$、式: $f(x)=-2\cos \left(\frac{2\pi }{5}x\right)+3$

amplitude: 4; period: 2; midline: $y=0;$ equation: $f(x)=-4\cos \left(\pi \left(x-\frac{\pi }{2}\right)\right)$

振幅: 4、周期: 2、中央線: $y=0;$、式: $f(x)=-4\cos \left(\pi \left(x-\frac{\pi }{2}\right)\right)$

amplitude: 2; period: 2; midline $y=1;$ equation: $f\left(x\right)=2\cos \left(\pi x\right)+1$

振幅: 2、周期: 2、中央線 $y=1;$、式: $f\left(x\right)=2\cos \left(\pi x\right)+1$

$f\left(x\right)=\text{sin}x$ is symmetric

$f\left(x\right)=\text{sin}x$ は対称である。

Maximum: $1$ at $x=0$ ; minimum: $-1$ at $x=\mathrm{\pi }$

最大値: $x=0$ での $1$。最小値: $x=\mathrm{\pi }$ での $-1$。

A linear function is added to a periodic sine function. The graph does not have an amplitude because as the linear function increases without bound the combined function $h\left(x\right)=x+\text{sin}x$ will increase without bound as well. The graph is bounded between the graphs of $y=x+1$ and $y=x-1$ because sine oscillates between −1 and 1.

一次関数が周期を持つ正弦関数に足されている。一次関数が限りなく増えると、合わせた関数 $h\left(x\right)=x+\text{sin}x$ も限りなく増えるので、このグラフに振幅は無い。正弦が−1と1のあいだで振れるので、このグラフは $y=x+1$ と $y=x-1$ のグラフのあいだに挟まれる。

There is no amplitude because the function is not bounded.

この関数は有界でないので、振幅は無い。

The graph is symmetric with respect to the y-axis and there is no amplitude because the function’s bounds decrease as $\left|x\right|$ grows. There appears to be a horizontal asymptote at $y=0$ .

このグラフは y軸に関して対称であり、$\left|x\right|$ が大きくなるにつれてこの関数の上下の限りが小さくなるので、振幅は無い。$y=0$ に水平漸近線があるように見える。

Since $y=\csc x$ is the reciprocal function of $y=\sin x,$ you can plot the reciprocal of the coordinates on the graph of $y=\sin x$ to obtain the y-coordinates of $y=\csc x.$ The x-intercepts of the graph $y=\sin x$ are the vertical asymptotes for the graph of $y=\csc x.$

$y=\csc x$ は $y=\sin x$ の逆数の関数なので、$y=\sin x$ のグラフ上の座標の逆数を打てば $y=\csc x$ の y座標が得られる。グラフ $y=\sin x$ の x切片が、$y=\csc x$ のグラフの垂直漸近線である。

Answers will vary. Using the unit circle, one can show that $\tan \left(x+\pi \right)=\tan x.$

答えはさまざまでよい。単位円を使えば $\tan \left(x+\pi \right)=\tan x$ を示せる。

The period is the same: $2\pi .$

周期は同じで $2\pi$ である。

period: 8; horizontal shift: 1 unit to left

周期: 8、横の移動: 左に1単位

stretching factor: 2; period: $\frac{\pi }{4};$ asymptotes: $x=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{2}+\pi k\right)+8,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: 2、周期: $\frac{\pi }{4};$、漸近線: $x=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{2}+\pi k\right)+8,\text{ここで}k\text{は整数}$

stretching factor: 6; period: 6; asymptotes: $x=3k,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: 6、周期: 6、漸近線: $x=3k,\text{ここで}k\text{は整数}$

stretching factor: 1; period: $\pi ;$ asymptotes: $x=\pi k,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: 1、周期: $\pi ;$、漸近線: $x=\pi k,\text{ここで}k\text{は整数}$

Stretching factor: 1; period: $\pi ;$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: 1、周期: $\pi ;$、漸近線: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ここで}k\text{は整数}$

stretching factor: 2; period: $2\pi ;$ asymptotes: $x=\pi k,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: 2、周期: $2\pi ;$、漸近線: $x=\pi k,\text{ここで}k\text{は整数}$

stretching factor: 4; period: $\frac{2\pi }{3};$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{6}k,\text{ where }k\text{ is an odd integer}$

伸びの倍率: 4、周期: $\frac{2\pi }{3};$、漸近線: $x=\frac{\pi }{6}k,\text{ここで}k\text{は奇数}$

stretching factor: 7; period: $\frac{2\pi }{5};$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{10}k,\text{ where }k\text{ is an odd integer}$

伸びの倍率: 7、周期: $\frac{2\pi }{5};$、漸近線: $x=\frac{\pi }{10}k,\text{ここで}k\text{は奇数}$

stretching factor: 2; period: $2\pi ;$ asymptotes: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: 2、周期: $2\pi ;$、漸近線: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ここで}k\text{は整数}$

stretching factor: $\frac{7}{5};$ period: $2\pi ;$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ where }k\text{ is an integer}$

伸びの倍率: $\frac{7}{5};$、周期: $2\pi ;$、漸近線: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{ここで}k\text{は整数}$

The function $y=\sin x$ is one-to-one on $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right];$ thus, this interval is the range of the inverse function of $y=\sin x,$ $f(x)={\sin }^{-1}x.$ The function $y=\cos x$ is one-to-one on $\left[0,\pi \right];$ thus, this interval is the range of the inverse function of $y=\cos x,f(x)={\cos }^{-1}x.$

関数 $y=\sin x$ は $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right];$ で一対一である。よってこの区間が $y=\sin x$ $f(x)={\sin }^{-1}x$ の逆関数の値域になる。関数 $y=\cos x$ は $\left[0,\pi \right];$ で一対一である。よってこの区間が $y=\cos x,f(x)={\cos }^{-1}x$ の逆関数の値域になる。

$\frac{\pi }{6}$ is the radian measure of an angle between $-\frac{\pi }{2}$ and $\frac{\pi }{2}$ whose sine is 0.5.

$\frac{\pi }{6}$ は、正弦が0.5である $-\frac{\pi }{2}$ と $\frac{\pi }{2}$ のあいだの角の、ラジアンでの大きさである。

In order for any function to have an inverse, the function must be one-to-one and must pass the horizontal line test. The regular sine function is not one-to-one unless its domain is restricted in some way. Mathematicians have agreed to restrict the sine function to the interval $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ so that it is one-to-one and possesses an inverse.

どんな関数も逆関数を持つには、一対一であり、横の直線の判定に通らなければならない。ふつうの正弦関数は、定義域を何らかのしかたで制限しない限り一対一でない。数学者は、正弦関数が一対一になって逆関数を持つよう、定義域を区間 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ に制限することで合意している。

True . The angle, ${\theta }_1$ that equals $\arccos (-x)$, $x>0$, will be a second quadrant angle with reference angle, ${\theta }_2$, where ${\theta }_2$ equals $\arccos x$, $x>0$. Since ${\theta }_2$ is the reference angle for ${\theta }_1$, ${\theta }_2=\pi -{\theta }_1$ and $\arccos (-x)$ = $\pi -\arccos x$-

正しい。$\arccos (-x)$、$x>0$ に等しい角 ${\theta }_1$ は、基準角 ${\theta }_2$ を持つ第2象限の角になる。ここで ${\theta }_2$ は $\arccos x$、$x>0$ に等しい。${\theta }_2$ は ${\theta }_1$ の基準角なので、${\theta }_2=\pi -{\theta }_1$ であり $\arccos (-x)$ = $\pi -\arccos x$ である。

0.56 radians

0.56ラジアン

domain $\left[-1,1\right];$ range $\left[0,\pi \right]$

定義域 $\left[-1,1\right];$、値域 $\left[0,\pi \right]$

approximately $x=0.00$

およそ $x=0.00$

0.395 radians

0.395ラジアン

1.11 radians

1.11ラジアン

1.25 radians

1.25ラジアン

0.405 radians

0.405ラジアン

No. The angle the ladder makes with the horizontal is 60 degrees.

いいえ。梯子が水平線となす角は60度である。

amplitude: 3; period: $2\pi ;$ midline: $y=3;$ no asymptotes

振幅: 3、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=3;$、漸近線は無い。

amplitude: 3; period: $2\pi ;$ midline: $y=0;$ no asymptotes

振幅: 3、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=0;$、漸近線は無い。

amplitude: 3; period: $2\pi ;$ midline: $y=-4;$ no asymptotes

振幅: 3、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=-4;$、漸近線は無い。

amplitude: 6; period: $\frac{2\pi }{3};$ midline: $y=-1;$ no asymptotes

振幅: 6、周期: $\frac{2\pi }{3};$、中央線: $y=-1;$、漸近線は無い。

stretching factor: none; period: $\pi ;$ midline: $y=-4;$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,$ where $k$ is an integer

伸びの倍率: 無し、周期: $\pi ;$、中央線: $y=-4;$、漸近線: $k$ を整数として $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$

stretching factor: 3; period: $\frac{\pi }{4};$ midline: $y=-2;$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{4}k,$ where $k$ is an integer

伸びの倍率: 3、周期: $\frac{\pi }{4};$、中央線: $y=-2;$、漸近線: $k$ を整数として $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{4}k$

amplitude: none; period: $2\pi ;$ no phase shift; asymptotes: $x=\frac{\pi }{2}k,$ where $k$ is an odd integer

振幅: 無し、周期: $2\pi ;$、位相のずれは無い、漸近線: $k$ を奇数として $x=\frac{\pi }{2}k$

amplitude: none; period: $\frac{2\pi }{5};$ no phase shift; asymptotes: $x=\frac{\pi }{5}k,$ where $k$ is an integer

振幅: 無し、周期: $\frac{2\pi }{5};$、位相のずれは無い、漸近線: $k$ を整数として $x=\frac{\pi }{5}k$

amplitude: none; period: $4\pi ;$ no phase shift; asymptotes: $x=2\pi k,$ where $k$ is an integer

振幅: 無し、周期: $4\pi ;$、位相のずれは無い、漸近線: $k$ を整数として $x=2\pi k$

largest: 20,000; smallest: 4,000

最大: 20,000、最小: 4,000

amplitude: 8,000; period: 10; phase shift: 0

振幅: 8,000、周期: 10、位相のずれ: 0

In 2007, the predicted population is 4,413. In 2010, the population will be 11,924.

2007年の人口の予測は4,413である。2010年の人口は11,924になる。

5 in.

5インチ

10 seconds

10秒

No solution

解なし

The graphs are not symmetrical with respect to the line $y=x.$ They are symmetrical with respect to the $y$-axis.

このグラフは直線 $y=x$ に関して対称でない。$y$ 軸に関して対称である。

The graphs appear to be identical.

このグラフは同じに見える。

amplitude: 0.5; period: $2\pi ;$ midline $y=0$

振幅: 0.5、周期: $2\pi ;$、中央線 $y=0$

amplitude: 5; period: $2\pi ;$ midline: $y=0$

振幅: 5、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=0$

amplitude: 1; period: $2\pi ;$ midline: $y=1$

振幅: 1、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=1$

amplitude: 3; period: $6\pi ;$ midline: $y=0$

振幅: 3、周期: $6\pi ;$、中央線: $y=0$

amplitude: none; period: $\pi ;$ midline: $y=0,$ asymptotes: $x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,$ where $k$ is an integer

振幅: 無し、周期: $\pi ;$、中央線: $y=0$、漸近線: $k$ を整数として $x=\frac{2\pi }{3}+\pi k$

amplitude: none; period: $\frac{2\pi }{3};$ midline: $y=0,$ asymptotes: $x=\frac{\pi }{3}k,$ where $k$ is an integer

振幅: 無し、周期: $\frac{2\pi }{3};$、中央線: $y=0$、漸近線: $k$ を整数として $x=\frac{\pi }{3}k$

amplitude: none; period: $2\pi ;$ midline: $y=-3$

振幅: 無し、周期: $2\pi ;$、中央線: $y=-3$

amplitude: 2; period: 2; midline: $y=0;$ $f\left(x\right)=2\sin \left(\pi \left(x-1\right)\right)$

振幅: 2、周期: 2、中央線: $y=0;$、$f\left(x\right)=2\sin \left(\pi \left(x-1\right)\right)$

amplitude: 1; period: 12; phase shift: $\mathrm{-6};$ midline $y=\mathrm{-3}$

振幅: 1、周期: 12、位相のずれ: $\mathrm{-6};$、中央線 $y=\mathrm{-3}$

period: $\frac{\pi }{6};$ horizontal shift: $\mathrm{-7}$

周期: $\frac{\pi }{6};$、横の移動: $\mathrm{-7}$

$f\left(x\right)=\sec \left(\pi x\right);$ period: 2; phase shift: 0

$f\left(x\right)=\sec \left(\pi x\right);$、周期: 2、位相のずれ: 0

The views are different because the period of the wave is $\frac{1}{25}.$ Over a bigger domain, there will be more cycles of the graph.

この波の周期が $\frac{1}{25}$ なので、見え方が違う。定義域が広いほど、グラフの周期の数が増える。

On the approximate intervals $\left(0.5,1\right),\left(1.6,2.1\right),\left(2.6,3.1\right),\left(3.7,4.2\right),\left(4.7,5.2\right),(5.6,6.28)$

およそ区間 $\left(0.5,1\right),\left(1.6,2.1\right),\left(2.6,3.1\right),\left(3.7,4.2\right),\left(4.7,5.2\right),(5.6,6.28)$ で。

This graph is periodic with a period of $2\pi .$

このグラフは周期 $2\pi$ の周期を持つ。

False

正しくない

approximately 0.07 radians

およそ0.07ラジアン