第8章周期関数Periodic Functions

8.3 Inverse Trigonometric Functions8.3 逆三角関数

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Understand and use the inverse sine, cosine, and tangent functions.• Find the exact value of expressions involving the inverse sine, cosine, and tangent functions.• Use a calculator to evaluate inverse trigonometric functions.• Find exact values of composite functions with inverse trigonometric functions.

・逆正弦・逆余弦・逆正接の関数を理解して使う。・逆正弦・逆余弦・逆正接の関数を含む式の厳密な値を求める。・電卓で逆三角関数の値を求める。・逆三角関数を含む合成関数の厳密な値を求める。

For any right triangle, given one other angle and the length of one side, we can figure out what the other angles and sides are. But what if we are given only two sides of a right triangle? We need a procedure that leads us from a ratio of sides to an angle. This is where the notion of an inverse to a trigonometric function comes into play. In this section, we will explore the inverse trigonometric functions.

どの直角三角形でも、もう一つの角と一辺の長さが与えられれば、残りの角と辺が求められる。だが、直角三角形の二辺だけが与えられたらどうか。辺の比から角に導く手順が要る。ここで、三角関数の逆という考えが出てくる。この節では逆三角関数を調べる。

Understanding and Using the Inverse Sine, Cosine, and Tangent Functions逆正弦・逆余弦・逆正接の関数を理解して使う

In order to use inverse trigonometric functions, we need to understand that an inverse trigonometric function “undoes” what the original trigonometric function “does,” as is the case with any other function and its inverse. In other words, the domain of the inverse function is the range of the original function, and vice versa, as summarized in Figure 1.

逆三角関数を使うには、ほかのどの関数とその逆関数でもそうであるように、逆三角関数が元の三角関数の「すること」を「元に戻す」と理解する必要がある。言い換えれば、図1にまとめたとおり、逆関数の定義域は元の関数の値域であり、その逆も成り立つ。

A chart that says “Trig Functinos”, “Inverse Trig Functions”, “Domain: Measure of an angle”, “Domain: Ratio”, “Range: Ratio”, and “Range: Measure of an angle”.

For example, if $f (x) = \sin x,$ then we would write $f^{- 1} (x) = \sin^{- 1} x .$ Be aware that $\sin^{- 1} x$ does not mean $\frac{1}{\sin x} .$ The following examples illustrate the inverse trigonometric functions:

たとえば $f (x) = \sin x$ なら $f^{- 1} (x) = \sin^{- 1} x$ と書く。 $\sin^{- 1} x$ が $\frac{1}{\sin x}$ を意味しないことに注意せよ。次の例が逆三角関数を示している。

• Since $sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2},$ then $\frac{π}{6} = {sin}^{- 1} (\frac{1}{2}) .$ • Since $\cos (π) = - 1,$ then $π = \cos^{- 1} (- 1) .$ • Since $\tan (\frac{π}{4}) = 1,$ then $\frac{π}{4} = \tan^{- 1} (1) .$

・ $sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ なので $\frac{π}{6} = {sin}^{- 1} (\frac{1}{2})$ である。・ $\cos (π) = - 1$ なので $π = \cos^{- 1} (- 1)$ である。・ $\tan (\frac{π}{4}) = 1$ なので $\frac{π}{4} = \tan^{- 1} (1)$ である。

In previous sections, we evaluated the trigonometric functions at various angles, but at times we need to know what angle would yield a specific sine, cosine, or tangent value. For this, we need inverse functions. Recall that, for a one-to-one function, if $f (a) = b,$ then an inverse function would satisfy $f^{- 1} (b) = a .$

前の節では、さまざまな角で三角関数の値を求めたが、ある正弦・余弦・正接の値になる角を知りたいこともある。そのためには逆関数が要る。一対一の関数について、 $f (a) = b$ なら逆関数は $f^{- 1} (b) = a$ を満たすことを思い出そう。

Bear in mind that the sine, cosine, and tangent functions are not one-to-one functions. The graph of each function would fail the horizontal line test. In fact, no periodic function can be one-to-one because each output in its range corresponds to at least one input in every period, and there are an infinite number of periods. As with other functions that are not one-to-one, we will need to restrict the domain of each function to yield a new function that is one-to-one. We choose a domain for each function that includes the number 0. Figure 2 shows the graph of the sine function limited to $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ and the graph of the cosine function limited to $[0, π] .$

正弦・余弦・正接の関数は一対一の関数でないことを心にとめておこう。それぞれの関数のグラフは横の直線の判定に落ちる。実際、どの周期関数も一対一にはなりえない。値域のどの出力も、どの周期でも少なくとも一つの入力に対応し、周期は無限にあるからである。一対一でないほかの関数と同じく、一対一である新しい関数を得るために、各関数の定義域を制限する必要がある。どの関数についても、数0を含む定義域を選ぶ。図2に、 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ に限った正弦関数のグラフと、 $[0, π]$ に限った余弦関数のグラフを示す。

Two side-by-side graphs. The first graph, graph A, shows half of a period of the function sine of x. The second graph, graph B, shows half a period of the function cosine of x. — Figure 2 (a) Sine function on a restricted domain of $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}];$ (b) Cosine function on a restricted domain of $[0, π]$ 図2 (a) 定義域を $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}];$ に制限した正弦関数。(b) 定義域を $[0, π]$ に制限した余弦関数。

Figure 3 shows the graph of the tangent function limited to $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) .$

図3に、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ に限った正接関数のグラフを示す。

A graph of one period of tangent of x, from -pi/2 to pi/2. — Figure 3 Tangent function on a restricted domain of $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 図3 定義域を $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ に制限した正接関数

These conventional choices for the restricted domain are somewhat arbitrary, but they have important, helpful characteristics. Each domain includes the origin and some positive values, and most importantly, each results in a one-to-one function that is invertible. The conventional choice for the restricted domain of the tangent function also has the useful property that it extends from one vertical asymptote to the next instead of being divided into two parts by an asymptote.

制限した定義域のこの決まった選び方はいくらか恣意的だが、大切で役立つ特徴を持つ。どの定義域も原点といくつかの正の値を含み、そして最も大切なことに、どれも逆関数を持つ一対一の関数になる。正接関数の制限した定義域の決まった選び方には、漸近線で二つに分けられるのではなく、一本の垂直漸近線から次の垂直漸近線まで伸びるという役立つ性質もある。

On these restricted domains, we can define the inverse trigonometric functions.

この制限した定義域の上で、逆三角関数が定められる。

• The inverse sine function $y = \sin^{- 1} x$ means $x = \sin y .$ The inverse sine function is sometimes called the arcsine function, and notated $\arcsin x .$ $y = \sin^{- 1} x has domain [−1, 1] and range [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ • The inverse cosine function $y = \cos^{- 1} x$ means $x = \cos y .$ The inverse cosine function is sometimes called the arccosine function, and notated $\arccos x .$ $y = \cos^{- 1} x has domain [−1, 1] and range [0, π]$ • The inverse tangent function $y = \tan^{- 1} x$ means $x = \tan y .$ The inverse tangent function is sometimes called the arctangent function, and notated $\arctan x .$ $y = \tan^{- 1} x has domain (−∞, \infty) and range (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

・逆正弦関数 $y = \sin^{- 1} x$ は $x = \sin y$ を意味する。逆正弦関数はアークサイン関数とも呼ばれ、 $\arcsin x$ $y = \sin^{- 1} x の定義域： [−1, 1] および値域： [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ と書かれる。・逆余弦関数 $y = \cos^{- 1} x$ は $x = \cos y$ を意味する。逆余弦関数はアークコサイン関数とも呼ばれ、 $\arccos x$ $y = \cos^{- 1} x の定義域： [−1, 1] および値域： [0, π]$ と書かれる。・逆正接関数 $y = \tan^{- 1} x$ は $x = \tan y$ を意味する。逆正接関数はアークタンジェント関数とも呼ばれ、 $\arctan x$ $y = \tan^{- 1} x の定義域： (−∞, \infty) および値域： (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ と書かれる。

The graphs of the inverse functions are shown in Figure 4, Figure 5, and Figure 6. Notice that the output of each of these inverse functions is a number, an angle in radian measure. We see that $\sin^{- 1} x$ has domain $[−1, 1]$ and range $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ $\cos^{- 1} x$ has domain $[−1,1]$ and range $[0, π],$ and $\tan^{- 1} x$ has domain of all real numbers and range $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) .$ To find the domain and range of inverse trigonometric functions, switch the domain and range of the original functions. Each graph of the inverse trigonometric function is a reflection of the graph of the original function about the line $y = x .$

逆関数のグラフを図4、図5、図6に示す。この逆関数の出力がどれも数、すなわちラジアンで測った角であることに注目しよう。 $\sin^{- 1} x$ の定義域は $[−1, 1]$ 、値域は $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ であり、 $\cos^{- 1} x$ の定義域は $[−1,1]$ 、値域は $[0, π]$ 、 $\tan^{- 1} x$ の定義域は実数全体、値域は $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ である。逆三角関数の定義域と値域を求めるには、元の関数の定義域と値域を入れ替える。逆三角関数の各グラフは、元の関数のグラフを直線 $y = x$ に関して折り返したものである。

A graph of the functions of sine of x and arc sine of x. There is a dotted line y=x between the two graphs, to show inverse nature of the two functions — Figure 4 The sine function and inverse sine (or arcsine) function図4 正弦関数と逆正弦(すなわちアークサイン)関数

A graph of the functions of cosine of x and arc cosine of x. There is a dotted line at y=x to show the inverse nature of the two functions. — Figure 5 The cosine function and inverse cosine (or arccosine) function図5 余弦関数と逆余弦(すなわちアークコサイン)関数

A graph of the functions of tangent of x and arc tangent of x. There is a dotted line at y=x to show the inverse nature of the two functions. — Figure 6 The tangent function and inverse tangent (or arctangent) function図6 正接関数と逆正接(すなわちアークタンジェント)関数

Relations for Inverse Sine, Cosine, and Tangent Functions 逆正弦・逆余弦・逆正接の関係

For angles in the interval $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ if $\sin y = x,$ then $\sin^{- 1} x = y .$

区間 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ の角について、 $\sin y = x$ なら $\sin^{- 1} x = y$ である。

For angles in the interval $[0, π],$ if $\cos y = x,$ then $\cos^{- 1} x = y .$

区間 $[0, π]$ の角について、 $\cos y = x$ なら $\cos^{- 1} x = y$ である。

For angles in the interval $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}),$ if $\tan y = x,$ then $\tan^{- 1} x = y .$

区間 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ の角について、 $\tan y = x$ なら $\tan^{- 1} x = y$ である。

Example 1例1

Writing a Relation for an Inverse Function逆関数の関係式を書く

Given $\sin (\frac{5 π}{12}) \approx 0.96593,$ write a relation involving the inverse sine.

$\sin (\frac{5 π}{12}) \approx 0.96593$ が与えられたとき、逆正弦を含む関係式を書け。

Solution 解答

Use the relation for the inverse sine. If $\sin y = x,$ then $\sin^{- 1} x = y$ .

逆正弦の関係を使う。 $\sin y = x$ なら $\sin^{- 1} x = y$ である。

In this problem, $x = 0.96593,$ and $y = \frac{5 π}{12} .$

この問題では $x = 0.96593$ かつ $y = \frac{5 π}{12}$ である。

\sin^{- 1} (0.96593) \approx \frac{5 π}{12}

Try It #1やってみよう1

Given $\cos (0.5) \approx 0.8776,$ write a relation involving the inverse cosine.

$\cos (0.5) \approx 0.8776,$ が与えられたとき、逆余弦を含む関係式を書け。

Finding the Exact Value of Expressions Involving the Inverse Sine, Cosine, and Tangent Functions逆正弦・逆余弦・逆正接の関数を含む式の厳密な値を求める

Now that we can identify inverse functions, we will learn to evaluate them. For most values in their domains, we must evaluate the inverse trigonometric functions by using a calculator, interpolating from a table, or using some other numerical technique. Just as we did with the original trigonometric functions, we can give exact values for the inverse functions when we are using the special angles, specifically $\frac{π}{6}$ (30°), $\frac{π}{4}$ (45°), and $\frac{π}{3}$ (60°), and their reflections into other quadrants.

逆関数が見分けられるようになったので、その値の求め方を学ぼう。定義域のほとんどの値では、電卓を使うか、表から補間するか、ほかの数値の手法を使って逆三角関数の値を求めなければならない。元の三角関数でしたのと同じく、特別な角、とくに $\frac{π}{6}$ (30°)、 $\frac{π}{4}$ (45°)、 $\frac{π}{3}$ (60°)と、それをほかの象限に折り返したものを使うときは、逆関数の厳密な値が示せる。

How To 手順

Given a “special” input value, evaluate an inverse trigonometric function.

「特別な」入力値が与えられたとき、逆三角関数の値を求める。

1. Find angle $x$ for which the original trigonometric function has an output equal to the given input for the inverse trigonometric function.2. If $x$ is not in the defined range of the inverse, find another angle $y$ that is in the defined range and has the same sine, cosine, or tangent as $x,$ depending on which corresponds to the given inverse function.

1. 元の三角関数の出力が、逆三角関数に与えられた入力に等しくなる角 $x$ を求める。2. $x$ が逆関数の定められた値域に入らないなら、その値域に入り、与えられた逆関数に応じて $x$ と同じ正弦・余弦・正接を持つ別の角 $y$ を求める。

Example 2例2

Evaluating Inverse Trigonometric Functions for Special Input Values特別な入力値で逆三角関数の値を求める

Evaluate each of the following.

次のそれぞれの値を求めよ。

ⓐ ${sin}^{- 1} (\frac{1}{2})$ ⓑ ${sin}^{- 1} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ⓒ $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ⓓ $\tan^{- 1} (1)$

Solution 解答

ⓐEvaluating $\sin^{- 1} (\frac{1}{2})$ is the same as determining the angle that would have a sine value of $\frac{1}{2} .$ In other words, what angle $x$ would satisfy $\sin (x) = \frac{1}{2} ?$ There are multiple values that would satisfy this relationship, such as $\frac{π}{6}$ and $\frac{5 π}{6},$ but we know we need the angle in the interval $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ so the answer will be $\sin^{- 1} (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6} .$ Remember that the inverse is a function, so for each input, we will get exactly one output.ⓑTo evaluate $\sin^{- 1} (- \frac{\sqrt{2}}{2}),$ we know that $\frac{5 π}{4}$ and $\frac{7 π}{4}$ both have a sine value of $- \frac{\sqrt{2}}{2},$ but neither is in the interval $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .$ For that, we need the negative angle coterminal with $\frac{7 π}{4} :$ ${sin}^{- 1} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{π}{4} .$ ⓒTo evaluate $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2}),$ we are looking for an angle in the interval $[0, π]$ with a cosine value of $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$ The angle that satisfies this is $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5 π}{6} .$ ⓓEvaluating $\tan^{- 1} (1),$ we are looking for an angle in the interval $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ with a tangent value of 1. The correct angle is $\tan^{- 1} (1) = \frac{π}{4} .$

ⓐ $\sin^{- 1} (\frac{1}{2})$ の値を求めるのは、正弦の値が $\frac{1}{2}$ になる角を決めるのと同じである。言い換えれば、どの角 $x$ が $\sin (x) = \frac{1}{2} ?$ を満たすか。この関係を満たす値は $\frac{π}{6}$ や $\frac{5 π}{6}$ など複数あるが、区間 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ の角が要ると分かっているので、答えは $\sin^{- 1} (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$ になる。逆関数は関数なので、どの入力に対しても出力はちょうど一つだけであることを忘れないでほしい。ⓑ $\sin^{- 1} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の値を求めるには、 $\frac{5 π}{4}$ と $\frac{7 π}{4}$ がどちらも正弦の値 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ を持つと分かっているが、どちらも区間 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ に入らない。そのためには、 $\frac{7 π}{4} :$ と動径が一致する負の角 ${sin}^{- 1} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{π}{4}$ が要る。ⓒ $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の値を求めるには、余弦の値が $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ である、区間 $[0, π]$ の角を探す。これを満たす角は $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5 π}{6}$ である。ⓓ $\tan^{- 1} (1)$ の値を求めるには、正接の値が1である、区間 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ の角を探す。正しい角は $\tan^{- 1} (1) = \frac{π}{4}$ である。

Try It #2やってみよう2

Evaluate each of the following.

次のそれぞれの値を求めよ。

ⓐ ${sin}^{−1} (−1)$ ⓑ $\tan^{−1} (−1)$ ⓒ $\cos^{−1} (−1)$ ⓓ $\cos^{−1} (\frac{1}{2})$

Using a Calculator to Evaluate Inverse Trigonometric Functions電卓で逆三角関数の値を求める

To evaluate inverse trigonometric functions that do not involve the special angles discussed previously, we will need to use a calculator or other type of technology. Most scientific calculators and calculator-emulating applications have specific keys or buttons for the inverse sine, cosine, and tangent functions. These may be labeled, for example, SIN $^{−1}$ , ARCSIN, or ASIN.

先に論じた特別な角を含まない逆三角関数の値を求めるには、電卓かほかの機器を使う必要がある。ほとんどの関数電卓や電卓を模した応用算譜には、逆正弦・逆余弦・逆正接の関数の専用のキーやボタンがある。たとえば SIN $^{−1}$ 、ARCSIN、ASIN などと書かれている。

In the previous chapter, we worked with trigonometry on a right triangle to solve for the sides of a triangle given one side and an additional angle. Using the inverse trigonometric functions, we can solve for the angles of a right triangle given two sides, and we can use a calculator to find the values to several decimal places.

前の章では、直角三角形の三角法を使い、一辺と一つの角が与えられたときに三角形の辺を求めた。逆三角関数を使えば、二辺が与えられたときに直角三角形の角が求められ、電卓を使えば小数点以下数桁まで値が求められる。

In these examples and exercises, the answers will be interpreted as angles and we will use $θ$ as the independent variable. The value displayed on the calculator may be in degrees or radians, so be sure to set the mode appropriate to the application.

この例と問題では、答えを角として読み解き、独立変数に $θ$ を使う。電卓に表示される値は度かラジアンなので、用途に合ったモードを必ず設定すること。

Example 3例3

Evaluating the Inverse Sine on a Calculator電卓で逆正弦の値を求める

Evaluate $\sin^{- 1} (0.97)$ using a calculator.

電卓を使って $\sin^{- 1} (0.97)$ の値を求めよ。

Solution 解答

Because the output of the inverse function is an angle, the calculator will give us a degree value if in degree mode and a radian value if in radian mode. Calculators also use the same domain restrictions on the angles as we are using.

逆関数の出力は角なので、電卓は度のモードなら度の値を、ラジアンのモードならラジアンの値を与える。電卓も、ここで使っているのと同じ角の定義域の制限を使う。

In radian mode, $\sin^{- 1} (0.97) \approx 1.3252.$ In degree mode, $\sin^{- 1} (0.97) \approx 75.93°.$ Note that in calculus and beyond we will use radians in almost all cases.

ラジアンのモードでは $\sin^{- 1} (0.97) \approx 1.3252.$ である。度のモードでは $\sin^{- 1} (0.97) \approx 75.93°.$ である。微積分より先では、ほとんどの場合ラジアンを使うことに注意せよ。

Try It #3やってみよう3

Evaluate $\cos^{- 1} (- 0.4)$ using a calculator.

電卓を使って $\cos^{- 1} (- 0.4)$ の値を求めよ。

How To 手順

Given two sides of a right triangle like the one shown in Figure 7, find an angle.

図7に示すような直角三角形の二辺が与えられたとき、角を求める。

An illustration of a right triangle with an angle theta. Adjacent to theta is the side a, opposite theta is the side p, and the hypoteneuse is side h.

1. If one given side is the hypotenuse of length $h$ and the side of length $a$ adjacent to the desired angle is given, use the equation $θ = \cos^{- 1} (\frac{a}{h}) .$ 2. If one given side is the hypotenuse of length $h$ and the side of length $p$ opposite to the desired angle is given, use the equation $θ = \sin^{- 1} (\frac{p}{h}) .$ 3. If the two legs (the sides adjacent to the right angle) are given, then use the equation $θ = \tan^{- 1} (\frac{p}{a}) .$

1. 与えられた一辺が長さ $h$ の斜辺で、求めたい角の隣辺の長さ $a$ が与えられているなら、式 $θ = \cos^{- 1} (\frac{a}{h})$ を使う。2. 与えられた一辺が長さ $h$ の斜辺で、求めたい角の対辺の長さ $p$ が与えられているなら、式 $θ = \sin^{- 1} (\frac{p}{h})$ を使う。3. 二つの脚(直角を挟む二辺)が与えられているなら、式 $θ = \tan^{- 1} (\frac{p}{a})$ を使う。

Example 4例4

Applying the Inverse Cosine to a Right Triangle直角三角形に逆余弦を当てはめる

Solve the triangle in Figure 8 for the angle $θ .$

図8の三角形について、角 $θ$ を求めよ。

An illustration of a right triangle with the angle theta. Adjacent to the angle theta is a side with a length of 9 and a hypoteneuse of length 12.

Solution 解答

Because we know the hypotenuse and the side adjacent to the angle, it makes sense for us to use the cosine function.

斜辺とその角の隣辺が分かっているので、余弦関数を使うのが理にかなっている。

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{9}{12} & \begin{matrix}  \end{matrix} \\ θ = \cos^{- 1} (\frac{9}{12}) & \begin{matrix}  \end{matrix} Apply definition of the inverse . \\ θ \approx 0.7227 or about 41.4096° & \begin{matrix}  \end{matrix} Evaluate . \end{array}

Try It #4やってみよう4

Solve the triangle in Figure 9 for the angle $θ .$

図9の三角形について、角 $θ$ を求めよ。

An illustration of a right triangle with the angle theta. Opposite to the angle theta is a side with a length of 6 and a hypoteneuse of length 10.

Finding Exact Values of Composite Functions with Inverse Trigonometric Functions逆三角関数を含む合成関数の厳密な値を求める

There are times when we need to compose a trigonometric function with an inverse trigonometric function. In these cases, we can usually find exact values for the resulting expressions without resorting to a calculator. Even when the input to the composite function is a variable or an expression, we can often find an expression for the output. To help sort out different cases, let $f (x)$ and $g (x)$ be two different trigonometric functions belonging to the set ${\sin (x), \cos (x), \tan (x)}$ and let $f^{- 1} (y)$ and $g^{- 1} (y)$ be their inverses.

三角関数と逆三角関数を合成する必要が生じることがある。その場合、たいてい電卓に頼らずに、できあがる式の厳密な値が求められる。合成関数への入力が変数や式であっても、しばしば出力の式が求められる。いろいろな場合を整理するために、 $f (x)$ と $g (x)$ を集合 ${\sin (x), \cos (x), \tan (x)}$ に属する二つの違う三角関数とし、 $f^{- 1} (y)$ と $g^{- 1} (y)$ をその逆関数とする。

Evaluating Compositions of the Form f(f⁻¹(y)) and f⁻¹(f(x))f(f−1(y)) と f−1(f(x)) の形の合成の値を求める

For any trigonometric function, $f (f^{- 1} (y)) = y$ for all $y$ in the proper domain for the given function. This follows from the definition of the inverse and from the fact that the range of $f$ was defined to be identical to the domain of $f^{- 1} .$ However, we have to be a little more careful with expressions of the form $f^{- 1} (f (x)) .$

どの三角関数についても、与えられた関数の正しい定義域のすべての $y$ について $f (f^{- 1} (y)) = y$ である。これは逆関数の定義と、 $f$ の値域が $f^{- 1}$ の定義域と同じになるよう定められたことから従う。だが $f^{- 1} (f (x))$ の形の式には、もう少し気をつけなければならない。

Compositions of a trigonometric function and its inverse 三角関数とその逆関数の合成

\begin{array}{l} \sin (\sin^{- 1} x) = x for - 1 \leq x \leq 1 \\ \cos (\cos^{- 1} x) = x for - 1 \leq x \leq 1 \\ \tan (\tan^{- 1} x) = x for - \infty < x < \infty \end{array}

\begin{array}{l} \sin^{- 1} (\sin x) = x only for - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} \\ \cos^{- 1} (\cos x) = x only for 0 \leq x \leq π \\ \tan^{- 1} (\tan x) = x only for - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \end{array}

Q&A 疑問と答え

Is it correct that $\sin^{- 1} (\sin x) = x ?$

$\sin^{- 1} (\sin x) = x ?$ は正しいか。

No. This equation is correct if $x$ belongs to the restricted domain $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ but sine is defined for all real input values, and for $x$ outside the restricted interval, the equation is not correct because its inverse always returns a value in $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .$ The situation is similar for cosine and tangent and their inverses. For example, $\sin^{- 1} (\sin (\frac{3 π}{4})) = \frac{π}{4} .$

いいえ。この式は $x$ が制限した定義域 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ に属するなら正しいが、正弦はすべての実数の入力について定義されており、制限した区間の外の $x$ については、逆関数がつねに $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ の値を返すのでこの式は正しくない。余弦と正接、およびその逆関数でも同じである。たとえば $\sin^{- 1} (\sin (\frac{3 π}{4})) = \frac{π}{4}$ である。

How To 手順

Given an expression of the form f⁻¹(f(θ)) where $f (θ) = \sin θ, \cos θ, or \tan θ,$ evaluate.

$f (θ) = \sin θ, \cos θ, または \tan θ$ として f−1(f(θ)) の形の式が与えられたとき、値を求める。

1. If $θ$ is in the restricted domain of $f, then f^{- 1} (f (θ)) = θ .$ 2. If not, then find an angle $ϕ$ within the restricted domain of $f$ such that $f (ϕ) = f (θ) .$ Then $f^{- 1} (f (θ)) = ϕ .$

1. $θ$ が $f, したがって f^{- 1} (f (θ)) = θ$ の制限した定義域に入るなら、2. そうでないなら、 $f (ϕ) = f (θ)$ となる $f$ の制限した定義域の中の角 $ϕ$ を求める。すると $f^{- 1} (f (θ)) = ϕ$ である。

Example 5例5

Using Inverse Trigonometric Functions逆三角関数を使う

Evaluate the following:

次の値を求めよ。

ⓐ $\sin^{- 1} (\sin (\frac{π}{3}))$ ⓑ $\sin^{- 1} (\sin (\frac{2 π}{3}))$ ⓒ $\cos^{- 1} (\cos (\frac{2 π}{3}))$ ⓓ $\cos^{- 1} (\cos (- \frac{π}{3}))$

Solution 解答

ⓐ $\frac{π}{3} is in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ so $\sin^{- 1} (\sin (\frac{π}{3})) = \frac{π}{3} .$ ⓑ $\frac{2 π}{3} is not in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ but $\sin (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{3}),$ so $\sin^{- 1} (\sin (\frac{2 π}{3})) = \frac{π}{3} .$ ⓒ $\frac{2 π}{3} is in [0, π],$ so $\cos^{- 1} (\cos (\frac{2 π}{3})) = \frac{2 π}{3} .$ ⓓ $- \frac{π}{3} is not in [0, π],$ but $\cos (- \frac{π}{3}) = \cos (\frac{π}{3})$ because cosine is an even function. $\frac{π}{3} is in [0, π],$ so $\cos^{- 1} (\cos (- \frac{π}{3})) = \frac{π}{3} .$

ⓐ $\frac{π}{3} is in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ なので $\sin^{- 1} (\sin (\frac{π}{3})) = \frac{π}{3}$ である。ⓑ $\frac{2 π}{3} is not in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ だが $\sin (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{3})$ なので $\sin^{- 1} (\sin (\frac{2 π}{3})) = \frac{π}{3}$ である。ⓒ $\frac{2 π}{3} is in [0, π]$ なので $\cos^{- 1} (\cos (\frac{2 π}{3})) = \frac{2 π}{3}$ である。ⓓ $- \frac{π}{3} is not in [0, π]$ だが、余弦は偶関数なので $\cos (- \frac{π}{3}) = \cos (\frac{π}{3})$ である。 $\frac{π}{3} is in [0, π]$ なので $\cos^{- 1} (\cos (- \frac{π}{3})) = \frac{π}{3}$ である。

Try It #5やってみよう5

Evaluate $\tan^{- 1} (\tan (\frac{π}{8})) and \tan^{- 1} (\tan (\frac{11 π}{9})) .$

$\tan^{- 1} (\tan (\frac{π}{8})) および \tan^{- 1} (\tan (\frac{11 π}{9}))$ の値を求めよ。

Evaluating Compositions of the Form f⁻¹(g(x))f−1(g(x)) の形の合成の値を求める

Now that we can compose a trigonometric function with its inverse, we can explore how to evaluate a composition of a trigonometric function and the inverse of another trigonometric function. We will begin with compositions of the form $f^{- 1} (g (x)) .$ For special values of $x,$ we can exactly evaluate the inner function and then the outer, inverse function. However, we can find a more general approach by considering the relation between the two acute angles of a right triangle where one is $θ,$ making the other $\frac{π}{2} - θ .$ Consider the sine and cosine of each angle of the right triangle in Figure 10.

三角関数とその逆関数を合成できるようになったので、三角関数と別の三角関数の逆関数の合成の値をどう求めるかを調べよう。まず $f^{- 1} (g (x))$ の形の合成から始める。 $x$ の特別な値では、内側の関数、次に外側の逆関数の値を厳密に求められる。だが、一方が $θ$ 、したがってもう一方が $\frac{π}{2} - θ$ である直角三角形の二つの鋭角の関係を考えれば、より一般の近づき方が見つかる。図10の直角三角形の各角の正弦と余弦を考えよう。

An illustration of a right triangle with angles theta and pi/2 - theta. Opposite the angle theta and adjacent the angle pi/2-theta is the side a. Adjacent the angle theta and opposite the angle pi/2 - theta is the side b. The hypoteneuse is labeled c. — Figure 10 Right triangle illustrating the cofunction relationships図10 余関数の関係を示す直角三角形

Because $\cos θ = \frac{b}{c} = \sin (\frac{π}{2} - θ),$ we have $\sin^{- 1} (\cos θ) = \frac{π}{2} - θ$ if $0 \leq θ \leq π .$ If $θ$ is not in this domain, then we need to find another angle that has the same cosine as $θ$ and does belong to the restricted domain; we then subtract this angle from $\frac{π}{2} .$ Similarly, $\sin θ = \frac{a}{c} = \cos (\frac{π}{2} - θ),$ so $\cos^{- 1} (\sin θ) = \frac{π}{2} - θ$ if $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} .$ These are just the function-cofunction relationships presented in another way.

$\cos θ = \frac{b}{c} = \sin (\frac{π}{2} - θ)$ なので、 $0 \leq θ \leq π$ なら $\sin^{- 1} (\cos θ) = \frac{π}{2} - θ$ である。 $θ$ がこの定義域に入らないなら、 $θ$ と同じ余弦を持ち、制限した定義域に属する別の角を求める必要がある。そしてその角を $\frac{π}{2}$ から引く。同じように $\sin θ = \frac{a}{c} = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ なので、 $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ なら $\cos^{- 1} (\sin θ) = \frac{π}{2} - θ$ である。これらは、関数と余関数の関係を別のしかたで述べたものにすぎない。

How To 手順

Given functions of the form $\sin^{- 1} (\cos x)$ and $\cos^{- 1} (\sin x),$ evaluate them.

$\sin^{- 1} (\cos x)$ と $\cos^{- 1} (\sin x)$ の形の関数が与えられたとき、その値を求める。

1. If $x is in [0, π],$ then $\sin^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - x .$ 2. If $x is not in [0, π],$ then find another angle $y in [0, π]$ such that $\cos y = \cos x .$ $\sin^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - y$ 3. If $x is in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ then $\cos^{- 1} (\sin x) = \frac{π}{2} - x .$ 4. If $x is not in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ then find another angle $y in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ such that $\sin y = \sin x .$ $\cos^{- 1} (\sin x) = \frac{π}{2} - y$

1. $x is in [0, π]$ なら $\sin^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - x$ である。2. $x is not in [0, π]$ なら、 $\cos y = \cos x$ $\sin^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - y$ となる別の角 $y in [0, π]$ を求める。3. $x is in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ なら $\cos^{- 1} (\sin x) = \frac{π}{2} - x$ である。4. $x is not in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ なら、 $\sin y = \sin x$ $\cos^{- 1} (\sin x) = \frac{π}{2} - y$ となる別の角 $y in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ を求める。

Example 6例6

Evaluating the Composition of an Inverse Sine with a Cosine逆正弦と余弦の合成の値を求める

Evaluate $\sin^{- 1} (\cos (\frac{13 π}{6}))$

$\sin^{- 1} (\cos (\frac{13 π}{6}))$ の値を求めよ。

ⓐby direct evaluation.ⓑby the method described previously.

ⓐ直接求める。ⓑ先に述べた方法で求める。

Solution 解答

ⓐHere, we can directly evaluate the inside of the composition. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (\frac{13 π}{6}) = \cos (\frac{π}{6} + 2 π) \\ = \cos (\frac{π}{6}) \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \end{array}$ Now, we can evaluate the inverse function as we did earlier. $\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3}$ ⓑWe have $x = \frac{13 π}{6}, y = \frac{π}{6},$ and $\begin{array}{r} \sin^{- 1} (\cos (\frac{13 π}{6})) = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} \\ = \frac{π}{3} \end{array}$

ⓐここでは、合成の内側の値を直接求められる。 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (\frac{13 π}{6}) = \cos (\frac{π}{6} + 2 π) \\ = \cos (\frac{π}{6}) \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \end{array}$ 。次に、先ほどと同じように逆関数の値を求められる。 $\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3}$ ⓑ $x = \frac{13 π}{6}, y = \frac{π}{6}$ かつ $\begin{array}{r} \sin^{- 1} (\cos (\frac{13 π}{6})) = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} \\ = \frac{π}{3} \end{array}$ である。

Try It #6やってみよう6

Evaluate $\cos^{- 1} (\sin (- \frac{11 π}{4})) .$

$\cos^{- 1} (\sin (- \frac{11 π}{4}))$ の値を求めよ。

Evaluating Compositions of the Form f(g⁻¹(x))f(g−1(x)) の形の合成の値を求める

To evaluate compositions of the form $f (g^{- 1} (x)),$ where $f$ and $g$ are any two of the functions sine, cosine, or tangent and $x$ is any input in the domain of $g^{- 1},$ we have exact formulas, such as $\sin (\cos^{- 1} x) = \sqrt{1 - x^{2}} .$ When we need to use them, we can derive these formulas by using the trigonometric relations between the angles and sides of a right triangle, together with the use of Pythagoras’s relation between the lengths of the sides. We can use the Pythagorean identity, $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1,$ to solve for one when given the other. We can also use the inverse trigonometric functions to find compositions involving algebraic expressions.

$f$ と $g$ を正弦・余弦・正接のうちの任意の二つ、 $x$ を $g^{- 1}$ の定義域の任意の入力として、 $f (g^{- 1} (x))$ の形の合成の値を求めるには、 $\sin (\cos^{- 1} x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ のような厳密な公式がある。必要なときは、直角三角形の角と辺のあいだの三角の関係と、辺の長さのあいだのピタゴラスの関係を使って、この公式を導ける。ピタゴラスの等式 $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ を使えば、一方が与えられたときにもう一方を求められる。逆三角関数を使って、代数の式を含む合成を求めることもできる。

Example 7例7

Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Cosine正弦と逆余弦の合成の値を求める

Find an exact value for $\sin (\cos^{- 1} (\frac{4}{5})) .$

$\sin (\cos^{- 1} (\frac{4}{5}))$ の厳密な値を求めよ。

Solution 解答

Beginning with the inside, we can say there is some angle such that $θ = \cos^{- 1} (\frac{4}{5}),$ which means $\cos θ = \frac{4}{5},$ and we are looking for $\sin θ .$ We can use the Pythagorean identity to do this.

内側から始めると、 $θ = \cos^{- 1} (\frac{4}{5})$ となる角があると言える。つまり $\cos θ = \frac{4}{5}$ であり、 $\sin θ$ を求めたい。これにはピタゴラスの等式が使える。

\begin{array}{l} \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 & Use our known value for cosine . \\ \sin^{2} θ + {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 & Solve for sine . \\ \sin^{2} θ = 1 - \frac{16}{25} \\ \sin θ = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \end{array}

Since $θ = \cos^{- 1} (\frac{4}{5})$ is in quadrant I, $\sin θ$ must be positive, so the solution is $\frac{3}{5} .$ See Figure 11.

$θ = \cos^{- 1} (\frac{4}{5})$ は第I象限にあるので $\sin θ$ は正でなければならず、解は $\frac{3}{5}$ である。図11を見よ。

An illustration of a right triangle with an angle theta. Oppostie the angle theta is a side with length 3. Adjacent the angle theta is a side with length 4. The hypoteneuse has angle of length 5. — Figure 11 Right triangle illustrating that if $\cos θ = \frac{4}{5},$ then $\sin θ = \frac{3}{5}$ 図11 $\cos θ = \frac{4}{5}$ なら $\sin θ = \frac{3}{5}$ であることを示す直角三角形

We know that the inverse cosine always gives an angle on the interval $[0, π],$ so we know that the sine of that angle must be positive; therefore $\sin (\cos^{- 1} (\frac{4}{5})) = \sin θ = \frac{3}{5} .$

逆余弦はつねに区間 $[0, π]$ の角を与えると分かっているので、その角の正弦は正でなければならない。したがって $\sin (\cos^{- 1} (\frac{4}{5})) = \sin θ = \frac{3}{5}$ である。

Try It #7やってみよう7

Evaluate $\cos (\tan^{- 1} (\frac{5}{12})) .$

$\cos (\tan^{- 1} (\frac{5}{12}))$ の値を求めよ。

Example 8例8

Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Tangent正弦と逆正接の合成の値を求める

Find an exact value for $\sin (\tan^{- 1} (\frac{7}{4})) .$

$\sin (\tan^{- 1} (\frac{7}{4}))$ の厳密な値を求めよ。

Solution 解答

While we could use a similar technique as in Example 6, we will demonstrate a different technique here. From the inside, we know there is an angle such that $\tan θ = \frac{7}{4} .$ We can envision this as the opposite and adjacent sides on a right triangle, as shown in Figure 12.

例6と同じような手法も使えるが、ここでは違う手法を示す。内側から、 $\tan θ = \frac{7}{4}$ となる角があると分かる。これは、図12に示すとおり、直角三角形の対辺と隣辺として思い描ける。

An illustration of a right triangle with angle theta. Adjacent the angle theta is a side with length 4. Opposite the angle theta is a side with length 7. — Figure 12 A right triangle with two sides known図12 二辺が分かっている直角三角形

Using the Pythagorean Theorem, we can find the hypotenuse of this triangle.

ピタゴラスの定理を使えば、この三角形の斜辺が求められる。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 4^{2} + 7^{2} = {hypotenuse}^{2} \end{array} \\ hypotenuse = \sqrt{65} \end{array}

Now, we can evaluate the sine of the angle as the opposite side divided by the hypotenuse.

これで、この角の正弦を対辺を斜辺で割ったものとして求められる。

\sin θ = \frac{7}{\sqrt{65}}

This gives us our desired composition.

これで求めたかった合成が得られる。

\begin{array}{l} \sin (\tan^{- 1} (\frac{7}{4})) = \sin θ \\ = \frac{7}{\sqrt{65}} \\ = \frac{7 \sqrt{65}}{65} \end{array}

Try It #8やってみよう8

Evaluate $\cos (\sin^{- 1} (\frac{7}{9})) .$

$\cos (\sin^{- 1} (\frac{7}{9}))$ の値を求めよ。

Example 9例9

Finding the Cosine of the Inverse Sine of an Algebraic Expression代数の式の逆正弦の余弦を求める

Find a simplified expression for $\cos (\sin^{- 1} (\frac{x}{3}))$ for $- 3 \leq x \leq 3.$

$- 3 \leq x \leq 3.$ について、 $\cos (\sin^{- 1} (\frac{x}{3}))$ を簡単にした式を求めよ。

Solution 解答

We know there is an angle $θ$ such that $\sin θ = \frac{x}{3} .$

$\sin θ = \frac{x}{3}$ となる角 $θ$ があると分かる。

\begin{array}{l} \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 & Use the Pythagorean Theorem . \\ {(\frac{x}{3})}^{2} + \cos^{2} θ = 1 & Solve for cosine . \\ \cos^{2} θ = 1 - \frac{x^{2}}{9} \\ \cos θ = \pm \sqrt{\frac{9 - x^{2}}{9}} = \pm \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3} \end{array}

Because we know that the inverse sine must give an angle on the interval $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ we can deduce that the cosine of that angle must be positive.

逆正弦は区間 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ の角を与えなければならないと分かっているので、その角の余弦は正でなければならないと推し量れる。

\cos (\sin^{- 1} (\frac{x}{3})) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3}

Try It #9やってみよう9

Find a simplified expression for $\sin (\tan^{- 1} (4 x))$ for $- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4} .$

$- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4}$ について、 $\sin (\tan^{- 1} (4 x))$ を簡単にした式を求めよ。

Media 教材

Access this online resource for additional instruction and practice with inverse trigonometric functions.

逆三角関数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Evaluate Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions

・逆三角関数を含む式の値を求める

Verbal言葉で答える問題

1. Why do the functions $f (x) = \sin^{- 1} x$ and $g (x) = \cos^{- 1} x$ have different ranges?

1. 関数 $f (x) = \sin^{- 1} x$ と $g (x) = \cos^{- 1} x$ の値域が違うのはなぜか。

2. Since the functions $y = \cos x$ and $y = \cos^{- 1} x$ are inverse functions, why is $\cos^{- 1} (\cos (- \frac{π}{6}))$ not equal to $- \frac{π}{6} ?$

2. 関数 $y = \cos x$ と $y = \cos^{- 1} x$ は互いに逆関数なのに、 $\cos^{- 1} (\cos (- \frac{π}{6}))$ が $- \frac{π}{6} ?$ に等しくないのはなぜか。

3. Explain the meaning of $\frac{π}{6} = \arcsin (0.5) .$

3. $\frac{π}{6} = \arcsin (0.5)$ の意味を説明せよ。

4. Most calculators do not have a key to evaluate $\sec^{- 1} (2) .$ Explain how this can be done using the cosine function or the inverse cosine function.

4. ほとんどの電卓には $\sec^{- 1} (2)$ の値を求めるキーが無い。余弦関数か逆余弦関数を使って、これをどう求められるかを説明せよ。

5. Why must the domain of the sine function, $\sin x,$ be restricted to $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ for the inverse sine function to exist?

5. 逆正弦関数が存在するために、正弦関数 $\sin x$ の定義域を $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ に制限しなければならないのはなぜか。

6. Discuss why this statement is incorrect: $\arccos (\cos x) = x$ for all $x .$

6. 次の主張が正しくない理由を論じよ: すべての $x$ について $\arccos (\cos x) = x$ 。

7. Determine whether the following statement is true or false and explain your answer: $\arccos (- x) = π - \arccos x .$

7. 次の主張が正しいか正しくないかを判定し、その理由を説明せよ: $\arccos (- x) = π - \arccos x$ 。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, evaluate the expressions.

次の各問について、式の値を求めよ。

8. $\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

9. $\sin^{- 1} (- \frac{1}{2})$

10. $\cos^{- 1} (\frac{1}{2})$

11. $\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

12. $\tan^{- 1} (1)$

13. $\tan^{- 1} (- \sqrt{3})$

14. $\tan^{- 1} (- 1)$

15. $\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

16. $\tan^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{3}})$

For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth.

次の各問について、電卓を使って各式の値を求めよ。答えは小数第二位まで表せ。

17. $\cos^{- 1} (- 0.4)$

18. $\arcsin (0.23)$

19. $\arccos (\frac{3}{5})$

20. $\cos^{- 1} (0.8)$

21. $\tan^{- 1} (6)$

For the following exercises, find the angle $θ$ in the given right triangle. Round answers to the nearest hundredth.

次の各問について、与えられた直角三角形の角 $θ$ を求めよ。答えは小数第二位まで丸めよ。

22.

An illustration of a right triangle with angle theta. Opposite the angle theta is a side with length of 7. The hypotenuse has a lngeth of 10.

23.

An illustration of a right triangle with angle theta. Adjacent the angle theta is a side of length 19. Opposite the angle theta is a side with length 12.

For the following exercises, find the exact value, if possible, without a calculator. If it is not possible, explain why.

次の各問について、できるなら電卓を使わずに厳密な値を求めよ。できないなら、その理由を説明せよ。

24. $\sin^{- 1} (\cos (π))$

25. $\tan^{- 1} (\sin (π))$

26. $\cos^{- 1} (\sin (\frac{π}{3}))$

27. $\tan^{- 1} (\sin (\frac{π}{3}))$

28. $\sin^{- 1} (\cos (\frac{- π}{2}))$

29. $\tan^{- 1} (\sin (\frac{4 π}{3}))$

30. $\sin^{- 1} (\sin (\frac{5 π}{6}))$

31. $\tan^{- 1} (\sin (\frac{- 5 π}{2}))$

32. $\cos (\sin^{- 1} (\frac{4}{5}))$

33. $\sin (\cos^{- 1} (\frac{3}{5}))$

34. $\sin (\tan^{- 1} (\frac{4}{3}))$

35. $\cos (\tan^{- 1} (\frac{12}{5}))$

36. $\cos (\sin^{- 1} (\frac{1}{2}))$

For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of $x$ with the help of a reference triangle.

次の各問について、基準となる三角形を手がかりに、 $x$ で式の厳密な値を求めよ。

37. $\tan (\sin^{- 1} (x - 1))$

38. $\sin (\cos^{- 1} (1 - x))$

39. $\cos (\sin^{- 1} (\frac{1}{x}))$

40. $\cos (\tan^{- 1} (3 x - 1))$

41. $\tan (\sin^{- 1} (x + \frac{1}{2}))$

Extensions発展問題

For the following exercises, evaluate the expression without using a calculator. Give the exact value.

次の各問について、電卓を使わずに式の値を求めよ。厳密な値を示せ。

42. $\frac{\sin^{- 1} (\frac{1}{2}) - \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \cos^{- 1} (1)}{\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos^{- 1} (\frac{1}{2}) - \sin^{- 1} (0)}$

For the following exercises, find the function if $\sin t = \frac{x}{x + 1} .$

次の各問について、 $\sin t = \frac{x}{x + 1}$ のときの関数を求めよ。

43. $\cos t$

44. $\sec t$

45. $\cot t$

46. $\cos (\sin^{- 1} (\frac{x}{x + 1}))$

47. $\tan^{- 1} (\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}})$

Graphicalグラフの問題

48. Graph $y = \sin^{- 1} x$ and state the domain and range of the function.

48. $y = \sin^{- 1} x$ のグラフを描き、この関数の定義域と値域を答えよ。

49. Graph $y = \arccos x$ and state the domain and range of the function.

49. $y = \arccos x$ のグラフを描き、この関数の定義域と値域を答えよ。

50. Graph one cycle of $y = \tan^{- 1} x$ and state the domain and range of the function.

50. $y = \tan^{- 1} x$ の1周期分のグラフを描き、この関数の定義域と値域を答えよ。

51. For what value of $x$ does $\sin x = \sin^{- 1} x ?$ Use a graphing calculator to approximate the answer.

51. $x$ がどの値のとき $\sin x = \sin^{- 1} x ?$ となるか。グラフ電卓を使って答えを近似せよ。

52. For what value of $x$ does $\cos x = \cos^{- 1} x ?$ Use a graphing calculator to approximate the answer.

52. $x$ がどの値のとき $\cos x = \cos^{- 1} x ?$ となるか。グラフ電卓を使って答えを近似せよ。

Real-World Applications応用問題

53. Suppose a 13-foot ladder is leaning against a building, reaching to the bottom of a second-ﬂoor window 12 feet above the ground. What angle, in radians, does the ladder make with the building?

53. 13フィートの梯子を建物に立てかけ、地上12フィートの2階の窓の下端に届いているとする。この梯子が建物となす角はラジアンでいくらか。

54. Suppose you drive 0.6 miles on a road so that the vertical distance changes from 0 to 150 feet. What is the angle of elevation of the road?

54. ある道を0.6マイル走り、縦の距離が0から150フィート変わったとする。この道の仰角はいくらか。

55. An isosceles triangle has two congruent sides of length 9 inches. The remaining side has a length of 8 inches. Find the angle that a side of 9 inches makes with the 8-inch side.

55. ある二等辺三角形は、長さ9インチの合同な二辺を持つ。残りの一辺の長さは8インチである。9インチの辺が8インチの辺となす角を求めよ。

56. Without using a calculator, approximate the value of $\arctan (10, 000) .$ Explain why your answer is reasonable.

56. 電卓を使わずに $\arctan (10, 000)$ の値を近似せよ。その答えが理にかなっている理由を説明せよ。

57. A truss (interior beam structure) for the roof of a house is constructed from two identical right triangles. Each has a base of 12 feet and height of 4 feet. Find the measure of the acute angle adjacent to the 4-foot side.

57. ある家の屋根のトラス(内部の梁の構造)が、同じ二つの直角三角形からできている。それぞれ底辺12フィート、高さ4フィートである。4フィートの辺に接する鋭角の大きさを求めよ。

58. The line $y = \frac{3}{5} x$ passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with the positive x-axis?

58. 直線 $y = \frac{3}{5} x$ は x,y平面で原点を通る。この直線が正の x軸となす角の大きさはいくらか。

59. The line $y = \frac{- 3}{7} x$ passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with the negative x-axis?

59. 直線 $y = \frac{- 3}{7} x$ は x,y平面で原点を通る。この直線が負の x軸となす角の大きさはいくらか。

60. What percentage grade should a road have if the angle of elevation of the road is 4 degrees? (The percentage grade is defined as the change in the altitude of the road over a 100-foot horizontal distance. For example a 5% grade means that the road rises 5 feet for every 100 feet of horizontal distance.)

60. 道の仰角が4度のとき、この道の勾配は百分率でいくらになるか。(百分率の勾配は、水平距離100フィートあたりの道の高さの変化として定められる。たとえば5%の勾配は、水平距離100フィートごとに道が5フィート上がることを意味する。)

61. A 20-foot ladder leans up against the side of a building so that the foot of the ladder is 10 feet from the base of the building. If specifications call for the ladder's angle of elevation to be between 35 and 45 degrees, does the placement of this ladder satisfy safety specifications?

61. 20フィートの梯子を建物の側面に立てかけ、梯子の足を建物の底から10フィートのところに置く。梯子の仰角が35度から45度のあいだであることが定めで求められているとき、この梯子の置き方は安全の定めを満たすか。

62. Suppose a 15-foot ladder leans against the side of a house so that the angle of elevation of the ladder is 42 degrees. How far is the foot of the ladder from the side of the house?

62. 15フィートの梯子を家の側面に立てかけ、梯子の仰角が42度になっているとする。梯子の足は家の側面からどれだけ離れているか。

Key Terms重要語

amplitude the vertical height of a function; the constant $A$ appearing in the definition of a sinusoidal function

振幅関数の縦の高さ。正弦曲線状の関数の定義に現れる定数 $A$

arccosine another name for the inverse cosine; $\arccos x = \cos^{- 1} x$

アークコサイン 逆余弦の別名。 $\arccos x = \cos^{- 1} x$

arcsine another name for the inverse sine; $\arcsin x = \sin^{- 1} x$

アークサイン 逆正弦の別名。 $\arcsin x = \sin^{- 1} x$

arctangent another name for the inverse tangent; $\arctan x = \tan^{- 1} x$

アークタンジェント 逆正接の別名。 $\arctan x = \tan^{- 1} x$

inverse cosine function the function $\cos^{- 1} x,$ which is the inverse of the cosine function and the angle that has a cosine equal to a given number

逆余弦関数 関数 $\cos^{- 1} x$ 。余弦関数の逆関数であり、余弦が与えられた数に等しくなる角

inverse sine function the function $\sin^{- 1} x,$ which is the inverse of the sine function and the angle that has a sine equal to a given number

逆正弦関数 関数 $\sin^{- 1} x$ 。正弦関数の逆関数であり、正弦が与えられた数に等しくなる角

inverse tangent function the function $\tan^{- 1} x,$ which is the inverse of the tangent function and the angle that has a tangent equal to a given number

逆正接関数 関数 $\tan^{- 1} x$ 。正接関数の逆関数であり、正接が与えられた数に等しくなる角

midline the horizontal line $y = D,$ where $D$ appears in the general form of a sinusoidal function

中央線 横の直線 $y = D$ 。 $D$ は正弦曲線状の関数の一般形に現れる

periodic function a function $f (x)$ that satisfies $f (x + P) = f (x)$ for a specific constant $P$ and any value of $x$

周期関数 ある特定の定数 $P$ と $x$ のどの値についても $f (x + P) = f (x)$ を満たす関数 $f (x)$

phase shift the horizontal displacement of the basic sine or cosine function; the constant $\frac{C}{B}$

位相のずれ 基本の正弦関数や余弦関数の横の変位。定数 $\frac{C}{B}$

sinusoidal function any function that can be expressed in the form $f (x) = A \sin (B x - C) + D$ or $f (x) = A \cos (B x - C) + D$

正弦曲線状の関数 $f (x) = A \sin (B x - C) + D$ または $f (x) = A \cos (B x - C) + D$ の形で表せる関数

第8章周期関数Periodic Functions

8.3 Inverse Trigonometric Functions8.3 逆三角関数

Understanding and Using the Inverse Sine, Cosine, and Tangent Functions逆正弦・逆余弦・逆正接の関数を理解して使う

Writing a Relation for an Inverse Function逆関数の関係式を書く

Finding the Exact Value of Expressions Involving the Inverse Sine, Cosine, and Tangent Functions逆正弦・逆余弦・逆正接の関数を含む式の厳密な値を求める

Evaluating Inverse Trigonometric Functions for Special Input Values特別な入力値で逆三角関数の値を求める

Using a Calculator to Evaluate Inverse Trigonometric Functions電卓で逆三角関数の値を求める

Evaluating the Inverse Sine on a Calculator電卓で逆正弦の値を求める

Applying the Inverse Cosine to a Right Triangle直角三角形に逆余弦を当てはめる

Finding Exact Values of Composite Functions with Inverse Trigonometric Functions逆三角関数を含む合成関数の厳密な値を求める

Evaluating Compositions of the Form f(f−1(y)) and f−1(f(x))f(f−1(y)) と f−1(f(x)) の形の合成の値を求める

Using Inverse Trigonometric Functions逆三角関数を使う

Evaluating Compositions of the Form f−1(g(x))f−1(g(x)) の形の合成の値を求める

Evaluating the Composition of an Inverse Sine with a Cosine逆正弦と余弦の合成の値を求める

Evaluating Compositions of the Form f(g−1(x))f(g−1(x)) の形の合成の値を求める

Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Cosine正弦と逆余弦の合成の値を求める

Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Tangent正弦と逆正接の合成の値を求める

Finding the Cosine of the Inverse Sine of an Algebraic Expression代数の式の逆正弦の余弦を求める

Key Terms重要語

Evaluating Compositions of the Form f(f⁻¹(y)) and f⁻¹(f(x))f(f−1(y)) と f−1(f(x)) の形の合成の値を求める

Evaluating Compositions of the Form f⁻¹(g(x))f−1(g(x)) の形の合成の値を求める

Evaluating Compositions of the Form f(g⁻¹(x))f(g−1(x)) の形の合成の値を求める