第8章周期関数Periodic Functions

Graphing Variations of y = cot xy = cot x を変形したもののグラフを描く

We can transform the graph of the cotangent in much the same way as we did for the tangent. The equation becomes the following.

余接のグラフも、正接でしたのとほぼ同じように変形できる。式は次のようになる。

y = A \cot (B x - C) + D

Note重要事項

Features of the Graph of y = Acot(Bx−C)+Dy = Acot(Bx−C)+D のグラフの特徴

• The stretching factor is $| A | .$ • The period is $\frac{π}{| B |} .$ • The domain is $x \neq \frac{C}{B} + \frac{π}{| B |} k,$ where $k$ is an integer.• The range is $(−∞, \infty) .$ • The vertical asymptotes occur at $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{| B |} k,$ where $k$ is an integer.• There is no amplitude.• $y = A \cot (B x)$ is an odd function because it is the quotient of even and odd functions (cosine and sine, respectively)

・伸びの倍率は $| A |$ である。・周期は $\frac{π}{| B |}$ である。・定義域は、 $k$ を整数として $x \neq \frac{C}{B} + \frac{π}{| B |} k$ である。・値域は $(−∞, \infty)$ である。・垂直漸近線は、 $k$ を整数として $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{| B |} k$ に現れる。・振幅は無い。・ $y = A \cot (B x)$ は、偶関数と奇関数(それぞれ余弦と正弦)の商なので奇関数である。

How To手順

Given a modified cotangent function of the form $f (x) = A \cot (B x),$ graph one period.

$f (x) = A \cot (B x)$ の形に変えた余接関数が与えられたとき、1周期分のグラフを描く。

1. Express the function in the form $f (x) = A \cot (B x) .$ 2. Identify the stretching factor, $| A | .$ 3. Identify the period, $P = \frac{π}{| B |} .$ 4. Draw the graph of $y = A \tan (B x) .$ 5. Plot any two reference points.6. Use the reciprocal relationship between tangent and cotangent to draw the graph of $y = A \cot (B x) .$ 7. Sketch the asymptotes.

1. この関数を $f (x) = A \cot (B x)$ の形で表す。2. 伸びの倍率 $| A |$ を見分ける。3. 周期 $P = \frac{π}{| B |}$ を見分ける。4. $y = A \tan (B x)$ のグラフを描く。5. 目印の点を二つ打つ。6. 正接と余接の逆数の関係を使って、 $y = A \cot (B x)$ のグラフを描く。7. 漸近線の概形を描く。

Example 8例8

Graphing Variations of the Cotangent Function余接関数を変形したもののグラフを描く

Determine the stretching factor, period, and phase shift of $y = 3 \cot (4 x),$ and then sketch a graph.

$y = 3 \cot (4 x)$ の伸びの倍率・周期・位相のずれを決め、グラフの概形を描け。

Solution 解答

• Step 1. Expressing the function in the form $f (x) = A \cot (B x)$ gives $f (x) = 3 \cot (4 x) .$ • Step 2. The stretching factor is $| A | = 3.$ • Step 3. The period is $P = \frac{π}{4} .$ • Step 4. Sketch the graph of $y = 3 \tan (4 x) .$ • Step 5. Plot two reference points. Two such points are $(\frac{π}{16}, 3)$ and $(\frac{3 π}{16}, −3) .$ • Step 6. Use the reciprocal relationship to draw $y = 3 \cot (4 x) .$ • Step 7. Sketch the asymptotes, $x = 0, x = \frac{π}{4} .$

・手順1。この関数を $f (x) = A \cot (B x)$ の形で表すと $f (x) = 3 \cot (4 x)$ になる。・手順2。伸びの倍率は $| A | = 3.$ である。・手順3。周期は $P = \frac{π}{4}$ である。・手順4。 $y = 3 \tan (4 x)$ のグラフの概形を描く。・手順5。目印の点を二つ打つ。そうした点として $(\frac{π}{16}, 3)$ と $(\frac{3 π}{16}, −3)$ がある。・手順6。逆数の関係を使って $y = 3 \cot (4 x)$ を描く。・手順7。漸近線 $x = 0, x = \frac{π}{4}$ の概形を描く。

The blue graph in Figure 14 shows $y = 3 \tan (4 x)$ and the green graph shows $y = 3 \cot (4 x) .$

図14の青いグラフは $y = 3 \tan (4 x)$ 、緑のグラフは $y = 3 \cot (4 x)$ を示している。

A graph of two periods of a modified tangent function and a modified cotangent function. Vertical asymptotes at x=-pi/4 and pi/4.

How To手順

Given a modified cotangent function of the form $f (x) = A \cot (B x - C) + D,$ graph one period.

$f (x) = A \cot (B x - C) + D$ の形に変えた余接関数が与えられたとき、1周期分のグラフを描く。

1. Express the function in the form $f (x) = A \cot (B x - C) + D .$ 2. Identify the stretching factor, $| A | .$ 3. Identify the period, $P = \frac{π}{| B |} .$ 4. Identify the phase shift, $\frac{C}{B} .$ 5. Draw the graph of $y = A \tan (B x)$ shifted to the right by $\frac{C}{B}$ and up by $D .$ 6. Sketch the asymptotes $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{| B |} k,$ where $k$ is an integer.7. Plot any three reference points and draw the graph through these points.

1. この関数を $f (x) = A \cot (B x - C) + D$ の形で表す。2. 伸びの倍率 $| A |$ を見分ける。3. 周期 $P = \frac{π}{| B |}$ を見分ける。4. 位相のずれ $\frac{C}{B}$ を見分ける。5. $y = A \tan (B x)$ を右に $\frac{C}{B}$ 、上に $D$ 移したグラフを描く。6. $k$ を整数として、漸近線 $x = \frac{C}{B} + \frac{π}{| B |} k$ の概形を描く。7. 目印の点を三つ打ち、その点を通るグラフを描く。

Example 9例9

Graphing a Modified Cotangent変えた余接のグラフを描く

Sketch a graph of one period of the function $f (x) = 4 \cot (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2}) - 2.$

関数 $f (x) = 4 \cot (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2}) - 2.$ の1周期分のグラフの概形を描け。

Solution 解答

• Step 1. The function is already written in the general form $f (x) = A \cot (B x - C) + D .$ • Step 2. $A = 4,$ so the stretching factor is 4.• Step 3. $B = \frac{π}{8},$ so the period is $P = \frac{π}{| B |} = \frac{π}{\frac{π}{8}} = 8.$ • Step 4. $C = \frac{π}{2},$ so the phase shift is $\frac{C}{B} = \frac{\frac{π}{2}}{\frac{π}{8}} = 4.$ • Step 5. We draw $f (x) = 4 \tan (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2}) - 2.$ • Step 6-7. Three points we can use to guide the graph are $(6, 2), (8, - 2),$ and $(10, - 6) .$ We use the reciprocal relationship of tangent and cotangent to draw $f (x) = 4 \cot (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2}) - 2.$ • Step 8. The vertical asymptotes are $x = 4$ and $x = 12.$

・手順1。この関数はすでに一般形 $f (x) = A \cot (B x - C) + D$ で書かれている。・手順2。 $A = 4$ なので、伸びの倍率は4である。・手順3。 $B = \frac{π}{8}$ なので、周期は $P = \frac{π}{| B |} = \frac{π}{\frac{π}{8}} = 8.$ である。・手順4。 $C = \frac{π}{2}$ なので、位相のずれは $\frac{C}{B} = \frac{\frac{π}{2}}{\frac{π}{8}} = 4.$ である。・手順5。 $f (x) = 4 \tan (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2}) - 2.$ を描く。・手順6〜7。グラフの手がかりに使える点は $(6, 2), (8, - 2)$ と $(10, - 6)$ である。正接と余接の逆数の関係を使って $f (x) = 4 \cot (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2}) - 2.$ を描く。・手順8。垂直漸近線は $x = 4$ と $x = 12.$ である。

The graph is shown in Figure 15.

グラフを図15に示す。

A graph of one period of a modified cotangent function. Vertical asymptotes at x=4 and x=12. — Figure 15 One period of a modified cotangent function図15 変えた余接関数の1周期