第8章周期関数Periodic Functions

Analyzing the Graphs of y = sec x and y = cscxy = sec x と y = cscx のグラフを調べる

The secant was defined by the reciprocal identity $\sec x = \frac{1}{\cos x} .$ Notice that the function is undefined when the cosine is 0, leading to vertical asymptotes at $\frac{π}{2},$ $\frac{3 π}{2},$ etc. Because the cosine is never more than 1 in absolute value, the secant, being the reciprocal, will never be less than 1 in absolute value.

正割は逆数の等式 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ で定められた。余弦が0のときこの関数が定義されず、 $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{3 π}{2}$ などに垂直漸近線ができることに注目しよう。余弦の絶対値が1を超えることは決して無いので、その逆数である正割の絶対値が1より小さくなることも決して無い。

We can graph $y = \sec x$ by observing the graph of the cosine function because these two functions are reciprocals of one another. See Figure 6. The graph of the cosine is shown as a dashed orange wave so we can see the relationship. Where the graph of the cosine function decreases, the graph of the secant function increases. Where the graph of the cosine function increases, the graph of the secant function decreases. When the cosine function is zero, the secant is undefined.

この二つの関数は互いに逆数なので、余弦関数のグラフを見れば $y = \sec x$ のグラフが描ける。図6を見よ。関係が見てとれるよう、余弦のグラフを橙色の破線の波で示してある。余弦関数のグラフが減るところで正割関数のグラフは増える。余弦関数のグラフが増えるところで正割関数のグラフは減る。余弦関数が0のとき、正割は定義されない。

The secant graph has vertical asymptotes at each value of $x$ where the cosine graph crosses the x-axis; we show these in the graph below with dashed vertical lines, but will not show all the asymptotes explicitly on all later graphs involving the secant and cosecant.

正割のグラフは、余弦のグラフが x軸を横切る $x$ の各値に垂直漸近線を持つ。下のグラフではこれを縦の破線で示すが、以後の正割と余割のグラフでは、すべての漸近線をはっきり示すわけではない。

Note that, because cosine is an even function, secant is also an even function. That is, $\sec (- x) = \sec x .$

余弦が偶関数なので、正割も偶関数であることに注意せよ。すなわち $\sec (- x) = \sec x$ である。

A graph of cosine of x and secant of x. Asymptotes for secant of x shown at -3pi/2, -pi/2, pi/2, and 3pi/2. — Figure 6 Graph of the secant function, $f (x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}$ 図6 正割関数 $f (x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}$ のグラフ

As we did for the tangent function, we will again refer to the constant $| A |$ as the stretching factor, not the amplitude.

正接関数でしたのと同じく、ここでも定数 $| A |$ を振幅ではなく伸びの倍率と呼ぶ。

Note重要事項

Features of the Graph of y = Asec(Bx)y = Asec(Bx) のグラフの特徴

• The stretching factor is $| A | .$ • The period is $\frac{2 π}{| B |} .$ • The domain is $x \neq \frac{π}{2 | B |} k,$ where $k$ is an odd integer.• The range is $(- \infty, - | A |] \cup [| A |, \infty) .$ • The vertical asymptotes occur at $x = \frac{π}{2 | B |} k,$ where $k$ is an odd integer.• There is no amplitude.• $y = A \sec (B x)$ is an even function because cosine is an even function.

・伸びの倍率は $| A |$ である。・周期は $\frac{2 π}{| B |}$ である。・定義域は、 $k$ を奇数として $x \neq \frac{π}{2 | B |} k$ である。・値域は $(- \infty, - | A |] \cup [| A |, \infty)$ である。・垂直漸近線は、 $k$ を奇数として $x = \frac{π}{2 | B |} k$ に現れる。・振幅は無い。・余弦が偶関数なので、 $y = A \sec (B x)$ は偶関数である。

Similar to the secant, the cosecant is defined by the reciprocal identity $\csc x = \frac{1}{\sin x} .$ Notice that the function is undefined when the sine is 0, leading to a vertical asymptote in the graph at $0,$ $π,$ etc. Since the sine is never more than 1 in absolute value, the cosecant, being the reciprocal, will never be less than 1 in absolute value.

正割と同じく、余割は逆数の等式 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ で定められる。正弦が0のときこの関数が定義されず、グラフの $0$ 、 $π$ などに垂直漸近線ができることに注目しよう。正弦の絶対値が1を超えることは決して無いので、その逆数である余割の絶対値が1より小さくなることも決して無い。

We can graph $y = \csc x$ by observing the graph of the sine function because these two functions are reciprocals of one another. See Figure 7. The graph of sine is shown as a dashed orange wave so we can see the relationship. Where the graph of the sine function decreases, the graph of the cosecant function increases. Where the graph of the sine function increases, the graph of the cosecant function decreases.

この二つの関数は互いに逆数なので、正弦関数のグラフを見れば $y = \csc x$ のグラフが描ける。図7を見よ。関係が見てとれるよう、正弦のグラフを橙色の破線の波で示してある。正弦関数のグラフが減るところで余割関数のグラフは増える。正弦関数のグラフが増えるところで余割関数のグラフは減る。

The cosecant graph has vertical asymptotes at each value of $x$ where the sine graph crosses the x-axis; we show these in the graph below with dashed vertical lines.

余割のグラフは、正弦のグラフが x軸を横切る $x$ の各値に垂直漸近線を持つ。下のグラフではこれを縦の破線で示す。

Note that, since sine is an odd function, the cosecant function is also an odd function. That is, $\csc (- x) = −csc x .$

正弦が奇関数なので、余割関数も奇関数であることに注意せよ。すなわち $\csc (- x) = −csc x$ である。

The graph of cosecant, which is shown in Figure 7, is similar to the graph of secant.

図7に示す余割のグラフは、正割のグラフに似ている。

A graph of cosecant of x and sin of x. Five vertical asymptotes shown at multiples of pi. — Figure 7 The graph of the cosecant function, $f (x) = \csc x = \frac{1}{\sin x}$ 図7 余割関数 $f (x) = \csc x = \frac{1}{\sin x}$ のグラフ

Note重要事項

Features of the Graph of y = Acsc(Bx)y = Acsc(Bx) のグラフの特徴

• The stretching factor is $| A | .$ • The period is $\frac{2 π}{| B |} .$ • The domain is $x \neq \frac{π}{| B |} k,$ where $k$ is an integer.• The range is $(- \infty, - | A |] \cup [| A |, \infty) .$ • The asymptotes occur at $x = \frac{π}{| B |} k,$ where $k$ is an integer.• $y = A \csc (B x)$ is an odd function because sine is an odd function.

・伸びの倍率は $| A |$ である。・周期は $\frac{2 π}{| B |}$ である。・定義域は、 $k$ を整数として $x \neq \frac{π}{| B |} k$ である。・値域は $(- \infty, - | A |] \cup [| A |, \infty)$ である。・漸近線は、 $k$ を整数として $x = \frac{π}{| B |} k$ に現れる。・正弦が奇関数なので、 $y = A \csc (B x)$ は奇関数である。