第8章周期関数Periodic Functions

Using Transformations of Sine and Cosine Functions正弦関数と余弦関数の変形を使う

We can use the transformations of sine and cosine functions in numerous applications. As mentioned at the beginning of the chapter, circular motion can be modeled using either the sine or cosine function.

正弦関数と余弦関数の変形は数多くの応用に使える。この章の初めに述べたとおり、円運動は正弦関数か余弦関数のどちらかでモデル化できる。

Example 11例11

Finding the Vertical Component of Circular Motion円運動の縦の成分を求める

A point rotates around a circle of radius 3 centered at the origin. Sketch a graph of the y-coordinate of the point as a function of the angle of rotation.

ある点が、原点を中心とする半径3の円のまわりを回る。この点の y座標を回転の角の関数としてグラフに描け。

Solution 解答

Recall that, for a point on a circle of radius r, the y-coordinate of the point is $y = r \sin (x),$ so in this case, we get the equation $y (x) = 3 \sin (x) .$ The constant 3 causes a vertical stretch of the y-values of the function by a factor of 3, which we can see in the graph in Figure 22.

半径 r の円上の点について、その点の y座標が $y = r \sin (x)$ であることを思い出そう。よってこの場合、式 $y (x) = 3 \sin (x)$ が得られる。定数3によって関数の y の値が縦に3倍に伸びる。これは図22のグラフで見てとれる。

A graph of 3sin(x). Graph has period of 2pi, amplitude of 3, and range of [-3,3].

Analysis 考察

Notice that the period of the function is still $2 π;$ as we travel around the circle, we return to the point $(3, 0)$ for $x = 2 π, 4 π, 6 π, ...$ Because the outputs of the graph will now oscillate between $- 3$ and $3,$ the amplitude of the sine wave is $3.$

この関数の周期がやはり $2 π;$ であることに注目しよう。円を一周すると、 $x = 2 π, 4 π, 6 π, ...$ で点 $(3, 0)$ に戻る。グラフの出力は $- 3$ と $3$ のあいだで振れるので、この正弦波の振幅は $3.$ である。

Try IT Feature #10確認問題 10

What is the amplitude of the function $f (x) = 7 \cos (x) ?$ Sketch a graph of this function.

関数 $f (x) = 7 \cos (x) ?$ の振幅はいくらか。この関数のグラフの概形を描け。

Example 12例12

Finding the Vertical Component of Circular Motion円運動の縦の成分を求める

A circle with radius 3 ft is mounted with its center 4 ft off the ground. The point closest to the ground is labeled P, as shown in Figure 23. Sketch a graph of the height above the ground of the point $P$ as the circle is rotated; then find a function that gives the height in terms of the angle of rotation.

半径3フィートの円が、中心を地面から4フィートの高さにして取り付けられている。図23に示すとおり、地面に最も近い点を P とする。この円が回るときの点 $P$ の地面からの高さのグラフの概形を描け。そして、回転の角で高さを与える関数を求めよ。

An illustration of a circle lifted 4 feet off the ground. Circle has radius of 3 ft. There is a point P labeled on the circle's circumference.

Solution 解答

Sketching the height, we note that it will start 1 ft above the ground, then increase up to 7 ft above the ground, and continue to oscillate 3 ft above and below the center value of 4 ft, as shown in Figure 24.

高さの概形を描くと、図24に示すとおり、地面から1フィートで始まり、地面から7フィートまで上がり、中心の値4フィートの上下3フィートで振れ続けると分かる。

A graph of -3cox(x)+4. Graph has midline at y=4, amplitude of 3, and period of 2pi.

Although we could use a transformation of either the sine or cosine function, we start by looking for characteristics that would make one function easier to use than the other. Let’s use a cosine function because it starts at the highest or lowest value, while a sine function starts at the middle value. A standard cosine starts at the highest value, and this graph starts at the lowest value, so we need to incorporate a vertical reflection.

正弦関数と余弦関数のどちらの変形も使えるが、まず一方が他方より使いやすくなる特徴を探すことから始めよう。余弦関数を使うことにする。余弦関数は最も高い値か最も低い値から始まるのに対し、正弦関数は中間の値から始まるからである。標準の余弦は最も高い値から始まるが、このグラフは最も低い値から始まるので、縦の折り返しを入れる必要がある。

Second, we see that the graph oscillates 3 above and below the center, while a basic cosine has an amplitude of 1, so this graph has been vertically stretched by 3, as in the last example.

次に、このグラフは中心の上下3だけ振れているが、基本の余弦の振幅は1なので、前の例と同じくこのグラフは縦に3倍に伸びていると分かる。

Finally, to move the center of the circle up to a height of 4, the graph has been vertically shifted up by 4. Putting these transformations together, we find that

最後に、円の中心を高さ4まで上げるために、グラフは縦に上へ4だけ移っている。これらの変形をまとめると、次が求まる。

y = - 3 \cos (x) + 4

Try It Feature #11確認問題 11

A weight is attached to a spring that is then hung from a board, as shown in Figure 25. As the spring oscillates up and down, the position $y$ of the weight relative to the board ranges from $–1$ in. (at time $x = 0)$ to $–7$ in. (at time $x = π)$ below the board. Assume the position of $y$ is given as a sinusoidal function of $x .$ Sketch a graph of the function, and then find a cosine function that gives the position $y$ in terms of $x .$

図25に示すとおり、ばねに重りを付け、それを板から吊るす。ばねが上下に振れるとき、板に対する重りの位置 $y$ は、板の下 $–1$ インチ(時刻 $x = 0)$ )から $–7$ インチ(時刻 $x = π)$ )までの範囲をとる。 $y$ の位置が $x$ の正弦曲線状の関数で与えられるとする。この関数のグラフの概形を描き、 $x$ で位置 $y$ を与える余弦関数を求めよ。

An illustration of a spring with length y.

Example 13例13

Determining a Rider’s Height on a Ferris Wheel観覧車の乗客の高さを決める

The London Eye is a huge Ferris wheel with a diameter of 135 meters (443 feet). It completes one rotation every 30 minutes. Riders board from a platform 2 meters above the ground. Express a rider’s height above ground as a function of time in minutes.

ロンドン・アイは直径135メートル(443フィート)の巨大な観覧車である。30分ごとに1回転する。乗客は地上2メートルの台から乗る。乗客の地上からの高さを、分での時間の関数として表せ。

Solution 解答

With a diameter of 135 m, the wheel has a radius of 67.5 m. The height will oscillate with amplitude 67.5 m above and below the center.

直径が135mなので、この車輪の半径は67.5mである。高さは中心の上下に振幅67.5mで振れる。

Passengers board 2 m above ground level, so the center of the wheel must be located $67.5 + 2 = 69.5$ m above ground level. The midline of the oscillation will be at 69.5 m.

乗客は地上2mから乗るので、車輪の中心は地上 $67.5 + 2 = 69.5$ mになければならない。振れの中央線は69.5mにある。

The wheel takes 30 minutes to complete 1 revolution, so the height will oscillate with a period of 30 minutes.

この車輪は1回転に30分かかるので、高さは周期30分で振れる。

Lastly, because the rider boards at the lowest point, the height will start at the smallest value and increase, following the shape of a vertically reflected cosine curve.

最後に、乗客は最も低い点から乗るので、高さは最も小さい値から始まって増え、縦に折り返した余弦曲線の形をとる。

• Amplitude: $67.5,$ so $A = 67.5$ • Midline: $69.5,$ so $D = 69.5$ • Period: $30,$ so $B = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}$ • Shape: $−cos (t)$

・振幅: $67.5,$ なので $A = 67.5$ ・中央線: $69.5,$ なので $D = 69.5$ ・周期: $30,$ なので $B = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}$ ・形: $−cos (t)$

An equation for the rider’s height would be

乗客の高さの式は次のようになる。

y = - 67.5 \cos (\frac{π}{15} t) + 69.5

where $t$ is in minutes and $y$ is measured in meters.

ここで $t$ は分、 $y$ はメートルで測る。

Media関連教材

Access these online resources for additional instruction and practice with graphs of sine and cosine functions.

正弦関数と余弦関数のグラフについての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Amplitude and Period of Sine and Cosine• Translations of Sine and Cosine• Graphing Sine and Cosine Transformations• Graphing the Sine Function

・正弦と余弦の振幅と周期・正弦と余弦の平行移動・正弦と余弦の変形のグラフを描く・正弦関数のグラフを描く

Verbal言葉で答える問題

1. Why are the sine and cosine functions called periodic functions?

1. 正弦関数と余弦関数が周期関数と呼ばれるのはなぜか。

2. How does the graph of $y = \sin x$ compare with the graph of $y = \cos x ?$ Explain how you could horizontally translate the graph of $y = \sin x$ to obtain $y = \cos x .$

2. $y = \sin x$ のグラフは $y = \cos x ?$ のグラフとどう比べられるか。 $y = \sin x$ のグラフを横にどう平行移動すれば $y = \cos x$ が得られるかを説明せよ。

3. For the equation $A \cos (B x + C) + D,$ what constants affect the range of the function and how do they affect the range?

3. 式 $A \cos (B x + C) + D$ について、どの定数が関数の値域に影響し、それはどう影響するか。

4. How does the range of a translated sine function relate to the equation $y = A \sin (B x + C) + D ?$

4. 平行移動した正弦関数の値域は、式 $y = A \sin (B x + C) + D ?$ とどう関わるか。

5. How can the unit circle be used to construct the graph of $f (t) = \sin t ?$

5. 単位円を使って、 $f (t) = \sin t ?$ のグラフをどう作れるか。

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, graph two full periods of each function and state the amplitude, period, and midline. State the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values on one period for $x > 0.$ Round answers to two decimal places if necessary.

次の各問について、各関数の2周期分のグラフを描き、振幅・周期・中央線を答えよ。 $x > 0.$ について、1周期での y の最大値と最小値、およびそれに対応する x の値を答えよ。必要なら答えを小数第二位まで丸めよ。

6. $f (x) = 2 \sin x$

7. $f (x) = \frac{2}{3} \cos x$

8. $f (x) = - 3 \sin x$

9. $f (x) = 4 \sin x$

10. $f (x) = 2 \cos x$

11. $f (x) = \cos (2 x)$

12. $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x)$

13. $f (x) = 4 \cos (π x)$

14. $f (x) = 3 \cos (\frac{6}{5} x)$

15. $y = 3 \sin (8 (x + 4)) + 5$

16. $y = 2 \sin (3 x - 21) + 4$

17. $y = 5 \sin (5 x + 20) - 2$

For the following exercises, graph one full period of each function, starting at $x = 0.$ For each function, state the amplitude, period, and midline. State the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values on one period for $x > 0.$ State the phase shift and vertical translation, if applicable. Round answers to two decimal places if necessary.

次の各問について、 $x = 0.$ から始めて各関数の1周期分のグラフを描け。各関数について、振幅・周期・中央線を答えよ。 $x > 0.$ について、1周期での y の最大値と最小値、およびそれに対応する x の値を答えよ。当てはまるなら、位相のずれと縦の平行移動を答えよ。必要なら答えを小数第二位まで丸めよ。

18. $f (t) = 2 \sin (t - \frac{5 π}{6})$

19. $f (t) = - \cos (t + \frac{π}{3}) + 1$

20. $f (t) = 4 \cos (2 (t + \frac{π}{4})) - 3$

21. $f (t) = - \sin (\frac{1}{2} t + \frac{5 π}{3})$

22. $f (x) = 4 \sin (\frac{π}{2} (x - 3)) + 7$

23. Determine the amplitude, midline, period, and an equation involving the sine function for the graph shown in Figure 26.

23. 図26に示したグラフについて、振幅・中央線・周期と、正弦関数を含む式を決めよ。

A sinusoidal graph with amplitude of 2, range of [-5, -1], period of 4, and midline at y=-3.

24. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 27.

24. 図27に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、余弦を含む式を決めよ。

A graph with a cosine parent function, with amplitude of 3, period of pi, midline at y=-1, and range of [-4,2]

25. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 28.

25. 図28に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、余弦を含む式を決めよ。

A graph with a cosine parent function with an amplitude of 2, period of 5, midline at y=3, and a range of [1,5].

26. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving sine for the graph shown in Figure 29.

26. 図29に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、正弦を含む式を決めよ。

A sinusoidal graph with amplitude of 4, period of 10, midline at y=0, and range [-4,4].

27. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 30.

27. 図30に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、余弦を含む式を決めよ。

A graph with cosine parent function, range of function is [-4,4], amplitude of 4, period of 2.

28. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving sine for the graph shown in Figure 31.

28. 図31に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、正弦を含む式を決めよ。

A graph with sine parent function. Amplitude 2, period 2, midline y=0

29. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 32.

29. 図32に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、余弦を含む式を決めよ。

A graph with cosine parent function. Amplitude 2, period 2, midline y=1

30. Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving sine for the graph shown in Figure 33.

30. 図33に示したグラフについて、振幅・周期・中央線と、正弦を含む式を決めよ。

A graph with a sine parent function. Amplitude 1, period 4 and midline y=0.

Algebraic代数の問題

For the following exercises, let $f (x) = \sin x .$

次の各問では $f (x) = \sin x$ とせよ。

31. On $[0, 2 π),$ solve $f (x) = 0.$

31. $[0, 2 π),$ で $f (x) = 0.$ を解け。

32. On $[0, 2 π),$ solve $f (x) = \frac{1}{2} .$

32. $[0, 2 π),$ で $f (x) = \frac{1}{2}$ を解け。

33. Evaluate $f (\frac{π}{2}) .$

33. $f (\frac{π}{2})$ の値を求めよ。

34. On $[0, 2 π), f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Find all values of $x .$

34. $[0, 2 π), f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ で、 $x$ の値をすべて求めよ。

35. On $[0, 2 π),$ the maximum value(s) of the function occur(s) at what x-value(s)?

35. $[0, 2 π),$ で、この関数の最大値はどの x の値で現れるか。

36. On $[0, 2 π),$ the minimum value(s) of the function occur(s) at what x-value(s)?

36. $[0, 2 π),$ で、この関数の最小値はどの x の値で現れるか。

37. Show that $f (- x) = - f (x) .$ This means that $f (x) = \sin x$ is an odd function and possesses symmetry with respect to ________________.

37. $f (- x) = - f (x)$ を示せ。これは $f (x) = \sin x$ が奇関数であり、________________ に関して対称性を持つことを意味する。

For the following exercises, let $f (x) = \cos x .$

次の各問では $f (x) = \cos x$ とせよ。

38. On $[0, 2 π),$ solve the equation $f (x) = \cos x = 0.$

38. $[0, 2 π),$ で方程式 $f (x) = \cos x = 0.$ を解け。

39. On $[0, 2 π),$ solve $f (x) = \frac{1}{2} .$

39. $[0, 2 π),$ で $f (x) = \frac{1}{2}$ を解け。

40. On $[0, 2 π),$ find the x-intercepts of $f (x) = \cos x .$

40. $[0, 2 π),$ で $f (x) = \cos x$ の x切片を求めよ。

41. On $[0, 2 π),$ find the x-values at which the function has a maximum or minimum value.

41. $[0, 2 π),$ で、この関数が最大値または最小値をとる x の値を求めよ。

42. On $[0, 2 π),$ solve the equation $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

42. $[0, 2 π),$ で方程式 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解け。

Technology機器を使う問題

43. Graph $h (x) = x + \sin x$ on $[0, 2 π] .$ Explain why the graph appears as it does.

43. $[0, 2 π]$ で $h (x) = x + \sin x$ のグラフを描け。グラフがそう見える理由を説明せよ。

44. Graph $h (x) = x + \sin x$ on $[- 100, 100] .$ Did the graph appear as predicted in the previous exercise?

44. $[- 100, 100]$ で $h (x) = x + \sin x$ のグラフを描け。グラフは前問で予測したとおりになったか。

45. Graph $f (x) = x \sin x$ on $[0, 2 π]$ and verbalize how the graph varies from the graph of $f (x) = \sin x .$

45. $[0, 2 π]$ で $f (x) = x \sin x$ のグラフを描き、 $f (x) = \sin x$ のグラフとどう違うかを言葉で述べよ。

46. Graph $f (x) = x \sin x$ on the window $[−10, 10]$ and explain what the graph shows.

46. 表示範囲 $[−10, 10]$ で $f (x) = x \sin x$ のグラフを描き、そのグラフが何を示すかを説明せよ。

47. Graph $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ on the window $[−5 π, 5 π]$ and explain what the graph shows.

47. 表示範囲 $[−5 π, 5 π]$ で $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ のグラフを描き、そのグラフが何を示すかを説明せよ。

Real-World Applications応用問題

48. A Ferris wheel is 25 meters in diameter and boarded from a platform that is 1 meter above the ground. The six o’clock position on the Ferris wheel is level with the loading platform. The wheel completes 1 full revolution in 10 minutes. The function $h (t)$ gives a person’s height in meters above the ground t minutes after the wheel begins to turn.

48. ある観覧車の直径は25メートルで、地上1メートルの台から乗る。観覧車の6時の位置が乗り場の台と同じ高さである。この車輪は10分で1回転する。関数 $h (t)$ は、車輪が回り始めてから t 分後の人の地上からの高さ(メートル)を与える。

ⓐFind the amplitude, midline, and period of $h (t) .$ ⓑFind a formula for the height function $h (t) .$ ⓒHow high off the ground is a person after 5 minutes?