第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Graphing Logarithmic Functions対数関数のグラフを描く

Now that we have a feel for the set of values for which a logarithmic function is defined, we move on to graphing logarithmic functions. The family of logarithmic functions includes the parent function $y = \log_{b} (x)$ along with all its transformations: shifts, stretches, compressions, and reflections.

対数関数が定義される値の集合をつかんだので、対数関数のグラフを描くことに移る。対数関数の族には、親関数 $y = \log_{b} (x)$ と、それを移動・伸長・圧縮・折り返しで変形したものすべてが含まれる。

We begin with the parent function $y = \log_{b} (x) .$ Because every logarithmic function of this form is the inverse of an exponential function with the form $y = b^{x},$ their graphs will be reflections of each other across the line $y = x .$ To illustrate this, we can observe the relationship between the input and output values of $y = 2^{x}$ and its equivalent $x = \log_{2} (y)$ in Table 1.

まず親関数 $y = \log_{b} (x)$ から始める。この形の対数関数はどれも $y = b^{x}$ の形の指数関数の逆なので、そのグラフは直線 $y = x$ に関して互いに折り返したものになる。これを示すために、表1で $y = 2^{x}$ と、それと同値な $x = \log_{2} (y)$ の入力値と出力値の関係を見よう。

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^{x} = y$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\log_{2} (y) = x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Using the inputs and outputs from Table 1, we can build another table to observe the relationship between points on the graphs of the inverse functions $f (x) = 2^{x}$ and $g (x) = \log_{2} (x) .$ See Table 2.

表1の入力と出力を使えば、互いに逆関数である $f (x) = 2^{x}$ と $g (x) = \log_{2} (x)$ のグラフ上の点の関係を見るための別の表が作れる。表2を見よ。

$f (x) = 2^{x}$	$(- 3, \frac{1}{8})$	$(- 2, \frac{1}{4})$	$(- 1, \frac{1}{2})$	$(0, 1)$	$(1, 2)$	$(2, 4)$	$(3, 8)$
$g (x) = \log_{2} (x)$	$(\frac{1}{8}, - 3)$	$(\frac{1}{4}, - 2)$	$(\frac{1}{2}, - 1)$	$(1, 0)$	$(2, 1)$	$(4, 2)$	$(8, 3)$

As we’d expect, the x- and y-coordinates are reversed for the inverse functions. Figure 2 shows the graph of $f$ and $g .$

見込みどおり、逆関数では x座標と y座標が入れ替わっている。図2は $f$ と $g$ のグラフを示している。

Graph of two functions, f(x)=2^x and g(x)=log_2(x), with the line y=x denoting the axis of symmetry. — Figure 2 Notice that the graphs of $f (x) = 2^{x}$ and $g (x) = \log_{2} (x)$ are reflections about the line $y = x .$ 図2 $f (x) = 2^{x}$ と $g (x) = \log_{2} (x)$ のグラフが直線 $y = x$ に関する折り返しになっているのに注目しよう。

Observe the following from the graph:

このグラフから次のことを見よう。

• $f (x) = 2^{x}$ has a y-intercept at $(0, 1)$ and $g (x) = \log_{2} (x)$ has an x- intercept at $(1, 0) .$ • The domain of $f (x) = 2^{x},$ $(- \infty, \infty),$ is the same as the range of $g (x) = \log_{2} (x) .$ • The range of $f (x) = 2^{x},$ $(0, \infty),$ is the same as the domain of $g (x) = \log_{2} (x) .$

・ $f (x) = 2^{x}$ は $(0, 1)$ に y切片を持ち、 $g (x) = \log_{2} (x)$ は $(1, 0)$ に x切片を持つ。・ $f (x) = 2^{x}$ 、 $(- \infty, \infty)$ の定義域は、 $g (x) = \log_{2} (x)$ の値域と同じである。・ $f (x) = 2^{x}$ 、 $(0, \infty)$ の値域は、 $g (x) = \log_{2} (x)$ の定義域と同じである。

Characteristics of the Graph of the Parent Function, 基本となる関数のグラフの特徴

Characteristics of the Graph of the Parent Function, $f (x) = \log_{b} (x) :$ 親関数 $f (x) = \log_{b} (x) :$ のグラフの特徴

For any real number $x$ and constant $b > 0,$ $b \neq 1,$ we can see the following characteristics in the graph of $f (x) = \log_{b} (x) :$

任意の実数 $x$ と定数 $b > 0$ 、 $b \neq 1$ について、 $f (x) = \log_{b} (x) :$ のグラフに次の特徴が見てとれる。

• one-to-one function• vertical asymptote: $x = 0$ • domain: $(0, \infty)$ • range: $(- \infty, \infty)$ • x-intercept: $(1, 0)$ and key point $(b, 1)$ • y-intercept: none• increasing if $b > 1$ • decreasing if $0 < b < 1$

・一対一の関数・垂直漸近線: $x = 0$ ・定義域: $(0, \infty)$ ・値域: $(- \infty, \infty)$ ・x切片: $(1, 0)$ 、そして要点 $(b, 1)$ ・y切片: 無し・ $b > 1$ なら増加する・ $0 < b < 1$ なら減少する

See Figure 3.

図3を見よ。

Two graphs of the function f(x)=log_b(x) with points (1,0) and (b, 1). The first graph shows the line when b>1, and the second graph shows the line when 0<b<1.

Figure 4 shows how changing the base $b$ in $f (x) = \log_{b} (x)$ can affect the graphs. Observe that the graphs compress vertically as the value of the base increases. (Note: recall that the function $\ln (x)$ has base $e \approx 2 . 718.)$

図4は、 $f (x) = \log_{b} (x)$ の底 $b$ を変えるとグラフがどう変わるかを示している。底の値が大きくなるほどグラフが縦に縮むのを見よう。(注意: 関数 $\ln (x)$ の底は $e \approx 2 . 718.)$ であることを思い出そう。)

Graph of three equations: y=log_2(x) in blue, y=ln(x) in orange, and y=log(x) in red. The y-axis is the asymptote. — Figure 4 The graphs of three logarithmic functions with different bases, all greater than 1.図4 底が違う三つの対数関数のグラフ。どの底も1より大きい。

How To 手順

Given a logarithmic function with the form $f (x) = \log_{b} (x),$ graph the function.

$f (x) = \log_{b} (x)$ の形の対数関数が与えられたとき、その関数のグラフを描く。

1. Draw and label the vertical asymptote, $x = 0.$ 2. Plot the x-intercept, $(1, 0) .$ 3. Plot the key point $(b, 1) .$ 4. Draw a smooth curve through the points.5. State the domain, $(0, \infty),$ the range, $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote, $x = 0.$

1. 垂直漸近線 $x = 0.$ を描いて名前を付ける。2. x切片 $(1, 0)$ を打つ。3. 要点 $(b, 1)$ を打つ。4. その点を通る滑らかな曲線を描く。5. 定義域 $(0, \infty)$ 、値域 $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線 $x = 0.$ を答える。

Example 3例3

Graphing a Logarithmic Function with the Form f(x) = log_b(x).f(x) = logb(x) の形の対数関数のグラフを描く

Graph $f (x) = \log_{5} (x) .$ State the domain, range, and asymptote.

$f (x) = \log_{5} (x)$ のグラフを描け。定義域、値域、漸近線を答えよ。

Solution 解答

Before graphing, identify the behavior and key points for the graph.

グラフを描く前に、ふるまいとグラフの要点を見分ける。

• Since $b = 5$ is greater than one, we know the function is increasing. The left tail of the graph will approach the vertical asymptote $x = 0,$ and the right tail will increase slowly without bound.• The x-intercept is $(1, 0) .$ • The key point $(5, 1)$ is on the graph.• We draw and label the asymptote, plot and label the points, and draw a smooth curve through the points (see Figure 5).

・ $b = 5$ は1より大きいので、この関数は増加すると分かる。グラフの左の裾は垂直漸近線 $x = 0$ に近づき、右の裾はゆっくりと限りなく増える。・x切片は $(1, 0)$ である。・要点 $(5, 1)$ がグラフ上にある。・漸近線を描いて名前を付け、点を打って名前を付け、その点を通る滑らかな曲線を描く(図5を見よ)。

Graph of f(x)=log_5(x) with labeled points at (1, 0) and (5, 1). The y-axis is the asymptote.

The domain is $(0, \infty),$ the range is $(- \infty, \infty),$ and the vertical asymptote is $x = 0.$

定義域は $(0, \infty)$ 、値域は $(- \infty, \infty)$ 、垂直漸近線は $x = 0.$ である。

Try It #3やってみよう3

Graph $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x) .$ State the domain, range, and asymptote.

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ のグラフを描け。定義域、値域、漸近線を答えよ。

第6章指数関数と対数関数Exponential and Logarithmic Functions

Graphing Logarithmic Functions対数関数のグラフを描く

Characteristics of the Graph of the Parent Function, f(x)=log b ( x ):親関数 f(x)=log b ( x ): のグラフの特徴

Graphing a Logarithmic Function with the Form f(x) = logb(x).f(x) = logb(x) の形の対数関数のグラフを描く

Characteristics of the Graph of the Parent Function, $f (x) = \log_{b} (x) :$ 親関数 $f (x) = \log_{b} (x) :$ のグラフの特徴

Graphing a Logarithmic Function with the Form f(x) = log_b(x).f(x) = logb(x) の形の対数関数のグラフを描く