第2章方程式と不等式Equations and Inequalities

Key Concepts重要な概念

• We can locate, or plot, points in the Cartesian coordinate system using ordered pairs, which are defined as displacement from the x-axis and displacement from the y-axis. See Example 1.• An equation can be graphed in the plane by creating a table of values and plotting points. See Example 2.• Using a graphing calculator or a computer program makes graphing equations faster and more accurate. Equations usually have to be entered in the form y=_____. See Example 3.• Finding the x- and y-intercepts can define the graph of a line. These are the points where the graph crosses the axes. See Example 4.• The distance formula is derived from the Pythagorean Theorem and is used to find the length of a line segment. See Example 5 and Example 6.• The midpoint formula provides a method of finding the coordinates of the midpoint dividing the sum of the x-coordinates and the sum of the y-coordinates of the endpoints by 2. See Example 7 and Example 8.

・順序対を使えば、デカルト座標系の中で点の位置を定め、打つことができる。順序対は x軸からのずれと y軸からのずれとして定める。例1を見よ。・値の表を作って点を打てば、方程式を平面上のグラフにできる。例2を見よ。・グラフ電卓や計算機のプログラムを使えば、グラフを速く正確に描ける。方程式はふつう y=___ の形で入力しなければならない。例3を見よ。・x切片と y切片を求めれば、直線のグラフが定まる。これらはグラフが軸と交わる点である。例4を見よ。・距離の公式はピタゴラスの定理から導かれ、線分の長さを求めるのに使う。例5と例6を見よ。・中点の公式は、端点の x座標の和と y座標の和をそれぞれ2で割ることで、中点の座標を求める方法を与える。例7と例8を見よ。

• We can solve linear equations in one variable in the form $a x + b = 0$ using standard algebraic properties. See Example 1 and Example 2.• A rational expression is a quotient of two polynomials. We use the LCD to clear the fractions from an equation. See Example 3 and Example 4.• All solutions to a rational equation should be verified within the original equation to avoid an undefined term, or zero in the denominator. See Example 5 and Example 6 and Example 7.• Given two points, we can find the slope of a line using the slope formula. See Example 8.• We can identify the slope and y-intercept of an equation in slope-intercept form. See Example 9.• We can find the equation of a line given the slope and a point. See Example 10. • We can also find the equation of a line given two points. Find the slope and use the point-slope formula. See Example 11.• The standard form of a line has no fractions. See Example 12.• Horizontal lines have a slope of zero and are defined as $y = c,$ where c is a constant.• Vertical lines have an undefined slope (zero in the denominator), and are defined as $x = c,$ where c is a constant. See Example 13.• Parallel lines have the same slope and different y-intercepts. See Example 14 and Example 15.• Perpendicular lines have slopes that are negative reciprocals of each other unless one is horizontal and the other is vertical. See Example 16.

・ $a x + b = 0$ の形の一元一次方程式は、代数の標準的な性質を使って解ける。例1と例2を見よ。・有理式とは二つの多項式の商である。方程式から分数を消すには LCD を使う。例3と例4を見よ。・分数方程式の解はすべて、定義されない項や分母の0を避けるために、もとの方程式で確かめるべきである。例5、例6、例7を見よ。・二点が与えられれば、傾きの公式で直線の傾きを求められる。例8を見よ。・傾き切片形の方程式なら、傾きと y切片が見分けられる。例9を見よ。・傾きと一点が与えられれば、直線の方程式を求められる。例10を見よ。・二点が与えられても直線の方程式を求められる。傾きを求め、点傾き形の公式を使う。例11を見よ。・直線の標準形には分数が無い。例12を見よ。・横の直線は傾きが0で、 $y = c$ と定まる。ここで c は定数である。・縦の直線は傾きが定義されず(分母が0になる)、 $x = c$ と定まる。ここで c は定数である。例13を見よ。・平行な直線どうしは、傾きが同じで y切片が違う。例14と例15を見よ。・垂直な直線どうしの傾きは、一方が横で他方が縦である場合を除き、互いに逆数の符号を変えたものになる。例16を見よ。

• A linear equation can be used to solve for an unknown in a number problem. See Example 1.• Applications can be written as mathematical problems by identifying known quantities and assigning a variable to unknown quantities. See Example 2.• There are many known formulas that can be used to solve applications. Distance problems, for example, are solved using the $d = r t$ formula. See Example 3.• Many geometry problems are solved using the perimeter formula $P = 2 L + 2 W,$ the area formula $A = L W,$ or the volume formula $V = L W H .$ See Example 4, Example 5, and Example 6.

・数を求める問題は、一次方程式で解ける。例1を見よ。・分かっている量を挙げ、分からない量に変数を割り当てれば、応用問題を数学の問題として書ける。例2を見よ。・応用問題を解くのに使える公式は多く知られている。たとえば距離の問題は $d = r t$ の公式で解く。例3を見よ。・図形の問題の多くは、周の長さの公式 $P = 2 L + 2 W$ 、面積の公式 $A = L W$ 、体積の公式 $V = L W H$ で解ける。例4、例5、例6を見よ。

• The square root of any negative number can be written as a multiple of $i .$ See Example 1.• To plot a complex number, we use two number lines, crossed to form the complex plane. The horizontal axis is the real axis, and the vertical axis is the imaginary axis. See Example 2.• Complex numbers can be added and subtracted by combining the real parts and combining the imaginary parts. See Example 3.• Complex numbers can be multiplied and divided. To multiply complex numbers, distribute just as with polynomials. See Example 4 and Example 5. To divide complex numbers, multiply both numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator to eliminate the complex number from the denominator. See Example 6 and Example 7.• The powers of $i$ are cyclic, repeating every fourth one. See Example 8.

・どんな負の数の平方根も、 $i$ の定数倍として書ける。例1を見よ。・複素数を打つには、二本の数直線を交差させて作った複素平面を使う。横の軸が実軸、縦の軸が虚軸である。例2を見よ。・複素数は、実部どうし・虚部どうしをまとめることで足し引きできる。例3を見よ。・複素数は掛けることも割ることもできる。掛けるときは多項式と同じように分配する。例4と例5を見よ。割るときは、分母から複素数を消すために、分子と分母の両方に分母の共役複素数を掛ける。例6と例7を見よ。・ $i$ の累乗は循環し、四つごとに繰り返す。例8を見よ。

• Many quadratic equations can be solved by factoring when the equation has a leading coefficient of 1 or if the equation is a difference of squares. The zero-product property is then used to find solutions. See Example 1, Example 2, and Example 3.• Many quadratic equations with a leading coefficient other than 1 can be solved by factoring using the grouping method. See Example 4 and Example 5.• Another method for solving quadratics is the square root property. The variable is squared. We isolate the squared term and take the square root of both sides of the equation. The solution will yield a positive and negative solution. See Example 6 and Example 7.• Completing the square is a method of solving quadratic equations when the equation cannot be factored. See Example 8.• A highly dependable method for solving quadratic equations is the quadratic formula, based on the coefficients and the constant term in the equation. See Example 9 and Example 10.• The discriminant is used to indicate the nature of the roots that the quadratic equation will yield: real or complex, rational or irrational, and how many of each. See Example 11.• The Pythagorean Theorem, among the most famous theorems in history, is used to solve right-triangle problems and has applications in numerous fields. Solving for the length of one side of a right triangle requires solving a quadratic equation. See Example 12.

・最高次係数が1のとき、あるいは方程式が平方の差のとき、多くの二次方程式は因数分解で解ける。そのうえで零因子の性質を使って解を求める。例1、例2、例3を見よ。・最高次係数が1でない二次方程式の多くは、組み分けの方法による因数分解で解ける。例4と例5を見よ。・二次方程式のもう一つの解き方が平方根の性質である。変数が二乗されている。二乗の項だけを残し、方程式の両辺の平方根をとる。解は正と負の二つになる。例6と例7を見よ。・平方完成は、因数分解できない二次方程式を解く方法である。例8を見よ。・二次方程式のきわめて頼りになる解き方が解の公式で、方程式の係数と定数項をもとにしている。例9と例10を見よ。・判別式は、その二次方程式が生む根がどんなものか——実数か複素数か、有理数か無理数か、そしてそれぞれ何個か——を示すのに使う。例11を見よ。・ピタゴラスの定理は歴史上もっとも名高い定理の一つで、直角三角形の問題を解くのに使われ、数多くの分野に応用がある。直角三角形の一辺の長さを求めるには、二次方程式を解くことになる。例12を見よ。

• Rational exponents can be rewritten several ways depending on what is most convenient for the problem. To solve, both sides of the equation are raised to a power that will render the exponent on the variable equal to 1. See Example 1, Example 2, and Example 3.• Factoring extends to higher-order polynomials when it involves factoring out the GCF or factoring by grouping. See Example 4 and Example 5.• We can solve radical equations by isolating the radical and raising both sides of the equation to a power that matches the index. See Example 6 and Example 7.• To solve absolute value equations, we need to write two equations, one for the positive value and one for the negative value. See Example 8.• Equations in quadratic form are easy to spot, as the exponent on the first term is double the exponent on the second term and the third term is a constant. We may also see a binomial in place of the single variable. We use substitution to solve. See Example 9 and Example 10.• Solving a rational equation may also lead to a quadratic equation or an equation in quadratic form. See Example 11.

・有理数の指数は、問題に応じて都合のよい形にいくつかの書き方で書き直せる。解くには、変数の指数が1になるような乗数に方程式の両辺を上げる。例1、例2、例3を見よ。・GCF をくくり出すか組み分けで因数分解する場合、因数分解はより高次の多項式にも使える。例4と例5を見よ。・無理方程式は、根号だけを残し、方程式の両辺を根号の指数に合う乗数に上げれば解ける。例6と例7を見よ。・絶対値の方程式を解くには、正の値の場合と負の値の場合の二つの方程式を書く必要がある。例8を見よ。・二次の形をした方程式は見分けやすい。最初の項の指数が二つ目の項の指数の2倍で、三つ目の項が定数だからである。一つの変数の代わりに二項式が入ることもある。置き換えを使って解く。例9と例10を見よ。・分数方程式を解くと、二次方程式や二次の形をした方程式になることもある。例11を見よ。

• Interval notation is a method to indicate the solution set to an inequality. Highly applicable in calculus, it is a system of parentheses and brackets that indicate what numbers are included in a set and whether the endpoints are included as well. See Table 1 and Example 2.• Solving inequalities is similar to solving equations. The same algebraic rules apply, except for one: multiplying or dividing by a negative number reverses the inequality. See Example 3, Example 4, Example 5, and Example 6.• Compound inequalities often have three parts and can be rewritten as two independent inequalities. Solutions are given by boundary values, which are indicated as a beginning boundary or an ending boundary in the solutions to the two inequalities. See Example 7 and Example 8.• Absolute value inequalities will produce two solution sets due to the nature of absolute value. We solve by writing two equations: one equal to a positive value and one equal to a negative value. See Example 9 and Example 10.• Absolute value inequalities can also be solved by graphing. At least we can check the algebraic solutions by graphing, as we cannot depend on a visual for a precise solution. See Example 11.

・区間の書き方は、不等式の解の集合を示す方法である。微積分でも大いに使われる。丸括弧と角括弧を使い、どの数が集合に入るか、そして端点も入るかどうかを示す仕組みである。表1と例2を見よ。・不等式を解くのは方程式を解くのとよく似ている。代数の規則は同じだが、一つだけ違う。負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが逆になる。例3、例4、例5、例6を見よ。・連立した不等式はたいてい三つの部分からなり、独立した二つの不等式として書き直せる。解は境の値で与えられ、それは二つの不等式の解における始まりの境または終わりの境として示される。例7と例8を見よ。・絶対値の性質により、絶対値を含む不等式は二つの解の集合を生む。正の値に等しい方程式と、負の値に等しい方程式の二つを書いて解く。例9と例10を見よ。・絶対値を含む不等式はグラフでも解ける。少なくとも、式で得た解をグラフで確かめることはできる。正確な解を目で読み取ることには頼れないからである。例11を見よ。