第12章解析幾何Analytic Geometry

Practice Test実力テスト

For the following exercises, write the equation in standard form and state the center, vertices, and foci.

次の各問について、式を標準の形で書き、中心、頂点、焦点を述べよ。

1. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

2. $9 y^{2} + 16 x^{2} - 36 y + 32 x - 92 = 0$

For the following exercises, sketch the graph, identifying the center, vertices, and foci.

次の各問について、グラフの概形を描き、中心、頂点、焦点を見分けよ。

3. $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{36} = 1$

4. $2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0$

5. Write the standard form equation of an ellipse with a center at $(1, 2),$ vertex at $(7, 2),$ and focus at $(4, 2).$

5. 中心 $(1, 2)$ 、頂点 $(7, 2)$ 、焦点 $(4, 2).$ の楕円の式を標準の形で書け。

6. A whispering gallery is to be constructed with a length of 150 feet. If the foci are to be located 20 feet away from the wall, how high should the ceiling be?

6. 長さ150フィートのささやきの回廊を作ることになっている。焦点を壁から20フィートのところに置くとき、天井の高さはいくらにすべきか。

For the following exercises, write the equation of the hyperbola in standard form, and give the center, vertices, foci, and asymptotes.

次の各問について、双曲線の式を標準の形で書き、中心、頂点、焦点、漸近線を示せ。

7. $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

8. $16 y^{2} - 9 x^{2} + 128 y + 112 = 0$

For the following exercises, graph the hyperbola, noting its center, vertices, and foci. State the equations of the asymptotes.

次の各問について、双曲線のグラフを描き、中心、頂点、焦点を書き入れよ。漸近線の式を述べよ。

9. $\frac{{(x - 3)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{1} = 1$

10. $y^{2} - x^{2} + 4 y - 4 x - 18 = 0$

11. Write the standard form equation of a hyperbola with foci at $(1, 0)$ and $(1, 6),$ and a vertex at $(1, 2) .$

11. 焦点 $(1, 0)$ と $(1, 6)$ 、頂点 $(1, 2)$ の双曲線の式を標準の形で書け。

For the following exercises, write the equation of the parabola in standard form, and give the vertex, focus, and equation of the directrix.

次の各問について、放物線の式を標準の形で書き、頂点、焦点、準線の式を示せ。

12. $y^{2} + 10 x = 0$

13. $3 x^{2} - 12 x - y + 11 = 0$

For the following exercises, graph the parabola, labeling the vertex, focus, and directrix.

次の各問について、放物線のグラフを描き、頂点、焦点、準線に印を付けよ。

14. ${(x - 1)}^{2} = −4 (y + 3)$

15. $y^{2} + 8 x - 8 y + 40 = 0$

16. Write the equation of a parabola with a focus at $(2, 3)$ and directrix $y = −1.$

16. 焦点 $(2, 3)$ 、準線 $y = −1.$ の放物線の式を書け。

17. A searchlight is shaped like a paraboloid of revolution. If the light source is located 1.5 feet from the base along the axis of symmetry, and the depth of the searchlight is 3 feet, what should the width of the opening be?

17. ある探照灯は回転放物面の形をしている。光源が対称軸に沿って底から1.5フィートのところにあり、この探照灯の深さが3フィートのとき、開口部の幅はいくらにすべきか。

For the following exercises, determine which conic section is represented by the given equation, and then determine the angle $θ$ that will eliminate the $x y$ term.

次の各問について、与えられた式がどの円錐曲線を表すかを決め、そして $x y$ の項を消す角 $θ$ を決めよ。

18. $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} = 4$

19. $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} + 6 x - 8 y = 0$

For the following exercises, rewrite in the $x^{'} y^{'}$ system without the $x^{'} y^{'}$ term, and graph the rotated graph.

次の各問について、 $x^{'} y^{'}$ の項の無い $x^{'} y^{'}$ の系に書き直し、回したグラフを描け。

20. $11 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + y^{2} = 4$

21. $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 125 x = 0$

For the following exercises, identify the conic with focus at the origin, and then give the directrix and eccentricity.

次の各問について、原点に焦点を持つ円錐曲線を見分け、そして準線と離心率を示せ。

22. $r = \frac{3}{2 - \sin θ}$

23. $r = \frac{5}{4 + 6 \cos θ}$

For the following exercises, graph the given conic section. If it is a parabola, label vertex, focus, and directrix. If it is an ellipse or a hyperbola, label vertices and foci.

次の各問について、与えられた円錐曲線のグラフを描け。放物線なら頂点、焦点、準線に印を付けよ。楕円か双曲線なら頂点と焦点に印を付けよ。

24. $r = \frac{12}{4 - 8 \sin θ}$

25. $r = \frac{2}{4 + 4 \sin θ}$

26. Find a polar equation of the conic with focus at the origin, eccentricity of $e = 2,$ and directrix: $x = 3.$

26. 原点に焦点を持ち、離心率 $e = 2$ 、準線 $x = 3.$ の円錐曲線の極方程式を求めよ。