第12章解析幾何Analytic Geometry

Writing Equations of Ellipses in Standard Form楕円の式を標準の形で書く

A conic section, or conic, is a shape resulting from intersecting a right circular cone with a plane. The angle at which the plane intersects the cone determines the shape, as shown in Figure 2.

円錐曲線、または円錐断面とは、直円錐と平面が交わってできる形である。図2に示すとおり、平面が円錐と交わる角度が形を決める。

Illustration of conic sections: ellipse, hyperbola, and parabola, demonstrating how they are formed by the intersection of a plane with a double cone.

Conic sections can also be described by a set of points in the coordinate plane. Later in this chapter, we will see that the graph of any quadratic equation in two variables is a conic section. The signs of the equations and the coefficients of the variable terms determine the shape. This section focuses on the four variations of the standard form of the equation for the ellipse. An ellipse is the set of all points $(x, y)$ in a plane such that the sum of their distances from two fixed points is a constant. Each fixed point is called a focus (plural: foci).

円錐曲線は、座標平面の点の集合としても述べられる。この章の後のほうで、二変数のどの二次方程式のグラフも円錐曲線であることを見る。式の符号と変数の項の係数が形を決める。この節では、楕円の式の標準の形の四つの変種に絞る。楕円とは、平面上の点 $(x, y)$ のうち、二つの定まった点からの距離の和が一定であるものすべての集合である。各定点を焦点(複数: 焦点)という。

We can draw an ellipse using a piece of cardboard, two thumbtacks, a pencil, and string. Place the thumbtacks in the cardboard to form the foci of the ellipse. Cut a piece of string longer than the distance between the two thumbtacks (the length of the string represents the constant in the definition). Tack each end of the string to the cardboard, and trace a curve with a pencil held taut against the string. The result is an ellipse. See Figure 3.

厚紙、画鋲二つ、鉛筆、糸があれば楕円が描ける。厚紙に画鋲を刺して楕円の焦点にする。二つの画鋲のあいだの距離より長い糸を切る(糸の長さが定めの中の一定の値にあたる)。糸の両端を厚紙に留め、糸をぴんと張るように鉛筆を当てて曲線をたどる。できるのが楕円である。図3を見よ。

This figure shows two thumbtacks stuck in a piece of paper with a slack piece of string between them. A pencil pulls the string taught and by moving around, draws an ellipse.

Every ellipse has two axes of symmetry. The longer axis is called the major axis, and the shorter axis is called the minor axis. Each endpoint of the major axis is the vertex of the ellipse (plural: vertices), and each endpoint of the minor axis is a co-vertex of the ellipse. The center of an ellipse is the midpoint of both the major and minor axes. The axes are perpendicular at the center. The foci always lie on the major axis, and the sum of the distances from the foci to any point on the ellipse (the constant sum) is greater than the distance between the foci. See Figure 4.

どの楕円にも対称軸が二つある。長いほうの軸を長軸、短いほうの軸を短軸という。長軸の各端点はこの楕円の頂点(複数: 頂点)であり、短軸の各端点はこの楕円の余頂点である。楕円の中心は長軸と短軸の両方の中点である。二つの軸は中心で直交する。焦点はつねに長軸上にあり、焦点から楕円上のどの点までの距離の和(一定である和)も、焦点どうしの距離より大きい。図4を見よ。

A horizontal ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system, with Major and Minor Axes, Vertices and Co-Vertices, Foci, and Center labeled.

In this section, we restrict ellipses to those that are positioned vertically or horizontally in the coordinate plane. That is, the axes will either lie on or be parallel to the x- and y-axes. Later in the chapter, we will see ellipses that are rotated in the coordinate plane.

この節では、座標平面に縦または横に置かれた楕円に限る。すなわち、軸は x軸と y軸の上にあるか、それらに平行である。この章の後のほうで、座標平面で回転した楕円を見る。

To work with horizontal and vertical ellipses in the coordinate plane, we consider two cases: those that are centered at the origin and those that are centered at a point other than the origin. First we will learn to derive the equations of ellipses, and then we will learn how to write the equations of ellipses in standard form. Later we will use what we learn to draw the graphs.

座標平面で横向きと縦向きの楕円を扱うため、二つの場合を考える。原点を中心とするものと、原点以外の点を中心とするものである。まず楕円の式の導き方を学び、そして楕円の式を標準の形で書くしかたを学ぶ。のちに、学んだことを使ってグラフを描く。

Deriving the Equation of an Ellipse Centered at the Origin原点を中心とする楕円の式を導く

To derive the equation of an ellipse centered at the origin, we begin with the foci $(- c, 0)$ and $(c, 0) .$ The ellipse is the set of all points $(x, y)$ such that the sum of the distances from $(x, y)$ to the foci is constant, as shown in Figure 5.

原点を中心とする楕円の式を導くために、焦点 $(- c, 0)$ と $(c, 0)$ から始める。楕円とは、図5に示すとおり、 $(x, y)$ から焦点までの距離の和が一定である点 $(x, y)$ すべての集合である。

A horizontal ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system, with Vertices at (negative a, 0) and (a, 0) and Foci at (negative c, 0) and (c, 0). Lines of length d1 and d2 connect a point (x, y) on the ellipse to the two Foci.

If $(a, 0)$ is a vertex of the ellipse, the distance from $(- c, 0)$ to $(a, 0)$ is $a - (- c) = a + c .$ The distance from $(c, 0)$ to $(a, 0)$ is $a - c$ . The sum of the distances from the foci to the vertex is

$(a, 0)$ がこの楕円の頂点なら、 $(- c, 0)$ から $(a, 0)$ までの距離は $a - (- c) = a + c$ である。 $(c, 0)$ から $(a, 0)$ までの距離は $a - c$ である。焦点から頂点までの距離の和は次である。

(a + c) + (a - c) = 2 a

If $(x, y)$ is a point on the ellipse, then we can define the following variables:

$(x, y)$ が楕円上の点なら、次の変数を定められる。

\begin{array}{l} d_{1} = the distance from (- c, 0) to (x, y) \\ d_{2} = the distance from (c, 0) to (x, y) \end{array}

By the definition of an ellipse, $d_{1} + d_{2}$ is constant for any point $(x, y)$ on the ellipse. We know that the sum of these distances is $2 a$ for the vertex $(a, 0) .$ It follows that $d_{1} + d_{2} = 2 a$ for any point on the ellipse. We will begin the derivation by applying the distance formula. The rest of the derivation is algebraic.

楕円の定めにより、 $d_{1} + d_{2}$ は楕円上のどの点 $(x, y)$ についても一定である。頂点 $(a, 0)$ については、この距離の和が $2 a$ だと分かっている。よって楕円上のどの点についても $d_{1} + d_{2} = 2 a$ である。距離の公式を使って導出を始める。あとの導出は代数である。

\begin{array}{l} d_{1} + d_{2} = \sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = 2 a & Distance formula \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a & Simplify expressions . \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Move radical to opposite side . \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} = {[2 a - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}]}^{2} & Square both sides . \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + {(x - c)}^{2} + y^{2} & Expand the squares . \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & Expand remaining squares . \\ 2 c x = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} - 2 c x & Combine like terms . \\ 4 c x - 4 a^{2} = - 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Isolate the radical . \\ c x - a^{2} = - a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & Divide by 4 . \\ {[c x - a^{2}]}^{2} = a^{2} {[\sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}]}^{2} & Square both sides . \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) & Expand the squares . \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} & Distribute a^{2} . \\ a^{2} x^{2} - c^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2} & Rewrite . \\ x^{2} (a^{2} - c^{2}) + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) & Factor common terms . \\ x^{2} b^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} & Set b^{2} = a^{2} - c^{2} . \\ \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} + \frac{a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} & Divide both sides by a^{2} b^{2} . \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 & Simplify . \end{array}

Thus, the standard equation of an ellipse is $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ This equation defines an ellipse centered at the origin. If $a > b,$ the ellipse is stretched further in the horizontal direction, and if $b > a,$ the ellipse is stretched further in the vertical direction.

よって、楕円の標準の式は $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ である。この式は原点を中心とする楕円を定める。 $a > b$ なら楕円は水平の向きへより引き伸ばされ、 $b > a$ なら鉛直の向きへより引き伸ばされる。

Writing Equations of Ellipses Centered at the Origin in Standard Form原点を中心とする楕円の式を標準の形で書く

Standard forms of equations tell us about key features of graphs. Take a moment to recall some of the standard forms of equations we’ve worked with in the past: linear, quadratic, cubic, exponential, logarithmic, and so on. By learning to interpret standard forms of equations, we are bridging the relationship between algebraic and geometric representations of mathematical phenomena.

式の標準の形は、グラフの要となる特徴を教えてくれる。これまで扱ってきた式の標準の形をいくつか思い出してみよ。一次、二次、三次、指数、対数などである。式の標準の形の読みかたを学ぶことで、数学の現象の代数による表しかたと幾何による表しかたのあいだに橋をかけている。

The key features of the ellipse are its center, vertices, co-vertices, foci, and lengths and positions of the major and minor axes. Just as with other equations, we can identify all of these features just by looking at the standard form of the equation. There are four variations of the standard form of the ellipse. These variations are categorized first by the location of the center (the origin or not the origin), and then by the position (horizontal or vertical). Each is presented along with a description of how the parts of the equation relate to the graph. Interpreting these parts allows us to form a mental picture of the ellipse.

楕円の要となる特徴は、中心、頂点、余頂点、焦点、そして長軸と短軸の長さと位置である。ほかの式と同じく、式の標準の形を見るだけでこれらの特徴がすべて見分けられる。楕円の標準の形には四つの変種がある。この変種は、まず中心の位置(原点か原点でないか)で分けられ、次に向き(横か縦か)で分けられる。それぞれについて、式の各部分がグラフとどう対応するかの説明とともに示す。この部分を読み解けば、楕円の姿を頭に思い描ける。

Standard Forms of the Equation of an Ellipse with Center (0,0) 原点を中心とする楕円の標準形

The standard form of the equation of an ellipse with center $(0, 0)$ and major axis on the x-axis is

中心 $(0, 0)$ 、長軸が x軸上にある楕円の式の標準の形は次である。

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

where

ここで

• $a > b$ • the length of the major axis is $2 a$ • the coordinates of the vertices are $(\pm a, 0)$ • the length of the minor axis is $2 b$ • the coordinates of the co-vertices are $(0, \pm b)$ • the coordinates of the foci are $(\pm c, 0)$ , where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ See Figure 6 a

・長軸の長さは $2 a$ ・頂点の座標は $(\pm a, 0)$ ・短軸の長さは $2 b$ ・余頂点の座標は $(0, \pm b)$ ・焦点の座標は $(\pm c, 0)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。図6aを見よ

The standard form of the equation of an ellipse with center $(0, 0)$ and major axis on the y-axis is

中心 $(0, 0)$ 、長軸が y軸上にある楕円の式の標準の形は次である。

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

where

ここで

• $a > b$ • the length of the major axis is $2 a$ • the coordinates of the vertices are $(0, \pm a)$ • the length of the minor axis is $2 b$ • the coordinates of the co-vertices are $(\pm b, 0)$ • the coordinates of the foci are $(0, \pm c)$ , where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ See Figure 6 b

・長軸の長さは $2 a$ ・頂点の座標は $(0, \pm a)$ ・短軸の長さは $2 b$ ・余頂点の座標は $(\pm b, 0)$ ・焦点の座標は $(0, \pm c)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。図6bを見よ

Note that the vertices, co-vertices, and foci are related by the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ When we are given the coordinates of the foci and vertices of an ellipse, we can use this relationship to find the equation of the ellipse in standard form.

頂点、余頂点、焦点は式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ で結ばれていることに注意せよ。楕円の焦点と頂点の座標が与えられたとき、この関係を使ってその楕円の式を標準の形で求められる。

Two ellipses centered at the origin. (a) shows an ellipse with a horizontal major axis, and (b) shows an ellipse with a vertical major axis. Key points like vertices, co-vertices, and foci are labeled. — Figure 6 (a) Horizontal ellipse with center $(0, 0)$ (b) Vertical ellipse with center $(0, 0)$ 図6 (a) 中心 $(0, 0)$ の横向きの楕円 (b) 中心 $(0, 0)$ の縦向きの楕円

How To 手順

Given the vertices and foci of an ellipse centered at the origin, write its equation in standard form.

原点を中心とする楕円の頂点と焦点が与えられたとき、その式を標準の形で書く。

1. Determine whether the major axis lies on the x- or y-axis. If the given coordinates of the vertices and foci have the form $(\pm a, 0)$ and $(\pm c, 0)$ respectively, then the major axis is the x-axis. Use the standard form $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ If the given coordinates of the vertices and foci have the form $(0, \pm a)$ and $(0, \pm c),$ respectively, then the major axis is the y-axis. Use the standard form $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1.$ 2. Use the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2},$ along with the given coordinates of the vertices and foci, to solve for $b^{2} .$ 3. Substitute the values for $a^{2}$ and $b^{2}$ into the standard form of the equation determined in Step 1.

1. 長軸が x軸上にあるか y軸上にあるかを決める。与えられた頂点と焦点の座標がそれぞれ $(\pm a, 0)$ と $(\pm c, 0)$ の形なら、長軸は x軸である。標準の形 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ を使う。与えられた頂点と焦点の座標がそれぞれ $(0, \pm a)$ と $(0, \pm c)$ の形なら、長軸は y軸である。標準の形 $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1.$ を使う。2. 式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ と、与えられた頂点と焦点の座標を使って、 $b^{2}$ について解く。3. 第1歩で決めた式の標準の形に、 $a^{2}$ と $b^{2}$ の値を代入する。

Example 1例1

Writing the Equation of an Ellipse Centered at the Origin in Standard Form原点を中心とする楕円の式を標準の形で書く

What is the standard form equation of the ellipse that has vertices $(\pm 8, 0)$ and foci $(\pm 5, 0) ?$

頂点 $(\pm 8, 0)$ 、焦点 $(\pm 5, 0) ?$ を持つ楕円の式の標準の形はどれか。

Solution 解答

The foci are on the x-axis, so the major axis is the x-axis. Thus, the equation will have the form

焦点が x軸上にあるので、長軸は x軸である。よって式は次の形になる。

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

The vertices are $(\pm 8, 0),$ so $a = 8$ and $a^{2} = 64.$

頂点は $(\pm 8, 0)$ なので、 $a = 8$ かつ $a^{2} = 64.$ である。

The foci are $(\pm 5, 0),$ so $c = 5$ and $c^{2} = 25.$

焦点は $(\pm 5, 0)$ なので、 $c = 5$ かつ $c^{2} = 25.$ である。

We know that the vertices and foci are related by the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Solving for $b^{2},$ we have:

頂点と焦点が式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ で結ばれていることは分かっている。 $b^{2}$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 25 = 64 - b^{2} \begin{matrix}  \end{matrix} & Substitute for c^{2} and a^{2} . \\ b^{2} = 39 & Solve for b^{2} . \end{array}

Now we need only substitute $a^{2} = 64$ and $b^{2} = 39$ into the standard form of the equation. The equation of the ellipse is $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{39} = 1.$

あとは $a^{2} = 64$ と $b^{2} = 39$ を式の標準の形に代入するだけである。この楕円の式は $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{39} = 1.$ である。

Try It #1やってみよう1

What is the standard form equation of the ellipse that has vertices $(0, \pm 4)$ and foci $(0, \pm \sqrt{15}) ?$

頂点 $(0, \pm 4)$ 、焦点 $(0, \pm \sqrt{15}) ?$ を持つ楕円の式の標準の形はどれか。

Q&A 疑問と答え

Can we write the equation of an ellipse centered at the origin given coordinates of just one focus and vertex?

焦点と頂点が一つずつしか与えられなくても、原点を中心とする楕円の式は書けるか。

Yes. Ellipses are symmetrical, so the coordinates of the vertices of an ellipse centered around the origin will always have the form $(\pm a, 0)$ or $(0, \pm a) .$ Similarly, the coordinates of the foci will always have the form $(\pm c, 0)$ or $(0, \pm c) .$ Knowing this, we can use $a$ and $c$ from the given points, along with the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2},$ to find $b^{2} .$

書ける。楕円は対称なので、原点を中心とする楕円の頂点の座標はつねに $(\pm a, 0)$ か $(0, \pm a)$ の形になる。同じように、焦点の座標もつねに $(\pm c, 0)$ か $(0, \pm c)$ の形になる。これが分かっていれば、与えられた点からの $a$ と $c$ を、式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ とともに使って $b^{2}$ が求められる。

Writing Equations of Ellipses Not Centered at the Origin原点を中心としない楕円の式を書く

Like the graphs of other equations, the graph of an ellipse can be translated. If an ellipse is translated $h$ units horizontally and $k$ units vertically, the center of the ellipse will be $(h, k) .$ This translation results in the standard form of the equation we saw previously, with $x$ replaced by $(x - h)$ and y replaced by $(y - k) .$

ほかの式のグラフと同じく、楕円のグラフも平行移動できる。楕円を水平に $h$ 、鉛直に $k$ だけ移すと、楕円の中心は $(h, k)$ になる。この平行移動により、先に見た式の標準の形で $x$ が $(x - h)$ に、y が $(y - k)$ に置き換わったものが得られる。

Standard Forms of the Equation of an Ellipse with Center ( 楕円の方程式の標準形（中心：

Standard Forms of the Equation of an Ellipse with Center (h, k)中心 (h, k) の楕円の式の標準の形

The standard form of the equation of an ellipse with center $(h, k)$ and major axis parallel to the x-axis is

中心 $(h, k)$ 、長軸が x軸に平行な楕円の式の標準の形は次である。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

where

ここで

• $a > b$ • the length of the major axis is $2 a$ • the coordinates of the vertices are $(h \pm a, k)$ • the length of the minor axis is $2 b$ • the coordinates of the co-vertices are $(h, k \pm b)$ • the coordinates of the foci are $(h \pm c, k),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ See Figure 7a

・長軸の長さは $2 a$ ・頂点の座標は $(h \pm a, k)$ ・短軸の長さは $2 b$ ・余頂点の座標は $(h, k \pm b)$ ・焦点の座標は $(h \pm c, k)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。図7aを見よ

The standard form of the equation of an ellipse with center $(h, k)$ and major axis parallel to the y-axis is

中心 $(h, k)$ 、長軸が y軸に平行な楕円の式の標準の形は次である。

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

where

ここで

• $a > b$ • the length of the major axis is $2 a$ • the coordinates of the vertices are $(h, k \pm a)$ • the length of the minor axis is $2 b$ • the coordinates of the co-vertices are $(h \pm b, k)$ • the coordinates of the foci are $(h, k \pm c),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ See Figure 7b

・長軸の長さは $2 a$ ・頂点の座標は $(h, k \pm a)$ ・短軸の長さは $2 b$ ・余頂点の座標は $(h \pm b, k)$ ・焦点の座標は $(h, k \pm c)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。図7bを見よ

Just as with ellipses centered at the origin, ellipses that are centered at a point $(h, k)$ have vertices, co-vertices, and foci that are related by the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ We can use this relationship along with the midpoint and distance formulas to find the equation of the ellipse in standard form when the vertices and foci are given.

原点を中心とする楕円と同じく、点 $(h, k)$ を中心とする楕円でも、頂点、余頂点、焦点は式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ で結ばれている。頂点と焦点が与えられたとき、この関係を中点の公式や距離の公式とともに使えば、その楕円の式を標準の形で求められる。

Diagrams illustrating the components of a horizontal ellipse (a) and a vertical ellipse (b), both centered at (h, k), with their major and minor axes, vertices, and foci labeled. — Figure 7 (a) Horizontal ellipse with center $(h, k)$ (b) Vertical ellipse with center $(h, k)$ 図7 (a) 中心 $(h, k)$ の横向きの楕円 (b) 中心 $(h, k)$ の縦向きの楕円

How To 手順

Given the vertices and foci of an ellipse not centered at the origin, write its equation in standard form.

原点を中心としない楕円の頂点と焦点が与えられたとき、その式を標準の形で書く。

1. Determine whether the major axis is parallel to the x- or y-axis. If the y-coordinates of the given vertices and foci are the same, then the major axis is parallel to the x-axis. Use the standard form $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1.$ If the x-coordinates of the given vertices and foci are the same, then the major axis is parallel to the y-axis. Use the standard form $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1.$ 2. Identify the center of the ellipse $(h, k)$ using the midpoint formula and the given coordinates for the vertices.3. Find $a^{2}$ by solving for the length of the major axis, $2 a,$ which is the distance between the given vertices.4. Find $c^{2}$ using $h$ and $k,$ found in Step 2, along with the given coordinates for the foci.5. Solve for $b^{2}$ using the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ 6. Substitute the values for $h, k, a^{2},$ and $b^{2}$ into the standard form of the equation determined in Step 1.

1. 長軸が x軸に平行か y軸に平行かを決める。与えられた頂点と焦点の y座標が同じなら、長軸は x軸に平行である。標準の形 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1.$ を使う。与えられた頂点と焦点の x座標が同じなら、長軸は y軸に平行である。標準の形 $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1.$ を使う。2. 中点の公式と与えられた頂点の座標を使って、楕円の中心 $(h, k)$ を見分ける。3. 与えられた頂点どうしの距離である長軸の長さ $2 a$ について解いて $a^{2}$ を求める。4. 第2歩で求めた $h$ と $k$ 、および与えられた焦点の座標を使って $c^{2}$ を求める。5. 式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ を使って $b^{2}$ について解く。6. 第1歩で決めた式の標準の形に、 $h, k, a^{2}$ と $b^{2}$ の値を代入する。

Example 2例2

Writing the Equation of an Ellipse Centered at a Point Other Than the Origin原点以外の点を中心とする楕円の式を書く

What is the standard form equation of the ellipse that has vertices $(−2, −8)$ and $(−2, 2)$

頂点 $(−2, −8)$ と $(−2, 2)$ 、

and foci $(−2, −7)$ and $(−2, 1) ?$

焦点 $(−2, −7)$ と $(−2, 1) ?$ を持つ楕円の式の標準の形はどれか。

Solution 解答

The x-coordinates of the vertices and foci are the same, so the major axis is parallel to the y-axis. Thus, the equation of the ellipse will have the form

頂点と焦点の x座標が同じなので、長軸は y軸に平行である。よってこの楕円の式は次の形になる。

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

First, we identify the center, $(h, k) .$ The center is halfway between the vertices, $(- 2, - 8)$ and $(- 2, 2) .$ Applying the midpoint formula, we have:

まず、中心 $(h, k)$ を見分ける。中心は頂点 $(- 2, - 8)$ と $(- 2, 2)$ のちょうど中間にある。中点の公式を使うと、次を得る。

\begin{array}{l} (h, k) = (\frac{−2 + (−2)}{2}, \frac{−8 + 2}{2}) \\ = (−2, −3) \end{array}

Next, we find $a^{2} .$ The length of the major axis, $2 a,$ is bounded by the vertices. We solve for $a$ by finding the distance between the y-coordinates of the vertices.

次に $a^{2}$ を求める。長軸の長さ $2 a$ は頂点で区切られる。頂点の y座標どうしの距離を求めて $a$ について解く。

\begin{matrix} 2 a = 2 - (−8) \\ 2 a = 10 \\ a = 5 \end{matrix}

So $a^{2} = 25.$

よって $a^{2} = 25.$ である。

Now we find $c^{2} .$ The foci are given by $(h, k \pm c) .$ So, $(h, k - c) = (−2, −7)$ and $(h, k + c) = (−2, 1) .$ We substitute $k = −3$ using either of these points to solve for $c .$

では $c^{2}$ を求める。焦点は $(h, k \pm c)$ で与えられる。よって $(h, k - c) = (−2, −7)$ かつ $(h, k + c) = (−2, 1)$ である。この点のどちらかを使って $k = −3$ を代入し、 $c$ について解く。

\begin{matrix} k + c = 1 \\ −3 + c = 1 \\ c = 4 \end{matrix}

So $c^{2} = 16.$

よって $c^{2} = 16.$ である。

Next, we solve for $b^{2}$ using the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$

次に、式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ を使って $b^{2}$ について解く。

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 16 = 25 - b^{2} \\ b^{2} = 9 \end{matrix}

Finally, we substitute the values found for $h, k, a^{2},$ and $b^{2}$ into the standard form equation for an ellipse:

最後に、求まった $h, k, a^{2}$ と $b^{2}$ の値を楕円の式の標準の形に代入する。

\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1

Try It #2やってみよう2

What is the standard form equation of the ellipse that has vertices $(−3, 3)$ and $(5, 3)$ and foci $(1 - 2 \sqrt{3}, 3)$ and $(1 + 2 \sqrt{3}, 3) ?$

頂点 $(−3, 3)$ と $(5, 3)$ 、焦点 $(1 - 2 \sqrt{3}, 3)$ と $(1 + 2 \sqrt{3}, 3) ?$ を持つ楕円の式の標準の形はどれか。