第12章解析幾何Analytic Geometry

Solving Applied Problems Involving Ellipses楕円にかかわる応用問題を解く

Many real-world situations can be represented by ellipses, including orbits of planets, satellites, moons and comets, and shapes of boat keels, rudders, and some airplane wings. A medical device called a lithotripter uses elliptical reflectors to break up kidney stones by generating sound waves. Some buildings, called whispering chambers, are designed with elliptical domes so that a person whispering at one focus can easily be heard by someone standing at the other focus. This occurs because of the acoustic properties of an ellipse. When a sound wave originates at one focus of a whispering chamber, the sound wave will be reflected off the elliptical dome and back to the other focus. See Figure 12. In the whisper chamber at the Museum of Science and Industry in Chicago, two people standing at the foci—about 43 feet apart—can hear each other whisper. When these chambers are placed in unexpected places, such as the ones inside Bush International Airport in Houston and Grand Central Terminal in New York City, they can induce surprised reactions among travelers.

現実の多くの状況が楕円で表せる。惑星、人工衛星、月、彗星の軌道、船の竜骨や舵、一部の飛行機の翼の形などである。砕石装置という医療の機器は、楕円の反射面を使って音波を起こし、腎臓の結石を砕く。ささやきの間という建物は、一方の焦点でささやいた人の声が、もう一方の焦点に立つ人によく聞こえるように、楕円の丸天井で設計されている。これは楕円の音についての性質から起こる。ささやきの間の一方の焦点から音波が出ると、その音波は楕円の丸天井で反射してもう一方の焦点へ向かう。図12を見よ。シカゴの科学産業博物館のささやきの間では、焦点に立つ二人——およそ43フィート離れている——が互いのささやきを聞ける。ヒューストンのブッシュ国際空港やニューヨーク市のグランド・セントラル駅の中にあるもののように、思いがけない場所にこの部屋が置かれていると、旅行者を驚かせることがある。

An illustration of a semi-ellipsoidal dome with two focal points, F and F'. Blue lines with arrows represent rays originating from focal point F'. These rays reflect off the inner curved surface of the dome and converge at the second focal point F, demonstrating the reflective property of an ellipse. — Figure 12 Sound waves are reflected between foci in an elliptical room, called a whispering chamber.図12 ささやきの間という楕円の部屋では、音波が焦点のあいだで反射する。

Example 7例7

Locating the Foci of a Whispering Chamberささやきの間の焦点の位置を求める

A large room in an art gallery is a whispering chamber. Its dimensions are 46 feet wide by 96 feet long as shown in Figure 13.

ある画廊の大きな部屋はささやきの間である。図13に示すとおり、その寸法は幅46フィート、長さ96フィートである。

a. What is the standard form of the equation of the ellipse representing the outline of the room? Hint: assume a horizontal ellipse, and let the center of the room be the point $(0, 0) .$ b. If two visitors standing at the foci of this room can hear each other whisper, how far apart are the two visitors? Round to the nearest foot.

a. この部屋の外形を表す楕円の式の標準の形はどれか。手がかり: 横向きの楕円とし、部屋の中心を点 $(0, 0)$ とせよ。b. この部屋の焦点に立つ二人の見学者が互いのささやきを聞けるとすると、この二人はどれだけ離れているか。1フィート単位で求めよ。

A horizontal ellipse with rays originating at each focus and going through the other focus.

Solution 解答

a. We are assuming a horizontal ellipse with center $(0, 0),$ so we need to find an equation of the form $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ where $a > b .$ We know that the length of the major axis, $2 a,$ is longer than the length of the minor axis, $2 b .$ So the length of the room, 96, is represented by the major axis, and the width of the room, 46, is represented by the minor axis. Solving for $a,$ we have $2 a = 96,$ so $a = 48,$ and $a^{2} = 2304.$ Solving for $b,$ we have $2 b = 46,$ so $b = 23,$ and $b^{2} = 529.$ Therefore, the equation of the ellipse is $\frac{x^{2}}{2304} + \frac{y^{2}}{529} = 1.$ b. To find the distance between the senators, we must find the distance between the foci, $(\pm c, 0),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Solving for $c,$ we have: $\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ c^{2} = 2304 - 529 & \begin{matrix} \end{matrix} Substitute using the values found in part (a) . \\ c = \pm \sqrt{2304 - 529} & \begin{matrix} \end{matrix} Take the square root of both sides . \\ c = \pm \sqrt{1775} & \begin{matrix} \end{matrix} Subtract . \\ c \approx \pm 42 & \begin{matrix} \end{matrix} Round to the nearest foot . \end{array}$ The points $(\pm 42, 0)$ represent the foci. Thus, the distance between the senators is $2 (42) = 84$ feet.

a. 中心 $(0, 0)$ の横向きの楕円と考えているので、 $a > b$ である $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ の形の式を求める必要がある。長軸の長さ $2 a$ が短軸の長さ $2 b$ より長いことは分かっている。よって部屋の長さ96が長軸、部屋の幅46が短軸で表される。 $a$ について解くと $2 a = 96$ なので、 $a = 48$ かつ $a^{2} = 2304.$ である。 $b$ について解くと $2 b = 46$ なので、 $b = 23$ かつ $b^{2} = 529.$ である。したがって、この楕円の式は $\frac{x^{2}}{2304} + \frac{y^{2}}{529} = 1.$ である。b. 議員どうしの距離を求めるには、焦点どうしの距離 $(\pm c, 0)$ を求めねばならない。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ である。 $c$ について解くと、次を得る。 $\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ c^{2} = 2304 - 529 & \begin{matrix} \end{matrix} （a）で求めた値を代入する . \\ c = \pm \sqrt{2304 - 529} & \begin{matrix} \end{matrix} 両辺の平方根をとる . \\ c = \pm \sqrt{1775} & \begin{matrix} \end{matrix} 引く . \\ c \approx \pm 42 & \begin{matrix} \end{matrix} 1フィート単位に丸める \end{array}$ 点 $(\pm 42, 0)$ が焦点を表す。よって、議員どうしの距離は $2 (42) = 84$ フィートである。

Try It #7やってみよう7

Suppose a whispering chamber is 480 feet long and 320 feet wide.

あるささやきの間が長さ480フィート、幅320フィートだとする。

ⓐWhat is the standard form of the equation of the ellipse representing the room? Hint: assume a horizontal ellipse, and let the center of the room be the point $(0, 0) .$
ⓑIf two people are standing at the foci of this room and can hear each other whisper, how far apart are the people? Round to the nearest foot.

ⓐこの部屋を表す楕円の式の標準の形はどれか。手がかり: 横向きの楕円とし、部屋の中心を点 $(0, 0)$ とせよ。ⓑこの部屋の焦点に二人が立ち、互いのささやきを聞けるとすると、この二人はどれだけ離れているか。1フィート単位で求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with ellipses.

楕円についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Conic Sections: The Ellipse• Graph an Ellipse with Center at the Origin• Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

・円錐曲線: 楕円・原点を中心とする楕円のグラフを描く・原点を中心としない楕円のグラフを描く

Verbal言葉で答える問題

1. Define an ellipse in terms of its foci.

1. 楕円を焦点で定めよ。

2. Where must the foci of an ellipse lie?

2. 楕円の焦点はどこになければならないか。

3. What special case of the ellipse do we have when the major and minor axis are of the same length?

3. 長軸と短軸の長さが同じとき、楕円のどんな特別な場合になるか。

4. For the special case mentioned in the previous question, what would be true about the foci of that ellipse?

4. 前の問いで述べた特別な場合について、その楕円の焦点について何が言えるか。

5. What can be said about the symmetry of the graph of an ellipse with center at the origin and foci along the y-axis?

5. 原点を中心とし、焦点が y軸上にある楕円のグラフの対称性について何が言えるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, determine whether the given equations represent ellipses. If yes, write in standard form.

次の各問について、与えられた式が楕円を表すかどうかを判定せよ。表すなら標準の形で書け。

6. $2 x^{2} + y = 4$

7. $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

8. $4 x^{2} - y^{2} = 4$

9. $4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

10. $4 x^{2} - 8 x + 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

For the following exercises, write the equation of an ellipse in standard form, and identify the end points of the major and minor axes as well as the foci.

次の各問について、楕円の式を標準の形で書き、長軸と短軸の端点、および焦点を見分けよ。

11. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

12. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

13. $x^{2} + 9 y^{2} = 1$

14. $4 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

15. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{25} = 1$

16. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

17. $\frac{{(x + 5)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{9} = 1$

18. $\frac{{(x - 7)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{49} = 1$

19. $4 x^{2} - 8 x + 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

20. $9 x^{2} - 54 x + 9 y^{2} - 54 y + 81 = 0$

21. $4 x^{2} - 24 x + 36 y^{2} - 360 y + 864 = 0$

22. $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 128 y + 228 = 0$

23. $4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

24. $x^{2} + 2 x + 100 y^{2} - 1000 y + 2401 = 0$

25. $4 x^{2} + 24 x + 25 y^{2} + 200 y + 336 = 0$

26. $9 x^{2} + 72 x + 16 y^{2} + 16 y + 4 = 0$

For the following exercises, find the foci for the given ellipses.

次の各問について、与えられた楕円の焦点を求めよ。

27. $\frac{{(x + 3)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{36} = 1$

28. $\frac{{(x + 1)}^{2}}{100} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

29. $x^{2} + y^{2} = 1$

30. $x^{2} + 4 y^{2} + 4 x + 8 y = 1$

31. $10 x^{2} + y^{2} + 200 x = 0$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, graph the given ellipses, noting center, vertices, and foci.

次の各問について、与えられた楕円のグラフを描き、中心、頂点、焦点を書き入れよ。

32. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

33. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

34. $4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

35. $81 x^{2} + 49 y^{2} = 1$

36. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

37. $\frac{{(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

38. $\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{5} = 1$

39. $4 x^{2} - 8 x + 16 y^{2} - 32 y - 44 = 0$

40. $x^{2} - 8 x + 25 y^{2} - 100 y + 91 = 0$

41. $x^{2} + 8 x + 4 y^{2} - 40 y + 112 = 0$

42. $64 x^{2} + 128 x + 9 y^{2} - 72 y - 368 = 0$

43. $16 x^{2} + 64 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

44. $100 x^{2} + 1000 x + y^{2} - 10 y + 2425 = 0$

45. $4 x^{2} + 16 x + 4 y^{2} + 16 y + 16 = 0$

For the following exercises, use the given information about the graph of each ellipse to determine its equation.

次の各問について、各楕円のグラフについて与えられた情報を使い、その式を決めよ。

46. Center at the origin, symmetric with respect to the x- and y-axes, focus at $(4, 0),$ and point on graph $(0, 3) .$

46. 原点が中心、x軸と y軸について対称、焦点 $(4, 0)$ 、グラフ上の点 $(0, 3)$

47. Center at the origin, symmetric with respect to the x- and y-axes, focus at $(0, −2),$ and point on graph $(5, 0) .$

47. 原点が中心、x軸と y軸について対称、焦点 $(0, −2)$ 、グラフ上の点 $(5, 0)$

48. Center at the origin, symmetric with respect to the x- and y-axes, focus at $(3, 0),$ and major axis is twice as long as minor axis.

48. 原点が中心、x軸と y軸について対称、焦点 $(3, 0)$ 、長軸は短軸の2倍の長さ。

49. Center $(4, 2)$ ; vertex $(9, 2)$ ; one focus: $(4 + 2 \sqrt{6}, 2)$ .

49. 中心 $(4, 2)$ 、頂点 $(9, 2)$ 、焦点の一つ $(4 + 2 \sqrt{6}, 2)$ 。

50. Center $(3, 5)$ ; vertex $(3, 11)$ ; one focus: $(3, 5+4 \sqrt{2})$

50. 中心 $(3, 5)$ 、頂点 $(3, 11)$ 、焦点の一つ $(3, 5+4 \sqrt{2})$

51. Center $(−3, 4)$ ; vertex $(1, 4)$ ; one focus: $(−3 + 2 \sqrt{3}, 4)$

51. 中心 $(−3, 4)$ 、頂点 $(1, 4)$ 、焦点の一つ $(−3 + 2 \sqrt{3}, 4)$

For the following exercises, given the graph of the ellipse, determine its equation.

次の各問について、楕円のグラフが与えられたとき、その式を決めよ。

52.

A vertical ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system with vertices at (0, 6) and (0, negative 6) and co-vertices at (4, 0) and (negative 4, 0).

53.

A horizontal ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system with vertices at (9, 0) and (negative 9, 0) and co-vertices at (0, 3) and (0, negative 3).

54.

A vertical ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system with vertices at (0, 7) and (0, negative 7) and co-vertices at (5, 0) and (negative 5, 0).

55.

A vertical ellipse tangent to the y-axis at (0, 2) in the x y coordinate system and intersecting the x-axis midway between (negative 4, 0) and (negative 3, 0) and also (negative 1, 0) and (0, 0).

56.

A horizontal ellipse in the x y coordinate system extending between x = negative 2 and x = 4, intersecting the y-axis at (2, 0) and (4, 0).

Extensions発展問題

For the following exercises, find the area of the ellipse. The area of an ellipse is given by the formula $Area = a \cdot b \cdot π .$

次の各問について、楕円の面積を求めよ。楕円の面積は公式 $面積 = a \cdot b \cdot π$ で与えられる。

57. $\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{16} = 1$

58. $\frac{{(x + 6)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{36} = 1$

59. $\frac{{(x + 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 1$

60. $4 x^{2} - 8 x + 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

61. $9 x^{2} - 54 x + 9 y^{2} - 54 y + 81 = 0$

Real-World Applications現実世界への応用

62. Find the equation of the ellipse that will just fit inside a box that is 8 units wide and 4 units high.

62. 幅8単位、高さ4単位の箱にちょうど収まる楕円の式を求めよ。

63. Find the equation of the ellipse that will just fit inside a box that is four times as wide as it is high. Express in terms of $h,$ the height.

63. 高さの4倍の幅を持つ箱にちょうど収まる楕円の式を求めよ。高さ $h$ で表せ。

64. An arch has the shape of a semi-ellipse (the top half of an ellipse). The arch has a height of 8 feet and a span of 20 feet. Find an equation for the ellipse, and use that to find the height to the nearest 0.01 foot of the arch at a distance of 4 feet from the center.

64. あるアーチが半楕円(楕円の上半分)の形をしている。このアーチは高さ8フィート、幅20フィートである。この楕円の式を求め、それを使って中心から4フィート離れたところのアーチの高さを0.01フィート単位で求めよ。

65. An arch has the shape of a semi-ellipse. The arch has a height of 12 feet and a span of 40 feet. Find an equation for the ellipse, and use that to find the distance from the center to a point at which the height is 6 feet. Round to the nearest hundredth.

65. あるアーチが半楕円の形をしている。このアーチは高さ12フィート、幅40フィートである。この楕円の式を求め、それを使って高さが6フィートになる点までの中心からの距離を求めよ。小数第二位まで求めよ。

66. A bridge is to be built in the shape of a semi-elliptical arch and is to have a span of 120 feet. The height of the arch at a distance of 40 feet from the center is to be 8 feet. Find the height of the arch at its center.

66. 半楕円のアーチの形の橋を架けることになっており、幅は120フィートとする。中心から40フィート離れたところのアーチの高さは8フィートとする。中心でのアーチの高さを求めよ。

67. A person in a whispering gallery standing at one focus of the ellipse can whisper and be heard by a person standing at the other focus because all the sound waves that reach the ceiling are reflected to the other person. If a whispering gallery has a length of 120 feet, and the foci are located 30 feet from the center, find the height of the ceiling at the center.

67. ささやきの回廊で楕円の一方の焦点に立つ人がささやくと、天井に届く音波がすべてもう一方の人へ反射するので、もう一方の焦点に立つ人に聞こえる。あるささやきの回廊の長さが120フィートで、焦点が中心から30フィートのところにあるとき、中心での天井の高さを求めよ。

68. A person is standing 8 feet from the nearest wall in a whispering gallery. If that person is at one focus, and the other focus is 80 feet away, what is the length and height at the center of the gallery?

68. ある人がささやきの回廊でいちばん近い壁から8フィートのところに立っている。この人が一方の焦点にいて、もう一方の焦点が80フィート離れているとき、この回廊の長さと中心での高さはいくらか。