第12章解析幾何Analytic Geometry

Solving Applied Problems Involving Hyperbolas双曲線にかかわる応用問題を解く

As we discussed at the beginning of this section, hyperbolas have real-world applications in many fields, such as astronomy, physics, engineering, and architecture. The design efficiency of hyperbolic cooling towers is particularly interesting. Cooling towers are used to transfer waste heat to the atmosphere and are often touted for their ability to generate power efficiently. Because of their hyperbolic form, these structures are able to withstand extreme winds while requiring less material than any other forms of their size and strength. See Figure 10. For example, a 500-foot tower can be made of a reinforced concrete shell only 6 or 8 inches wide!

この節の初めに論じたとおり、双曲線は天文学、物理学、工学、建築など多くの分野で現実に応用されている。双曲線の冷却塔の設計の効率はとりわけ興味深い。冷却塔は廃熱を大気へ移すのに使われ、効率よく電力を生む力をしばしば謳われる。双曲線の形のおかげで、この構造物は、同じ大きさと強さのほかのどんな形より少ない材料で、猛烈な風に耐えられる。図10を見よ。たとえば、500フィートの塔が、わずか6インチや8インチの厚さの鉄筋コンクリートの殻で作れるのである。

A low-angle shot captures several large, reddish-brown industrial cooling towers, with visible steam emanating from some of them and a tall, slender smokestack in the background, all set against a cloudy, light grey sky. — Figure 10 Cooling towers at the Drax power station in North Yorkshire, United Kingdom (credit: Les Haines, Flickr)図10 英国ノース・ヨークシャーのドラックス発電所の冷却塔(credit: Les Haines, Flickr)

The first hyperbolic towers were designed in 1914 and were 35 meters high. Today, the tallest cooling towers are in France, standing a remarkable 170 meters tall. In Example 6 we will use the design layout of a cooling tower to find a hyperbolic equation that models its sides.

最初の双曲線の塔は1914年に設計され、高さ35メートルだった。今日、もっとも高い冷却塔はフランスにあり、なんと170メートルの高さで立っている。例6では、冷却塔の設計図を使い、その側面のモデルとなる双曲線の式を求める。

Example 6例6

Solving Applied Problems Involving Hyperbolas双曲線にかかわる応用問題を解く

The design layout of a cooling tower is shown in Figure 11. The tower stands 179.6 meters tall. The diameter of the top is 72 meters. At their closest, the sides of the tower are 60 meters apart.

ある冷却塔の設計図を図11に示す。この塔は高さ179.6メートルで立っている。上部の直径は72メートルである。もっとも近いところで、塔の側面は60メートル離れている。

A diagram illustrating the dimensions of a hyperbolic cooling tower, showing a total height of 179.6 m, an upper section height of 79.6 m, an upper diameter of 72 m, and a narrower waist diameter of 60 m. — Figure 11 Project design for a natural draft cooling tower図11 自然通風の冷却塔の設計案

Find the equation of the hyperbola that models the sides of the cooling tower. Assume that the center of the hyperbola—indicated by the intersection of dashed perpendicular lines in the figure—is the origin of the coordinate plane. Round final values to four decimal places.

この冷却塔の側面のモデルとなる双曲線の式を求めよ。図で破線の垂線が交わるところが示す双曲線の中心を、座標平面の原点とせよ。最後の値は小数第四位まで求めよ。

Solution 解答

We are assuming the center of the tower is at the origin, so we can use the standard form of a horizontal hyperbola centered at the origin: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ where the branches of the hyperbola form the sides of the cooling tower. We must find the values of $a^{2}$ and $b^{2}$ to complete the model.

塔の中心が原点にあると考えているので、原点を中心とする横向きの双曲線の標準の形 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ が使える。この双曲線の枝が冷却塔の側面をなす。モデルを仕上げるには $a^{2}$ と $b^{2}$ の値を求めねばならない。

First, we find $a^{2} .$ Recall that the length of the transverse axis of a hyperbola is $2 a .$ This length is represented by the distance where the sides are closest, which is given as $60$ meters. So, $2 a = 60.$ Therefore, $a = 30$ and $a^{2} = 900.$

まず $a^{2}$ を求める。双曲線の主軸の長さが $2 a$ であることを思い出せ。この長さは側面がもっとも近いところの距離で表され、それは $60$ メートルと与えられている。よって $2 a = 60.$ である。したがって $a = 30$ かつ $a^{2} = 900.$ である。

To solve for $b^{2},$ we need to substitute for $x$ and $y$ in our equation using a known point. To do this, we can use the dimensions of the tower to find some point $(x, y)$ that lies on the hyperbola. We will use the top right corner of the tower to represent that point. Since the y-axis bisects the tower, our x-value can be represented by the radius of the top, or 36 meters. The y-value is represented by the distance from the origin to the top, which is given as 79.6 meters. Therefore,

$b^{2}$ について解くには、分かっている点を使って式の $x$ と $y$ に代入する必要がある。そのために、塔の寸法を使って双曲線上の点 $(x, y)$ を求められる。その点として塔の右上の角を使う。y軸が塔を二等分するので、x の値は上部の半径すなわち36メートルで表せる。y の値は原点から上部までの距離で表され、それは79.6メートルと与えられている。したがって、

\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 & \begin{matrix}  \end{matrix} Standard form of horizontal hyperbola . \\ b^{2} = \frac{y^{2}}{\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1} & \begin{matrix}  \end{matrix} Isolate b^{2} \\ = \frac{{(79.6)}^{2}}{\frac{{(36)}^{2}}{900} - 1} & \begin{matrix}  \end{matrix} Substitute for a^{2}, x, and y \\ \approx 14400.3636 & \begin{matrix}  \end{matrix} Round to four decimal places \end{array}

The sides of the tower can be modeled by the hyperbolic equation

この塔の側面は、双曲線の式で次のようにモデルにできる。

\frac{x^{2}}{900} - \frac{y^{2}}{14400.3636} = 1, or \frac{x^{2}}{30^{2}} - \frac{y^{2}}{{120.0015}^{2}} = 1

Try It #6やってみよう6

A design for a cooling tower project is shown in Figure 12. Find the equation of the hyperbola that models the sides of the cooling tower. Assume that the center of the hyperbola—indicated by the intersection of dashed perpendicular lines in the figure—is the origin of the coordinate plane. Round final values to four decimal places.

ある冷却塔の計画の設計図を図12に示す。この冷却塔の側面のモデルとなる双曲線の式を求めよ。図で破線の垂線が交わるところが示す双曲線の中心を、座標平面の原点とせよ。最後の値は小数第四位まで求めよ。

Project design for a natural draft cooling tower. The overall height is 167.082 meters. The diameter at the top is 60 meters, and at their closest, 79.6 meters from the top, the sides are 60 meters apart.

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with hyperbolas.

双曲線についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Conic Sections: The Hyperbola Part 1 of 2• Conic Sections: The Hyperbola Part 2 of 2• Graph a Hyperbola with Center at Origin• Graph a Hyperbola with Center not at Origin

・円錐曲線: 双曲線その1・円錐曲線: 双曲線その2・原点を中心とする双曲線のグラフを描く・原点を中心としない双曲線のグラフを描く

Verbal言葉で答える問題

1. Define a hyperbola in terms of its foci.

1. 双曲線を焦点で定めよ。

2. What can we conclude about a hyperbola if its asymptotes intersect at the origin?

2. 双曲線の漸近線が原点で交わるとき、その双曲線について何が結論できるか。

3. What must be true of the foci of a hyperbola?

3. 双曲線の焦点について何が成り立たねばならないか。

4. If the transverse axis of a hyperbola is vertical, what do we know about the graph?

4. 双曲線の主軸が縦のとき、そのグラフについて何が分かるか。

5. Where must the center of hyperbola be relative to its foci?

5. 双曲線の中心は、その焦点に対してどこになければならないか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, determine whether the following equations represent hyperbolas. If so, write in standard form.

次の各問について、次の式が双曲線を表すかどうかを判定せよ。表すなら標準の形で書け。

6. $3 y^{2} + 2 x = 6$

7. $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

8. $5 y^{2} + 4 x^{2} = 6 x$

9. $25 x^{2} - 16 y^{2} = 400$

10. $- 9 x^{2} + 18 x + y^{2} + 4 y - 14 = 0$

For the following exercises, write the equation for the hyperbola in standard form if it is not already, and identify the vertices and foci, and write equations of asymptotes.

次の各問について、双曲線の式がまだ標準の形でないなら標準の形で書き、頂点と焦点を見分け、漸近線の式を書け。

11. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

12. $\frac{x^{2}}{100} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

13. $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{81} = 1$

14. $9 y^{2} - 4 x^{2} = 1$

15. $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

16. $\frac{{(y - 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{16} = 1$

17. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 7)}^{2}}{49} = 1$

18. $4 x^{2} - 8 x - 9 y^{2} - 72 y + 112 = 0$

19. $- 9 x^{2} - 54 x + 9 y^{2} - 54 y + 81 = 0$

20. $4 x^{2} - 24 x - 36 y^{2} - 360 y + 864 = 0$

21. $- 4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 128 y + 156 = 0$

22. $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

23. $x^{2} + 2 x - 100 y^{2} - 1000 y + 2401 = 0$

24. $- 9 x^{2} + 72 x + 16 y^{2} + 16 y + 4 = 0$

25. $4 x^{2} + 24 x - 25 y^{2} + 200 y - 464 = 0$

For the following exercises, find the equations of the asymptotes for each hyperbola.

次の各問について、各双曲線の漸近線の式を求めよ。

26. $\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$

27. $\frac{{(x - 3)}^{2}}{5^{2}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{2^{2}} = 1$

28. $\frac{{(y - 3)}^{2}}{3^{2}} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{6^{2}} = 1$

29. $9 x^{2} - 18 x - 16 y^{2} + 32 y - 151 = 0$

30. $16 y^{2} + 96 y - 4 x^{2} + 16 x + 112 = 0$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, sketch a graph of the hyperbola, labeling vertices and foci.

次の各問について、双曲線のグラフの概形を描き、頂点と焦点に印を付けよ。

31. $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

32. $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

33. $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

34. $81 x^{2} - 9 y^{2} = 1$

35. $\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

36. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{8} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{27} = 1$

37. $\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

38. $- 4 x^{2} - 8 x + 16 y^{2} - 32 y - 52 = 0$

39. $x^{2} - 8 x - 25 y^{2} - 100 y - 109 = 0$

40. $- x^{2} + 8 x + 4 y^{2} - 40 y + 88 = 0$

41. $64 x^{2} + 128 x - 9 y^{2} - 72 y - 656 = 0$

42. $16 x^{2} + 64 x - 4 y^{2} - 8 y - 4 = 0$

43. $- 100 x^{2} + 1000 x + y^{2} - 10 y - 2575 = 0$

44. $4 x^{2} + 16 x - 4 y^{2} + 16 y + 16 = 0$

For the following exercises, given information about the graph of the hyperbola, find its equation.

次の各問について、双曲線のグラフについての情報が与えられたとき、その式を求めよ。

45. Vertices at $(3, 0)$ and $(−3, 0)$ and one focus at $(5, 0) .$

45. 頂点 $(3, 0)$ と $(−3, 0)$ 、焦点の一つ $(5, 0)$

46. Vertices at $(0, 6)$ and $(0, −6)$ and one focus at $(0, −8) .$

46. 頂点 $(0, 6)$ と $(0, −6)$ 、焦点の一つ $(0, −8)$

47. Vertices at $(1, 1)$ and $(11, 1)$ and one focus at $(12, 1) .$

47. 頂点 $(1, 1)$ と $(11, 1)$ 、焦点の一つ $(12, 1)$

48. Center: $(0, 0);$ vertex: $(0, −13);$ one focus: $(0, \sqrt{313}) .$

48. 中心 $(0, 0);$ 、頂点 $(0, −13);$ 、焦点の一つ $(0, \sqrt{313})$

49. Center: $(4, 2);$ vertex: $(9, 2);$ one focus: $(4 + \sqrt{26}, 2) .$

49. 中心 $(4, 2);$ 、頂点 $(9, 2);$ 、焦点の一つ $(4 + \sqrt{26}, 2)$

50. Center: $(3, 5);$ vertex: $(3, 11);$ one focus: $(3, 5 + 2 \sqrt{10}) .$

50. 中心 $(3, 5);$ 、頂点 $(3, 11);$ 、焦点の一つ $(3, 5 + 2 \sqrt{10})$

For the following exercises, given the graph of the hyperbola, find its equation.

次の各問について、双曲線のグラフが与えられたとき、その式を求めよ。

51.

A vertical hyperbola centered at (0, 0) with vertices at (0, negative 4) and (0, 4). The slant asymptotes are shown but not labeled.

52.

A horizontal hyperbola centered at (1, 1) with vertices at (1 minus square root of 2, 1) and (1 + square root of 2, 1) and foci at (1 minus square root of 5, 1) and (1 + square root of 5, 1)

53.

A vertical hyperbola centered at (negative 1, 0) with vertices at (negative 1, negative 3) and (negative 1, 3) and foci at (negative 1, negative 3 square root of 2) and (negative 1, 3 square root of 2).

54.

A vertical hyperbola centered at (3, 1) with vertices at (3, 1 minus square root of 2) and (3, 1 + square root of 2) and foci at (3, 1 minus square root of 7) and (3, 1 + square root of 7).

55.

A horizontal hyperbola centered at (negative 3, negative 3) with vertices at (negative 8, negative 3) and (2, negative 3) and foci at (negative 3 minus 5 square root of 2, negative 3) and (negative 3 + 5 square root of 2, negative 3).

Extensions発展問題

For the following exercises, express the equation for the hyperbola as two functions, with $y$ as a function of $x .$ Express as simply as possible. Use a graphing calculator to sketch the graph of the two functions on the same axes.

次の各問について、双曲線の式を、 $x$ の関数としての $y$ という二つの関数で表せ。できるだけ簡単に表せ。グラフ電卓を使って、二つの関数のグラフの概形を同じ座標軸に描け。

56. $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

57. $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

58. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

59. $- 4 x^{2} - 16 x + y^{2} - 2 y - 19 = 0$

60. $4 x^{2} - 24 x - y^{2} - 4 y + 16 = 0$

Real-World Applications現実世界への応用

For the following exercises, a hedge is to be constructed in the shape of a hyperbola near a fountain at the center of the yard. Find the equation of the hyperbola and sketch the graph.

次の各問では、庭の中央の噴水の近くに、双曲線の形の生け垣を作ることになっている。この双曲線の式を求め、グラフの概形を描け。

61. The hedge will follow the asymptotes $y = x and y = - x,$ and its closest distance to the center fountain is 5 yards.

61. 生け垣は漸近線 $y = x および y = - x$ に沿い、中央の噴水にもっとも近いところで5ヤードである。

62. The hedge will follow the asymptotes $y = 2 x and y = −2 x,$ and its closest distance to the center fountain is 6 yards.

62. 生け垣は漸近線 $y = 2 x および y = −2 x$ に沿い、中央の噴水にもっとも近いところで6ヤードである。

63. The hedge will follow the asymptotes $y = \frac{1}{2} x$ and $y = - \frac{1}{2} x,$ and its closest distance to the center fountain is 10 yards.

63. 生け垣は漸近線 $y = \frac{1}{2} x$ と $y = - \frac{1}{2} x$ に沿い、中央の噴水にもっとも近いところで10ヤードである。

64. The hedge will follow the asymptotes $y = \frac{2}{3} x$ and $y = - \frac{2}{3} x,$ and its closest distance to the center fountain is 12 yards.

64. 生け垣は漸近線 $y = \frac{2}{3} x$ と $y = - \frac{2}{3} x$ に沿い、中央の噴水にもっとも近いところで12ヤードである。

65. The hedge will follow the asymptotes $y = \frac{3}{4} x$ and $y = - \frac{3}{4} x,$ and its closest distance to the center fountain is 20 yards.

65. 生け垣は漸近線 $y = \frac{3}{4} x$ と $y = - \frac{3}{4} x$ に沿い、中央の噴水にもっとも近いところで20ヤードである。

For the following exercises, assume an object enters our solar system and we want to graph its path on a coordinate system with the sun at the origin and the x-axis as the axis of symmetry for the object's path. Give the equation of the flight path of each object using the given information.

次の各問では、ある物が太陽系に入ってきて、太陽を原点、x軸をその物の道筋の対称軸とする座標系にその道筋を描きたいとする。与えられた情報を使って、各物の飛行の道筋の式を示せ。

66. The object enters along a path approximated by the line $y = x - 2$ and passes within 1 au (astronomical unit) of the sun at its closest approach, so that the sun is one focus of the hyperbola. It then departs the solar system along a path approximated by the line $y = - x + 2.$

66. この物は直線 $y = x - 2$ で近似される道筋に沿って入り、もっとも近づいたとき太陽から1au(天文単位)以内を通る。よって太陽はこの双曲線の一方の焦点である。そして直線 $y = - x + 2.$ で近似される道筋に沿って太陽系を去る。

67. The object enters along a path approximated by the line $y = 2 x - 2$ and passes within 0.5 au of the sun at its closest approach, so the sun is one focus of the hyperbola. It then departs the solar system along a path approximated by the line $y = −2 x + 2.$

67. この物は直線 $y = 2 x - 2$ で近似される道筋に沿って入り、もっとも近づいたとき太陽から0.5au以内を通る。よって太陽はこの双曲線の一方の焦点である。そして直線 $y = −2 x + 2.$ で近似される道筋に沿って太陽系を去る。

68. The object enters along a path approximated by the line $y = 0.5 x + 2$ and passes within 1 au of the sun at its closest approach, so the sun is one focus of the hyperbola. It then departs the solar system along a path approximated by the line $y = −0.5 x - 2.$

68. この物は直線 $y = 0.5 x + 2$ で近似される道筋に沿って入り、もっとも近づいたとき太陽から1au以内を通る。よって太陽はこの双曲線の一方の焦点である。そして直線 $y = −0.5 x - 2.$ で近似される道筋に沿って太陽系を去る。

69. The object enters along a path approximated by the line $y = \frac{1}{3} x - 1$ and passes within 1 au of the sun at its closest approach, so the sun is one focus of the hyperbola. It then departs the solar system along a path approximated by the line $y = - \frac{1}{3} x + 1.$

69. この物は直線 $y = \frac{1}{3} x - 1$ で近似される道筋に沿って入り、もっとも近づいたとき太陽から1au以内を通る。よって太陽はこの双曲線の一方の焦点である。そして直線 $y = - \frac{1}{3} x + 1.$ で近似される道筋に沿って太陽系を去る。

70. The object enters along a path approximated by the line $y = 3 x - 9$ and passes within 1 au of the sun at its closest approach, so the sun is one focus of the hyperbola. It then departs the solar system along a path approximated by the line $y = −3 x + 9.$

70. この物は直線 $y = 3 x - 9$ で近似される道筋に沿って入り、もっとも近づいたとき太陽から1au以内を通る。よって太陽はこの双曲線の一方の焦点である。そして直線 $y = −3 x + 9.$ で近似される道筋に沿って太陽系を去る。