第12章解析幾何Analytic Geometry

Review Exercises復習問題

The Ellipse楕円

For the following exercises, write the equation of the ellipse in standard form. Then identify the center, vertices, and foci.

次の各問について、楕円の式を標準の形で書け。そして中心、頂点、焦点を見分けよ。

1. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

2. $\frac{{(x - 2)}^{2}}{100} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

3. $9 x^{2} + y^{2} + 54 x - 4 y + 76 = 0$

4. $9 x^{2} + 36 y^{2} - 36 x + 72 y + 36 = 0$

For the following exercises, graph the ellipse, noting center, vertices, and foci.

次の各問について、楕円のグラフを描き、中心、頂点、焦点を書き入れよ。

5. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

6. $\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{49} = 1$

7. $4 x^{2} + y^{2} + 16 x + 4 y - 44 = 0$

8. $2 x^{2} + 3 y^{2} - 20 x + 12 y + 38 = 0$

For the following exercises, use the given information to find the equation for the ellipse.

次の各問について、与えられた情報を使ってこの楕円の式を求めよ。

9. Center at $(0, 0),$ focus at $(3, 0),$ vertex at $(−5, 0)$

9. 中心 $(0, 0)$ 、焦点 $(3, 0)$ 、頂点 $(−5, 0)$

10. Center at $(2, −2),$ vertex at $(7, −2),$ focus at $(4, −2)$

10. 中心 $(2, −2)$ 、頂点 $(7, −2)$ 、焦点 $(4, −2)$

11. A whispering gallery is to be constructed such that the foci are located 35 feet from the center. If the length of the gallery is to be 100 feet, what should the height of the ceiling be?

11. 焦点が中心から35フィートのところにあるようにささやきの回廊を作ることになっている。この回廊の長さを100フィートとするとき、天井の高さはいくらにすべきか。

The Hyperbola双曲線

For the following exercises, write the equation of the hyperbola in standard form. Then give the center, vertices, and foci.

次の各問について、双曲線の式を標準の形で書け。そして中心、頂点、焦点を示せ。

12. $\frac{x^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

13. $\frac{{(y + 1)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{36} = 1$

14. $9 y^{2} - 4 x^{2} + 54 y - 16 x + 29 = 0$

15. $3 x^{2} - y^{2} - 12 x - 6 y - 9 = 0$

For the following exercises, graph the hyperbola, labeling vertices and foci.

次の各問について、双曲線のグラフを描き、頂点と焦点に印を付けよ。

16. $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

17. $\frac{{(y - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

18. $x^{2} - 4 y^{2} + 6 x + 32 y - 91 = 0$

19. $2 y^{2} - x^{2} - 12 y - 6 = 0$

For the following exercises, find the equation of the hyperbola.

次の各問について、この双曲線の式を求めよ。

20. Center at $(0, 0),$ vertex at $(0, 4),$ focus at $(0, −6)$

20. 中心 $(0, 0)$ 、頂点 $(0, 4)$ 、焦点 $(0, −6)$

21. Foci at $(3, 7)$ and $(7, 7),$ vertex at $(6, 7)$

21. 焦点 $(3, 7)$ と $(7, 7)$ 、頂点 $(6, 7)$

The Parabola放物線

For the following exercises, write the equation of the parabola in standard form. Then give the vertex, focus, and directrix.

次の各問について、放物線の式を標準の形で書け。そして頂点、焦点、準線を示せ。

22. $y^{2} = 12 x$

23. ${(x + 2)}^{2} = \frac{1}{2} (y - 1)$

24. $y^{2} - 6 y - 6 x - 3 = 0$

25. $x^{2} + 10 x - y + 23 = 0$

For the following exercises, graph the parabola, labeling vertex, focus, and directrix.

次の各問について、放物線のグラフを描き、頂点、焦点、準線に印を付けよ。

26. $x^{2} + 4 y = 0$

27. ${(y - 1)}^{2} = \frac{1}{2} (x + 3)$

28. $x^{2} - 8 x - 10 y + 46 = 0$

29. $2 y^{2} + 12 y + 6 x + 15 = 0$

For the following exercises, write the equation of the parabola using the given information.

次の各問について、与えられた情報を使って放物線の式を書け。

30. Focus at $(−4, 0);$ directrix is $x = 4$

30. 焦点 $(−4, 0);$ 、準線 $x = 4$

31. Focus at $(2, \frac{9}{8});$ directrix is $y = \frac{7}{8}$

31. 焦点 $(2, \frac{9}{8});$ 、準線 $y = \frac{7}{8}$

32. A cable TV receiving dish is the shape of a paraboloid of revolution. Find the location of the receiver, which is placed at the focus, if the dish is 5 feet across at its opening and 1.5 feet deep.

32. 有線放送の受信用の皿は回転放物面の形をしている。この皿が開口部で差し渡し5フィート、深さ1.5フィートのとき、焦点に置かれる受信部の位置を求めよ。

Rotation of Axes座標軸の回転

For the following exercises, determine which of the conic sections is represented.

次の各問について、どの円錐曲線が表されるかを決めよ。

33. $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 24 x - 60 y - 60 = 0$

34. $4 x^{2} + 14 x y + 5 y^{2} + 18 x - 6 y + 30 = 0$

35. $4 x^{2} + x y + 2 y^{2} + 8 x - 26 y + 9 = 0$

For the following exercises, determine the angle $θ$ that will eliminate the $x y$ term, and write the corresponding equation without the $x y$ term.

次の各問について、 $x y$ の項を消す角 $θ$ を決め、 $x y$ の項の無い対応する式を書け。

36. $x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} - 6 = 0$

37. $x^{2} - x y + y^{2} - 6 = 0$

For the following exercises, graph the equation relative to the $x^{'} y^{'}$ system in which the equation has no $x^{'} y^{'}$ term.

次の各問について、 $x^{'} y^{'}$ の項が無くなる $x^{'} y^{'}$ の系に対して、式のグラフを描け。

38. $9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2} - 80 x - 60 y + 100 = 0$

39. $x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0$

40. $6 x^{2} + 24 x y - y^{2} - 12 x + 26 y + 11 = 0$

Conic Sections in Polar Coordinates極座標での円錐曲線

For the following exercises, given the polar equation of the conic with focus at the origin, identify the eccentricity and directrix.

次の各問について、原点に焦点を持つ円錐曲線の極方程式が与えられたとき、離心率と準線を見分けよ。

41. $r = \frac{10}{1 - 5 \cos θ}$

42. $r = \frac{6}{3 + 2 \cos θ}$

43. $r = \frac{1}{4 + 3 \sin θ}$

44. $r = \frac{3}{5 - 5 \sin θ}$

For the following exercises, graph the conic given in polar form. If it is a parabola, label the vertex, focus, and directrix. If it is an ellipse or a hyperbola, label the vertices and foci.

次の各問について、極形式で与えられた円錐曲線のグラフを描け。放物線なら頂点、焦点、準線に印を付けよ。楕円か双曲線なら頂点と焦点に印を付けよ。

45. $r = \frac{3}{1 - \sin θ}$

46. $r = \frac{8}{4 + 3 \sin θ}$

47. $r = \frac{10}{4 + 5 \cos θ}$

48. $r = \frac{9}{3 - 6 \cos θ}$

For the following exercises, given information about the graph of a conic with focus at the origin, find the equation in polar form.

次の各問について、原点に焦点を持つ円錐曲線のグラフについての情報が与えられたとき、極形式の式を求めよ。

49. Directrix is $x = 3$ and eccentricity $e = 1$

49. 準線 $x = 3$ 、離心率 $e = 1$

50. Directrix is $y = −2$ and eccentricity $e = 4$

50. 準線 $y = −2$ 、離心率 $e = 4$