第12章解析幾何Analytic Geometry

• An ellipse is the set of all points $\left(x,y\right)$ in a plane such that the sum of their distances from two fixed points is a constant. Each fixed point is called a focus (plural: foci).• When given the coordinates of the foci and vertices of an ellipse, we can write the equation of the ellipse in standard form. See Example 1 and Example 2.• When given an equation for an ellipse centered at the origin in standard form, we can identify its vertices, co-vertices, foci, and the lengths and positions of the major and minor axes in order to graph the ellipse. See Example 3 and Example 4.• When given the equation for an ellipse centered at some point other than the origin, we can identify its key features and graph the ellipse. See Example 5 and Example 6.• Real-world situations can be modeled using the standard equations of ellipses and then evaluated to find key features, such as lengths of axes and distance between foci. See Example 7.

・楕円とは、平面上の点 $\left(x,y\right)$ のうち、二つの定まった点からの距離の和が一定であるものすべての集合である。各定点を焦点(複数: 焦点)という。・楕円の焦点と頂点の座標が与えられたとき、その楕円の式を標準の形で書ける。例1と例2を見よ。・原点を中心とする楕円の式が標準の形で与えられたとき、その頂点、余頂点、焦点、長軸と短軸の長さと位置を見分けて楕円のグラフが描ける。例3と例4を見よ。・原点以外の点を中心とする楕円の式が与えられたとき、その要となる特徴を見分けて楕円のグラフが描ける。例5と例6を見よ。・現実の状況は楕円の標準の式でモデルにでき、そして軸の長さや焦点どうしの距離のような要となる特徴を求められる。例7を見よ。

• A hyperbola is the set of all points $\left(x,y\right)$ in a plane such that the difference of the distances between $\left(x,y\right)$ and the foci is a positive constant.• The standard form of a hyperbola can be used to locate its vertices and foci. See Example 1.• When given the coordinates of the foci and vertices of a hyperbola, we can write the equation of the hyperbola in standard form. See Example 2 and Example 3.• When given an equation for a hyperbola, we can identify its vertices, co-vertices, foci, asymptotes, and lengths and positions of the transverse and conjugate axes in order to graph the hyperbola. See Example 4 and Example 5.• Real-world situations can be modeled using the standard equations of hyperbolas. For instance, given the dimensions of a natural draft cooling tower, we can find a hyperbolic equation that models its sides. See Example 6.

・双曲線とは、平面上の点 $\left(x,y\right)$ のうち、$\left(x,y\right)$ と焦点との距離の差が正の定数であるものすべての集合である。・双曲線の標準の形は、その頂点と焦点の位置を求めるのに使える。例1を見よ。・双曲線の焦点と頂点の座標が与えられたとき、その双曲線の式を標準の形で書ける。例2と例3を見よ。・双曲線の式が与えられたとき、その頂点、余頂点、焦点、漸近線、主軸と共役軸の長さと位置を見分けて双曲線のグラフが描ける。例4と例5を見よ。・現実の状況は双曲線の標準の式でモデルにできる。たとえば、自然通風の冷却塔の寸法が与えられれば、その側面のモデルとなる双曲線の式が求められる。例6を見よ。

• A parabola is the set of all points $\left(x,y\right)$ in a plane that are the same distance from a fixed line, called the directrix, and a fixed point (the focus) not on the directrix.• The standard form of a parabola with vertex $\left(0,0\right)$ and the x-axis as its axis of symmetry can be used to graph the parabola. If $p>0,$ the parabola opens right. If the parabola opens left. See Example 1.• The standard form of a parabola with vertex $\left(0,0\right)$ and the y-axis as its axis of symmetry can be used to graph the parabola. If $p>0,$ the parabola opens up. If the parabola opens down. See Example 2.• When given the focus and directrix of a parabola, we can write its equation in standard form. See Example 3.• The standard form of a parabola with vertex $\left(h,k\right)$ and axis of symmetry parallel to the x-axis can be used to graph the parabola. If $p>0,$ the parabola opens right. If the parabola opens left. See Example 4.• The standard form of a parabola with vertex $\left(h,k\right)$ and axis of symmetry parallel to the y-axis can be used to graph the parabola. If $p>0,$ the parabola opens up. If the parabola opens down. See Example 5.• Real-world situations can be modeled using the standard equations of parabolas. For instance, given the diameter and focus of a cross-section of a parabolic reflector, we can find an equation that models its sides. See Example 6.

・放物線とは、平面上の点 $\left(x,y\right)$ のうち、準線という定まった直線と、その準線上にない定まった点(焦点)から等しい距離にあるものすべての集合である。・頂点 $\left(0,0\right)$、x軸を対称軸とする放物線の標準の形は、その放物線のグラフを描くのに使える。$p>0$ なら放物線は右に開く。 なら左に開く。例1を見よ。・頂点 $\left(0,0\right)$、y軸を対称軸とする放物線の標準の形は、その放物線のグラフを描くのに使える。$p>0$ なら放物線は上に開く。 なら下に開く。例2を見よ。・放物線の焦点と準線が与えられたとき、その式を標準の形で書ける。例3を見よ。・頂点 $\left(h,k\right)$、対称軸が x軸に平行な放物線の標準の形は、その放物線のグラフを描くのに使える。$p>0$ なら放物線は右に開く。 なら左に開く。例4を見よ。・頂点 $\left(h,k\right)$、対称軸が y軸に平行な放物線の標準の形は、その放物線のグラフを描くのに使える。$p>0$ なら放物線は上に開く。 なら下に開く。例5を見よ。・現実の状況は放物線の標準の式でモデルにできる。たとえば、放物線の反射面の断面の直径と焦点が与えられれば、その側面のモデルとなる式が求められる。例6を見よ。

• Four basic shapes can result from the intersection of a plane with a pair of right circular cones connected tail to tail. They include an ellipse, a circle, a hyperbola, and a parabola.• A nondegenerate conic section has the general form $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ where $A,B$ and $C$ are not all zero. The values of $A,B,$ and $C$ determine the type of conic. See Example 1.• Equations of conic sections with an $xy$ term have been rotated about the origin. See Example 2.• The general form can be transformed into an equation in the $x^{\prime }$ and $y^{\prime }$ coordinate system without the $x^{\prime }{y}^{\prime }$ term. See Example 3 and Example 4.• An expression is described as invariant if it remains unchanged after rotating. Because the discriminant is invariant, observing it enables us to identify the conic section. See Example 5.

・底どうしを合わせた一対の直円錐を平面が切ると、基本の四つの形ができる。楕円、円、双曲線、放物線である。・退化していない円錐曲線は一般の形 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ を持つ。ここで $A,B$ と $C$ がすべて零ということはない。$A,B$ と $C$ の値が円錐曲線の種類を決める。例1を見よ。・$xy$ の項を持つ円錐曲線の式は、原点のまわりに回っている。例2を見よ。・一般の形は、$x^{\prime }{y}^{\prime }$ の項の無い $x^{\prime }$ と $y^{\prime }$ の座標系の式に直せる。例3と例4を見よ。・回しても変わらない式を不変式という。判別式は不変なので、これを見れば円錐曲線が見分けられる。例5を見よ。

• Any conic may be determined by a single focus, the corresponding eccentricity, and the directrix. We can also define a conic in terms of a fixed point, the focus $P(r,\theta )$ at the pole, and a line, the directrix, which is perpendicular to the polar axis.• A conic is the set of all points $e=\frac{PF}{PD},$ where eccentricity $e$ is a positive real number. Each conic may be written in terms of its polar equation. See Example 1.• The polar equations of conics can be graphed. See Example 2, Example 3, and Example 4.• Conics can be defined in terms of a focus, a directrix, and eccentricity. See Example 5 and Example 6.• We can use the identities $r=\sqrt{x^2+y^2},x=r\cos \theta ,$ and $y=r\sin \theta$ to convert the equation for a conic from polar to rectangular form. See Example 7.

・どの円錐曲線も、一つの焦点、それに対応する離心率、準線で定まる。円錐曲線は、定まった点である極の焦点 $P(r,\theta )$ と、極軸に垂直な直線である準線でも定められる。・円錐曲線とは、$e=\frac{PF}{PD}$ を満たす点すべての集合である。ここで離心率 $e$ は正の実数である。どの円錐曲線も極方程式で書ける。例1を見よ。・円錐曲線の極方程式はグラフに描ける。例2、例3、例4を見よ。・円錐曲線は、焦点、準線、離心率で定められる。例5と例6を見よ。・恒等式 $r=\sqrt{x^2+y^2},x=r\cos \theta$ と $y=r\sin \theta$ を使えば、円錐曲線の式を極形式から直交形式に換えられる。例7を見よ。