第12章解析幾何Analytic Geometry

12.4 Rotation of Axes12.4 座標軸の回転

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Identify nondegenerate conic sections given their general form equations.• Use rotation of axes formulas.• Write equations of rotated conics in standard form.• Identify conics without rotating axes.

・一般の形の式が与えられたとき、退化していない円錐曲線を見分ける。・座標軸の回転の公式を使う。・回転した円錐曲線の式を標準の形で書く。・座標軸を回さずに円錐曲線を見分ける。

As we have seen, conic sections are formed when a plane intersects two right circular cones aligned tip to tip and extending infinitely far in opposite directions, which we also call a cone. The way in which we slice the cone will determine the type of conic section formed at the intersection. A circle is formed by slicing a cone with a plane perpendicular to the axis of symmetry of the cone. An ellipse is formed by slicing a single cone with a slanted plane not perpendicular to the axis of symmetry. A parabola is formed by slicing the plane through the top or bottom of the double-cone, whereas a hyperbola is formed when the plane slices both the top and bottom of the cone. See Figure 1.

見てきたとおり、円錐曲線は、頂点どうしを合わせて逆向きに無限に伸びる二つの直円錐——これも円錐という——を平面が切るときにできる。円錐をどう切るかが、交わりにできる円錐曲線の種類を決める。円は、円錐の対称軸に垂直な平面で円錐を切るとできる。楕円は、対称軸に垂直でない斜めの平面で一つの円錐を切るとできる。放物線は、二重円錐の上か下を平面が切るときにでき、双曲線は、平面が円錐の上と下の両方を切るときにできる。図1を見よ。

Different conic sections (ellipse, circle, hyperbola, parabola) formed by intersecting a double cone with a plane at various angles. — Figure 1 The nondegenerate conic sections図1 退化していない円錐曲線

Ellipses, circles, hyperbolas, and parabolas are sometimes called the nondegenerate conic sections, in contrast to the degenerate conic sections, which are shown in Figure 2. A degenerate conic results when a plane intersects the double cone and passes through the apex. Depending on the angle of the plane, three types of degenerate conic sections are possible: a point, a line, or two intersecting lines.

楕円、円、双曲線、放物線は、図2に示す退化した円錐曲線に対して、退化していない円錐曲線と呼ばれることがある。退化した円錐曲線は、平面が二重円錐と交わり、その頂を通るときにできる。平面の角度に応じて、退化した円錐曲線には三つの種類がありうる。点、直線、交わる二直線である。

This diagram illustrates the three degenerate conic sections formed by the intersection of a plane with a double cone. The first example on the left shows a plane intersecting the double cone through its apex at an angle such that it forms two intersecting lines. The middle example depicts a plane tangent to the double cone along one of its generatrices, resulting in a single line. The rightmost example shows a plane intersecting the double cone only at its apex, producing a single point. — Figure 2 Degenerate conic sections図2 退化した円錐曲線

Identifying Nondegenerate Conics in General Form一般の形で退化していない円錐曲線を見分ける

In previous sections of this chapter, we have focused on the standard form equations for nondegenerate conic sections. In this section, we will shift our focus to the general form equation, which can be used for any conic. The general form is set equal to zero, and the terms and coefficients are given in a particular order, as shown below.

この章の前の節では、退化していない円錐曲線の式の標準の形に絞ってきた。この節では、どの円錐曲線にも使える一般の形の式に目を移す。一般の形は零に等しいと置き、下に示すとおり項と係数を決まった順に並べる。

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

where $A, B,$ and $C$ are not all zero. We can use the values of the coefficients to identify which type conic is represented by a given equation.

ここで $A, B$ と $C$ がすべて零ということはない。係数の値を使えば、与えられた式がどの種類の円錐曲線を表すかが見分けられる。

You may notice that the general form equation has an $x y$ term that we have not seen in any of the standard form equations. As we will discuss later, the $x y$ term rotates the conic whenever $B$ is not equal to zero.

一般の形の式には、標準の形の式のどれにも出てこなかった $x y$ の項があることに気づくだろう。のちに論じるとおり、 $B$ が零でないときはいつでも、 $x y$ の項が円錐曲線を回す。

Conic Sections円錐曲線	Example例
ellipse楕円	$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$
circle円	$4 x^{2} + 4 y^{2} = 1$
hyperbola双曲線	$4 x^{2} - 9 y^{2} = 1$
parabola放物線	$4 x^{2} = 9 y or 4 y^{2} = 9 x$
one line一直線	$4 x + 9 y = 1$
intersecting lines交わる二直線	$(x - 4) (y + 4) = 0$
parallel lines平行な二直線	$(x - 4) (x - 9) = 0$
a point一点	$4 x^{2} + 4 y^{2} = 0$
no graphグラフ無し	$4 x^{2} + 4 y^{2} = - 1$

General Form of Conic Sections 円錐曲線の方程式の一般形

A conic section has the general form

円錐曲線は次の一般の形を持つ。

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

where $A, B,$ and $C$ are not all zero.

ここで $A, B$ と $C$ がすべて零ということはない。

Table 2 summarizes the different conic sections where $B = 0,$ and $A$ and $C$ are nonzero real numbers. This indicates that the conic has not been rotated.

表2に、 $B = 0$ と $A$ と $C$ が零でない実数である場合のさまざまな円錐曲線をまとめる。これは円錐曲線が回転していないことを示す。

ellipse楕円	$A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0, A \neq C and A C > 0$
circle円	$A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0, A = C$
hyperbola双曲線	$A x^{2} - C y^{2} + D x + E y + F = 0 or - A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ where $A$ and $C$ are positive $A x^{2} - C y^{2} + D x + E y + F = 0 または - A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ 。ここで $A$ と $C$ は正
parabola放物線	$A x^{2} + D x + E y + F = 0 or C y^{2} + D x + E y + F = 0$

How To 手順

Given the equation of a conic, identify the type of conic.

円錐曲線の式が与えられたとき、その円錐曲線の種類を見分ける。

1. Rewrite the equation in the general form, $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0.$ 2. Identify the values of $A$ and $C$ from the general form. If $A$ and $C$ are nonzero, have the same sign, and are not equal to each other, then the graph may be an ellipse. If $A$ and $C$ are equal and nonzero and have the same sign, then the graph may be a circle. If $A$ and $C$ are nonzero and have opposite signs, then the graph may be a hyperbola. If either $A$ or $C$ is zero, then the graph may be a parabola.If B = 0, the conic section will have a vertical and/or horizontal axes. If B does not equal 0, as shown below, the conic section is rotated. Notice the phrase “may be” in the definitions. That is because the equation may not represent a conic section at all, depending on the values of A, B, C, D, E, and F. For example, the degenerate case of a circle or an ellipse is a point:
$A x^{2} + B y^{2} = 0,$ when A and B have the same sign.
The degenerate case of a hyperbola is two intersecting straight lines: $A x^{2} + B y^{2} = 0,$ when A and B have opposite signs.
On the other hand, the equation, $A x^{2} + B y^{2} + 1 = 0,$ when A and B are positive does not represent a graph at all, since there are no real ordered pairs which satisfy it.

1. この式を一般の形 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0.$ に書き直す。2. 一般の形から $A$ と $C$ の値を見分ける。 $A$ と $C$ が零でなく、同じ符号で、互いに等しくないなら、グラフは楕円かもしれない。 $A$ と $C$ が等しく零でなく、同じ符号なら、グラフは円かもしれない。 $A$ と $C$ が零でなく符号が逆なら、グラフは双曲線かもしれない。 $A$ か $C$ のどちらかが零なら、グラフは放物線かもしれない。B = 0 なら、円錐曲線は縦または横の軸を持つ。下に示すとおり B が0でないなら、円錐曲線は回転している。定めの中の「かもしれない」という言い方に注意せよ。これは、A、B、C、D、E、F の値によっては、その式が円錐曲線をまったく表さないことがあるからである。たとえば、円や楕円の退化した場合は点である。A と B が同じ符号のときの $A x^{2} + B y^{2} = 0$ である。双曲線の退化した場合は交わる二直線である。A と B が逆の符号のときの $A x^{2} + B y^{2} = 0$ である。他方、A と B が正のときの式 $A x^{2} + B y^{2} + 1 = 0$ は、それを満たす実数の順序対が無いので、グラフをまったく表さない。

Example 1例1

Identifying a Conic from Its General Form一般の形から円錐曲線を見分ける

Identify the graph of each of the following nondegenerate conic sections.

次の退化していない円錐曲線それぞれのグラフを見分けよ。

ⓐ $4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 x + 36 y - 125 = 0$ ⓑ $9 y^{2} + 16 x + 36 y - 10 = 0$ ⓒ $3 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x - 6 y - 4 = 0$ ⓓ $- 25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 x + 16 y + 20 = 0$

Solution 解答

ⓐRewriting the general form, we have $A = 4$ and $C = −9,$ so we observe that $A$ and $C$ have opposite signs. The graph of this equation is a hyperbola.ⓑRewriting the general form, we have $A = 0$ and $C = 9.$ We can determine that the equation is a parabola, since $A$ is zero.ⓒRewriting the general form, we have $A = 3$ and $C = 3.$ Because $A = C,$ the graph of this equation is a circle.ⓓRewriting the general form, we have $A = −25$ and $C = −4.$ Because $A C > 0$ and $A \neq C,$ the graph of this equation is an ellipse.

ⓐ一般の形に書き直すと $A = 4$ と $C = −9$ を得るので、 $A$ と $C$ の符号が逆だと分かる。この式のグラフは双曲線である。ⓑ一般の形に書き直すと $A = 0$ と $C = 9.$ を得る。 $A$ が零なので、この式は放物線だと決められる。ⓒ一般の形に書き直すと $A = 3$ と $C = 3.$ を得る。 $A = C$ なので、この式のグラフは円である。ⓓ一般の形に書き直すと $A = −25$ と $C = −4.$ を得る。 $A C > 0$ かつ $A \neq C$ なので、この式のグラフは楕円である。

Try It #1やってみよう1

Identify the graph of each of the following nondegenerate conic sections.

次の退化していない円錐曲線それぞれのグラフを見分けよ。

ⓐ $16 y^{2} - x^{2} + x - 4 y - 9 = 0$ ⓑ $16 x^{2} + 4 y^{2} + 16 x + 49 y - 81 = 0$

Finding a New Representation of the Given Equation after Rotating through a Given Angle与えられた角だけ回したあとの、与えられた式の新しい表しかたを求める

Until now, we have looked at equations of conic sections without an $x y$ term, which aligns the graphs with the x- and y-axes. When we add an $x y$ term, we are rotating the conic about the origin. If the x- and y-axes are rotated through an angle, say $θ,$ then every point on the plane may be thought of as having two representations: $(x, y)$ on the Cartesian plane with the original x-axis and y-axis, and $(x^{'}, y^{'})$ on the new plane defined by the new, rotated axes, called the x'-axis and y'-axis. See Figure 3.

ここまで、 $x y$ の項が無い円錐曲線の式を見てきた。そのグラフは x軸と y軸にそろっている。 $x y$ の項を加えると、円錐曲線を原点のまわりに回すことになる。x軸と y軸をある角、たとえば $θ$ だけ回すと、平面上のどの点も二通りに表せると考えられる。元の x軸と y軸によるデカルト平面での $(x, y)$ と、x'軸・y'軸という新しく回した軸で定まる新しい平面での $(x^{'}, y^{'})$ である。図3を見よ。

An ellipse centered at the origin, aligned with a rotated coordinate system (x', y') that is at an angle θ with respect to the standard (x, y) coordinate system. — Figure 3 The graph of the rotated ellipse $x^{2} + y^{2} - x y - 15 = 0$ 図3 回転した楕円 $x^{2} + y^{2} - x y - 15 = 0$ のグラフ

We will find the relationships between $x$ and $y$ on the Cartesian plane with $x^{'}$ and $y^{'}$ on the new rotated plane. See Figure 4.

デカルト平面での $x$ と $y$ と、新しく回した平面での $x^{'}$ と $y^{'}$ との関係を求める。図4を見よ。

A Cartesian coordinate system (x, y) with a rotated coordinate system (x', y'). The angle of rotation is θ, and the coordinates are labeled with sin θ, cos θ, and -sin θ, demonstrating the transformation between the two systems. — Figure 4 The Cartesian plane with x- and y-axes and the resulting x′− and y′−axes formed by a rotation by an angle $θ .$ 図4 x軸と y軸によるデカルト平面と、角 $θ$ の回転でできる x′軸と y′軸

The original coordinate x- and y-axes have unit vectors $i$ and $j .$ The rotated coordinate axes have unit vectors $i^{'}$ and $j^{'} .$ The angle $θ$ is known as the angle of rotation. See Figure 5. We may write the new unit vectors in terms of the original ones.

元の座標の x軸と y軸は単位ベクトル $i$ と $j$ を持つ。回した座標軸は単位ベクトル $i^{'}$ と $j^{'}$ を持つ。角 $θ$ を回転角という。図5を見よ。新しい単位ベクトルは元のもので書ける。

\begin{array}{l} i^{'} = \cos θ i + \sin θ j \\ j^{'} = - \sin θ i + \cos θ j \end{array}

A 2D coordinate system rotated by an angle θ. The unit vectors i' and j' are shown with their components (cos θ, sin θ, -sin θ, cos θ) relative to the original x and y axes, illustrating the rotation matrix. — Figure 5 Relationship between the old and new coordinate planes.図5 古い座標平面と新しい座標平面の関係。

Consider a vector $u$ in the new coordinate plane. It may be represented in terms of its coordinate axes.

新しい座標平面のベクトル $u$ を考えよ。これはその座標軸で表せる。

\begin{array}{l} u = x^{'} i^{'} + y^{'} j^{'} \\ u = x^{'} (i \cos θ + j \sin θ) + y^{'} (- i \sin θ + j \cos θ) & \begin{matrix}  \end{matrix} Substitute . \\ u = i x' \cos θ + j x' \sin θ - i y' \sin θ + j y' \cos θ & \begin{matrix}  \end{matrix} Distribute . \\ u = i x' \cos θ - i y' \sin θ + j x' \sin θ + j y' \cos θ & \begin{matrix}  \end{matrix} Apply commutative property . \\ u = (x' \cos θ - y' \sin θ) i + (x' \sin θ + y' \cos θ) j & \begin{matrix}  \end{matrix} Factor by grouping . \end{array}

Because $u = x^{'} i^{'} + y^{'} j^{'},$ we have representations of $x$ and $y$ in terms of the new coordinate system.

$u = x^{'} i^{'} + y^{'} j^{'}$ なので、新しい座標系による $x$ と $y$ の表しかたが得られる。

\begin{matrix} x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ \\ and \\ y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ \end{matrix}

Equations of Rotation 座標軸の回転の公式

If a point $(x, y)$ on the Cartesian plane is represented on a new coordinate plane where the axes of rotation are formed by rotating an angle $θ$ from the positive x-axis, then the coordinates of the point with respect to the new axes are $(x^{'}, y^{'}) .$ We can use the following equations of rotation to define the relationship between $(x, y)$ and $(x^{'}, y^{'}) :$

デカルト平面上の点 $(x, y)$ を、x軸の正の部分から角 $θ$ だけ回してできる回転軸による新しい座標平面で表すとき、新しい座標軸に対するその点の座標は $(x^{'}, y^{'})$ である。次の回転の式を使って、 $(x, y)$ と $(x^{'}, y^{'}) :$ の関係を定められる。

x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ

and

そして

y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ

How To 手順

Given the equation of a conic, find a new representation after rotating through an angle.

円錐曲線の式が与えられたとき、ある角だけ回したあとの新しい表しかたを求める。

1. Find $x$ and $y$ where $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ and $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ .$ 2. Substitute the expression for $x$ and $y$ into in the given equation, then simplify.3. Write the equations with $x^{'}$ and $y^{'}$ in standard form.

1. $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ かつ $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ$ として、 $x$ と $y$ を求める。2. 与えられた式に $x$ と $y$ の式を代入し、そして簡単にする。3. $x^{'}$ と $y^{'}$ の式を標準の形で書く。

Example 2例2

Finding a New Representation of an Equation after Rotating through a Given Angle与えられた角だけ回したあとの、式の新しい表しかたを求める

Find a new representation of the equation $2 x^{2} - x y + 2 y^{2} - 30 = 0$ after rotating through an angle of $θ = 45° .$

角 $θ = 45°$ だけ回したあとの、式 $2 x^{2} - x y + 2 y^{2} - 30 = 0$ の新しい表しかたを求めよ。

Solution 解答

Find $x$ and $y,$ where $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ and $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ .$

$x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ かつ $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ$ として、 $x$ と $y$ を求める。

Because $θ = 45°,$

$θ = 45°$ なので、

\begin{array}{l} x = x^{'} \cos (45°) - y^{'} \sin (45°) \\ x = x^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) - y^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ x = \frac{x^{'} - y^{'}}{\sqrt{2}} \end{array}

and

そして

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = x^{'} \sin (45°) + y^{'} \cos (45°) \\ y = x^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) + y^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ y = \frac{x^{'} + y^{'}}{\sqrt{2}} \end{array} \end{array}

Substitute $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ and $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ$ into $2 x^{2} - x y + 2 y^{2} - 30 = 0.$

$2 x^{2} - x y + 2 y^{2} - 30 = 0.$ に $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ と $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ$ を代入する。

2 {(\frac{x^{'} - y^{'}}{\sqrt{2}})}^{2} - (\frac{x^{'} - y^{'}}{\sqrt{2}}) (\frac{x^{'} + y^{'}}{\sqrt{2}}) + 2 {(\frac{x^{'} + y^{'}}{\sqrt{2}})}^{2} - 30 = 0

Simplify.

簡単にする。

\begin{array}{l} 2 \frac{(x^{'} - y^{'}) (x^{'} - y^{'})}{2} - \frac{(x^{'} - y^{'}) (x^{'} + y^{'})}{2} + 2 \frac{(x^{'} + y^{'}) (x^{'} + y^{'})}{2} - 30 = 0 & \begin{matrix}  \end{matrix} FOIL method \\ x^{'}^{2} {- 2 x^{'} y}^{'} + y^{'}^{2} - \frac{(x^{'}^{2} - y^{'}^{2})}{2} + x^{'}^{2} + 2 x^{'} y^{'} + y^{'}^{2} - 30 = 0 & \begin{matrix}  \end{matrix} Combine like terms . \\ 2 x^{'}^{2} + 2 y^{'}^{2} - \frac{(x^{'}^{2} - y^{'}^{2})}{2} = 30 & \begin{matrix}  \end{matrix} Combine like terms . \\ 2 (2 x^{'}^{2} + 2 y^{'}^{2} - \frac{(x^{'}^{2} - y^{'}^{2})}{2}) = 2 (30) & \begin{matrix}  \end{matrix} Multiply both sides by 2 . \\ 4 x^{'}^{2} + 4 y^{'}^{2} - (x^{'}^{2} - y^{'}^{2}) = 60 & \begin{matrix}  \end{matrix} Simplify . \\ 4 x^{'}^{2} + 4 y^{'}^{2} - x^{'}^{2} + y^{'}^{2} = 60 & \begin{matrix}  \end{matrix} Distribute . \\ \frac{3 x^{'}^{2}}{60} + \frac{5 y^{'}^{2}}{60} = \frac{60}{60} & \begin{matrix}  \end{matrix} Set equal to 1 . \end{array}

Write the equations with $x^{'}$ and $y^{'}$ in the standard form.

$x^{'}$ と $y^{'}$ の式を標準の形で書く。

\frac{{x^{'}}^{2}}{20} + \frac{{y^{'}}^{2}}{12} = 1

This equation is an ellipse. Figure 6 shows the graph.

この式は楕円である。図6にグラフを示す。

An ellipse centered at the origin, with its major and minor axes aligned with the rotated x' and y' axes. The x' axis is rotated 45 degrees counterclockwise from the x-axis.

Writing Equations of Rotated Conics in Standard Form回転した円錐曲線の式を標準の形で書く

Now that we can find the standard form of a conic when we are given an angle of rotation, we will learn how to transform the equation of a conic given in the form $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ into standard form by rotating the axes. To do so, we will rewrite the general form as an equation in the $x^{'}$ and $y^{'}$ coordinate system without the $x^{'} y^{'}$ term, by rotating the axes by a measure of $θ$ that satisfies

回転角が与えられたときに円錐曲線の標準の形を求められるようになったので、 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ の形で与えられた円錐曲線の式を、座標軸を回して標準の形に直すしかたを学ぶ。そのために、次を満たす大きさ $θ$ だけ座標軸を回し、一般の形を、 $x^{'} y^{'}$ の項の無い $x^{'}$ と $y^{'}$ の座標系の式に書き直す。

\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B}

We have learned already that any conic may be represented by the second degree equation

どの円錐曲線も次の二次の式で表せることはすでに学んだ。

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

where $A, B,$ and $C$ are not all zero. However, if $B \neq 0,$ then we have an $x y$ term that prevents us from rewriting the equation in standard form. To eliminate it, we can rotate the axes by an acute angle $θ$ where $\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B} .$

ここで $A, B$ と $C$ がすべて零ということはない。だが $B \neq 0$ なら $x y$ の項があり、式を標準の形に書き直せない。これを消すには、 $\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B}$ を満たす鋭角 $θ$ だけ座標軸を回せばよい。

• If $\cot (2 θ) > 0,$ then $2 θ$ is in the first quadrant, and $θ$ is between $(0°, 45°) .$ • If $\cot (2 θ) < 0,$ then $2 θ$ is in the second quadrant, and $θ$ is between $(45°, 90°) .$ • If $A = C,$ then $θ = 45° .$

・ $\cot (2 θ) > 0$ なら $2 θ$ は第一象限にあり、 $θ$ は $(0°, 45°)$ のあいだにある。・ $\cot (2 θ) < 0$ なら $2 θ$ は第二象限にあり、 $θ$ は $(45°, 90°)$ のあいだにある。・ $A = C$ なら $θ = 45°$ である。

How To 手順

Given an equation for a conic in the $x^{'} y^{'}$ system, rewrite the equation without the $x^{'} y^{'}$ term in terms of $x^{'}$ and $y^{'},$ where the $x^{'}$ and $y^{'}$ axes are rotations of the standard axes by $θ$ degrees.

$x^{'} y^{'}$ の系での円錐曲線の式が与えられたとき、 $x^{'} y^{'}$ の項の無い式を $x^{'}$ と $y^{'}$ で書き直す。ここで $x^{'}$ 軸と $y^{'}$ 軸は、標準の軸を $θ$ 度だけ回したものである。

1. Find $\cot (2 θ) .$ 2. Find $\sin θ$ and $\cos θ .$ 3. Substitute $\sin θ$ and $\cos θ$ into $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ and $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ .$ 4. Substitute the expression for $x$ and $y$ into in the given equation, and then simplify.5. Write the equations with $x^{'}$ and $y^{'}$ in the standard form with respect to the rotated axes.

1. $\cot (2 θ)$ を求める。2. $\sin θ$ と $\cos θ$ を求める。3. $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ と $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ$ に $\sin θ$ と $\cos θ$ を代入する。4. 与えられた式に $x$ と $y$ の式を代入し、そして簡単にする。5. 回した座標軸に対する $x^{'}$ と $y^{'}$ の式を標準の形で書く。

Example 3例3

Rewriting an Equation with respect to the x′ and y′ axes without the x′y′ Termx′y′ の項の無い、x′軸と y′軸に対する式に書き直す

Rewrite the equation $8 x^{2} - 12 x y + 17 y^{2} = 20$ in the $x^{'} y^{'}$ system without an $x^{'} y^{'}$ term.

式 $8 x^{2} - 12 x y + 17 y^{2} = 20$ を、 $x^{'} y^{'}$ の項の無い $x^{'} y^{'}$ の系に書き直せ。

Solution 解答

First, we find $\cot (2 θ) .$ See Figure 7.

まず $\cot (2 θ)$ を求める。図7を見よ。

\begin{array}{l} 8 x^{2} - 12 x y + 17 y^{2} = 20 \Rightarrow A = 8, B = - 12 and C = 17 \\ \cot (2 θ) = \frac{A - C}{B} = \frac{8 - 17}{- 12} \\ \cot (2 θ) = \frac{- 9}{- 12} = \frac{3}{4} \end{array}

A right triangle in the first quadrant of the x y plane. The horizontal side is length 3 and is on the x-axis. The vertical side is length 4. The hypotenuse is length h and originates at the Origin. The acute angle at the origin is 2 theta.

\cot (2 θ) = \frac{3}{4} = \frac{adjacent}{opposite}

So the hypotenuse is

よって斜辺は次である。

\begin{array}{r} 3^{2} + 4^{2} = h^{2} \\ 9 + 16 = h^{2} \\ 25 = h^{2} \\ h = 5 \end{array}

Next, we find $\sin θ$ and $\cos θ .$

次に、 $\sin θ$ と $\cos θ$ を求める。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin θ = \sqrt{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 - 3}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} \end{array} \\ \sin θ = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \cos θ = \sqrt{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 + 3}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} \\ \cos θ = \frac{2}{\sqrt{5}} \end{array}

Substitute the values of $\sin θ$ and $\cos θ$ into $x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ and $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ .$

$x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ$ と $y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ$ に $\sin θ$ と $\cos θ$ の値を代入する。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ \\ x = x^{'} (\frac{2}{\sqrt{5}}) - y^{'} (\frac{1}{\sqrt{5}}) \\ x = \frac{2 x^{'} - y^{'}}{\sqrt{5}} \end{array} \end{array}

and

そして

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ \end{array} \\ y = x^{'} (\frac{1}{\sqrt{5}}) + y^{'} (\frac{2}{\sqrt{5}}) \\ y = \frac{x^{'} + 2 y^{'}}{\sqrt{5}} \end{array}

Substitute the expressions for $x$ and $y$ into in the given equation, and then simplify.

与えられた式に $x$ と $y$ の式を代入し、そして簡単にする。

\begin{array}{l} 8 {(\frac{2 x^{'} - y^{'}}{\sqrt{5}})}^{2} - 12 (\frac{2 x^{'} - y^{'}}{\sqrt{5}}) (\frac{x^{'} + 2 y^{'}}{\sqrt{5}}) + 17 {(\frac{x^{'} + 2 y^{'}}{\sqrt{5}})}^{2} = 20 \\ 8 (\frac{(2 x^{'} - y^{'}) (2 x^{'} - y^{'})}{5}) - 12 (\frac{(2 x^{'} - y^{'}) (x^{'} + 2 y^{'})}{5}) + 17 (\frac{(x^{'} + 2 y^{'}) (x^{'} + 2 y^{'})}{5}) = 20 \\ 8 (4 x^{'}^{2} - 4 x^{'} y^{'} + y^{'}^{2}) - 12 (2 x^{'}^{2} + 3 x^{'} y^{'} - 2 y^{'}^{2}) + 17 (x^{'}^{2} + 4 x^{'} y^{'} + 4 y^{'}^{2}) = 100 \\ 32 x^{'}^{2} - 32 x^{'} y^{'} + 8 y^{'}^{2} - 24 x^{'}^{2} - 36 x^{'} y^{'} + 24 y^{'}^{2} + 17 x^{'}^{2} + 68 x^{'} y^{'} + 68 y^{'}^{2} = 100 \\ 25 x^{'}^{2} + 100 y^{'}^{2} = 100 \\ \frac{25}{100} x^{'}^{2} + \frac{100}{100} y^{'}^{2} = \frac{100}{100} \end{array}

Write the equations with $x^{'}$ and $y^{'}$ in the standard form with respect to the new coordinate system.

新しい座標系に対する $x^{'}$ と $y^{'}$ の式を標準の形で書く。

\frac{{x^{'}}^{2}}{4} + \frac{{y^{'}}^{2}}{1} = 1

Figure 8 shows the graph of the ellipse.

図8にこの楕円のグラフを示す。

A graph of an ellipse centered at the origin (0,0) in a Cartesian coordinate system. The x-axis ranges from -3 to 3, and the y-axis ranges from -2 to 2. Two orange lines, appearing to be the major and minor axes, pass through the origin and intersect the blue ellipse. The lines are perpendicular.

Try It #2やってみよう2

Rewrite the $13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} = 16$ in the $x^{'} y^{'}$ system without the $x^{'} y^{'}$ term.

$13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} = 16$ を、 $x^{'} y^{'}$ の項の無い $x^{'} y^{'}$ の系に書き直せ。

Example 4例4

Graphing an Equation That Has No x′y′ Termsx′y′ の項の無い式のグラフを描く

Graph the following equation relative to the $x^{'} y^{'}$ system:

$x^{'} y^{'}$ の系に対して次の式のグラフを描け。

x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 30

Solution 解答

First, we find $\cot (2 θ) .$

まず $\cot (2 θ)$ を求める。

x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 20 \Rightarrow A = 1, B = 12, and C = −4

\begin{array}{l} \cot (2 θ) = \frac{A - C}{B} \\ \cot (2 θ) = \frac{1 - (−4)}{12} \\ \cot (2 θ) = \frac{5}{12} \end{array}

Because $\cot (2 θ) = \frac{5}{12},$ we can draw a reference triangle as in Figure 9.

$\cot (2 θ) = \frac{5}{12}$ なので、図9のような参照の三角形が描ける。

A line with positive slope passing through the origin of the x y pane is shown. The x value of 5 is shown on the x-axis. The y value of 12 is shown on the y-axis. The angle the line makes with the x-axis is 2theta. The line is labeled cotangent (2 theta) = 5/12.

\cot (2 θ) = \frac{5}{12} = \frac{adjacent}{opposite}

Thus, the hypotenuse is

よって斜辺は次である。

\begin{array}{r} 5^{2} + 12^{2} = h^{2} \\ 25 + 144 = h^{2} \\ 169 = h^{2} \\ h = 13 \end{array}

Next, we find $\sin θ$ and $\cos θ .$ We will use half-angle identities.

次に、 $\sin θ$ と $\cos θ$ を求める。半角の恒等式を使う。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin θ = \sqrt{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{13}{13} - \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{13} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \end{array} \\ \cos θ = \sqrt{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{13}{13} + \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{18}{13} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}

Now we find $x$ and $y .$

では $x$ と $y$ を求める。

\begin{array}{l} x = x^{'} \cos θ - y^{'} \sin θ \\ x = x^{'} (\frac{3}{\sqrt{13}}) - y^{'} (\frac{2}{\sqrt{13}}) \\ x = \frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}} \end{array}

and

そして

\begin{array}{l} y = x^{'} \sin θ + y^{'} \cos θ \\ y = x^{'} (\frac{2}{\sqrt{13}}) + y^{'} (\frac{3}{\sqrt{13}}) \\ y = \frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}} \end{array}

Now we substitute $x = \frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}}$ and $y = \frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}}$ into $x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 30.$

では $x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 30.$ に $x = \frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}}$ と $y = \frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}}$ を代入する。

\begin{array}{l} {(\frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}})}^{2} + 12 (\frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}}) (\frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}}) - 4 {(\frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}})}^{2} = 30 \\ (\frac{1}{13}) [{(3 x^{'} - 2 y^{'})}^{2} + 12 (3 x^{'} - 2 y^{'}) (2 x^{'} + 3 y^{'}) - 4 {(2 x^{'} + 3 y^{'})}^{2}] = 30 & Factor . \\ (\frac{1}{13}) [9 x^{'}^{2} - 12 x^{'} y^{'} + 4 y^{'}^{2} + 12 (6 x^{'}^{2} + 5 x^{'} y^{'} - 6 y^{'}^{2}) - 4 (4 x^{'}^{2} + 12 x^{'} y^{'} + 9 y^{'}^{2})] = 30 & Multiply . \\ (\frac{1}{13}) [9 x^{'}^{2} - 12 x^{'} y^{'} + 4 y^{'}^{2} + 72 x^{'}^{2} + 60 x^{'} y^{'} - 72 y^{'}^{2} - 16 x^{'}^{2} - 48 x^{'} y^{'} - 36 y^{'}^{2}] = 30 & Distribute . \\ (\frac{1}{13}) [65 x^{'}^{2} - 104 y^{'}^{2}] = 30 & Combine like terms . \\ 65 x^{'}^{2} - 104 y^{'}^{2} = 390 & Multiply . \\ \frac{x^{'}^{2}}{6} - \frac{4 y^{'}^{2}}{15} = 1 & Divide by 390 . \end{array}

Figure 10 shows the graph of the hyperbola $\frac{{x^{'}}^{2}}{6} - \frac{4 {y^{'}}^{2}}{15} = 1.$

図10に双曲線 $x^{'}$ 2 6 −4y ′2 15 =1. のグラフを示す。

A graph shows a hyperbola in a standard Cartesian x-y coordinate system. Two orange lines represent a rotated x'-y' coordinate system. The hyperbola's branches are aligned with the x' and -x' axes.

Identifying Conics without Rotating Axes座標軸を回さずに円錐曲線を見分ける

Now we have come full circle. How do we identify the type of conic described by an equation? What happens when the axes are rotated? Recall, the general form of a conic is

これで一巡した。式が述べる円錐曲線の種類は、どう見分ければよいか。座標軸を回すと何が起こるか。円錐曲線の一般の形は次であったことを思い出せ。

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

If we apply the rotation formulas to this equation we get the form

この式に回転の公式を使うと、次の形が得られる。

A^{'} {x^{'}}^{2} + B^{'} x^{'} y^{'} + C^{'} {y^{'}}^{2} + D^{'} x^{'} + E^{'} y^{'} + F^{'} = 0

It may be shown that $B^{2} - 4 A C = {B^{'}}^{2} - 4 A^{'} C^{'} .$ The expression does not vary after rotation, so we call the expression invariant. The discriminant, $B^{2} - 4 A C,$ is invariant and remains unchanged after rotation. Because the discriminant remains unchanged, observing the discriminant enables us to identify the conic section.

$B^{2} - 4 A C = B^{'}$ 2 −4A ′ C ′ . であることが示せる。この式は回転しても変わらないので、不変式という。判別式 $B^{2} - 4 A C$ は不変で、回転しても変わらない。判別式が変わらないので、判別式を見れば円錐曲線が見分けられる。

Using the Discriminant to Identify a Conic 判別式による円錐曲線の分類

If the equation $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ is transformed by rotating axes into the equation $A^{'} {x^{'}}^{2} + B^{'} x^{'} y^{'} + C^{'} {y^{'}}^{2} + D^{'} x^{'} + E^{'} y^{'} + F^{'} = 0,$ then $B^{2} - 4 A C = {B^{'}}^{2} - 4 A^{'} C^{'} .$

式 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ が座標軸の回転で式 $A^{'} x^{'}$ 2 +B ′ x ′ y ′ +C ′ y ′2 +D ′ x ′ +E ′ y ′ +F ′ =0, に直されるなら、 $B^{2} - 4 A C = B^{'}$ 2 −4A ′ C ′ . である。

The equation $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ is an ellipse, a parabola, or a hyperbola, or a degenerate case of one of these.

式 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ は、楕円、放物線、双曲線、またはそのいずれかの退化した場合である。

If the discriminant, $B^{2} - 4 A C,$ is

判別式 $B^{2} - 4 A C$ が次のとき、

• $< 0,$ the conic section is an ellipse• $= 0,$ the conic section is a parabola• $> 0,$ the conic section is a hyperbola

・ $< 0$ なら円錐曲線は楕円・ $= 0$ なら円錐曲線は放物線・ $> 0$ なら円錐曲線は双曲線

Example 5例5

Identifying the Conic without Rotating Axes座標軸を回さずに円錐曲線を見分ける

Identify the conic for each of the following without rotating axes.

次のそれぞれについて、座標軸を回さずに円錐曲線を見分けよ。

ⓐ $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 2 y^{2} - 5 = 0$ ⓑ $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 12 y^{2} - 5 = 0$

Solution 解答

ⓐLet’s begin by determining $A, B,$ and $C .$ $\underset{A}{\underset{⏟}{5}} x^{2} + \underset{B}{\underset{⏟}{2 \sqrt{3}}} x y + \underset{C}{\underset{⏟}{2}} y^{2} - 5 = 0$ Now, we find the discriminant. $\begin{array}{l} B^{2} - 4 A C = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 (5) (2) \\ = 4 (3) - 40 \\ = 12 - 40 \\ = - 28 < 0 \end{array}$ Therefore, $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 2 y^{2} - 5 = 0$ represents an ellipse.ⓑAgain, let’s begin by determining $A, B,$ and $C .$ $\underset{A}{\underset{⏟}{5}} x^{2} + \underset{B}{\underset{⏟}{2 \sqrt{3}}} x y + \underset{C}{\underset{⏟}{12}} y^{2} - 5 = 0$ Now, we find the discriminant. $\begin{array}{l} B^{2} - 4 A C = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 (5) (12) \\ = 4 (3) - 240 \\ = 12 - 240 \\ = - 228 < 0 \end{array}$ Therefore, $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 12 y^{2} - 5 = 0$ represents an ellipse.

ⓐまず $A, B$ と $C$ $\underset{A}{\underset{⏟}{5}} x^{2} + \underset{B}{\underset{⏟}{2 \sqrt{3}}} x y + \underset{C}{\underset{⏟}{2}} y^{2} - 5 = 0$ を決めることから始めよう。では判別式を求める。 $\begin{array}{l} B^{2} - 4 A C = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 (5) (2) \\ = 4 (3) - 40 \\ = 12 - 40 \\ = - 28 < 0 \end{array}$ したがって、 $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 2 y^{2} - 5 = 0$ は楕円を表す。ⓑここでもまず $A, B$ と $C$ $\underset{A}{\underset{⏟}{5}} x^{2} + \underset{B}{\underset{⏟}{2 \sqrt{3}}} x y + \underset{C}{\underset{⏟}{12}} y^{2} - 5 = 0$ を決めることから始めよう。では判別式を求める。 $\begin{array}{l} B^{2} - 4 A C = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 (5) (12) \\ = 4 (3) - 240 \\ = 12 - 240 \\ = - 228 < 0 \end{array}$ したがって、 $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 12 y^{2} - 5 = 0$ は楕円を表す。

Try It #3やってみよう3

Identify the conic for each of the following without rotating axes.

次のそれぞれについて、座標軸を回さずに円錐曲線を見分けよ。

ⓐ $x^{2} - 9 x y + 3 y^{2} - 12 = 0$ ⓑ $10 x^{2} - 9 x y + 4 y^{2} - 4 = 0$

Media 教材

Access this online resource for additional instruction and practice with conic sections and rotation of axes.

円錐曲線と座標軸の回転についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Introduction to Conic Sections

・円錐曲線入門

Verbal言葉で答える問題

1. What effect does the $x y$ term have on the graph of a conic section?

1. $x y$ の項は、円錐曲線のグラフにどんな効きを与えるか。

2. If the equation of a conic section is written in the form $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0$ and $A B = 0,$ what can we conclude?

2. 円錐曲線の式が $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0$ の形で書かれ、 $A B = 0$ のとき、何が結論できるか。

3. If the equation of a conic section is written in the form $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ and $B^{2} - 4 A C > 0,$ what can we conclude?

3. 円錐曲線の式が $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ の形で書かれ、 $B^{2} - 4 A C > 0$ のとき、何が結論できるか。

4. Given the equation $a x^{2} + 4 x + 3 y^{2} - 12 = 0,$ what can we conclude if $a > 0 ?$

4. 式 $a x^{2} + 4 x + 3 y^{2} - 12 = 0$ が与えられたとき、 $a > 0 ?$ なら何が結論できるか。

5. For the equation $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ the value of $θ$ that satisfies $\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B}$ gives us what information?

5. 式 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ について、 $\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B}$ を満たす $θ$ の値は、どんな情報を与えるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, determine which conic section is represented based on the given equation.

次の各問について、与えられた式からどの円錐曲線が表されるかを決めよ。

6. $9 x^{2} + 4 y^{2} + 72 x + 36 y - 500 = 0$

7. $x^{2} - 10 x + 4 y - 10 = 0$

8. $2 x^{2} - 2 y^{2} + 4 x - 6 y - 2 = 0$

9. $4 x^{2} - y^{2} + 8 x - 1 = 0$

10. $4 y^{2} - 5 x + 9 y + 1 = 0$

11. $2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x - 12 y + 2 = 0$

12. $4 x^{2} + 9 x y + 4 y^{2} - 36 y - 125 = 0$

13. $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 36 y - 125 = 0$

14. $- 3 x^{2} + 3 \sqrt{3} x y - 4 y^{2} + 9 = 0$

15. $2 x^{2} + 4 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 6 x - 3 = 0$

16. $- x^{2} + 4 \sqrt{2} x y + 2 y^{2} - 2 y + 1 = 0$

17. $8 x^{2} + 4 \sqrt{2} x y + 4 y^{2} - 10 x + 1 = 0$

For the following exercises, find a new representation of the given equation after rotating through the given angle.

次の各問について、与えられた角だけ回したあとの、与えられた式の新しい表しかたを求めよ。

18. $3 x^{2} + x y + 3 y^{2} - 5 = 0, θ = 45°$

19. $4 x^{2} - x y + 4 y^{2} - 2 = 0, θ = 45°$

20. $2 x^{2} + 8 x y - 1 = 0, θ = 30°$

21. $- 2 x^{2} + 8 x y + 1 = 0, θ = 45°$

22. $4 x^{2} + \sqrt{2} x y + 4 y^{2} + y + 2 = 0, θ = 45°$

For the following exercises, determine the angle $θ$ that will eliminate the $x y$ term and write the corresponding equation without the $x y$ term.

次の各問について、 $x y$ の項を消す角 $θ$ を決め、 $x y$ の項の無い対応する式を書け。

23. $x^{2} + 3 \sqrt{3} x y + 4 y^{2} + y - 2 = 0$

24. $4 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} + y - 2 = 0$

25. $9 x^{2} - 3 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} + 4 y - 3 = 0$

26. $−3 x^{2} - \sqrt{3} x y - 2 y^{2} - x = 0$

27. $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 6 x - 6 y + 2 = 0$

28. $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} + 3 x - 2 = 0$

29. $x^{2} + 4 x y + y^{2} - 2 x + 1 = 0$

30. $4 x^{2} - 2 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, rotate through the given angle based on the given equation. Give the new equation and graph the original and rotated equation.

次の各問について、与えられた式を与えられた角だけ回せ。新しい式を示し、元の式と回した式のグラフを描け。

31. $y = - x^{2}, θ = - 45^{\circ}$

32. $x = y^{2}, θ = 45^{\circ}$

33. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1, θ = 45^{\circ}$

34. $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{9} = 1, θ = 45^{\circ}$

35. $y^{2} - x^{2} = 1, θ = 45^{\circ}$

36. $y = \frac{x^{2}}{2}, θ = 30^{\circ}$

37. $x = {(y - 1)}^{2}, θ = 30^{\circ}$

38. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1, θ = 30^{\circ}$

For the following exercises, graph the equation relative to the $x^{'} y^{'}$ system in which the equation has no $x^{'} y^{'}$ term.

次の各問について、 $x^{'} y^{'}$ の項が無くなる $x^{'} y^{'}$ の系に対して、式のグラフを描け。

39. $x y = 9$

40. $x^{2} + 10 x y + y^{2} - 6 = 0$

41. $x^{2} - 10 x y + y^{2} - 24 = 0$

42. $4 x^{2} - 3 \sqrt{3} x y + y^{2} - 22 = 0$

43. $6 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 4 y^{2} - 21 = 0$

44. $11 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + y^{2} - 64 = 0$

45. $21 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 19 y^{2} - 18 = 0$

46. $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 130 x + 90 y = 0$

47. $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 60 x + 80 y = 0$

48. $13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} - 16 = 0$

49. $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 8 \sqrt{5} x - 16 \sqrt{5} y = 0$

For the following exercises, determine the angle of rotation in order to eliminate the $x y$ term. Then graph the new set of axes.

次の各問について、 $x y$ の項を消すための回転角を決めよ。そして新しい座標軸の組を描け。

50. $6 x^{2} - 5 \sqrt{3} x y + y^{2} + 10 x - 12 y = 0$

51. $6 x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} + 20 x - y = 0$

52. $6 x^{2} - 8 \sqrt{3} x y + 14 y^{2} + 10 x - 3 y = 0$

53. $4 x^{2} + 6 \sqrt{3} x y + 10 y^{2} + 20 x - 40 y = 0$

54. $8 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 2 x - 4 = 0$

55. $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 20 x - 44 y = 0$

For the following exercises, determine the value of $k$ based on the given equation.

次の各問について、与えられた式から $k$ の値を決めよ。

56. Given $4 x^{2} + k x y + 16 y^{2} + 8 x + 24 y - 48 = 0,$ find $k$ for the graph to be a parabola.

56. $4 x^{2} + k x y + 16 y^{2} + 8 x + 24 y - 48 = 0$ が与えられたとき、グラフが放物線になる $k$ を求めよ。

57. Given $2 x^{2} + k x y + 12 y^{2} + 10 x - 16 y + 28 = 0,$ find $k$ for the graph to be an ellipse.

57. $2 x^{2} + k x y + 12 y^{2} + 10 x - 16 y + 28 = 0$ が与えられたとき、グラフが楕円になる $k$ を求めよ。

58. Given $3 x^{2} + k x y + 4 y^{2} - 6 x + 20 y + 128 = 0,$ find $k$ for the graph to be a hyperbola.

58. $3 x^{2} + k x y + 4 y^{2} - 6 x + 20 y + 128 = 0$ が与えられたとき、グラフが双曲線になる $k$ を求めよ。

59. Given $k x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - 12 x + 16 y + 18 = 0,$ find $k$ for the graph to be a parabola.

59. $k x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - 12 x + 16 y + 18 = 0$ が与えられたとき、グラフが放物線になる $k$ を求めよ。

60. Given $6 x^{2} + 12 x y + k y^{2} + 16 x + 10 y + 4 = 0,$ find $k$ for the graph to be an ellipse.

60. $6 x^{2} + 12 x y + k y^{2} + 16 x + 10 y + 4 = 0$ が与えられたとき、グラフが楕円になる $k$ を求めよ。