第12章解析幾何Analytic Geometry

Graphing Hyperbolas Not Centered at the Origin原点を中心としない双曲線のグラフを描く

Graphing hyperbolas centered at a point $(h, k)$ other than the origin is similar to graphing ellipses centered at a point other than the origin. We use the standard forms $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ for horizontal hyperbolas, and $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ for vertical hyperbolas. From these standard form equations we can easily calculate and plot key features of the graph: the coordinates of its center, vertices, co-vertices, and foci; the equations of its asymptotes; and the positions of the transverse and conjugate axes.

原点以外の点 $(h, k)$ を中心とする双曲線のグラフを描くのは、原点以外の点を中心とする楕円のグラフを描くのと似ている。横向きの双曲線には標準の形 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 、縦向きの双曲線には $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ を使う。この標準の形の式から、グラフの要となる特徴、すなわち中心・頂点・余頂点・焦点の座標、漸近線の式、主軸と共役軸の位置が容易に計算して打てる。

How To 手順

Given a general form for a hyperbola centered at $(h, k),$ sketch the graph.

$(h, k)$ を中心とする双曲線の一般の形が与えられたとき、グラフの概形を描く。

1. Convert the general form to that standard form. Determine which of the standard forms applies to the given equation.2. Use the standard form identified in Step 1 to determine the position of the transverse axis; coordinates for the center, vertices, co-vertices, foci; and equations for the asymptotes. If the equation is in the form $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ then the transverse axis is parallel to the x-axis the center is $(h, k)$ the coordinates of the vertices are $(h \pm a, k)$ the coordinates of the co-vertices are $(h, k \pm b)$ the coordinates of the foci are $(h \pm c, k)$ the equations of the asymptotes are $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k$ If the equation is in the form $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ then the transverse axis is parallel to the y-axis the center is $(h, k)$ the coordinates of the vertices are $(h, k \pm a)$ the coordinates of the co-vertices are $(h \pm b, k)$ the coordinates of the foci are $(h, k \pm c)$ the equations of the asymptotes are $y = \pm \frac{a}{b} (x - h) + k$ 3. Solve for the coordinates of the foci using the equation $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ 4. Plot the center, vertices, co-vertices, foci, and asymptotes in the coordinate plane and draw a smooth curve to form the hyperbola.

1. 一般の形をその標準の形に直す。与えられた式にどちらの標準の形が当てはまるかを決める。2. 第1歩で見分けた標準の形を使って、主軸の位置、中心・頂点・余頂点・焦点の座標、漸近線の式を決める。式が $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ の形なら、主軸は x軸に平行、中心は $(h, k)$ 、頂点の座標は $(h \pm a, k)$ 、余頂点の座標は $(h, k \pm b)$ 、焦点の座標は $(h \pm c, k)$ 、漸近線の式は $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k$ である。式が $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ の形なら、主軸は y軸に平行、中心は $(h, k)$ 、頂点の座標は $(h, k \pm a)$ 、余頂点の座標は $(h \pm b, k)$ 、焦点の座標は $(h, k \pm c)$ 、漸近線の式は $y = \pm \frac{a}{b} (x - h) + k$ である。3. 式 $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を使って焦点の座標について解く。4. 中心、頂点、余頂点、焦点、漸近線を座標平面に打ち、なめらかな曲線を描いて双曲線を作る。

Example 5例5

Graphing a Hyperbola Centered at (h, k) Given an Equation in General Form式が一般の形で与えられたときに (h, k) を中心とする双曲線のグラフを描く

Graph the hyperbola given by the equation $9 x^{2} - 4 y^{2} - 36 x - 40 y - 388 = 0.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, foci, and asymptotes.

式 $9 x^{2} - 4 y^{2} - 36 x - 40 y - 388 = 0.$ で与えられる双曲線のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点、漸近線を見分けて印を付けよ。

Solution 解答

Start by expressing the equation in standard form. Group terms that contain the same variable, and move the constant to the opposite side of the equation.

まず式を標準の形で表すことから始める。同じ変数を含む項をまとめ、定数を式の反対側へ移す。

(9 x^{2} - 36 x) - (4 y^{2} + 40 y) = 388

Factor the leading coefficient of each expression.

各式の先頭の係数を因数としてくくり出す。

9 (x^{2} - 4 x) - 4 (y^{2} + 10 y) = 388

Complete the square twice. Remember to balance the equation by adding the same constants to each side.

二度平方完成する。両辺に同じ定数を足して式のつり合いを保つのを忘れるな。

9 (x^{2} - 4 x + 4) - 4 (y^{2} + 10 y + 25) = 388 + 36 - 100

Rewrite as perfect squares.

完全平方として書き直す。

9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 5)}^{2} = 324

Divide both sides by the constant term to place the equation in standard form.

式を標準の形に置くため、両辺を定数の項で割る。

\frac{{(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{81} = 1

The standard form that applies to the given equation is $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ where $a^{2} = 36$ and $b^{2} = 81,$ or $a = 6$ and $b = 9.$ Thus, the transverse axis is parallel to the x-axis. It follows that:

与えられた式に当てはまる標準の形は $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ である。ここで $a^{2} = 36$ かつ $b^{2} = 81$ 、すなわち $a = 6$ かつ $b = 9.$ である。よって主軸は x軸に平行である。したがって次が分かる。

• the center of the ellipse is $(h, k) = (2, −5)$ • the coordinates of the vertices are $(h \pm a, k) = (2 \pm 6, −5),$ or $(- 4, −5)$ and $(8, −5)$ • the coordinates of the co-vertices are $(h, k \pm b) = (2, - 5 \pm 9),$ or $(2, - 14)$ and $(2, 4)$ • the coordinates of the foci are $(h \pm c, k),$ where $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Solving for $c,$ we have

・この楕円の中心は $(h, k) = (2, −5)$ ・頂点の座標は $(h \pm a, k) = (2 \pm 6, −5)$ 、すなわち $(- 4, −5)$ と $(8, −5)$ ・余頂点の座標は $(h, k \pm b) = (2, - 5 \pm 9)$ 、すなわち $(2, - 14)$ と $(2, 4)$ ・焦点の座標は $(h \pm c, k)$ である。ここで $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 。 $c$ について解くと、次を得る。

c = \pm \sqrt{36 + 81} = \pm \sqrt{117} = \pm 3 \sqrt{13}

Therefore, the coordinates of the foci are $(2 - 3 \sqrt{13}, −5)$ and $(2 + 3 \sqrt{13}, −5) .$

したがって、焦点の座標は $(2 - 3 \sqrt{13}, −5)$ と $(2 + 3 \sqrt{13}, −5)$ である。

The equations of the asymptotes are $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k = \pm \frac{3}{2} (x - 2) - 5.$

漸近線の式は $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k = \pm \frac{3}{2} (x - 2) - 5.$ である。

Next, we plot and label the center, vertices, co-vertices, foci, and asymptotes and draw smooth curves to form the hyperbola, as shown in Figure 9.

次に、中心、頂点、余頂点、焦点、漸近線を打って印を付け、図9に示すとおりなめらかな曲線を描いて双曲線を作る。

A horizontal hyperbola centered at (2, negative 5) with Vertices at (negative 4, negative 5) and (8, 5) and Foci at (2 minus 3 square root of 13, negative 5) and (2 + 3 square root of 13, negative 5). Also shown are the slant asymptotes, y = (3/2) times (x minus 2) minus 5 and y = (negative 3/2)times (x minus 2) minus 5. The points (2, negative 14), (2, 4) and (0, 0) are labeled.

Try It #5やってみよう5

Graph the hyperbola given by the standard form of an equation $\frac{{(y + 4)}^{2}}{100} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, foci, and asymptotes.

式の標準の形 $\frac{{(y + 4)}^{2}}{100} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1.$ で与えられる双曲線のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点、漸近線を見分けて印を付けよ。