第12章解析幾何Analytic Geometry

Writing Equations of Hyperbolas in Standard Form双曲線の式を標準の形で書く

Just as with ellipses, writing the equation for a hyperbola in standard form allows us to calculate the key features: its center, vertices, co-vertices, foci, asymptotes, and the lengths and positions of the transverse and conjugate axes. Conversely, an equation for a hyperbola can be found given its key features. We begin by finding standard equations for hyperbolas centered at the origin. Then we will turn our attention to finding standard equations for hyperbolas centered at some point other than the origin.

楕円と同じく、双曲線の式を標準の形で書けば、要となる特徴、すなわち中心、頂点、余頂点、焦点、漸近線、主軸と共役軸の長さと位置が計算できる。逆に、要となる特徴が与えられれば双曲線の式が求められる。まず原点を中心とする双曲線の標準の式を求める。そして原点以外の点を中心とする双曲線の標準の式を求めることに目を向ける。

Hyperbolas Centered at the Origin原点を中心とする双曲線

Reviewing the standard forms given for hyperbolas centered at $(0, 0),$ we see that the vertices, co-vertices, and foci are related by the equation $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Note that this equation can also be rewritten as $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ This relationship is used to write the equation for a hyperbola when given the coordinates of its foci and vertices.

$(0, 0)$ を中心とする双曲線について示した標準の形を見直すと、頂点、余頂点、焦点が式 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ で結ばれていることが分かる。この式は $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ とも書き直せることに注意せよ。この関係は、双曲線の焦点と頂点の座標が与えられたときにその式を書くのに使う。

How To 手順

Given the vertices and foci of a hyperbola centered at $(0, 0),$ write its equation in standard form.

$(0, 0)$ を中心とする双曲線の頂点と焦点が与えられたとき、その式を標準の形で書く。

1. Determine whether the transverse axis lies on the x- or y-axis. If the given coordinates of the vertices and foci have the form $(\pm a, 0)$ and $(\pm c, 0),$ respectively, then the transverse axis is the x-axis. Use the standard form $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ If the given coordinates of the vertices and foci have the form $(0, \pm a)$ and $(0, \pm c),$ respectively, then the transverse axis is the y-axis. Use the standard form $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1.$ 2. Find $b^{2}$ using the equation $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ 3. Substitute the values for $a^{2}$ and $b^{2}$ into the standard form of the equation determined in Step 1.

1. 主軸が x軸上にあるか y軸上にあるかを決める。与えられた頂点と焦点の座標がそれぞれ $(\pm a, 0)$ と $(\pm c, 0)$ の形なら、主軸は x軸である。標準の形 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ を使う。与えられた頂点と焦点の座標がそれぞれ $(0, \pm a)$ と $(0, \pm c)$ の形なら、主軸は y軸である。標準の形 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1.$ を使う。2. 式 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ を使って $b^{2}$ を求める。3. 第1歩で決めた式の標準の形に、 $a^{2}$ と $b^{2}$ の値を代入する。

Example 2例2

Finding the Equation of a Hyperbola Centered at (0,0) Given its Foci and Vertices焦点と頂点が与えられたときに (0,0) を中心とする双曲線の式を求める

What is the standard form equation of the hyperbola that has vertices $(\pm 6, 0)$ and foci $(\pm 2 \sqrt{10}, 0) ?$

頂点 $(\pm 6, 0)$ 、焦点 $(\pm 2 \sqrt{10}, 0) ?$ を持つ双曲線の式の標準の形はどれか。

Solution 解答

The vertices and foci are on the x-axis. Thus, the equation for the hyperbola will have the form $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$

頂点と焦点が x軸上にある。よってこの双曲線の式は $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ の形になる。

The vertices are $(\pm 6, 0),$ so $a = 6$ and $a^{2} = 36.$

頂点は $(\pm 6, 0)$ なので、 $a = 6$ かつ $a^{2} = 36.$ である。

The foci are $(\pm 2 \sqrt{10}, 0),$ so $c = 2 \sqrt{10}$ and $c^{2} = 40.$

焦点は $(\pm 2 \sqrt{10}, 0)$ なので、 $c = 2 \sqrt{10}$ かつ $c^{2} = 40.$ である。

Solving for $b^{2},$ we have

$b^{2}$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} b^{2} = c^{2} - a^{2} \\ b^{2} = 40 - 36 & \begin{matrix}  \end{matrix} Substitute for c^{2} and a^{2} . \\ b^{2} = 4 & \begin{matrix}  \end{matrix} Subtract . \end{array}

Finally, we substitute $a^{2} = 36$ and $b^{2} = 4$ into the standard form of the equation, $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ The equation of the hyperbola is $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{4} = 1,$ as shown in Figure 6.

最後に、 $a^{2} = 36$ と $b^{2} = 4$ を式の標準の形 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ に代入する。図6に示すとおり、この双曲線の式は $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ である。

A horizontal hyperbola centered at (0, 0) in the x y coordinate system with Vertices at (negative 6, 0) and (6, 0).

Try It #2やってみよう2

What is the standard form equation of the hyperbola that has vertices $(0, \pm 2)$ and foci $(0, \pm 2 \sqrt{5}) ?$

頂点 $(0, \pm 2)$ 、焦点 $(0, \pm 2 \sqrt{5}) ?$ を持つ双曲線の式の標準の形はどれか。

Hyperbolas Not Centered at the Origin原点を中心としない双曲線

Like the graphs for other equations, the graph of a hyperbola can be translated. If a hyperbola is translated $h$ units horizontally and $k$ units vertically, the center of the hyperbola will be $(h, k) .$ This translation results in the standard form of the equation we saw previously, with $x$ replaced by $(x - h)$ and $y$ replaced by $(y - k) .$

ほかの式のグラフと同じく、双曲線のグラフも平行移動できる。双曲線を水平に $h$ 、鉛直に $k$ だけ移すと、双曲線の中心は $(h, k)$ になる。この平行移動により、先に見た式の標準の形で $x$ が $(x - h)$ に、 $y$ が $(y - k)$ に置き換わったものが得られる。

Standard Forms of the Equation of a Hyperbola with Center ( 双曲線の方程式の標準形（中心：

Standard Forms of the Equation of a Hyperbola with Center (h, k)中心 (h, k) の双曲線の式の標準の形

The standard form of the equation of a hyperbola with center $(h, k)$ and transverse axis parallel to the x-axis is

中心 $(h, k)$ 、主軸が x軸に平行な双曲線の式の標準の形は次である。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

where

ここで

• the length of the transverse axis is $2 a$ • the coordinates of the vertices are $(h \pm a, k)$ • the length of the conjugate axis is $2 b$ • the coordinates of the co-vertices are $(h, k \pm b)$ • the distance between the foci is $2 c,$ where $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ • the coordinates of the foci are $(h \pm c, k)$

・主軸の長さは $2 a$ ・頂点の座標は $(h \pm a, k)$ ・共役軸の長さは $2 b$ ・余頂点の座標は $(h, k \pm b)$ ・焦点どうしの距離は $2 c$ 。ここで $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ・焦点の座標は $(h \pm c, k)$

The asymptotes of the hyperbola coincide with the diagonals of the central rectangle. The length of the rectangle is $2 a$ and its width is $2 b .$ The slopes of the diagonals are $\pm \frac{b}{a},$ and each diagonal passes through the center $(h, k) .$ Using the point-slope formula, it is simple to show that the equations of the asymptotes are $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k .$ See Figure 7a

双曲線の漸近線は、中心の長方形の対角線と重なる。この長方形の長さは $2 a$ 、幅は $2 b$ である。対角線の傾きは $\pm \frac{b}{a}$ であり、どちらの対角線も中心 $(h, k)$ を通る。点と傾きの公式を使えば、漸近線の式が $y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k$ であることは簡単に示せる。図7aを見よ

The standard form of the equation of a hyperbola with center $(h, k)$ and transverse axis parallel to the y-axis is

中心 $(h, k)$ 、主軸が y軸に平行な双曲線の式の標準の形は次である。

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

where

ここで

• the length of the transverse axis is $2 a$ • the coordinates of the vertices are $(h, k \pm a)$ • the length of the conjugate axis is $2 b$ • the coordinates of the co-vertices are $(h \pm b, k)$ • the distance between the foci is $2 c,$ where $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ • the coordinates of the foci are $(h, k \pm c)$

・主軸の長さは $2 a$ ・頂点の座標は $(h, k \pm a)$ ・共役軸の長さは $2 b$ ・余頂点の座標は $(h \pm b, k)$ ・焦点どうしの距離は $2 c$ 。ここで $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ・焦点の座標は $(h, k \pm c)$

Using the reasoning above, the equations of the asymptotes are $y = \pm \frac{a}{b} (x - h) + k .$ See Figure 7b.

上と同じ考えを使うと、漸近線の式は $y = \pm \frac{a}{b} (x - h) + k$ である。図7bを見よ。

This is a horizontal parabola opening to the right with Vertex (0, 0), Focus (6, 0), and Directrix x = negative 6. The Latus Rectum is shown, a vertical line passing through the Focus and terminating on the parabola at (6, 12) and (6, negative 12). — Figure 7 (a) Horizontal hyperbola with center $(h, k)$ (b) Vertical hyperbola with center $(h, k)$ 図7 (a) 中心 $(h, k)$ の横向きの双曲線 (b) 中心 $(h, k)$ の縦向きの双曲線

Like hyperbolas centered at the origin, hyperbolas centered at a point $(h, k)$ have vertices, co-vertices, and foci that are related by the equation $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$ We can use this relationship along with the midpoint and distance formulas to find the standard equation of a hyperbola when the vertices and foci are given.

原点を中心とする双曲線と同じく、点 $(h, k)$ を中心とする双曲線でも、頂点、余頂点、焦点は式 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ で結ばれている。頂点と焦点が与えられたとき、この関係を中点の公式や距離の公式とともに使えば、その双曲線の標準の式が求められる。

How To 手順

Given the vertices and foci of a hyperbola centered at $(h, k),$ write its equation in standard form.

$(h, k)$ を中心とする双曲線の頂点と焦点が与えられたとき、その式を標準の形で書く。

1. Determine whether the transverse axis is parallel to the x- or y-axis. If the y-coordinates of the given vertices and foci are the same, then the transverse axis is parallel to the x-axis. Use the standard form $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1.$ If the x-coordinates of the given vertices and foci are the same, then the transverse axis is parallel to the y-axis. Use the standard form $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1.$ 2. Identify the center of the hyperbola, $(h, k),$ using the midpoint formula and the given coordinates for the vertices.3. Find $a^{2}$ by solving for the length of the transverse axis, $2 a$ , which is the distance between the given vertices.4. Find $c^{2}$ using $h$ and $k$ found in Step 2 along with the given coordinates for the foci.5. Solve for $b^{2}$ using the equation $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ 6. Substitute the values for $h, k, a^{2},$ and $b^{2}$ into the standard form of the equation determined in Step 1.

1. 主軸が x軸に平行か y軸に平行かを決める。与えられた頂点と焦点の y座標が同じなら、主軸は x軸に平行である。標準の形 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1.$ を使う。与えられた頂点と焦点の x座標が同じなら、主軸は y軸に平行である。標準の形 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1.$ を使う。2. 中点の公式と与えられた頂点の座標を使って、双曲線の中心 $(h, k)$ を見分ける。3. 与えられた頂点どうしの距離である主軸の長さ $2 a$ について解いて $a^{2}$ を求める。4. 第2歩で求めた $h$ と $k$ 、および与えられた焦点の座標を使って $c^{2}$ を求める。5. 式 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ を使って $b^{2}$ について解く。6. 第1歩で決めた式の標準の形に、 $h, k, a^{2}$ と $b^{2}$ の値を代入する。

Example 3例3

Finding the Equation of a Hyperbola Centered at (h, k) Given its Foci and Vertices焦点と頂点が与えられたときに (h, k) を中心とする双曲線の式を求める

What is the standard form equation of the hyperbola that has vertices at $(0, −2)$ and $(6, −2)$ and foci at $(−2, −2)$ and $(8, −2) ?$

頂点 $(0, −2)$ と $(6, −2)$ 、焦点 $(−2, −2)$ と $(8, −2) ?$ を持つ双曲線の式の標準の形はどれか。

Solution 解答

The y-coordinates of the vertices and foci are the same, so the transverse axis is parallel to the x-axis. Thus, the equation of the hyperbola will have the form

頂点と焦点の y座標が同じなので、主軸は x軸に平行である。よってこの双曲線の式は次の形になる。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

First, we identify the center, $(h, k) .$ The center is halfway between the vertices $(0, −2)$ and $(6, −2) .$ Applying the midpoint formula, we have

まず、中心 $(h, k)$ を見分ける。中心は頂点 $(0, −2)$ と $(6, −2)$ のちょうど中間にある。中点の公式を使うと、次を得る。

(h, k) = (\frac{0 + 6}{2}, \frac{−2 + (−2)}{2}) = (3, −2)

Next, we find $a^{2} .$ The length of the transverse axis, $2 a,$ is bounded by the vertices. So, we can find $a^{2}$ by finding the distance between the x-coordinates of the vertices.

次に $a^{2}$ を求める。主軸の長さ $2 a$ は頂点で区切られる。よって、頂点の x座標どうしの距離を求めれば $a^{2}$ が求まる。

\begin{array}{l} 2 a = | 0 - 6 | \\ 2 a = 6 \\ a = 3 \\ a^{2} = 9 \end{array}

Now we need to find $c^{2} .$ The coordinates of the foci are $(h \pm c, k) .$ So $(h - c, k) = (- 2, −2)$ and $(h + c, k) = (8, −2) .$ We can use the x-coordinate from either of these points to solve for $c .$ Using the point $(8, −2),$ and substituting $h = 3,$

では $c^{2}$ を求める必要がある。焦点の座標は $(h \pm c, k)$ である。よって $(h - c, k) = (- 2, −2)$ かつ $(h + c, k) = (8, −2)$ である。この点のどちらかの x座標を使って $c$ について解ける。点 $(8, −2)$ を使い、 $h = 3$ を代入する。

\begin{array}{l} h + c = 8 \\ 3 + c = 8 \\ c = 5 \\ c^{2} = 25 \end{array}

Next, solve for $b^{2}$ using the equation $b^{2} = c^{2} - a^{2} :$

次に、式 $b^{2} = c^{2} - a^{2} :$ を使って $b^{2}$ について解く。

\begin{array}{l} b^{2} = c^{2} - a^{2} \\ = 25 - 9 \\ = 16 \end{array}

Finally, substitute the values found for $h, k, a^{2},$ and $b^{2}$ into the standard form of the equation.

最後に、求まった $h, k, a^{2}$ と $b^{2}$ の値を式の標準の形に代入する。

\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1

Try It #3やってみよう3

What is the standard form equation of the hyperbola that has vertices $(1, −2)$ and $(1, 8)$ and foci $(1, −10)$ and $(1, 16) ?$

頂点 $(1, −2)$ と $(1, 8)$ 、焦点 $(1, −10)$ と $(1, 16) ?$ を持つ双曲線の式の標準の形はどれか。