第12章解析幾何Analytic Geometry

Graphing Ellipses Not Centered at the Origin原点を中心としない楕円のグラフを描く

When an ellipse is not centered at the origin, we can still use the standard forms to find the key features of the graph. When the ellipse is centered at some point, $(h, k),$ we use the standard forms $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1, a > b$ for horizontal ellipses and $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1, a > b$ for vertical ellipses. From these standard equations, we can easily determine the center, vertices, co-vertices, foci, and positions of the major and minor axes.

楕円が原点を中心としないときも、標準の形を使ってグラフの要となる特徴が求められる。楕円がある点 $(h, k)$ を中心とするときは、横向きの楕円には標準の形 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1, a > b$ 、縦向きの楕円には $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1, a > b$ を使う。この標準の式から、中心、頂点、余頂点、焦点、長軸と短軸の位置が容易に決められる。

How To 手順

Given the standard form of an equation for an ellipse centered at $(h, k),$ sketch the graph.

$(h, k)$ を中心とする楕円の式の標準の形が与えられたとき、グラフの概形を描く。

1. Use the standard forms of the equations of an ellipse to determine the center, position of the major axis, vertices, co-vertices, and foci. If the equation is in the form $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ where $a > b,$ then the center is $(h, k)$ the major axis is parallel to the x-axis the coordinates of the vertices are $(h \pm a, k)$ the coordinates of the co-vertices are $(h, k \pm b)$ the coordinates of the foci are $(h \pm c, k)$ If the equation is in the form $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ where $a > b,$ then the center is $(h, k)$ the major axis is parallel to the y-axis the coordinates of the vertices are $(h, k \pm a)$ the coordinates of the co-vertices are $(h \pm b, k)$ the coordinates of the foci are $(h, k \pm c)$ 2. Solve for $c$ using the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ 3. Plot the center, vertices, co-vertices, and foci in the coordinate plane, and draw a smooth curve to form the ellipse.

1. 楕円の式の標準の形を使って、中心、長軸の位置、頂点、余頂点、焦点を決める。式が $a > b$ を満たす $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ の形なら、中心は $(h, k)$ 、長軸は x軸に平行、頂点の座標は $(h \pm a, k)$ 、余頂点の座標は $(h, k \pm b)$ 、焦点の座標は $(h \pm c, k)$ である。式が $a > b$ を満たす $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$ の形なら、中心は $(h, k)$ 、長軸は y軸に平行、頂点の座標は $(h, k \pm a)$ 、余頂点の座標は $(h \pm b, k)$ 、焦点の座標は $(h, k \pm c)$ である。2. 式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ を使って $c$ について解く。3. 中心、頂点、余頂点、焦点を座標平面に打ち、なめらかな曲線を描いて楕円を作る。

Example 5例5

Graphing an Ellipse Centered at (h, k)(h, k) を中心とする楕円のグラフを描く

Graph the ellipse given by the equation, $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{9} = 1.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{9} = 1.$ で与えられる楕円のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。

Solution 解答

First, we determine the position of the major axis. Because $9 > 4,$ the major axis is parallel to the y-axis. Therefore, the equation is in the form $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ where $b^{2} = 4$ and $a^{2} = 9.$ It follows that:

まず、長軸の位置を決める。 $9 > 4$ なので、長軸は y軸に平行である。したがってこの式は $b^{2} = 4$ かつ $a^{2} = 9.$ である $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$ の形である。よって次が分かる。

• the center of the ellipse is $(h, k) = (−2, 5)$ • the coordinates of the vertices are $(h, k \pm a) = (- 2, 5 \pm \sqrt{9}) = (- 2, 5 \pm 3),$ or $(−2, 2)$ and $(−2, 8)$ • the coordinates of the co-vertices are $(h \pm b, k) = (- 2 \pm \sqrt{4}, 5) = (- 2 \pm 2, 5),$ or $(−4, 5)$ and $(0, 5)$ • the coordinates of the foci are $(h, k \pm c),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Solving for $c,$ we have:

・この楕円の中心は $(h, k) = (−2, 5)$ ・頂点の座標は $(h, k \pm a) = (- 2, 5 \pm \sqrt{9}) = (- 2, 5 \pm 3)$ 、すなわち $(−2, 2)$ と $(−2, 8)$ ・余頂点の座標は $(h \pm b, k) = (- 2 \pm \sqrt{4}, 5) = (- 2 \pm 2, 5)$ 、すなわち $(−4, 5)$ と $(0, 5)$ ・焦点の座標は $(h, k \pm c)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。 $c$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{9 - 4} \\ = \pm \sqrt{5} \end{array}

Therefore, the coordinates of the foci are $(−2, 5 - \sqrt{5})$ and $(−2, 5+ \sqrt{5}) .$

したがって、焦点の座標は $(−2, 5 - \sqrt{5})$ と $(−2, 5+ \sqrt{5})$ である。

Next, we plot and label the center, vertices, co-vertices, and foci, and draw a smooth curve to form the ellipse.

次に、中心、頂点、余頂点、焦点を打って印を付け、なめらかな曲線を描いて楕円を作る。

A vertical ellipse centered at (negative 2, 5) with vertices at (negative 2, 2) and (negative 2, 8), co-vertices at (0, 5) and (negative 4, 5), and foci at (negative 2, 5 + square root of 5) and (negative 2, 5 minus square root of 5). The Major and Minor Axes, connecting the Vertices and Co-Vertices respectively, are shown.

Try It #5やってみよう5

Graph the ellipse given by the equation $\frac{{(x - 4)}^{2}}{36} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{20} = 1.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{36} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{20} = 1.$ で与えられる楕円のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。

How To 手順

Given the general form of an equation for an ellipse centered at (h, k), express the equation in standard form.

(h, k) を中心とする楕円の式の一般の形が与えられたとき、その式を標準の形で表す。

1. Recognize that an ellipse described by an equation in the form $a x^{2} + b y^{2} + c x + d y + e = 0$ is in general form.2. Rearrange the equation by grouping terms that contain the same variable. Move the constant term to the opposite side of the equation.3. Factor out the coefficients of the $x^{2}$ and $y^{2}$ terms in preparation for completing the square.4. Complete the square for each variable to rewrite the equation in the form of the sum of multiples of two binomials squared set equal to a constant, $m_{1} {(x - h)}^{2} + m_{2} {(y - k)}^{2} = m_{3},$ where $m_{1}, m_{2},$ and $m_{3}$ are constants.5. Divide both sides of the equation by the constant term to express the equation in standard form.

1. $a x^{2} + b y^{2} + c x + d y + e = 0$ の形の式で述べられる楕円は一般の形であると見て取る。2. 同じ変数を含む項をまとめて式を組み替える。定数の項は式の反対側へ移す。3. 平方完成の備えとして、 $x^{2}$ と $y^{2}$ の項の係数をくくり出す。4. 各変数について平方完成し、二つの二項式の平方の倍数の和が定数に等しい形 $m_{1} {(x - h)}^{2} + m_{2} {(y - k)}^{2} = m_{3}$ に式を書き直す。ここで $m_{1}, m_{2}$ と $m_{3}$ は定数である。5. 式の両辺を定数の項で割り、式を標準の形で表す。

Example 6例6

Graphing an Ellipse Centered at (h, k) by First Writing It in Standard Formまず標準の形に書いてから (h, k) を中心とする楕円のグラフを描く

Graph the ellipse given by the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} - 40 x + 36 y + 100 = 0.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 40 x + 36 y + 100 = 0.$ で与えられる楕円のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。

Solution 解答

We must begin by rewriting the equation in standard form.

まず、この式を標準の形に書き直さねばならない。

4 x^{2} + 9 y^{2} - 40 x + 36 y + 100 = 0

Group terms that contain the same variable, and move the constant to the opposite side of the equation.

同じ変数を含む項をまとめ、定数を式の反対側へ移す。

(4 x^{2} - 40 x) + (9 y^{2} + 36 y) = −100

Factor out the coefficients of the squared terms.

平方の項の係数をくくり出す。

4 (x^{2} - 10 x) + 9 (y^{2} + 4 y) = −100

Complete the square twice. Remember to balance the equation by adding the same constants to each side.

二度平方完成する。両辺に同じ定数を足して式のつり合いを保つのを忘れるな。

4 (x^{2} - 10 x + 25) + 9 (y^{2} + 4 y + 4) = −100 + 100 + 36

Rewrite as perfect squares.

完全平方として書き直す。

4 {(x - 5)}^{2} + 9 {(y + 2)}^{2} = 36

Divide both sides by the constant term to place the equation in standard form.

式を標準の形に置くため、両辺を定数の項で割る。

\frac{{(x - 5)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1

Now that the equation is in standard form, we can determine the position of the major axis. Because $9 > 4,$ the major axis is parallel to the x-axis. Therefore, the equation is in the form $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ where $a^{2} = 9$ and $b^{2} = 4.$ It follows that:

式が標準の形になったので、長軸の位置を決められる。 $9 > 4$ なので、長軸は x軸に平行である。したがってこの式は $a^{2} = 9$ かつ $b^{2} = 4.$ である $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ の形である。よって次が分かる。

• the center of the ellipse is $(h, k) = (5, −2)$ • the coordinates of the vertices are $(h \pm a, k) = (5 \pm \sqrt{9}, −2) = (5 \pm 3, −2),$ or $(2, −2)$ and $(8, −2)$ • the coordinates of the co-vertices are $(h, k \pm b) = (5, −2 \pm \sqrt{4}) = (5, −2 \pm 2),$ or $(5, −4)$ and $(5, 0)$ • the coordinates of the foci are $(h \pm c, k),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Solving for $c,$ we have:

・この楕円の中心は $(h, k) = (5, −2)$ ・頂点の座標は $(h \pm a, k) = (5 \pm \sqrt{9}, −2) = (5 \pm 3, −2)$ 、すなわち $(2, −2)$ と $(8, −2)$ ・余頂点の座標は $(h, k \pm b) = (5, −2 \pm \sqrt{4}) = (5, −2 \pm 2)$ 、すなわち $(5, −4)$ と $(5, 0)$ ・焦点の座標は $(h \pm c, k)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。 $c$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \\ = \pm \sqrt{9 - 4} \\ = \pm \sqrt{5} \end{array}

Therefore, the coordinates of the foci are $(5 - \sqrt{5}, −2)$ and $(5+ \sqrt{5}, −2) .$

したがって、焦点の座標は $(5 - \sqrt{5}, −2)$ と $(5+ \sqrt{5}, −2)$ である。

Next we plot and label the center, vertices, co-vertices, and foci, and draw a smooth curve to form the ellipse as shown in Figure 11.

次に、中心、頂点、余頂点、焦点を打って印を付け、図11に示すとおりなめらかな曲線を描いて楕円を作る。

A horizontal ellipse centered at (5, negative 2) with vertices at (2, negative 2) and (8, negative 2), co-vertices at (5, 0) and (5, negative 4), and foci at (5 + square root of 5, negative 2) and (5 minus square root of 5, negative 2). The Major and Minor Axes, connecting the Vertices and Co-Vertices respectively, are shown.

Try It #6やってみよう6

Express the equation of the ellipse given in standard form. Identify the center, vertices, co-vertices, and foci of the ellipse.

与えられた楕円の式を標準の形で表せ。この楕円の中心、頂点、余頂点、焦点を見分けよ。

4 x^{2} + y^{2} - 24 x + 2 y + 21 = 0