第12章解析幾何Analytic Geometry

Graphing Ellipses Centered at the Origin原点を中心とする楕円のグラフを描く

Just as we can write the equation for an ellipse given its graph, we can graph an ellipse given its equation. To graph ellipses centered at the origin, we use the standard form $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a > b$ for horizontal ellipses and $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, a > b$ for vertical ellipses.

楕円のグラフからその式が書けるのと同じく、楕円の式からそのグラフも描ける。原点を中心とする楕円のグラフを描くには、横向きの楕円には標準の形 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a > b$ 、縦向きの楕円には $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, a > b$ を使う。

How To 手順

Given the standard form of an equation for an ellipse centered at $(0, 0),$ sketch the graph.

$(0, 0)$ を中心とする楕円の式の標準の形が与えられたとき、グラフの概形を描く。

1. Use the standard forms of the equations of an ellipse to determine the major axis, vertices, co-vertices, and foci. If the equation is in the form $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ where $a > b,$ then the major axis is the x-axis the coordinates of the vertices are $(\pm a, 0)$ the coordinates of the co-vertices are $(0, \pm b)$ the coordinates of the foci are $(\pm c, 0)$ If the equation is in the form $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1,$ where $a > b,$ then the major axis is the y-axis the coordinates of the vertices are $(0, \pm a)$ the coordinates of the co-vertices are $(\pm b, 0)$ the coordinates of the foci are $(0, \pm c)$ 2. Solve for $c$ using the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ 3. Plot the center, vertices, co-vertices, and foci in the coordinate plane, and draw a smooth curve to form the ellipse.

1. 楕円の式の標準の形を使って、長軸、頂点、余頂点、焦点を決める。式が $a > b$ を満たす $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ の形なら、長軸は x軸、頂点の座標は $(\pm a, 0)$ 、余頂点の座標は $(0, \pm b)$ 、焦点の座標は $(\pm c, 0)$ である。式が $a > b$ を満たす $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ の形なら、長軸は y軸、頂点の座標は $(0, \pm a)$ 、余頂点の座標は $(\pm b, 0)$ 、焦点の座標は $(0, \pm c)$ である。2. 式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ を使って $c$ について解く。3. 中心、頂点、余頂点、焦点を座標平面に打ち、なめらかな曲線を描いて楕円を作る。

Example 3例3

Graphing an Ellipse Centered at the Origin原点を中心とする楕円のグラフを描く

Graph the ellipse given by the equation, $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$ で与えられる楕円のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。

Solution 解答

First, we determine the position of the major axis. Because $25 > 9,$ the major axis is on the y-axis. Therefore, the equation is in the form $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1,$ where $b^{2} = 9$ and $a^{2} = 25.$ It follows that:

まず、長軸の位置を決める。 $25 > 9$ なので、長軸は y軸上にある。したがってこの式は $b^{2} = 9$ かつ $a^{2} = 25.$ である $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ の形である。よって次が分かる。

• the center of the ellipse is $(0, 0)$ • the coordinates of the vertices are $(0, \pm a) = (0, \pm \sqrt{25}) = (0, \pm 5)$ • the coordinates of the co-vertices are $(\pm b, 0) = (\pm \sqrt{9}, 0) = (\pm 3, 0)$ • the coordinates of the foci are $(0, \pm c),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ Solving for $c,$ we have:

・この楕円の中心は $(0, 0)$ ・頂点の座標は $(0, \pm a) = (0, \pm \sqrt{25}) = (0, \pm 5)$ ・余頂点の座標は $(\pm b, 0) = (\pm \sqrt{9}, 0) = (\pm 3, 0)$ ・焦点の座標は $(0, \pm c)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。 $c$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \\ = \pm \sqrt{25 - 9} \\ = \pm \sqrt{16} \\ = \pm 4 \end{array}

Therefore, the coordinates of the foci are $(0, \pm 4) .$

したがって、焦点の座標は $(0, \pm 4)$ である。

Next, we plot and label the center, vertices, co-vertices, and foci, and draw a smooth curve to form the ellipse. See Figure 8.

次に、中心、頂点、余頂点、焦点を打って印を付け、なめらかな曲線を描いて楕円を作る。図8を見よ。

A vertical ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system, with vertices at (0,5) and (0,negative 5), co-vertices at (3, 0) and (negative 3, 0), and foci at (0, 4) and (0, negative 4).

Try It #3やってみよう3

Graph the ellipse given by the equation $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$ Identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$ で与えられる楕円のグラフを描け。中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。

Example 4例4

Graphing an Ellipse Centered at the Origin from an Equation Not in Standard Form標準の形でない式から、原点を中心とする楕円のグラフを描く

Graph the ellipse given by the equation $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100.$ Rewrite the equation in standard form. Then identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100.$ で与えられる楕円のグラフを描け。この式を標準の形に書き直せ。そして中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。

Solution 解答

First, use algebra to rewrite the equation in standard form.

まず、代数を使ってこの式を標準の形に書き直す。

\begin{array}{l} 4 x^{2} + 25 y^{2} = 100 \\ \frac{4 x^{2}}{100} + \frac{25 y^{2}}{100} = \frac{100}{100} \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{array}

Next, we determine the position of the major axis. Because $25 > 4,$ the major axis is on the x-axis. Therefore, the equation is in the form $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ where $a^{2} = 25$ and $b^{2} = 4.$ It follows that:

次に、長軸の位置を決める。 $25 > 4$ なので、長軸は x軸上にある。したがってこの式は $a^{2} = 25$ かつ $b^{2} = 4.$ である $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ の形である。よって次が分かる。

• the center of the ellipse is $(0, 0)$ • the coordinates of the vertices are $(\pm a, 0) = (\pm \sqrt{25}, 0) = (\pm 5, 0)$ • the coordinates of the co-vertices are $(0, \pm b) = (0, \pm \sqrt{4}) = (0, \pm 2)$ • the coordinates of the foci are $(\pm c, 0),$ where $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Solving for $c,$ we have:

・この楕円の中心は $(0, 0)$ ・頂点の座標は $(\pm a, 0) = (\pm \sqrt{25}, 0) = (\pm 5, 0)$ ・余頂点の座標は $(0, \pm b) = (0, \pm \sqrt{4}) = (0, \pm 2)$ ・焦点の座標は $(\pm c, 0)$ である。ここで $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。 $c$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} c = \pm \sqrt{a^{2} - b^{2}} \\ = \pm \sqrt{25 - 4} \\ = \pm \sqrt{21} \end{array}

Therefore the coordinates of the foci are $(\pm \sqrt{21}, 0) .$

したがって焦点の座標は $(\pm \sqrt{21}, 0)$ である。

Next, we plot and label the center, vertices, co-vertices, and foci, and draw a smooth curve to form the ellipse.

次に、中心、頂点、余頂点、焦点を打って印を付け、なめらかな曲線を描いて楕円を作る。

A horizontal ellipse centered at (0, 0) with vertices at (5, 0) and (negative 5, 0), co-vertices at (0, 2) and (0, negative 2), and foci at (square root of 21, 0) and (negative square root of 21, 0).

Try It #4やってみよう4

Graph the ellipse given by the equation $49 x^{2} + 16 y^{2} = 784.$ Rewrite the equation in standard form. Then identify and label the center, vertices, co-vertices, and foci.

式 $49 x^{2} + 16 y^{2} = 784.$ で与えられる楕円のグラフを描け。この式を標準の形に書き直せ。そして中心、頂点、余頂点、焦点を見分けて印を付けよ。