第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.5 Matrices and Matrix Operations11.5 行列と行列の演算

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Find the sum and difference of two matrices.• Find scalar multiples of a matrix.• Find the product of two matrices.

・二つの行列の和と差を求める。・行列のスカラー倍を求める。・二つの行列の積を求める。

Intense soccer action unfolds as a player in a blue jersey fights for possession, surrounded by opponents in red and white. The ball is at her feet in a pivotal moment of the game. — Figure 1 (credit: “SD Dirk,” Flickr)

Two club soccer teams, the Wildcats and the Mud Cats, are hoping to obtain new equipment for an upcoming season. Table 1 shows the needs of both teams.

二つのクラブのサッカー隊、ワイルドキャッツとマッドキャッツが、次の季に向けて新しい用具を手に入れたいと思っている。表1に両隊の必要数を示す。

	Wildcatsワイルドキャッツ	Mud Catsマッドキャッツ
Goalsゴール	6	10
Ballsボール	30	24
Jerseysユニフォーム	14	20

A goal costs $300; a ball costs $10; and a jersey costs $30. How can we find the total cost for the equipment needed for each team? In this section, we discover a method in which the data in the soccer equipment table can be displayed and used for calculating other information. Then, we will be able to calculate the cost of the equipment.

ゴールは1台300ドル、ボールは1個10ドル、ユニフォームは1着30ドルである。各隊に必要な用具の総費用はどう求めればよいか。この節では、サッカーの用具の表の資料を並べて示し、ほかの情報を計算するのに使う方法を見つける。そうすれば用具の費用が計算できる。

Finding the Sum and Difference of Two Matrices二つの行列の和と差を求める

To solve a problem like the one described for the soccer teams, we can use a matrix, which is a rectangular array of numbers. A row in a matrix is a set of numbers that are aligned horizontally. A column in a matrix is a set of numbers that are aligned vertically. Each number is an entry, sometimes called an element, of the matrix. Matrices (plural) are enclosed in [ ] or ( ), and are usually named with capital letters. For example, three matrices named $A, B,$ and $C$ are shown below.

サッカー隊について述べたような問題を解くには、数の長方形の並びである行列が使える。行列の行とは、横に並んだ数の組である。行列の列とは、縦に並んだ数の組である。各数はその行列の成分で、要素ともいう。行列(複数)は [ ] か ( ) で囲み、ふつう大文字で名を付ける。たとえば、 $A, B$ と $C$ という名の三つの行列を下に示す。

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & −5 & 6 \\ 7 & 8 & 2 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} −1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}]

Describing Matrices行列を述べる

A matrix is often referred to by its size or dimensions: $m \times n$ indicating $m$ rows and $n$ columns. Matrix entries are defined first by row and then by column. For example, to locate the entry in matrix $A$ identified as $a_{i j},$ we look for the entry in row $i,$ column $j .$ In matrix $A,$ shown below, the entry in row 2, column 3 is $a_{23} .$

行列はしばしば、その大きさすなわち型で呼ばれる。 $m \times n$ は $m$ 行 $n$ 列を示す。行列の成分は、まず行、次に列で定める。たとえば、行列 $A$ の $a_{i j}$ と呼ばれる成分の場所を知るには、 $i$ 行 $j$ 列の成分を見る。下に示す行列 $A$ では、2行3列の成分は $a_{23}$ である。

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]

A square matrix is a matrix with dimensions $n \times n,$ meaning that it has the same number of rows as columns. The $3 \times 3$ matrix above is an example of a square matrix.

正方行列とは、型が $n \times n$ の行列、すなわち行の数と列の数が同じものである。上の $3 \times 3$ 行列は正方行列の例である。

A row matrix is a matrix consisting of one row with dimensions $1 \times n .$

行行列とは、型が $1 \times n$ の一行からなる行列である。

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}]

A column matrix is a matrix consisting of one column with dimensions $m \times 1.$

列行列とは、型が $m \times 1.$ の一列からなる行列である。

[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}]

A matrix may be used to represent a system of equations. In these cases, the numbers represent the coefficients of the variables in the system. Matrices often make solving systems of equations easier because they are not encumbered with variables. We will investigate this idea further in the next section, but first we will look at basic matrix operations.

行列は連立方程式を表すのに使える。その場合、数はこの組の変数の係数を表す。行列は変数に煩わされないので、しばしば連立方程式を解くのを楽にする。この考えは次の節でさらに調べるが、まず行列の基本の演算を見る。

Matrices 行列

A matrix is a rectangular array of numbers that is usually named by a capital letter: $A, B, C,$ and so on. Each entry in a matrix is referred to as $a_{i j},$ such that $i$ represents the row and $j$ represents the column. Matrices are often referred to by their dimensions: $m \times n$ indicating $m$ rows and $n$ columns.

行列とは数の長方形の並びであり、ふつう大文字 $A, B, C$ などで名を付ける。行列の各成分は $a_{i j}$ と呼ばれ、 $i$ が行、 $j$ が列を表す。行列はしばしばその型で呼ばれる。 $m \times n$ は $m$ 行 $n$ 列を示す。

Example 1例1

Finding the Dimensions of the Given Matrix and Locating Entries与えられた行列の型を求め、成分の場所を知る

Given matrix $A :$

行列 $A :$ が与えられたとき、

ⓐWhat are the dimensions of matrix $A ?$ ⓑWhat are the entries at $a_{31}$ and $a_{22} ?$ $A = [\begin{array}{r} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$

ⓐ行列 $A ?$ の型はいくらか。ⓑ $a_{31}$ と $a_{22} ?$ $A = [\begin{array}{r} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$ の成分はいくらか。

Solution 解答

ⓐThe dimensions are $3 \times 3$ because there are three rows and three columns.ⓑEntry $a_{31}$ is the number at row 3, column 1, which is 3. The entry $a_{22}$ is the number at row 2, column 2, which is 4. Remember, the row comes first, then the column.

ⓐ3行3列なので、型は $3 \times 3$ である。ⓑ成分 $a_{31}$ は3行1列の数で、3である。成分 $a_{22}$ は2行2列の数で、4である。行が先、次が列であることを覚えておけ。

Adding and Subtracting Matrices行列の足し算と引き算

We use matrices to list data or to represent systems. Because the entries are numbers, we can perform operations on matrices. We add or subtract matrices by adding or subtracting corresponding entries.

行列は資料を並べたり、組を表したりするのに使う。成分は数なので、行列に演算を行える。行列の足し引きは、対応する成分どうしを足し引きして行う。

In order to do this, the entries must correspond. Therefore, addition and subtraction of matrices is only possible when the matrices have the same dimensions. We can add or subtract a $3 \times 3$ matrix and another $3 \times 3$ matrix, but we cannot add or subtract a $2 \times 3$ matrix and a $3 \times 3$ matrix because some entries in one matrix will not have a corresponding entry in the other matrix.

そのためには、成分が対応していなければならない。したがって、行列の足し算と引き算は、行列の型が同じときにかぎってできる。 $3 \times 3$ 行列と別の $3 \times 3$ 行列は足し引きできるが、 $2 \times 3$ 行列と $3 \times 3$ 行列は足し引きできない。一方の行列のいくつかの成分に、もう一方の行列で対応する成分が無いからである。

Adding and Subtracting Matrices 行列の加法と減法

Given matrices $A$ and $B$ of like dimensions, addition and subtraction of $A$ and $B$ will produce matrix $C$ or
matrix $D$ of the same dimension.

型が同じ行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、 $A$ と $B$ の足し引きは、同じ型の行列 $C$ や行列 $D$ を生む。

A + B = C such that a_{i j} + b_{i j} = c_{i j}

A - B = D such that a_{i j} - b_{i j} = d_{i j}

Matrix addition is commutative.

行列の足し算は交換できる。

A + B = B + A

It is also associative.

結合もできる。

(A + B) + C = A + (B + C)

Example 2例2

Finding the Sum of Matrices行列の和を求める

Find the sum of $A$ and $B,$ given

次が与えられたとき、 $A$ と $B$ の和を求めよ。

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]

Solution 解答

Add corresponding entries.

対応する成分どうしを足す。

\begin{array}{l} A + B = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a + e & b + f \\ c + g & d + h \end{matrix}] \end{array}

Example 3例3

Adding Matrix A and Matrix B行列Aと行列Bを足す

Find the sum of $A$ and $B .$

$A$ と $B$ の和を求めよ。

A = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 5 & 9 \\ 0 & 7 \end{matrix}]

Solution 解答

Add corresponding entries. Add the entry in row 1, column 1, $a_{11},$ of matrix $A$ to the entry in row 1, column 1, $b_{11},$ of $B .$ Continue the pattern until all entries have been added.

対応する成分どうしを足す。行列 $A$ の1行1列の成分 $a_{11}$ を、 $B$ の1行1列の成分 $b_{11}$ に足す。すべての成分を足し終えるまで同じように続ける。

\begin{array}{l} A + B = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 5 & 9 \\ 0 & 7 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 4 + 5 & 1 + 9 \\ 3 + 0 & 2 + 7 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 9 & 10 \\ 3 & 9 \end{matrix}] \end{array}

Example 4例4

Finding the Difference of Two Matrices二つの行列の差を求める

Find the difference of $A$ and $B .$

$A$ と $B$ の差を求めよ。

A = [\begin{matrix} −2 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}]

Solution 解答

We subtract the corresponding entries of each matrix.

各行列の対応する成分どうしを引く。

\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} - 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{r} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} - 2 - 8 & 3 - 1 \\ 0 - 5 & 1 - 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} - 10 & 2 \\ - 5 & - 3 \end{array}] \end{array}

Example 5例5

Finding the Sum and Difference of Two 3 x 3 Matrices二つの 3 × 3 行列の和と差を求める

Given $A$ and $B :$

$A$ と $B :$ が与えられたとき、

ⓐFind the sum.ⓑFind the difference.

ⓐ和を求めよ。ⓑ差を求めよ。

A = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] and B = [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & −4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}]

Solution 解答

ⓐAdd the corresponding entries. $\begin{array}{l} A + B = [\begin{array}{r} 2 & - 10 & - 2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{r} 6 & 10 & - 2 \\ 0 & - 12 & - 4 \\ - 5 & 2 & - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 + 6 & - 10 + 10 & - 2 - 2 \\ 14 + 0 & 12 - 12 & 10 - 4 \\ 4 - 5 & - 2 + 2 & 2 - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 8 & 0 & - 4 \\ 14 & 0 & 6 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}] \end{array}$ ⓑSubtract the corresponding entries. $\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & −4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 - 6 & −10 - 10 & −2 + 2 \\ 14 - 0 & 12 + 12 & 10 + 4 \\ 4 + 5 & −2 - 2 & 2 + 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −4 & −20 & 0 \\ 14 & 24 & 14 \\ 9 & −4 & 4 \end{array}] \end{array}$

ⓐ対応する成分どうしを足す。 $\begin{array}{l} A + B = [\begin{array}{r} 2 & - 10 & - 2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{r} 6 & 10 & - 2 \\ 0 & - 12 & - 4 \\ - 5 & 2 & - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 + 6 & - 10 + 10 & - 2 - 2 \\ 14 + 0 & 12 - 12 & 10 - 4 \\ 4 - 5 & - 2 + 2 & 2 - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 8 & 0 & - 4 \\ 14 & 0 & 6 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}] \end{array}$ ⓑ対応する成分どうしを引く。 $\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & −4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 - 6 & −10 - 10 & −2 + 2 \\ 14 - 0 & 12 + 12 & 10 + 4 \\ 4 + 5 & −2 - 2 & 2 + 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −4 & −20 & 0 \\ 14 & 24 & 14 \\ 9 & −4 & 4 \end{array}] \end{array}$

Try It #1やってみよう1

Add matrix $A$ and matrix $B .$

行列 $A$ と行列 $B$ を足せ。

A = [\begin{array}{r} 2 & 6 \\ 1 & 0 \\ 1 & −3 \end{array}] and B = [\begin{array}{r} 3 & −2 \\ 1 & 5 \\ −4 & 3 \end{array}]

Finding Scalar Multiples of a Matrix行列のスカラー倍を求める

Besides adding and subtracting whole matrices, there are many situations in which we need to multiply a matrix by a constant called a scalar. Recall that a scalar is a real number quantity that has magnitude, but not direction. For example, time, temperature, and distance are scalar quantities. The process of scalar multiplication involves multiplying each entry in a matrix by a scalar. A scalar multiple is any entry of a matrix that results from scalar multiplication.

行列全体を足し引きするほかに、行列にスカラーという定数を掛ける必要がある場面は多い。スカラーとは大きさを持つが向きを持たない実数の量であることを思い出せ。たとえば時間、温度、距離はスカラーの量である。スカラー倍の手順では、行列の各成分にスカラーを掛ける。スカラー倍とは、スカラー倍で得られる行列の成分すべてである。

Consider a real-world scenario in which a university needs to add to its inventory of computers, computer tables, and chairs in two of the campus labs due to increased enrollment. They estimate that 15% more equipment is needed in both labs. The school’s current inventory is displayed in Table 2.

在籍者が増えたため、ある大学が構内の二つの実験室で計算機・計算機の机・椅子の在庫を増やす必要がある、という現実の筋書きを考えよ。どちらの実験室でも用具が15%多く要ると見積もっている。この学校の今の在庫を表2に示す。

	Lab A実験室A	Lab B実験室B
Computers計算機	15	27
Computer Tables計算機の机	16	34
Chairs椅子	16	34

Converting the data to a matrix, we have

この資料を行列に直すと、次を得る。

C_{2013} = [\begin{matrix} 15 \\ 16 \\ 16 \end{matrix} \begin{matrix} 27 \\ 34 \\ 34 \end{matrix}]

To calculate how much computer equipment will be needed, we multiply all entries in matrix $C$ by 0.15.

計算機の用具がどれだけ要るかを計算するため、行列 $C$ のすべての成分に0.15を掛ける。

(0.15) C_{2013} = [\begin{matrix} (0.15) 15 \\ (0.15) 16 \\ (0.15) 16 \end{matrix} \begin{matrix} (0.15) 27 \\ (0.15) 34 \\ (0.15) 34 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2.25 \\ 2.4 \\ 2.4 \end{matrix} \begin{matrix} 4.05 \\ 5.1 \\ 5.1 \end{matrix}]

We must round up to the next integer, so the amount of new equipment needed is

次の整数へ切り上げねばならないので、新たに要る用具の数は次である。

[\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}]

Adding the two matrices as shown below, we see the new inventory amounts.

下に示すとおり二つの行列を足すと、新しい在庫の数が分かる。

[\begin{matrix} 15 \\ 16 \\ 16 \end{matrix} \begin{matrix} 27 \\ 34 \\ 34 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 18 \\ 19 \\ 19 \end{matrix} \begin{matrix} 32 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}]

This means

これは次を意味する。

C_{2014} = [\begin{matrix} 18 \\ 19 \\ 19 \end{matrix} \begin{matrix} 32 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}]

Thus, Lab A will have 18 computers, 19 computer tables, and 19 chairs; Lab B will have 32 computers, 40 computer tables, and 40 chairs.

よって、実験室Aには計算機18台、計算機の机19台、椅子19脚が置かれ、実験室Bには計算機32台、計算機の机40台、椅子40脚が置かれる。

Scalar Multiplication スカラー倍

Scalar multiplication involves finding the product of a constant by each entry in the matrix. Given

スカラー倍とは、定数と行列の各成分との積を求めることである。次が与えられたとき、

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]

the scalar multiple $c A$ is

スカラー倍 $c A$ は次である。

\begin{array}{l} c A = c [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} c a_{11} & c a_{12} \\ c a_{21} & c a_{22} \end{matrix}] \end{array}

Scalar multiplication is distributive. For the matrices $A, B,$ and $C$ with scalars $a$ and $b,$

スカラー倍は分配できる。行列 $A, B$ と $C$ 、スカラー $a$ と $b$ について、

\begin{array}{l} \begin{matrix} a (A + B) = a A + a B \\ (a + b) A = a A + b A \end{matrix} \end{array}

Example 6例6

Multiplying the Matrix by a Scalar行列にスカラーを掛ける

Multiply matrix $A$ by the scalar 3.

行列 $A$ にスカラー3を掛けよ。

A = [\begin{matrix} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}]

Solution 解答

Multiply each entry in $A$ by the scalar 3.

$A$ の各成分にスカラー3を掛ける。

\begin{array}{l} 3 A = 3 [\begin{array}{r} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 3 \cdot 8 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 & 3 \cdot 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 24 & 3 \\ 15 & 12 \end{array}] \end{array}

Try It #2やってみよう2

Given matrix $B,$ find $−2 B$ where

行列 $B$ が与えられたとき、 $−2 B$ を求めよ。ここで

B = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}]

Example 7例7

Finding the Sum of Scalar Multiplesスカラー倍の和を求める

Find the sum $3 A + 2 B .$

和 $3 A + 2 B$ を求めよ。

A = [\begin{array}{r} 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \\ 4 & 3 & −6 \end{array}] and B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 1 \\ 0 & −3 & 2 \\ 0 & 1 & −4 \end{array}]

Solution 解答

First, find $3 A,$ then $2 B .$

まず $3 A$ を求め、次に $2 B$ を求める。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 3 A = [\begin{array}{l} 3 \cdot 1 & 3 (−2) & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 (−1) & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 3 & 3 (−6) \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} 3 & −6 & 0 \\ 0 & −3 & 6 \\ 12 & 9 & −18 \end{array}] \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 B = [\begin{array}{l} 2 (−1) & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (−3) & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 (−4) \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} −2 & 4 & 2 \\ 0 & −6 & 4 \\ 0 & 2 & −8 \end{array}] \end{array}

Now, add $3 A + 2 B .$

では $3 A + 2 B$ を足す。

\begin{array}{l} 3 A + 2 B = [\begin{array}{r} 3 & −6 & 0 \\ 0 & −3 & 6 \\ 12 & 9 & −18 \end{array}] + [\begin{array}{r} −2 & 4 & 2 \\ 0 & −6 & 4 \\ 0 & 2 & −8 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 3 - 2 & −6 + 4 & 0 + 2 \\ 0 + 0 & −3 - 6 & 6 + 4 \\ 12 + 0 & 9 + 2 & −18 −8 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 & −2 & 2 \\ 0 & −9 & 10 \\ 12 & 11 & - 26 \end{array}] \end{array}

Finding the Product of Two Matrices二つの行列の積を求める

In addition to multiplying a matrix by a scalar, we can multiply two matrices. Finding the product of two matrices is only possible when the inner dimensions are the same, meaning that the number of columns of the first matrix is equal to the number of rows of the second matrix. If $A$ is an $m \times r$ matrix and $B$ is an $r \times n$ matrix, then the product matrix $A B$ is an $m \times n$ matrix. For example, the product $A B$ is possible because the number of columns in $A$ is the same as the number of rows in $B .$ If the inner dimensions do not match, the product is not defined.

行列にスカラーを掛けるほかに、二つの行列を掛けることもできる。二つの行列の積が求まるのは、内側の型が同じとき、すなわち一つ目の行列の列の数が二つ目の行列の行の数に等しいときだけである。 $A$ が $m \times r$ 行列、 $B$ が $r \times n$ 行列なら、積の行列 $A B$ は $m \times n$ 行列である。たとえば、積 $A B$ は求められる。 $A$ の列の数が $B$ の行の数と同じだからである。内側の型が合わないなら、積は定められない。

Matrix multiplication rule: For A (2x3) multiplied by B (3x3), the number of columns in A (3) must equal the number of rows in B (3). The 'same' label highlights this crucial condition for the operation to be defined.

We multiply entries of $A$ with entries of $B$ according to a specific pattern as outlined below. The process of matrix multiplication becomes clearer when working a problem with real numbers.

下に述べる決まった型に従って、 $A$ の成分と $B$ の成分を掛ける。行列の掛け算の手順は、実際の数で問題を解いてみるとはっきりする。

To obtain the entries in row $i$ of $A B,$ we multiply the entries in row $i$ of $A$ by column $j$ in $B$ and add. For example, given matrices $A$ and $B,$ where the dimensions of $A$ are $2 \times 3$ and the dimensions of $B$ are $3 \times 3,$ the product of $A B$ will be a $2 \times 3$ matrix.

$A B$ の $i$ 行の成分を得るには、 $A$ の $i$ 行の成分に $B$ の $j$ 列を掛けて足す。たとえば、 $A$ の型が $2 \times 3$ 、 $B$ の型が $3 \times 3$ である行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、 $A B$ の積は $2 \times 3$ 行列になる。

A = [\begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}] and B = [\begin{array}{r} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array}]

Multiply and add as follows to obtain the first entry of the product matrix $A B .$

次のように掛けて足し、積の行列 $A B$ の最初の成分を得る。

1. To obtain the entry in row 1, column 1 of $A B,$ multiply the first row in $A$ by the first column in $B,$ and add. $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31}$ 2. To obtain the entry in row 1, column 2 of $A B,$ multiply the first row of $A$ by the second column in $B,$ and add. $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32}$ 3. To obtain the entry in row 1, column 3 of $A B,$ multiply the first row of $A$ by the third column in $B,$ and add. $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{13} \\ b_{23} \\ b_{33} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33}$

1. $A B$ の1行1列の成分を得るには、 $A$ の1行目に $B$ の1列目を掛けて足す。 $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31}$ 2. $A B$ の1行2列の成分を得るには、 $A$ の1行目に $B$ の2列目を掛けて足す。 $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32}$ 3. $A B$ の1行3列の成分を得るには、 $A$ の1行目に $B$ の3列目を掛けて足す。 $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{13} \\ b_{23} \\ b_{33} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33}$

We proceed the same way to obtain the second row of $A B .$ In other words, row 2 of $A$ times column 1 of $B;$ row 2 of $A$ times column 2 of $B;$ row 2 of $A$ times column 3 of $B .$ When complete, the product matrix will be

$A B$ の2行目も同じように進めて得る。言い換えれば、 $A$ の2行目に $B;$ の1列目、 $A$ の2行目に $B;$ の2列目、 $A$ の2行目に $B$ の3列目である。終わると、積の行列は次になる。

A B = [\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{13} + a_{22} \cdot b_{23} + a_{23} \cdot b_{33} \end{matrix}]

Properties of Matrix Multiplication 行列の乗法の性質

For the matrices $A, B,$ and $C$ the following properties hold.

行列 $A, B$ と $C$ について、次の性質が成り立つ。

• Matrix multiplication is associative: $(A B) C = A (B C) .$ • Matrix multiplication is distributive: $\begin{array}{l} \begin{array}{l} C (A + B) = C A + C B, \end{array} \\ (A + B) C = A C + B C . \end{array}$

・行列の掛け算は結合できる。 $(A B) C = A (B C)$ ・行列の掛け算は分配できる。 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} C (A + B) = C A + C B, \end{array} \\ (A + B) C = A C + B C \end{array}$

Note that matrix multiplication is not commutative.

行列の掛け算は交換できないことに注意せよ。

Example 8例8

Multiplying Two Matrices二つの行列を掛ける

Multiply matrix $A$ and matrix $B .$

行列 $A$ と行列 $B$ を掛けよ。

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]

Solution 解答

First, we check the dimensions of the matrices. Matrix $A$ has dimensions $2 \times 2$ and matrix $B$ has dimensions $2 \times 2.$ The inner dimensions are the same so we can perform the multiplication. The product will have the dimensions $2 \times 2.$

まず、行列の型を確かめる。行列 $A$ の型は $2 \times 2$ 、行列 $B$ の型は $2 \times 2.$ である。内側の型が同じなので掛け算ができる。積の型は $2 \times 2.$ になる。

We perform the operations outlined previously.

先に述べた演算を行う。

A step-by-step illustration of multiplying two 2x2 matrices, demonstrating how each element of the product matrix is calculated by summing the products of corresponding elements from a row of the first matrix and a column of the second matrix.

Example 9例9

Multiplying Two Matrices二つの行列を掛ける

Given $A$ and $B :$

$A$ と $B :$ が与えられたとき、

ⓐFind $A B .$ ⓑFind $B A .$

ⓐ $A B$ を求めよ。ⓑ $B A$ を求めよ。

A = [\begin{array}{l} \begin{matrix} −1 & 2 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 0 & 5 \end{matrix} \end{array}] and B = [\begin{matrix} 5 \\ −4 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} −1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}]

Solution 解答

ⓐAs the dimensions of $A$ are $2 \times 3$ and the dimensions of $B$ are $3 \times 2,$ these matrices can be multiplied together because the number of columns in $A$ matches the number of rows in $B .$ The resulting product will be a $2 \times 2$ matrix, the number of rows in $A$ by the number of columns in $B .$ $\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −1 (5) + 2 (−4) + 3 (2) & −1 (−1) + 2 (0) + 3 (3) \\ 4 (5) + 0 (−4) + 5 (2) & 4 (−1) + 0 (0) + 5 (3) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{array}] \end{array}$ ⓑThe dimensions of $B$ are $3 \times 2$ and the dimensions of $A$ are $2 \times 3.$ The inner dimensions match so the product is defined and will be a $3 \times 3$ matrix. $\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ −4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 5 (−1) + −1 (4) & 5 (2) + −1 (0) & 5 (3) + −1 (5) \\ −4 (−1) + 0 (4) & −4 (2) + 0 (0) & −4 (3) + 0 (5) \\ 2 (−1) + 3 (4) & 2 (2) + 3 (0) & 2 (3) + 3 (5) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{array}] \end{array}$

ⓐ $A$ の型が $2 \times 3$ 、 $B$ の型が $3 \times 2$ なので、 $A$ の列の数が $B$ の行の数と合い、この行列どうしは掛けられる。できる積は $2 \times 2$ 行列、すなわち $A$ の行の数 × $B$ の列の数になる。 $\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −1 (5) + 2 (−4) + 3 (2) & −1 (−1) + 2 (0) + 3 (3) \\ 4 (5) + 0 (−4) + 5 (2) & 4 (−1) + 0 (0) + 5 (3) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{array}] \end{array}$ ⓑ $B$ の型は $3 \times 2$ 、 $A$ の型は $2 \times 3.$ である。内側の型が合うので積は定められ、 $3 \times 3$ 行列になる。 $\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ −4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 5 (−1) + −1 (4) & 5 (2) + −1 (0) & 5 (3) + −1 (5) \\ −4 (−1) + 0 (4) & −4 (2) + 0 (0) & −4 (3) + 0 (5) \\ 2 (−1) + 3 (4) & 2 (2) + 3 (0) & 2 (3) + 3 (5) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{array}] \end{array}$

Analysis 考察

Notice that the products $A B$ and $B A$ are not equal.

積 $A B$ と $B A$ が等しくないことに注意せよ。

A B = [\begin{matrix} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{matrix}] \neq [\begin{matrix} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{matrix}] = B A

This illustrates the fact that matrix multiplication is not commutative.

これは、行列の掛け算が交換できないことを示している。

Q&A 疑問と答え

Is it possible for AB to be defined but not BA?

AB は定められるが BA は定められない、ということはありうるか。

Yes, consider a matrix A with dimension $3 \times 4$ and matrix B with dimension $4 \times 2.$ For the product AB the inner dimensions are 4 and the product is defined, but for the product BA the inner dimensions are 2 and 3 so the product is undefined.

ありうる。型 $3 \times 4$ の行列Aと型 $4 \times 2.$ の行列Bを考えよ。積 AB では内側の型が4で積は定められるが、積 BA では内側の型が2と3なので積は定められない。

Example 10例10

Using Matrices in Real-World Problems現実世界の問題で行列を使う

Let’s return to the problem presented at the opening of this section. We have Table 3, representing the equipment needs of two soccer teams.

この節の初めに出した問題に戻ろう。表3に、二つのサッカー隊の用具の必要数を示す。

	Wildcatsワイルドキャッツ	Mud Catsマッドキャッツ
Goalsゴール	6	10
Ballsボール	30	24
Jerseysユニフォーム	14	20

We are also given the prices of the equipment, as shown in Table 4.

表4に示すとおり、用具の値段も与えられている。

Goalゴール	$300
Ballボール	$10
Jerseyユニフォーム	$30

We will convert the data to matrices. Thus, the equipment need matrix is written as

この資料を行列に直す。よって、用具の必要数の行列は次のように書ける。

E = [\begin{matrix} 6 \\ 30 \\ 14 \end{matrix} \begin{matrix} 10 \\ 24 \\ 20 \end{matrix}]

The cost matrix is written as

費用の行列は次のように書ける。

C = [\begin{matrix} 300 & 10 & 30 \end{matrix}]

We perform matrix multiplication to obtain costs for the equipment.

行列の掛け算を行って用具の費用を得る。

\begin{array}{l} C E = [\begin{array}{r} 300 & 10 & 30 \end{array}] [\begin{array}{r} 6 & 10 \\ 30 & 24 \\ 14 & 20 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 300 (6) + 10 (30) + 30 (14) & 300 (10) + 10 (24) + 30 (20) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2,520 & 3,840 \end{array}] \end{array}

The total cost for equipment for the Wildcats is $2,520, and the total cost for equipment for the Mud Cats is $3,840.

ワイルドキャッツの用具の総費用は2,520ドル、マッドキャッツの用具の総費用は3,840ドルである。

How To 手順

Given a matrix operation, evaluate using a calculator.

行列の演算が与えられたとき、電卓を使って値を求める。

1. Save each matrix as a matrix variable $[A], [B], [C], ...$ 2. Enter the operation into the calculator, calling up each matrix variable as needed.3. If the operation is defined, the calculator will present the solution matrix; if the operation is undefined, it will display an error message.

1. 各行列を行列の変数 $[A], [B], [C], ...$ として保存する。2. 必要に応じて各行列の変数を呼び出しながら、演算を電卓に入れる。3. その演算が定められているなら電卓は答えの行列を示す。定められていないなら誤りの知らせを表示する。

Example 11例11

Using a Calculator to Perform Matrix Operations電卓を使って行列の演算を行う

Find $A B - C$ given

次が与えられたとき、 $A B - C$ を求めよ。

A = [\begin{array}{r} −15 & 25 & 32 \\ 41 & −7 & −28 \\ 10 & 34 & −2 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 45 & 21 & −37 \\ −24 & 52 & 19 \\ 6 & −48 & −31 \end{array}], and C = [\begin{array}{r} −100 & −89 & −98 \\ 25 & −56 & 74 \\ −67 & 42 & −75 \end{array}] .

Solution 解答

On the matrix page of the calculator, we enter matrix $A$ above as the matrix variable $[A],$ matrix $B$ above as the matrix variable $[B],$ and matrix $C$ above as the matrix variable $[C] .$

電卓の行列の画面で、上の行列 $A$ を行列の変数 $[A]$ として、上の行列 $B$ を行列の変数 $[B]$ として、上の行列 $C$ を行列の変数 $[C]$ として入れる。

On the home screen of the calculator, we type in the problem and call up each matrix variable as needed.

電卓の最初の画面で問題を打ち込み、必要に応じて各行列の変数を呼び出す。

[A] [B] - [C]

The calculator gives us the following matrix.

電卓は次の行列を与える。

[\begin{array}{r} - 983 & - 462 & 136 \\ 1, 820 & 1, 897 & - 856 \\ - 311 & 2, 032 & 413 \end{array}]

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with matrices and matrix operations.

行列と行列の演算についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Dimensions of a Matrix• Matrix Addition and Subtraction• Matrix Operations• Matrix Multiplication

・行列の型・行列の足し算と引き算・行列の演算・行列の掛け算

Verbal言葉で答える問題

1. Can we add any two matrices together? If so, explain why; if not, explain why not and give an example of two matrices that cannot be added together.

1. どの二つの行列も足し合わせられるか。できるならその理由を説明し、できないならその理由を説明して、足し合わせられない二つの行列の例を挙げよ。

2. Can we multiply any column matrix by any row matrix? Explain why or why not.

2. どの列行列も、どの行行列とも掛けられるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。

3. Can both the products $A B$ and $B A$ be defined? If so, explain how; if not, explain why.

3. 積 $A B$ と $B A$ の両方が定められることはありうるか。ありうるならそのしかたを説明し、ありえないならその理由を説明せよ。

4. Can any two matrices of the same size be multiplied? If so, explain why, and if not, explain why not and give an example of two matrices of the same size that cannot be multiplied together.

4. 同じ大きさの二つの行列はどれも掛けられるか。できるならその理由を説明し、できないならその理由を説明して、掛け合わせられない同じ大きさの二つの行列の例を挙げよ。

5. Does matrix multiplication commute? That is, does $A B = B A ?$ If so, prove why it does. If not, explain why it does not.

5. 行列の掛け算は交換できるか。すなわち $A B = B A ?$ か。できるならなぜできるかを証明せよ。できないならなぜできないかを説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, use the matrices below and perform the matrix addition or subtraction. Indicate if the operation is undefined.

次の各問について、下の行列を使って行列の足し算または引き算を行え。その演算が定められていないなら、そう示せ。

A = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 7 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 14 \\ 22 & 6 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 8 & 92 \\ 12 & 6 \end{matrix}], D = [\begin{matrix} 10 & 14 \\ 7 & 2 \\ 5 & 61 \end{matrix}], E = [\begin{matrix} 6 & 12 \\ 14 & 5 \end{matrix}], F = [\begin{matrix} 0 & 9 \\ 78 & 17 \\ 15 & 4 \end{matrix}]

6. $A + B$

7. $C + D$

8. $A + C$

9. $B - E$

10. $C + F$

11. $D - B$

For the following exercises, use the matrices below to perform scalar multiplication.

次の各問について、下の行列を使ってスカラー倍を行え。

A = [\begin{array}{r} 4 & 6 \\ 13 & 12 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 3 & 9 \\ 21 & 12 \\ 0 & 64 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 16 & 3 & 7 & 18 \\ 90 & 5 & 3 & 29 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 18 & 12 & 13 \\ 8 & 14 & 6 \\ 7 & 4 & 21 \end{array}]

12. $5 A$

13. $3 B$

14. $−2 B$

15. $−4 C$

16. $\frac{1}{2} C$

17. $100 D$

For the following exercises, use the matrices below to perform matrix multiplication.

次の各問について、下の行列を使って行列の掛け算を行え。

A = [\begin{array}{r} −1 & 5 \\ 3 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 3 & 6 & 4 \\ −8 & 0 & 12 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 4 & 10 \\ −2 & 6 \\ 5 & 9 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 2 & −3 & 12 \\ 9 & 3 & 1 \\ 0 & 8 & −10 \end{array}]

18. $A B$

19. $B C$

20. $C A$

21. $B D$

22. $D C$

23. $C B$

For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed.

次の各問について、下の行列を使い、できるなら示された演算を行え。できないなら、なぜその演算ができないかを説明せよ。

A = [\begin{array}{r} 2 & −5 \\ 6 & 7 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −9 & 6 \\ −4 & 2 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 0 & 9 \\ 7 & 1 \end{array}], D = [\begin{array}{r} −8 & 7 & −5 \\ 4 & 3 & 2 \\ 0 & 9 & 2 \end{array}], E = [\begin{array}{r} 4 & 5 & 3 \\ 7 & −6 & −5 \\ 1 & 0 & 9 \end{array}]

24. $A + B - C$

25. $4 A + 5 D$

26. $2 C + B$

27. $3 D + 4 E$

28. $C −0.5 D$

29. $100 D −10 E$

For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. (Hint: $A^{2} = A \cdot A$ )

次の各問について、下の行列を使い、できるなら示された演算を行え。できないなら、なぜその演算ができないかを説明せよ。(手がかり: $A^{2} = A \cdot A$ )

A = [\begin{array}{r} −10 & 20 \\ 5 & 25 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 40 & 10 \\ −20 & 30 \end{array}], C = [\begin{array}{r} −1 & 0 \\ 0 & −1 \\ 1 & 0 \end{array}]

30. $A B$

31. $B A$

32. $C A$

33. $B C$

34. $A^{2}$

35. $B^{2}$

36. $C^{2}$

37. $B^{2} A^{2}$

38. $A^{2} B^{2}$

39. ${(A B)}^{2}$

40. ${(B A)}^{2}$

For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. (Hint: $A^{2} = A \cdot A$ )

A = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −2 & 3 & 4 \\ −1 & 1 & −5 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 0.5 & 0.1 \\ 1 & 0.2 \\ −0.5 & 0.3 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 1 & 0 & −1 \\ −6 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}]

41. $A B$

42. $B A$

43. $B D$

44. $D C$

45. $D^{2}$

46. $A^{2}$

47. $D^{3}$

48. $(A B) C$

49. $A (B C)$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. Use a calculator to verify your solution.

次の各問について、下の行列を使い、できるなら示された演算を行え。できないなら、なぜその演算ができないかを説明せよ。電卓を使って答えを確かめよ。

A = [\begin{array}{r} −2 & 0 & 9 \\ 1 & 8 & −3 \\ 0.5 & 4 & 5 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 0.5 & 3 & 0 \\ −4 & 1 & 6 \\ 8 & 7 & 2 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

50. $A B$

51. $B A$

52. $C A$

53. $B C$

54. $A B C$

Extensions発展問題

For the following exercises, use the matrix below to perform the indicated operation on the given matrix.

次の各問について、下の行列を使い、与えられた行列に示された演算を行え。

B = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]

55. $B^{2}$

56. $B^{3}$

57. $B^{4}$

58. $B^{5}$

59. Using the above questions, find a formula for $B^{n} .$ Test the formula for $B^{201}$ and $B^{202},$ using a calculator.

59. 上の問いを使って、 $B^{n}$ の公式を求めよ。電卓を使って $B^{201}$ と $B^{202}$ でこの公式を試せ。