第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

Key Equations重要な式

Identity matrix for a $2 \times 2$ matrix $2 \times 2$ 行列の単位行列	$I_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$
Identity matrix for a $3 \times 3$ matrix $3 \times 3$ 行列の単位行列	$I_{3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
Multiplicative inverse of a $2 \times 2$ matrix $2 \times 2$ 行列の掛け算についての逆	$A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}], where a d - b c \neq 0$

Key Concepts重要な概念

• A system of linear equations consists of two or more equations made up of two or more variables such that all equations in the system are considered simultaneously.• The solution to a system of linear equations in two variables is any ordered pair that satisfies each equation independently. See Example 1.• Systems of equations are classified as independent with one solution, dependent with an infinite number of solutions, or inconsistent with no solution.• One method of solving a system of linear equations in two variables is by graphing. In this method, we graph the equations on the same set of axes. See Example 2.• Another method of solving a system of linear equations is by substitution. In this method, we solve for one variable in one equation and substitute the result into the second equation. See Example 3.• A third method of solving a system of linear equations is by addition, in which we can eliminate a variable by adding opposite coefficients of corresponding variables. See Example 4.• It is often necessary to multiply one or both equations by a constant to facilitate elimination of a variable when adding the two equations together. See Example 5, Example 6, and Example 7.• Either method of solving a system of equations results in a false statement for inconsistent systems because they are made up of parallel lines that never intersect. See Example 8.• The solution to a system of dependent equations will always be true because both equations describe the same line. See Example 9.• Systems of equations can be used to solve real-world problems that involve more than one variable, such as those relating to revenue, cost, and profit. See Example 10 and Example 11.

・連立一次方程式とは、二つ以上の変数からなる二つ以上の式で、その組のすべての式を同時に考えるものである。・二変数の連立一次方程式の解とは、各式をそれぞれ満たす順序対すべてである。例1を見よ。・連立方程式は、解が一つの独立な組、解が無限にある従属な組、解が無い組に分類される。・二変数の連立一次方程式を解く一つの方法はグラフである。この方法では、同じ座標軸の組に式のグラフを描く。例2を見よ。・連立一次方程式を解くもう一つの方法は代入である。この方法では、一方の式で一つの変数について解き、その結果を二つ目の式に代入する。例3を見よ。・連立一次方程式を解く三つ目の方法は足し算であり、対応する変数の符号が逆の係数どうしを足して変数を消せる。例4を見よ。・二つの式を足し合わせるときに変数を消しやすくするため、片方または両方の式に定数を掛ける必要がしばしばある。例5、例6、例7を見よ。・解の無い組は、けっして交わらない平行な直線からなるので、どちらの解きかたでも偽の式ができる。例8を見よ。・従属な連立方程式の解はつねに正しくなる。どちらの式も同じ直線を述べるからである。例9を見よ。・連立方程式は、収入、費用、利益にかかわるような、変数が一つより多い現実の問題を解くのに使える。例10と例11を見よ。

• A solution set is an ordered triple ${(x, y, z)}$ that represents the intersection of three planes in space. See
Example 1.• A system of three equations in three variables can be solved by using a series of steps that forces a variable to be eliminated. The steps include interchanging the order of equations, multiplying both sides of an equation by a nonzero constant, and adding a nonzero multiple of one equation to another equation. See Example 2.• Systems of three equations in three variables are useful for solving many different types of real-world problems. See Example 3.• A system of equations in three variables is inconsistent if no solution exists. After performing elimination operations, the result is a contradiction. See Example 4.• Systems of equations in three variables that are inconsistent could result from three parallel planes, two parallel planes and one intersecting plane, or three planes that intersect the other two but not at the same location.• A system of equations in three variables is dependent if it has an infinite number of solutions. After performing elimination operations, the result is an identity. See Example 5.• Systems of equations in three variables that are dependent could result from three identical planes, three planes intersecting at a line, or two identical planes that intersect the third on a line.

・解の集合は、空間の三平面の交わりを表す順序三つ組 ${(x, y, z)}$ である。例1を見よ。・三変数三式の連立方程式は、変数が消えるように仕向ける一連の手順を使えば解ける。この手順には、式の順序を入れ替えること、式の両辺に零でない定数を掛けること、一つの式の零でない倍を別の式に足すことが含まれる。例2を見よ。・三変数三式の連立方程式は、いろいろな種類の現実の問題を解くのに役立つ。例3を見よ。・三変数の連立方程式は、解が無いなら解を持たない組である。消去の演算を行うと矛盾する式ができる。例4を見よ。・解の無い三変数の連立方程式は、三枚の平行な平面、二枚の平行な平面と一枚の交わる平面、または他の二枚と交わるが同じ場所では交わらない三枚の平面から生じうる。・三変数の連立方程式は、解が無限にあるなら従属である。消去の演算を行うと恒等式ができる。例5を見よ。・従属な三変数の連立方程式は、三枚の同一な平面、一直線で交わる三枚の平面、または三つ目と一直線で交わる二枚の同一な平面から生じうる。

• There are three possible types of solutions to a system of equations representing a line and a parabola: (1) no solution, the line does not intersect the parabola; (2) one solution, the line is tangent to the parabola; and (3) two solutions, the line intersects the parabola in two points. See Example 1.• There are three possible types of solutions to a system of equations representing a circle and a line: (1) no solution, the line does not intersect the circle; (2) one solution, the line is tangent to the circle; (3) two solutions, the line intersects the circle in two points. See Example 2.• There are five possible types of solutions to the system of nonlinear equations representing an ellipse and a circle:
(1) no solution, the circle and the ellipse do not intersect; (2) one solution, the circle and the ellipse are tangent to each other; (3) two solutions, the circle and the ellipse intersect in two points; (4) three solutions, the circle and ellipse intersect in three places; (5) four solutions, the circle and the ellipse intersect in four points. See Example 3.• An inequality is graphed in much the same way as an equation, except for > or <, we draw a dashed line and shade the region containing the solution set. See Example 4.• Inequalities are solved the same way as equalities, but solutions to systems of inequalities must satisfy both inequalities. See Example 5.

・直線と放物線を表す連立方程式の解には、三つの型がありうる。(1) 解が無い。直線は放物線と交わらない。(2) 解が一つ。直線は放物線に接する。(3) 解が二つ。直線は放物線と二点で交わる。例1を見よ。・円と直線を表す連立方程式の解には、三つの型がありうる。(1) 解が無い。直線は円と交わらない。(2) 解が一つ。直線は円に接する。(3) 解が二つ。直線は円と二点で交わる。例2を見よ。・楕円と円を表す非線形連立方程式の解には、五つの型がありうる。(1) 解が無い。円と楕円は交わらない。(2) 解が一つ。円と楕円は互いに接する。(3) 解が二つ。円と楕円は二点で交わる。(4) 解が三つ。円と楕円は三か所で交わる。(5) 解が四つ。円と楕円は四点で交わる。例3を見よ。・不等式のグラフは式とほぼ同じように描くが、> や < のときは破線を引き、解の集合を含む領域に影を付ける点が違う。例4を見よ。・不等式は等式と同じように解くが、連立不等式の解は両方の不等式を満たさねばならない。例5を見よ。

• Decompose $\frac{P (x)}{Q (x)}$ by writing the partial fractions as $\frac{A}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{B}{a_{2} x + b_{2}} .$ Solve by clearing the fractions, expanding the right side, collecting like terms, and setting corresponding coefficients equal to each other, then setting up and solving a system of equations. See Example 1.• The decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)}$ with repeated linear factors must account for the factors of the denominator in increasing powers. See Example 2.• The decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)}$ with a nonrepeated irreducible quadratic factor needs a linear numerator over the quadratic factor, as in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{(a x^{2} + b x + c)} .$ See Example 3.• In the decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)},$ where $Q (x)$ has a repeated irreducible quadratic factor, when the irreducible quadratic factors are repeated, powers of the denominator factors must be represented in increasing powers as
$\frac{A x + B}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} .$ See Example 4.

・部分分数を $\frac{A}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{B}{a_{2} x + b_{2}}$ と書いて $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する。分数を払い、右辺を展開し、同類項をまとめ、対応する係数どうしを等しいと置き、そして連立方程式を立てて解く。例1を見よ。・繰り返す一次の因数を持つ $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の分解では、分母の因数を次数の増える順に織り込まねばならない。例2を見よ。・繰り返しの無い既約な二次の因数を持つ $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の分解では、 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{(a x^{2} + b x + c)}$ のように、その二次の因数の上に一次の分子が要る。例3を見よ。・ $Q (x)$ が繰り返す既約な二次の因数を持つ $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の分解では、既約な二次の因数が繰り返されるとき、分母の因数の次数を $\frac{A x + B}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}}$ のように増える順に表さねばならない。例4を見よ。

• A matrix is a rectangular array of numbers. Entries are arranged in rows and columns.• The dimensions of a matrix refer to the number of rows and the number of columns. A $3 \times 2$ matrix has three rows and two columns. See Example 1.• We add and subtract matrices of equal dimensions by adding and subtracting corresponding entries of each matrix. See Example 2, Example 3, Example 4, and Example 5.• Scalar multiplication involves multiplying each entry in a matrix by a constant. See Example 6.• Scalar multiplication is often required before addition or subtraction can occur. See Example 7.• Multiplying matrices is possible when inner dimensions are the same—the number of columns in the first matrix must match the number of rows in the second.• The product of two matrices, $A$ and $B,$ is obtained by multiplying each entry in row 1 of $A$ by each entry in column 1 of $B;$ then multiply each entry of row 1 of $A$ by each entry in columns 2 of $B,$ and so on. See Example 8 and Example 9.• Many real-world problems can often be solved using matrices. See Example 10.• We can use a calculator to perform matrix operations after saving each matrix as a matrix variable. See Example 11.

・行列とは数の長方形の並びである。成分は行と列に並べられる。・行列の型とは、行の数と列の数を指す。 $3 \times 2$ 行列は3行2列である。例1を見よ。・型が同じ行列は、各行列の対応する成分どうしを足し引きして足し引きする。例2、例3、例4、例5を見よ。・スカラー倍とは、行列の各成分に定数を掛けることである。例6を見よ。・足し算や引き算をする前に、スカラー倍が要ることがしばしばある。例7を見よ。・行列の掛け算ができるのは内側の型が同じとき、すなわち一つ目の行列の列の数が二つ目の行の数と合うときである。・二つの行列 $A$ と $B$ の積は、 $A$ の1行目の各成分に $B;$ の1列目の各成分を掛け、次に $A$ の1行目の各成分に $B$ の2列目の各成分を掛け、という具合に進めて得られる。例8と例9を見よ。・現実の問題の多くは、しばしば行列を使って解ける。例10を見よ。・各行列を行列の変数として保存すれば、電卓を使って行列の演算ができる。例11を見よ。

• An augmented matrix is one that contains the coefficients and constants of a system of equations. See Example 1.• A matrix augmented with the constant column can be represented as the original system of equations. See Example 2.• Row operations include multiplying a row by a constant, adding one row to another row, and interchanging rows.• We can use Gaussian elimination to solve a system of equations. See Example 3, Example 4, and Example 5.• Row operations are performed on matrices to obtain row-echelon form. See Example 6.• To solve a system of equations, write it in augmented matrix form. Perform row operations to obtain row-echelon form. Back-substitute to find the solutions. See Example 7 and Example 8.• A calculator can be used to solve systems of equations using matrices. See Example 9.• Many real-world problems can be solved using augmented matrices. See Example 10 and Example 11.

・拡大係数行列とは、連立方程式の係数と定数を含む行列である。例1を見よ。・定数の列を並べた行列は、元の連立方程式として表せる。例2を見よ。・行の演算には、行に定数を掛けること、ある行を別の行に足すこと、行を入れ替えることが含まれる。・ガウスの消去法を使って連立方程式を解ける。例3、例4、例5を見よ。・行階段形にするために、行列に行の演算を行う。例6を見よ。・連立方程式を解くには、それを拡大係数行列の形で書く。行の演算を行って行階段形にする。後ろから代入して解を求める。例7と例8を見よ。・行列を使って連立方程式を解くのに電卓が使える。例9を見よ。・現実の問題の多くは拡大係数行列を使って解ける。例10と例11を見よ。

• An identity matrix has the property $A I = I A = A .$ See Example 1.• An invertible matrix has the property $A A^{−1} = A^{−1} A = I .$ See Example 2.• Use matrix multiplication and the identity to find the inverse of a $2 \times 2$ matrix. See Example 3.• The multiplicative inverse can be found using a formula. See Example 4.• Another method of finding the inverse is by augmenting with the identity. See Example 5.• We can augment a $3 \times 3$ matrix with the identity on the right and use row operations to turn the original matrix into the identity, and the matrix on the right becomes the inverse. See Example 6.• Write the system of equations as $A X = B,$ and multiply both sides by the inverse of $A : A^{−1} A X = A^{−1} B .$ See Example 7 and Example 8.• We can also use a calculator to solve a system of equations with matrix inverses. See Example 9.

・単位行列は性質 $A I = I A = A$ を持つ。例1を見よ。・正則行列は性質 $A A^{−1} = A^{−1} A = I$ を持つ。例2を見よ。・行列の掛け算と単位行列を使って $2 \times 2$ 行列の逆を求める。例3を見よ。・掛け算についての逆は公式を使って求められる。例4を見よ。・逆を求めるもう一つの方法は、単位行列を並べることである。例5を見よ。・ $3 \times 3$ 行列の右に単位行列を並べ、行の演算を使って元の行列を単位行列に変えれば、右の行列が逆になる。例6を見よ。・連立方程式を $A X = B$ と書き、両辺に $A : A^{−1} A X = A^{−1} B$ の逆を掛ける。例7と例8を見よ。・電卓を使って逆行列で連立方程式を解くこともできる。例9を見よ。

• The determinant for $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ is $a d - b c .$ See Example 1.• Cramer’s Rule replaces a variable column with the constant column. Solutions are $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D} .$ See Example 2.• To find the determinant of a 3×3 matrix, augment with the first two columns. Add the three diagonal entries (upper left to lower right) and subtract the three diagonal entries (lower left to upper right). See Example 3.• To solve a system of three equations in three variables using Cramer’s Rule, replace a variable column with the constant column for each desired solution: $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}, z = \frac{D_{z}}{D} .$ See Example 4.• Cramer’s Rule is also useful for finding the solution of a system of equations with no solution or infinite solutions. See Example 5 and Example 6.• Certain properties of determinants are useful for solving problems. For example: If the matrix is in upper triangular form, the determinant equals the product of entries down the main diagonal. When two rows are interchanged, the determinant changes sign. If either two rows or two columns are identical, the determinant equals zero. If a matrix contains either a row of zeros or a column of zeros, the determinant equals zero. The determinant of an inverse matrix $A^{- 1}$ is the reciprocal of the determinant of the matrix $A .$ If any row or column is multiplied by a constant, the determinant is multiplied by the same factor. See Example 7 and Example 8.

・ $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ の行列式は $a d - b c$ である。例1を見よ。・クラメルの公式では、変数の列を定数の列で置き換える。解は $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}$ である。例2を見よ。・3×3 行列の行列式を求めるには、初めの二列を並べる。三つの斜め(左上から右下)の成分を足し、三つの斜め(左下から右上)の成分を引く。例3を見よ。・クラメルの公式を使って三変数三式の連立方程式を解くには、求めたい解ごとに変数の列を定数の列で置き換える。 $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}, z = \frac{D_{z}}{D}$ である。例4を見よ。・クラメルの公式は、解が無い、または解が無限にある連立方程式の解を求めるのにも役立つ。例5と例6を見よ。・行列式のある種の性質は問題を解くのに役立つ。たとえば、行列が上三角の形なら、行列式は主対角線に沿った成分の積に等しい。二つの行を入れ替えると、行列式の符号が変わる。二つの行または二つの列が同一なら、行列式は零に等しい。行列がすべて零の行かすべて零の列を含むなら、行列式は零に等しい。逆行列 $A^{- 1}$ の行列式は、行列 $A$ の行列式の逆数である。どれかの行または列に定数を掛けると、行列式にも同じ数が掛かる。例7と例8を見よ。