第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.4 Partial Fractions11.4 部分分数

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Decompose $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , where $Q (x)$ has only nonrepeated linear factors.• Decompose $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , where $Q (x)$ has repeated linear factors.• Decompose $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , where $Q (x)$ has a nonrepeated irreducible quadratic factor.• Decompose $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , where $Q (x)$ has a repeated irreducible quadratic factor.

・ $Q (x)$ が繰り返しの無い一次の因数だけを持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する。・ $Q (x)$ が繰り返す一次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する。・ $Q (x)$ が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する。・ $Q (x)$ が繰り返す既約な二次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する。

Earlier in this chapter, we studied systems of two equations in two variables, systems of three equations in three variables, and nonlinear systems. Here we introduce another way that systems of equations can be utilized—the decomposition of rational expressions.

この章の前のほうで、二変数二式の組、三変数三式の組、一次でない組を学んだ。ここでは、連立方程式が使える別のしかた、すなわち有理式の分解を導入する。

Fractions can be complicated; adding a variable in the denominator makes them even more so. The methods studied in this section will help simplify the concept of a rational expression.

分数は込み入りうる。分母に変数が入ればなおさらである。この節で学ぶ方法は、有理式の考えを簡単にするのに役立つ。

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ Where Q(x) Has Only Nonrepeated Linear FactorsQ(x) が繰り返しの無い一次の因数だけを持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Recall the algebra regarding adding and subtracting rational expressions. These operations depend on finding a common denominator so that we can write the sum or difference as a single, simplified rational expression. In this section, we will look at partial fraction decomposition, which is the undoing of the procedure to add or subtract rational expressions. In other words, it is a return from the single simplified rational expression to the original expressions, called the partial fraction.

有理式の足し引きについての代数を思い出せ。この演算は、和や差を一つの簡単にした有理式として書けるように、共通の分母を見つけることにかかっている。この節では部分分数分解、すなわち有理式を足したり引いたりする手順を元に戻すことを見る。言い換えれば、一つの簡単にした有理式から元の式へ戻ることであり、元の式を部分分数という。

For example, suppose we add the following fractions:

たとえば、次の分数を足すとしよう。

\frac{2}{x −3} + \frac{−1}{x + 2}

We would first need to find a common denominator, $(x + 2) (x −3) .$

まず共通の分母 $(x + 2) (x −3)$ を見つける必要がある。

Next, we would write each expression with this common denominator and find the sum of the terms.

次に、各式をこの共通の分母で書き、項の和を求める。

\begin{array}{l} \frac{2}{x - 3} (\frac{x + 2}{x + 2}) + \frac{- 1}{x + 2} (\frac{x - 3}{x - 3}) = \\ \frac{2 x + 4 - x + 3}{(x + 2) (x - 3)} = \frac{x + 7}{x^{2} - x - 6} \end{array}

Partial fraction decomposition is the reverse of this procedure. We would start with the solution and rewrite (decompose) it as the sum of two fractions.

部分分数分解はこの手順の逆である。答えから始めて、それを二つの分数の和に書き直す(分解する)。

\underset{\begin{array}{l} Simplified sum \end{array}}{\frac{x + 7}{x^{2} - x −6}} = \underset{\begin{array}{l} Partial fraction decomposition \end{array}}{\frac{2}{x −3} + \frac{−1}{x + 2}}

We will investigate rational expressions with linear factors and quadratic factors in the denominator where the degree of the numerator is less than the degree of the denominator. Regardless of the type of expression we are decomposing, the first and most important thing to do is factor the denominator.

分子の次数が分母の次数より小さい、分母に一次の因数と二次の因数を持つ有理式を調べる。分解する式の型がどうであれ、最初にすべきいちばん大切なことは、分母を因数分解することである。

When the denominator of the simplified expression contains distinct linear factors, it is likely that each of the original rational expressions, which were added or subtracted, had one of the linear factors as the denominator. In other words, using the example above, the factors of $x^{2} - x −6$ are $(x −3) (x + 2),$ the denominators of the decomposed rational expression. So we will rewrite the simplified form as the sum of individual fractions and use a variable for each numerator. Then, we will solve for each numerator using one of several methods available for partial fraction decomposition.

簡単にした式の分母が異なる一次の因数を含むとき、足したり引いたりされた元の有理式のそれぞれが、一次の因数の一つを分母に持っていた見込みが高い。言い換えれば、上の例で言えば $x^{2} - x −6$ の因数は $(x −3) (x + 2)$ であり、これが分解した有理式の分母である。そこで、簡単にした形を個々の分数の和として書き直し、各分子に変数を使う。そして、部分分数分解に使えるいくつかの方法の一つで各分子について解く。

Note重要事項

Partial Fraction Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ Has Nonrepeated Linear Factors $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ が繰り返しの無い一次の因数を持つときの部分分数分解

The partial fraction decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)}$ when $Q (x)$ has nonrepeated linear factors and the degree of $P (x)$ is less than the degree of $Q (x)$ is

$Q (x)$ が繰り返しの無い一次の因数を持ち、 $P (x)$ の次数が $Q (x)$ の次数より小さいとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の部分分数分解は次である。

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a_{1} x + b_{1})} + \frac{A_{2}}{(a_{2} x + b_{2})} + \frac{A_{3}}{(a_{3} x + b_{3})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n}}{(a_{n} x + b_{n})} .

How To手順

Given a rational expression with distinct linear factors in the denominator, decompose it.

分母に異なる一次の因数を持つ有理式が与えられたとき、それを分解する。

1. Use a variable for the original numerators, usually $A, B,$ or $C,$ depending on the number of factors, placing each variable over a single factor. For the purpose of this definition, we use $A_{n}$ for each numerator $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a_{1} x + b_{1})} + \frac{A_{2}}{(a_{2} x + b_{2})} + \dots + \frac{A_{n}}{(a_{n} x + b_{n})}$ 2. Multiply both sides of the equation by the common denominator to eliminate fractions.3. Expand the right side of the equation and collect like terms.4. Set coefficients of like terms from the left side of the equation equal to those on the right side to create a system of equations to solve for the numerators.

1. 元の分子に変数を使う。因数の数に応じて、ふつうは $A, B$ や $C$ を使い、各変数を一つの因数の上に置く。この定めのために、各分子 $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a_{1} x + b_{1})} + \frac{A_{2}}{(a_{2} x + b_{2})} + \dots + \frac{A_{n}}{(a_{n} x + b_{n})}$ に $A_{n}$ を使う。2. 分数を消すため、式の両辺に共通の分母を掛ける。3. 式の右辺を展開し、同類項をまとめる。4. 式の左辺の同類項の係数を右辺のものと等しいと置き、分子について解く連立方程式を作る。

Example 1例1

Decomposing a Rational Function with Distinct Linear Factors異なる一次の因数を持つ有理関数を分解する

Decompose the given rational expression with distinct linear factors.

異なる一次の因数を持つ与えられた有理式を分解せよ。

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)}

Solution 解答

We will separate the denominator factors and give each numerator a symbolic label, like $A, B,$ or $C .$

分母の因数を分け、各分子に $A, B$ や $C$ のような記号の名を与える。

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)} = \frac{A}{(x + 2)} + \frac{B}{(x −1)}

Multiply both sides of the equation by the common denominator to eliminate the fractions:

分数を消すため、式の両辺に共通の分母を掛ける。

(x + 2) (x −1) [\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)}] = (x + 2) (x −1) [\frac{A}{(x + 2)}] + (x + 2) (x −1) [\frac{B}{(x −1)}]

The resulting equation is

できた式は次である。

3 x = A (x −1) + B (x + 2)

Expand the right side of the equation and collect like terms.

式の右辺を展開し、同類項をまとめる。

\begin{array}{l} 3 x = A x - A + B x + 2 B \\ 3 x = (A + B) x - A + 2 B \end{array}

Set up a system of equations associating corresponding coefficients.

対応する係数どうしを結び付けて連立方程式を立てる。

\begin{array}{l} 3 = A + B \\ 0 = - A + 2 B \end{array}

Add the two equations and solve for $B .$

二つの式を足し、 $B$ について解く。

\begin{array}{l} \underline{\begin{array}{l} 3 = A + B \\ 0 = - A + 2 B \end{array}} \\ 3 = 0 + 3 B \\ 1 = B \end{array}

Substitute $B = 1$ into one of the original equations in the system.

$B = 1$ をこの組の元の式の一つに代入する。

\begin{array}{l} 3 = A + 1 \\ 2 = A \end{array}

Thus, the partial fraction decomposition is

よって、部分分数分解は次である。

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)} = \frac{2}{(x + 2)} + \frac{1}{(x −1)}

Another method to use to solve for $A$ or $B$ is by considering the equation that resulted from eliminating the fractions and substituting a value for $x$ that will make either the A- or B-term equal 0. If we let $x = 1,$ the
$A -$ term becomes 0 and we can simply solve for $B .$

$A$ や $B$ について解くもう一つの方法は、分数を消してできた式を考え、A の項か B の項のどちらかを0にする $x$ の値を代入することである。 $x = 1$ とすれば $A -$ の項が0になり、 $B$ についてそのまま解ける。

\begin{array}{l} 3 x = A (x - 1) + B (x + 2) \\ 3 (1) = A [(1) - 1] + B [(1) + 2] \\ 3 = 0 + 3 B \\ 1 = B \end{array}

Next, either substitute $B = 1$ into the equation and solve for $A,$ or make the B-term 0 by substituting $x = −2$ into the equation.

次に、この式に $B = 1$ を代入して $A$ について解くか、この式に $x = −2$ を代入して B の項を0にする。

\begin{array}{l} 3 x = A (x - 1) + B (x + 2) \\ 3 (- 2) = A [(- 2) - 1] + B [(- 2) + 2] \\ - 6 = - 3 A + 0 \\ \frac{- 6}{- 3} = A \\ 2 = A \end{array}

We obtain the same values for $A$ and $B$ using either method, so the decompositions are the same using either method.

どちらの方法でも $A$ と $B$ に同じ値が得られるので、どちらの方法でも分解は同じである。

\frac{3 x}{(x + 2) (x −1)} = \frac{2}{(x + 2)} + \frac{1}{(x −1)}

Although this method is not seen very often in textbooks, we present it here as an alternative that may make some partial fraction decompositions easier. It is known as the Heaviside method, named after Charles Heaviside, a pioneer in the study of electronics.

この方法は教科書にはあまり出てこないが、部分分数分解によっては楽になることがあるので、別のしかたとしてここに示す。これはヘヴィサイドの方法として知られる。電子工学の研究の先駆者チャールズ・ヘヴィサイドにちなむ名である。

Try it feature #1確認問題 1

Find the partial fraction decomposition of the following expression.

次の式の部分分数分解を求めよ。

\frac{x}{(x −3) (x −2)}

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ Where Q(x) Has Repeated Linear FactorsQ(x) が繰り返す一次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Some fractions we may come across are special cases that we can decompose into partial fractions with repeated linear factors. We must remember that we account for repeated factors by writing each factor in increasing powers.

出会う分数には、繰り返す一次の因数を持つ部分分数に分解できる特別な場合がある。繰り返す因数は、各因数を次数の増える順に書いて扱うことを覚えておかねばならない。

Note重要事項

Partial Fraction Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ Has Repeated Linear Factors $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ が繰り返す一次の因数を持つときの部分分数分解

The partial fraction decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)},$ when $Q (x)$ has a repeated linear factor occurring $n$ times and the degree of $P (x)$ is less than the degree of $Q (x),$ is

$Q (x)$ が $n$ 回現れる繰り返す一次の因数を持ち、 $P (x)$ の次数が $Q (x)$ の次数より小さいとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の部分分数分解は次である。

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a x + b)} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + \frac{A_{3}}{{(a x + b)}^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}}

Write the denominator powers in increasing order.

分母の次数は増える順に書く。

How To手順

Given a rational expression with repeated linear factors, decompose it.

繰り返す一次の因数を持つ有理式が与えられたとき、それを分解する。

1. Use a variable like $A, B,$ or $C$ for the numerators and account for increasing powers of the denominators. $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a x + b)} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + . . . + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}}$ 2. Multiply both sides of the equation by the common denominator to eliminate fractions.3. Expand the right side of the equation and collect like terms.4. Set coefficients of like terms from the left side of the equation equal to those on the right side to create a system of equations to solve for the numerators.

1. 分子に $A, B$ や $C$ のような変数を使い、分母の次数が増えていくことを織り込む。 $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(a x + b)} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + . . . + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}}$ 2. 分数を消すため、式の両辺に共通の分母を掛ける。3. 式の右辺を展開し、同類項をまとめる。4. 式の左辺の同類項の係数を右辺のものと等しいと置き、分子について解く連立方程式を作る。

Example 2例2

Decomposing with Repeated Linear Factors繰り返す一次の因数があるときの分解

Decompose the given rational expression with repeated linear factors.

繰り返す一次の因数を持つ与えられた有理式を分解せよ。

\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} −4 x^{2} + 4 x}

Solution 解答

The denominator factors are $x {(x −2)}^{2} .$ To allow for the repeated factor of $(x −2),$ the decomposition will include three denominators: $x, (x −2),$ and ${(x −2)}^{2} .$ Thus,

分母の因数は $x {(x −2)}^{2}$ である。 $(x −2)$ の繰り返す因数を織り込むため、分解には三つの分母 $x, (x −2)$ と ${(x −2)}^{2}$ が入る。よって、

\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} −4 x^{2} + 4 x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x −2)} + \frac{C}{{(x −2)}^{2}}

Next, we multiply both sides by the common denominator.

次に、両辺に共通の分母を掛ける。

\begin{array}{l} x {(x −2)}^{2} [\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x {(x −2)}^{2}}] = [\frac{A}{x} + \frac{B}{(x −2)} + \frac{C}{{(x −2)}^{2}}] x {(x −2)}^{2} \\ - x^{2} + 2 x + 4 = A {(x −2)}^{2} + B x (x −2) + C x \end{array}

On the right side of the equation, we expand and collect like terms.

式の右辺で展開し、同類項をまとめる。

\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 4 = A (x^{2} - 4 x + 4) + B (x^{2} - 2 x) + C x \\ = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x \\ = (A + B) x^{2} + (- 4 A - 2 B + C) x + 4 A \end{array}

Next, we compare the coefficients of both sides. This will give the system of equations in three variables:

次に、両辺の係数を比べる。これで三変数の連立方程式が得られる。

- x^{2} + 2 x + 4 = (A + B) x^{2} + (−4 A −2 B + C) x + 4 A

\begin{array}{r} A + B = −1 & (1) \\ −4 A −2 B + C = 2 & (2) \\ 4 A = 4 & (3) \end{array}

Solving for $A$ , we have

$A$ について解くと、次を得る。

\begin{array}{l} 4 A = 4 \\ A = 1 \end{array}

Substitute $A = 1$ into equation (1).

$A = 1$ を式(1)に代入する。

\begin{array}{l} A + B = −1 \\ (1) + B = −1 \\ B = −2 \end{array}

Then, to solve for $C,$ substitute the values for $A$ and $B$ into equation (2).

そして $C$ について解くため、 $A$ と $B$ の値を式(2)に代入する。

\begin{array}{r} −4 A −2 B + C = 2 \\ −4 (1) −2 (−2) + C = 2 \\ −4 + 4 + C = 2 \\ C = 2 \end{array}

Thus,

よって、

\frac{- x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} −4 x^{2} + 4 x} = \frac{1}{x} - \frac{2}{(x −2)} + \frac{2}{{(x −2)}^{2}}

Try it feature #2確認問題 2

Find the partial fraction decomposition of the expression with repeated linear factors.

繰り返す一次の因数を持つこの式の部分分数分解を求めよ。

\frac{6 x −11}{{(x −1)}^{2}}

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)},$ Where Q(x) Has a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)},$ を分解する

So far, we have performed partial fraction decomposition with expressions that have had linear factors in the denominator, and we applied numerators $A, B,$ or $C$ representing constants. Now we will look at an example where one of the factors in the denominator is a quadratic expression that does not factor. This is referred to as an irreducible quadratic factor. In cases like this, we use a linear numerator such as $A x + B, B x + C,$ etc.

ここまで、分母に一次の因数を持つ式の部分分数分解を行い、定数を表す分子 $A, B,$ や $C$ を使ってきた。次に、分母の因数の一つが因数分解できない二次の式である例を見る。これを既約な二次の因数という。この場合は、 $A x + B, B x + C,$ などの一次の分子を使う。

Note重要事項

Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ Has a Nonrepeated Irreducible Quadratic Factor $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つときの分解

The partial fraction decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)}$ such that $Q (x)$ has a nonrepeated irreducible quadratic factor and the degree of $P (x)$ is less than the degree of $Q (x)$ is written as

$Q (x)$ が繰り返しの無い既約な二次の因数を持ち、 $P (x)$ の次数が $Q (x)$ の次数より小さいような $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の部分分数分解は、次のように書く。

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{(a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{(a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})}

The decomposition may contain more rational expressions if there are linear factors. Each linear factor will have a different constant numerator: $A, B, C,$ and so on.

一次の因数があるなら、分解にはもっと多くの有理式が入りうる。各一次の因数は違う定数の分子を持つ。 $A, B, C,$ などである。

How To手順

Given a rational expression where the factors of the denominator are distinct, irreducible quadratic factors, decompose it.

分母の因数が異なる既約な二次の因数である有理式が与えられたとき、それを分解する。

1. Use variables such as $A, B,$ or $C$ for the constant numerators over linear factors, and linear expressions such as $A_{1} x + B_{1}, A_{2} x + B_{2},$ etc., for the numerators of each quadratic factor in the denominator. $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A}{a x + b} + \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{(a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{(a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})}$ 2. Multiply both sides of the equation by the common denominator to eliminate fractions.3. Expand the right side of the equation and collect like terms.4. Set coefficients of like terms from the left side of the equation equal to those on the right side to create a system of equations to solve for the numerators.

1. 一次の因数の上の定数の分子には $A, B,$ や $C$ のような変数を使い、分母の各二次の因数の分子には $A_{1} x + B_{1}, A_{2} x + B_{2},$ などの一次の式を使う。 $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A}{a x + b} + \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{(a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2})} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{(a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})}$ 2. 分数を消すため、式の両辺に共通の分母を掛ける。3. 式の右辺を展開し、同類項をまとめる。4. 式の左辺の同類項の係数を右辺のものと等しいと置き、分子について解く連立方程式を作る。

Example 3例3

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ When Q(x) Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を含むときに $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Find a partial fraction decomposition of the given expression.

与えられた式の部分分数分解を求めよ。

\frac{8 x^{2} + 12 x −20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)}

Solution 解答

We have one linear factor and one irreducible quadratic factor in the denominator, so one numerator will be a constant and the other numerator will be a linear expression. Thus,

分母には一次の因数が一つと既約な二次の因数が一つあるので、一方の分子は定数、もう一方の分子は一次の式になる。よって、

\frac{8 x^{2} + 12 x −20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)} = \frac{A}{(x + 3)} + \frac{B x + C}{(x^{2} + x + 2)}

We follow the same steps as in previous problems. First, clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the common denominator.

前の問題と同じ手順に従う。まず、式の両辺に共通の分母を掛けて分数を払う。

\begin{array}{l} (x + 3) (x^{2} + x + 2) [\frac{8 x^{2} + 12 x - 20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)}] = [\frac{A}{(x + 3)} + \frac{B x + C}{(x^{2} + x + 2)}] (x + 3) (x^{2} + x + 2) \\ 8 x^{2} + 12 x - 20 = A (x^{2} + x + 2) + (B x + C) (x + 3) \end{array}

Notice we could easily solve for $A$ by choosing a value for $x$ that will make the $B x + C$ term equal 0. Let $x = −3$ and substitute it into the equation.

$B x + C$ の項を0にする $x$ の値を選べば、 $A$ について簡単に解けることに注意せよ。 $x = −3$ としてこの式に代入する。

\begin{array}{l} 8 x^{2} + 12 x - 20 = A (x^{2} + x + 2) + (B x + C) (x + 3) \\ 8 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) - 20 = A ({(- 3)}^{2} + (- 3) + 2) + (B (- 3) + C) ((- 3) + 3) \\ 16 = 8 A \\ A = 2 \end{array}

Now that we know the value of $A,$ substitute it back into the equation. Then expand the right side and collect like terms.

$A,$ の値が分かったので、それをこの式に戻して代入する。そして右辺を展開し、同類項をまとめる。

\begin{array}{l} 8 x^{2} + 12 x −20 = 2 (x^{2} + x + 2) + (B x + C) (x + 3) \\ 8 x^{2} + 12 x −20 = 2 x^{2} + 2 x + 4 + B x^{2} + 3 B + C x + 3 C \\ 8 x^{2} + 12 x −20 = (2 + B) x^{2} + (2 + 3 B + C) x + (4 + 3 C) \end{array}

Setting the coefficients of terms on the right side equal to the coefficients of terms on the left side gives the system of equations.

右辺の項の係数を左辺の項の係数と等しいと置くと、連立方程式が得られる。

\begin{array}{l} 2 + B = 8 & (1) \\ 2 + 3 B + C = 12 & (2) \\ 4 + 3 C = −20 & (3) \end{array}

Solve for $B$ using equation (1) and solve for $C$ using equation (3).

式(1)を使って $B$ について解き、式(3)を使って $C$ について解く。

\begin{array}{l} 2 + B = 8 & (1) \\ B = 6 \\ 4 + 3 C = −20 & (3) \\ 3 C = −24 \\ C = −8 \end{array}

Thus, the partial fraction decomposition of the expression is

よって、この式の部分分数分解は次である。

\frac{8 x^{2} + 12 x −20}{(x + 3) (x^{2} + x + 2)} = \frac{2}{(x + 3)} + \frac{6 x −8}{(x^{2} + x + 2)}

QA疑問と答え

Could we have just set up a system of equations to solve Example 3?

例3を解くのに、連立方程式を立てるだけでもよかったか。

Yes, we could have solved it by setting up a system of equations without solving for $A$ first. The expansion on the right would be:

よい。先に $A$ について解かずに、連立方程式を立てて解くこともできた。右辺の展開は次になる。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 8 x^{2} + 12 x −20 = A x^{2} + A x + 2 A + B x^{2} + 3 B + C x + 3 C \end{array} \\ 8 x^{2} + 12 x −20 = (A + B) x^{2} + (A + 3 B + C) x + (2 A + 3 C) \end{array}

So the system of equations would be:

すると連立方程式は次になる。

\begin{array}{l} A + B = 8 \\ A + 3 B + C = 12 \\ 2 A + 3 C = −20 \end{array}

Try it feature #3確認問題 3

Find the partial fraction decomposition of the expression with a nonrepeating irreducible quadratic factor.

繰り返しの無い既約な二次の因数を持つこの式の部分分数分解を求めよ。

\frac{5 x^{2} −6 x + 7}{(x −1) (x^{2} + 1)}

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返す既約な二次の因数を持つときに $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Now that we can decompose a simplified rational expression with an irreducible quadratic factor, we will learn how to do partial fraction decomposition when the simplified rational expression has repeated irreducible quadratic factors. The decomposition will consist of partial fractions with linear numerators over each irreducible quadratic factor represented in increasing powers.

既約な二次の因数を持つ、簡単にした有理式を分解できるようになったので、簡単にした有理式が繰り返す既約な二次の因数を持つときの部分分数分解のしかたを学ぶ。分解は、次数の増える順に表した各既約な二次の因数の上に一次の分子を置いた部分分数からなる。

Note重要事項

Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)}$ When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返す既約な二次の因数を持つときの $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の分解

The partial fraction decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)},$ when $Q (x)$ has a repeated irreducible quadratic factor and the degree of $P (x)$ is less than the degree of $Q (x),$ is

$Q (x)$ が繰り返す既約な二次の因数を持ち、 $P (x)$ の次数が $Q (x),$ の次数より小さいとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)},$ の部分分数分解は次である。

\frac{P (x)}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} = \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \frac{A_{3} x + B_{3}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}}

Write the denominators in increasing powers.

分母は次数の増える順に書く。

How To手順

Given a rational expression that has a repeated irreducible factor, decompose it.

繰り返す既約な因数を持つ有理式が与えられたとき、それを分解する。

1. Use variables like $A, B,$ or $C$ for the constant numerators over linear factors, and linear expressions such as $A_{1} x + B_{1}, A_{2} x + B_{2},$ etc., for the numerators of each quadratic factor in the denominator written in increasing powers, such as $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A}{a x + b} + \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}}$ 2. Multiply both sides of the equation by the common denominator to eliminate fractions.3. Expand the right side of the equation and collect like terms.4. Set coefficients of like terms from the left side of the equation equal to those on the right side to create a system of equations to solve for the numerators.

1. 一次の因数の上の定数の分子には $A, B,$ や $C$ のような変数を使い、分母の各二次の因数の分子には $A_{1} x + B_{1}, A_{2} x + B_{2},$ などの一次の式を使い、 $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A}{a x + b} + \frac{A_{1} x + B_{1}}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}}$ のように次数の増える順に書く。2. 分数を消すため、式の両辺に共通の分母を掛ける。3. 式の右辺を展開し、同類項をまとめる。4. 式の左辺の同類項の係数を右辺のものと等しいと置き、分子について解く連立方程式を作る。

Example 4例4

Decomposing a Rational Function with a Repeated Irreducible Quadratic Factor in the Denominator分母に繰り返す既約な二次の因数を持つ有理関数を分解する

Decompose the given expression that has a repeated irreducible factor in the denominator.

分母に繰り返す既約な因数を持つ与えられた式を分解せよ。

\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}

Solution 解答

The factors of the denominator are $x, (x^{2} + 1),$ and ${(x^{2} + 1)}^{2} .$ Recall that, when a factor in the denominator is a quadratic that includes at least two terms, the numerator must be of the linear form $A x + B .$ So, let’s begin the decomposition.

分母の因数は $x, (x^{2} + 1),$ と ${(x^{2} + 1)}^{2} .$ である。分母の因数が二項以上を含む二次のとき、分子は一次の形 $A x + B .$ でなければならないことを思い出せ。では分解を始めよう。

\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{(x^{2} + 1)} + \frac{D x + E}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

We eliminate the denominators by multiplying each term by $x {(x^{2} + 1)}^{2} .$ Thus,

各項に $x {(x^{2} + 1)}^{2} .$ を掛けて分母を消す。よって、

x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A {(x^{2} + 1)}^{2} + (B x + C) (x) (x^{2} + 1) + (D x + E) (x)

Expand the right side.

右辺を展開する。

\begin{array}{l} x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = A (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x + D x^{2} + E x \\ = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x + D x^{2} + E x \end{array}

Now we will collect like terms.

では同類項をまとめる。

x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 = (A + B) x^{4} + (C) x^{3} + (2 A + B + D) x^{2} + (C + E) x + A

Set up the system of equations matching corresponding coefficients on each side of the equal sign.

等号の両側の対応する係数をそろえて連立方程式を立てる。

\begin{array}{l} A + B = 1 \\ C = 1 \\ 2 A + B + D = 1 \\ C + E = −1 \\ A = 1 \end{array}

We can use substitution from this point. Substitute $A = 1$ into the first equation.

ここからは代入が使える。 $A = 1$ を一つ目の式に代入する。

\begin{array}{l} 1 + B = 1 \\ B = 0 \end{array}

Substitute $A = 1$ and $B = 0$ into the third equation.

$A = 1$ と $B = 0$ を三つ目の式に代入する。

\begin{array}{l} 2 (1) + 0 + D = 1 \\ D = −1 \end{array}

Substitute $C = 1$ into the fourth equation.

$C = 1$ を四つ目の式に代入する。

\begin{array}{r} 1 + E = −1 \\ E = −2 \end{array}

Now we have solved for all of the unknowns on the right side of the equal sign. We have $A = 1,$ $B = 0,$ $C = 1,$ $D = −1,$ and $E = −2.$ We can write the decomposition as follows:

これで等号の右側の未知数がすべて解けた。 $A = 1$ $B = 0$ $C = 1$ $D = −1$ $E = −2.$ である。分解は次のように書ける。

\frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{(x^{2} + 1)} - \frac{x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Try IT Feature label #4確認問題 4

Find the partial fraction decomposition of the expression with a repeated irreducible quadratic factor.

繰り返す既約な二次の因数を持つこの式の部分分数分解を求めよ。

\frac{x^{3} −4 x^{2} + 9 x −5}{{(x^{2} −2 x + 3)}^{2}}

Media関連教材

Access these online resources for additional instruction and practice with partial fractions.

部分分数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Partial Fraction Decomposition• Partial Fraction Decomposition With Repeated Linear Factors• Partial Fraction Decomposition With Linear and Quadratic Factors

・部分分数分解・繰り返す一次の因数があるときの部分分数分解・一次と二次の因数があるときの部分分数分解

Verbal言葉で答える問題

1. Can any quotient of polynomials be decomposed into at least two partial fractions? If so, explain why, and if not, give an example of such a fraction

1. 多項式の商はどれも、少なくとも二つの部分分数に分解できるか。できるならその理由を説明し、できないならそのような分数の例を挙げよ。

2. Can you explain why a partial fraction decomposition is unique? (Hint: Think about it as a system of equations.)

2. 部分分数分解がただ一通りである理由を説明できるか。(手がかり: 連立方程式として考えてみよ。)

3. Can you explain how to verify a partial fraction decomposition graphically?

3. 部分分数分解をグラフで確かめるしかたを説明できるか。

4. You are unsure if you correctly decomposed the partial fraction correctly. Explain how you could double-check your answer.

4. 部分分数を正しく分解できたか自信が無いとする。答えを二重に確かめるしかたを説明せよ。

5. Once you have a system of equations generated by the partial fraction decomposition, can you explain another method to solve it? For example if you had $\frac{7 x + 13}{3 x^{2} + 8 x + 15} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{3 x + 5}$ , we eventually simplify to $7 x + 13 = A (3 x + 5) + B (x + 1) .$ Explain how you could intelligently choose an $x$ -value that will eliminate either $A$ or $B$ and solve for $A$ and $B .$

5. 部分分数分解から連立方程式ができたとき、それを解く別の方法を説明できるか。たとえば $\frac{7 x + 13}{3 x^{2} + 8 x + 15} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{3 x + 5}$ があったとすると、最後には $7 x + 13 = A (3 x + 5) + B (x + 1)$ まで簡単になる。 $A$ か $B$ のどちらかを消す $x$ の値を賢く選び、 $A$ と $B$ について解くしかたを説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the decomposition of the partial fraction for the nonrepeating linear factors.

次の各問について、繰り返しの無い一次の因数についての部分分数分解を求めよ。

6. $\frac{5 x + 16}{x^{2} + 10 x + 24}$

7. $\frac{3 x −79}{x^{2} −5 x −24}$

8. $\frac{- x −24}{x^{2} −2 x −24}$

9. $\frac{10 x + 47}{x^{2} + 7 x + 10}$

10. $\frac{x}{6 x^{2} + 25 x + 25}$

11. $\frac{32 x −11}{20 x^{2} −13 x + 2}$

12. $\frac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 10}$

13. $\frac{5 x}{x^{2} −9}$

14. $\frac{10 x}{x^{2} −25}$

15. $\frac{6 x}{x^{2} −4}$

16. $\frac{2 x −3}{x^{2} −6 x + 5}$

17. $\frac{4 x −1}{x^{2} - x −6}$

18. $\frac{4 x + 3}{x^{2} + 8 x + 15}$

19. $\frac{3 x −1}{x^{2} −5 x + 6}$

For the following exercises, find the decomposition of the partial fraction for the repeating linear factors.

次の各問について、繰り返す一次の因数についての部分分数分解を求めよ。

20. $\frac{−5 x −19}{{(x + 4)}^{2}}$

21. $\frac{x}{{(x −2)}^{2}}$

22. $\frac{7 x + 14}{{(x + 3)}^{2}}$

23. $\frac{−24 x −27}{{(4 x + 5)}^{2}}$

24. $\frac{−24 x −27}{{(6 x −7)}^{2}}$

25. $\frac{5 - x}{{(x −7)}^{2}}$

26. $\frac{5 x + 14}{2 x^{2} + 12 x + 18}$

27. $\frac{5 x^{2} + 20 x + 8}{2 x {(x + 1)}^{2}}$

28. $\frac{4 x^{2} + 55 x + 25}{5 x {(3 x + 5)}^{2}}$

29. $\frac{54 x^{3} + 127 x^{2} + 80 x + 16}{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{2}}$

30. $\frac{x^{3} −5 x^{2} + 12 x + 144}{x^{2} (x^{2} + 12 x + 36)}$

For the following exercises, find the decomposition of the partial fraction for the irreducible nonrepeating quadratic factor.

次の各問について、既約で繰り返しの無い二次の因数についての部分分数分解を求めよ。

31. $\frac{4 x^{2} + 6 x + 11}{(x + 2) (x^{2} + x + 3)}$

32. $\frac{4 x^{2} + 9 x + 23}{(x −1) (x^{2} + 6 x + 11)}$

33. $\frac{−2 x^{2} + 10 x + 4}{(x −1) (x^{2} + 3 x + 8)}$

34. $\frac{x^{2} + 3 x + 1}{(x + 1) (x^{2} + 5 x −2)}$

35. $\frac{4 x^{2} + 17 x −1}{(x + 3) (x^{2} + 6 x + 1)}$

36. $\frac{4 x^{2}}{(x + 5) (x^{2} + 7 x −5)}$

37. $\frac{4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{3} −1}$

38. $\frac{−5 x^{2} + 18 x −4}{x^{3} + 8}$

39. $\frac{3 x^{2} −7 x + 33}{x^{3} + 27}$

40. $\frac{x^{2} + 2 x + 40}{x^{3} −125}$

41. $\frac{4 x^{2} + 4 x + 12}{8 x^{3} −27}$

42. $\frac{−50 x^{2} + 5 x −3}{125 x^{3} −1}$

43. $\frac{−2 x^{3} −30 x^{2} + 36 x + 216}{x^{4} + 216 x}$

For the following exercises, find the decomposition of the partial fraction for the irreducible repeating quadratic factor.

次の各問について、既約で繰り返す二次の因数についての部分分数分解を求めよ。

44. $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 14 x + 15}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

45. $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 9}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

46. $\frac{x^{3} - x^{2} + x −1}{{(x^{2} −3)}^{2}}$

47. $\frac{x^{2} + 5 x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

48. $\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x + 9)}^{2}}$

49. $\frac{x^{2} + 25}{{(x^{2} + 3 x + 25)}^{2}}$

50. $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 7 x + 70}{{(2 x^{2} + x + 14)}^{2}}$

51. $\frac{5 x + 2}{x {(x^{2} + 4)}^{2}}$

52. $\frac{x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + 6 x + 36}{x {(x^{2} + 6)}^{2}}$

53. $\frac{2 x −9}{{(x^{2} - x)}^{2}}$

54. $\frac{5 x^{3} −2 x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{2}}$

Extensions発展問題

For the following exercises, find the partial fraction expansion.

次の各問について、部分分数への展開を求めよ。

55. $\frac{x^{2} + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

56. $\frac{x^{3} −4 x^{2} + 5 x + 4}{{(x −2)}^{3}}$

For the following exercises, perform the operation and then find the partial fraction decomposition.

次の各問について、演算を行い、そして部分分数分解を求めよ。

57. $\frac{7}{x + 8} + \frac{5}{x −2} - \frac{x −1}{x^{2} −6 x −16}$

58. $\frac{1}{x −4} - \frac{3}{x + 6} - \frac{2 x + 7}{x^{2} + 2 x −24}$

59. $\frac{2 x}{x^{2} −16} - \frac{1 −2 x}{x^{2} + 6 x + 8} - \frac{x −5}{x^{2} −4 x}$

第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.4 Partial Fractions11.4 部分分数

Decomposing P( x ) Q( x ) Where Q(x) Has Only Nonrepeated Linear FactorsQ(x) が繰り返しの無い一次の因数だけを持つとき、P( x ) Q( x ) を分解する

Partial Fraction Decomposition of P( x ) Q( x ) :Q(x) Has Nonrepeated Linear FactorsP( x ) Q( x ) :Q(x) が繰り返しの無い一次の因数を持つときの部分分数分解

Decomposing a Rational Function with Distinct Linear Factors異なる一次の因数を持つ有理関数を分解する

Decomposing P( x ) Q( x ) Where Q(x) Has Repeated Linear FactorsQ(x) が繰り返す一次の因数を持つとき、P( x ) Q( x ) を分解する

Partial Fraction Decomposition of P( x ) Q( x ) :Q(x) Has Repeated Linear FactorsP( x ) Q( x ) :Q(x) が繰り返す一次の因数を持つときの部分分数分解

Decomposing with Repeated Linear Factors繰り返す一次の因数があるときの分解

Decomposing P( x ) Q( x ) , Where Q(x) Has a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つとき、P( x ) Q( x ) , を分解する

Decomposition of P( x ) Q( x ) :Q(x) Has a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorP( x ) Q( x ) :Q(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つときの分解

Decomposing P( x ) Q( x ) When Q(x) Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を含むときに P( x ) Q( x ) を分解する

Decomposing P( x ) Q( x ) When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返す既約な二次の因数を持つときに P( x ) Q( x ) を分解する

Decomposition of P( x ) Q( x ) When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返す既約な二次の因数を持つときの P( x ) Q( x ) の分解

Decomposing a Rational Function with a Repeated Irreducible Quadratic Factor in the Denominator分母に繰り返す既約な二次の因数を持つ有理関数を分解する

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ Where Q(x) Has Only Nonrepeated Linear FactorsQ(x) が繰り返しの無い一次の因数だけを持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Partial Fraction Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ Has Nonrepeated Linear Factors $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ が繰り返しの無い一次の因数を持つときの部分分数分解

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ Where Q(x) Has Repeated Linear FactorsQ(x) が繰り返す一次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Partial Fraction Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ Has Repeated Linear Factors $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ が繰り返す一次の因数を持つときの部分分数分解

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)},$ Where Q(x) Has a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つとき、 $\frac{P (x)}{Q (x)},$ を分解する

Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ Has a Nonrepeated Irreducible Quadratic Factor $\frac{P (x)}{Q (x)} : Q (x)$ が繰り返しの無い既約な二次の因数を持つときの分解

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ When Q(x) Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返しの無い既約な二次の因数を含むときに $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Decomposing $\frac{P (x)}{Q (x)}$ When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返す既約な二次の因数を持つときに $\frac{P (x)}{Q (x)}$ を分解する

Decomposition of $\frac{P (x)}{Q (x)}$ When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic FactorQ(x) が繰り返す既約な二次の因数を持つときの $\frac{P (x)}{Q (x)}$ の分解