第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.6 Solving Systems with Gaussian Elimination11.6 ガウスの消去法で連立方程式を解く

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Write the augmented matrix of a system of equations.• Write the system of equations from an augmented matrix.• Perform row operations on a matrix.• Solve a system of linear equations using matrices.

・連立方程式の拡大係数行列を書く。・拡大係数行列から連立方程式を書く。・行列に行の演算を行う。・行列を使って連立一次方程式を解く。

A close-up portrait of an elderly man, likely Carl Friedrich Gauss, depicted with a dark hat, white sideburns, and a formal white collar against a dark background, showcasing a serious expression. — Figure 1 German mathematician Carl Friedrich Gauss (1777–1855).図1 ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウス(1777–1855)。

Carl Friedrich Gauss lived during the late 18th century and early 19th century, but he is still considered one of the most prolific mathematicians in history. His contributions to the science of mathematics and physics span fields such as algebra, number theory, analysis, differential geometry, astronomy, and optics, among others. His discoveries regarding matrix theory changed the way mathematicians have worked for the last two centuries.

カール・フリードリヒ・ガウスは18世紀の終わりから19世紀の初めに生きたが、今も史上もっとも多くの業績を残した数学者の一人とされる。数学と物理学への彼の寄与は、代数、数論、解析、微分幾何、天文学、光学など多くの分野に及ぶ。行列の理論についての彼の発見は、この二世紀の数学者の仕事のしかたを変えた。

We first encountered Gaussian elimination in Systems of Linear Equations: Two Variables. In this section, we will revisit this technique for solving systems, this time using matrices.

ガウスの消去法には「連立一次方程式: 二変数」で初めて出会った。この節では、組を解くこの手法を、今度は行列を使ってもう一度見る。

Writing the Augmented Matrix of a System of Equations連立方程式の拡大係数行列を書く

A matrix can serve as a device for representing and solving a system of equations. To express a system in matrix form, we extract the coefficients of the variables and the constants, and these become the entries of the matrix. We use a vertical line to separate the coefficient entries from the constants, essentially replacing the equal signs. When a system is written in this form, we call it an augmented matrix.

行列は、連立方程式を表して解く道具として使える。組を行列の形で表すには、変数の係数と定数を取り出し、それらが行列の成分になる。係数の成分と定数を分けるのに縦線を使い、これが要するに等号の代わりになる。組をこの形で書いたとき、これを拡大係数行列という。

For example, consider the following $2 \times 2$ system of equations.

たとえば、次の $2 \times 2$ の連立方程式を考えよ。

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 7 \\ 4 x −2 y = 5 \end{array}

We can write this system as an augmented matrix:

この組は拡大係数行列として次のように書ける。

[\begin{array}{r} 3 & 4 \\ 4 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} 7 \\ 5 \end{array}]

We can also write a matrix containing just the coefficients. This is called the coefficient matrix.

係数だけを含む行列も書ける。これを係数行列という。

[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & −2 \end{matrix}]

A three-by-three system of equations such as

次のような三元の連立方程式は

\begin{array}{l} 3 x - y - z = 0 \\ x + y = 5 \\ 2 x −3 z = 2 \end{array}

has a coefficient matrix

次の係数行列を持ち、

[\begin{array}{r} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{array}]

and is represented by the augmented matrix

次の拡大係数行列で表される。

[\begin{array}{r} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}]

Notice that the matrix is written so that the variables line up in their own columns: x-terms go in the first column, y-terms in the second column, and z-terms in the third column. It is very important that each equation is written in standard form $a x + b y + c z = d$ so that the variables line up. When there is a missing variable term in an equation, the coefficient is 0.

変数がそれぞれの列にそろうように行列が書かれていることに注意せよ。x の項は1列目、y の項は2列目、z の項は3列目に入る。変数がそろうように、各式を標準の形 $a x + b y + c z = d$ で書くことがきわめて大切である。式に欠けている変数の項があるときは、その係数は0である。

How To 手順

Given a system of equations, write an augmented matrix.

連立方程式が与えられたとき、拡大係数行列を書く。

1. Write the coefficients of the x-terms as the numbers down the first column.2. Write the coefficients of the y-terms as the numbers down the second column.3. If there are z-terms, write the coefficients as the numbers down the third column.4. Draw a vertical line and write the constants to the right of the line.

1. x の項の係数を1列目に上から書く。2. y の項の係数を2列目に上から書く。3. z の項があるなら、その係数を3列目に上から書く。4. 縦線を引き、その右に定数を書く。

Example 1例1

Writing the Augmented Matrix for a System of Equations連立方程式の拡大係数行列を書く

Write the augmented matrix for the given system of equations.

与えられた連立方程式の拡大係数行列を書け。

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 3 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ x - 3 y + 3 z = 4 \end{array}

Solution 解答

The augmented matrix displays the coefficients of the variables, and an additional column for the constants.

拡大係数行列は変数の係数と、定数のための追加の列を示す。

[\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 2 & −1 & 2 \\ 1 & −3 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}]

Try It #1やってみよう1

Write the augmented matrix of the given system of equations.

与えられた連立方程式の拡大係数行列を書け。

\begin{array}{l} 4 x −3 y = 11 \\ 3 x + 2 y = 4 \end{array}

Writing a System of Equations from an Augmented Matrix拡大係数行列から連立方程式を書く

We can use augmented matrices to help us solve systems of equations because they simplify operations when the systems are not encumbered by the variables. However, it is important to understand how to move back and forth between formats in order to make finding solutions smoother and more intuitive. Here, we will use the information in an augmented matrix to write the system of equations in standard form.

拡大係数行列は、組が変数に煩わされないので演算を簡単にし、連立方程式を解くのに役立つ。だが、解を求めるのがなめらかで直観的になるように、二つの書き方のあいだを行き来するしかたを理解しておくことが大切である。ここでは、拡大係数行列の情報を使って連立方程式を標準の形で書く。

Example 2例2

Writing a System of Equations from an Augmented Matrix Form拡大係数行列の形から連立方程式を書く

Find the system of equations from the augmented matrix.

この拡大係数行列から連立方程式を求めよ。

[\begin{array}{r} 1 & −3 & −5 \\ 2 & −5 & −4 \\ −3 & 5 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} −2 \\ 5 \\ 6 \end{array}]

Solution 解答

When the columns represent the variables $x,$ $y,$ and $z,$

列が変数 $x$ $y$ $z$ を表すとき、

[\begin{array}{r} 1 & −3 & −5 \\ 2 & −5 & −4 \\ −3 & 5 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} −2 \\ 5 \\ 6 \end{array}] \to \begin{array}{l} x - 3 y - 5 z = - 2 \\ 2 x - 5 y - 4 z = 5 \\ −3 x + 5 y + 4 z = 6 \end{array}

Try It #2やってみよう2

Write the system of equations from the augmented matrix.

この拡大係数行列から連立方程式を書け。

[\begin{matrix} 1 & −1 & 1 \\ 2 & −1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ −9 \end{matrix}]

Performing Row Operations on a Matrix行列に行の演算を行う

Now that we can write systems of equations in augmented matrix form, we will examine the various row operations that can be performed on a matrix, such as addition, multiplication by a constant, and interchanging rows.

連立方程式を拡大係数行列の形で書けるようになったので、行列に行える行の演算、すなわち足し算、定数を掛けること、行の入れ替えなど、いろいろな演算を調べる。

Performing row operations on a matrix is the method we use for solving a system of equations. In order to solve the system of equations, we want to convert the matrix to row-echelon form, in which there are ones down the main diagonal from the upper left corner to the lower right corner, and zeros in every position below the main diagonal as shown.

行列に行の演算を行うことが、連立方程式を解くのに使う方法である。連立方程式を解くには、行列を行階段形に直したい。これは、下に示すとおり、左上の隅から右下の隅への主対角線に沿って1が並び、主対角線より下のすべての位置に0が並ぶ形である。

\begin{matrix} Row-echelon form \\ [\begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

We use row operations corresponding to equation operations to obtain a new matrix that is row-equivalent in a simpler form. Here are the guidelines to obtaining row-echelon form.

式の演算に対応する行の演算を使い、より簡単な形の、行について同値な新しい行列を得る。行階段形を得るための指針を次に示す。

1. In any nonzero row, the first nonzero number is a 1. It is called a leading 1.2. Any all-zero rows are placed at the bottom on the matrix.3. Any leading 1 is below and to the right of a previous leading 1.4. Any column containing a leading 1 has zeros in all other positions in the column.

1. 零でないどの行でも、最初の零でない数は1である。これを先頭の1という。2. すべて零の行は、行列のいちばん下に置く。3. どの先頭の1も、一つ前の先頭の1より下かつ右にある。4. 先頭の1を含むどの列も、その列の他のすべての位置が0である。

To solve a system of equations we can perform the following row operations to convert the coefficient matrix to row-echelon form and do back-substitution to find the solution.

連立方程式を解くには、次の行の演算を行って係数行列を行階段形に直し、後ろから代入して解を求めればよい。

1. Interchange rows. (Notation: $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ )2. Multiply a row by a constant. (Notation: $c R_{i}$ )3. Add the product of a row multiplied by a constant to another row. (Notation: $R_{i} + c R_{j})$

1. 行を入れ替える。(表記: $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ )2. 行に定数を掛ける。(表記: $c R_{i}$ )3. 行に定数を掛けた積を、別の行に足す。(表記: $R_{i} + c R_{j})$

Each of the row operations corresponds to the operations we have already learned to solve systems of equations in three variables. With these operations, there are some key moves that will quickly achieve the goal of writing a matrix in row-echelon form. To obtain a matrix in row-echelon form for finding solutions, we use Gaussian elimination, a method that uses row operations to obtain a 1 as the first entry so that row 1 can be used to convert the remaining rows.

行の演算はそれぞれ、三変数の連立方程式を解くのにすでに学んだ演算に対応する。この演算を使うと、行列を行階段形に書くという目標をすばやく達する要となる手がいくつかある。解を求めるために行列を行階段形にするには、ガウスの消去法を使う。これは、行の演算を使って最初の成分を1にし、その1行目で残りの行を直す方法である。

Gaussian Elimination ガウスの消去法

The Gaussian elimination method refers to a strategy used to obtain the row-echelon form of a matrix. The goal is to write matrix $A$ with the number 1 as the entry down the main diagonal and have all zeros below.

ガウスの消去法とは、行列の行階段形を得るのに使う戦略である。目標は、主対角線に沿って成分を1にし、その下をすべて零にして行列 $A$ を書くことである。

A = [\begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}] \overset{After Gaussian elimination}{\to} A = [\begin{array}{r} 1 & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 1 & b_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

The first step of the Gaussian strategy includes obtaining a 1 as the first entry, so that row 1 may be used to alter the rows below.

ガウスの戦略の第一歩は、最初の成分を1にして、1行目で下の行を変えられるようにすることである。

How To 手順

Given an augmented matrix, perform row operations to achieve row-echelon form.

拡大係数行列が与えられたとき、行の演算を行って行階段形にする。

1. The first equation should have a leading coefficient of 1. Interchange rows or multiply by a constant, if necessary.2. Use row operations to obtain zeros down the first column below the first entry of 1.3. Use row operations to obtain a 1 in row 2, column 2.4. Use row operations to obtain zeros down column 2, below the entry of 1.5. Use row operations to obtain a 1 in row 3, column 3.6. Continue this process for all rows until there is a 1 in every entry down the main diagonal and there are only zeros below.7. If any rows contain all zeros, place them at the bottom.

1. 一つ目の式は先頭の係数が1であるべきである。必要なら行を入れ替えるか、定数を掛ける。2. 行の演算を使い、1列目の最初の成分1より下をすべて零にする。3. 行の演算を使い、2行2列を1にする。4. 行の演算を使い、2列目の成分1より下をすべて零にする。5. 行の演算を使い、3行3列を1にする。6. 主対角線に沿ってすべての成分が1になり、その下がすべて零になるまで、この手順をすべての行について続ける。7. すべて零の行があるなら、それをいちばん下に置く。

Example 3例3

Solving a $2 \times 2$ System by Gaussian Eliminationガウスの消去法で $2 \times 2$ の組を解く

Solve the given system by Gaussian elimination.

与えられた組をガウスの消去法で解け。

\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 6 \\ x - y = \frac{1}{2} \end{array}

Solution 解答

First, we write this as an augmented matrix.

まず、これを拡大係数行列として書く。

[\begin{array}{r} 2 & 3 \\ 1 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 6 \\ \frac{1}{2} \end{array}]

We want a 1 in row 1, column 1. This can be accomplished by interchanging row 1 and row 2.

1行1列を1にしたい。これは1行目と2行目を入れ替えればできる。

R_{1} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 2 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 6 \end{array}]

We now have a 1 as the first entry in row 1, column 1. Now let’s obtain a 0 in row 2, column 1. This can be accomplished by multiplying row 1 by $−2,$ and then adding the result to row 2.

これで1行1列の最初の成分が1になった。では2行1列を0にしよう。これは1行目に $−2$ を掛け、その結果を2行目に足せばできる。

−2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 0 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 5 \end{array}]

We only have one more step, to multiply row 2 by $\frac{1}{5} .$

あと一歩、2行目に $\frac{1}{5}$ を掛けるだけである。

\frac{1}{5} R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}]

Use back-substitution. The second row of the matrix represents $y = 1.$ Back-substitute $y = 1$ into the first equation.

後ろから代入する。この行列の2行目は $y = 1.$ を表す。 $y = 1$ を一つ目の式に後ろから代入する。

\begin{array}{l} x - (1) = \frac{1}{2} \\ x = \frac{3}{2} \end{array}

The solution is the point $(\frac{3}{2}, 1) .$

解は点 $(\frac{3}{2}, 1)$ である。

Try It #3やってみよう3

Solve the given system by Gaussian elimination.

与えられた組をガウスの消去法で解け。

\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 11 \\ x −3 y = −1 \end{array}

Example 4例4

Using Gaussian Elimination to Solve a System of Equationsガウスの消去法を使って連立方程式を解く

Use Gaussian elimination to solve the given $2 \times 2$ system of equations.

ガウスの消去法を使って、与えられた $2 \times 2$ の連立方程式を解け。

\begin{array}{l} 2 x + y = 1 \\ 4 x + 2 y = 6 \end{array}

Solution 解答

Write the system as an augmented matrix.

この組を拡大係数行列として書く。

[\begin{array}{l} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 6 \end{array}]

Obtain a 1 in row 1, column 1. This can be accomplished by multiplying the first row by $\frac{1}{2} .$

1行1列を1にする。これは1行目に $\frac{1}{2}$ を掛ければできる。

\frac{1}{2} R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 4 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 6 \end{matrix}]

Next, we want a 0 in row 2, column 1. Multiply row 1 by $−4$ and add row 1 to row 2.

次に、2行1列を0にしたい。1行目に $−4$ を掛け、1行目を2行目に足す。

−4 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 4 \end{matrix}]

The second row represents the equation $0 = 4.$ Therefore, the system is inconsistent and has no solution.

2行目は式 $0 = 4.$ を表す。したがってこの組に解は無く、解を持たない。

Example 5例5

Solving a Dependent System従属な組を解く

Solve the system of equations.

この連立方程式を解け。

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ 6 x + 8 y = 24 \end{array}

Solution 解答

Perform row operations on the augmented matrix to try and achieve row-echelon form.

拡大係数行列に行の演算を行い、行階段形にしようとする。

A = [\begin{array}{l} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} | \begin{array}{l} 12 \\ 24 \end{array}]

\begin{array}{l} \begin{array}{l} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{array}{l} 0 & 0 \\ 6 & 8 \end{array} | \begin{array}{l} 0 \\ 24 \end{array}] \\ R_{1} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{array}{l} 6 & 8 \\ 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{l} 24 \\ 0 \end{array}] \end{array} \end{array}

The matrix ends up with all zeros in the last row: $0 y = 0.$ Thus, there are an infinite number of solutions and the system is classified as dependent. To find the generic solution, return to one of the original equations and solve for $y .$

この行列は最後の行がすべて零になる。 $0 y = 0.$ である。よって解は無限にあり、この組は従属に分類される。一般の解を求めるには、元の式の一つに戻って $y$ について解く。

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ 4 y = 12 −3 x \\ y = 3 - \frac{3}{4} x \end{array}

So the solution to this system is $(x, 3 - \frac{3}{4} x) .$

よってこの組の解は $(x, 3 - \frac{3}{4} x)$ である。

Example 6例6

Performing Row Operations on a 3×3 Augmented Matrix to Obtain Row-Echelon Form3×3 の拡大係数行列に行の演算を行って行階段形にする

Perform row operations on the given matrix to obtain row-echelon form.

与えられた行列に行の演算を行い、行階段形にせよ。

[\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 2 & −5 & 6 \\ −3 & 3 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 6 \end{array}]

Solution 解答

The first row already has a 1 in row 1, column 1. The next step is to multiply row 1 by $−2$ and add it to row 2. Then replace row 2 with the result.

1行目はすでに1行1列が1である。次の一歩は、1行目に $−2$ を掛けて2行目に足すことである。そして2行目をその結果で置き換える。

−2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ −3 & 3 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 6 \end{array}]

Next, obtain a zero in row 3, column 1.

次に、3行1列を零にする。

3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −6 & 16 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 15 \end{array}]

Next, obtain a zero in row 3, column 2.

次に、3行2列を零にする。

6 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 15 \end{array}]

The last step is to obtain a 1 in row 3, column 3.

最後の一歩は、3行3列を1にすることである。

\frac{1}{4} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ \frac{15}{4} \end{array}]

Try It #4やってみよう4

Write the system of equations in row-echelon form.

この連立方程式を行階段形で書け。

\begin{array}{l} x - 2 y + 3 z = 9 \\ - x + 3 y = - 4 \\ 2 x - 5 y + 5 z = 17 \end{array}

Solving a System of Linear Equations Using Matrices行列を使って連立一次方程式を解く

We have seen how to write a system of equations with an augmented matrix, and then how to use row operations and back-substitution to obtain row-echelon form. Now, we will take row-echelon form a step farther to solve a 3 by 3 system of linear equations. The general idea is to eliminate all but one variable using row operations and then back-substitute to solve for the other variables.

拡大係数行列で連立方程式を書くしかたと、行の演算と後ろからの代入で行階段形にするしかたを見た。ここでは行階段形をもう一歩進め、一次の3元3式の連立方程式を解く。おおまかな考えは、行の演算で一つを除くすべての変数を消し、そして後ろから代入して他の変数について解くことである。

Example 7例7

Solving a System of Linear Equations Using Matrices行列を使って連立一次方程式を解く

Solve the system of linear equations using matrices.

行列を使ってこの連立一次方程式を解け。

\begin{matrix} \begin{array}{l} x - y + z = 8 \end{array} \\ 2 x + 3 y - z = −2 \\ 3 x - 2 y - 9 z = 9 \end{matrix}

Solution 解答

First, we write the augmented matrix.

まず、拡大係数行列を書く。

[\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 2 \\ 9 \end{array}]

Next, we perform row operations to obtain row-echelon form.

次に、行の演算を行って行階段形にする。

\begin{array}{r} - 2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ 9 \end{array}] & - 3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 12 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ - 15 \end{array}] \end{array}

The easiest way to obtain a 1 in row 2, column 2 is to interchange $R_{2}$ and $R_{3} .$

2行2列を1にするいちばん楽なしかたは、 $R_{2}$ と $R_{3}$ を入れ替えることである。

Interchange R_{2} and R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & −12 & −15 \\ 0 & 5 & −3 & −18 \end{array}]

Then

そして

\begin{array}{l} \begin{array}{r} −5 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 57 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 57 \end{array}] & - \frac{1}{57} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 1 \end{array}] \end{array} \end{array}

The last matrix represents the equivalent system.

最後の行列は同値な組を表す。

\begin{array}{l} x - y + z = 8 \\ y - 12 z = −15 \\ z = 1 \end{array}

Using back-substitution, we obtain the solution as $(4, −3, 1) .$

後ろから代入すると、解 $(4, −3, 1)$ が得られる。

Example 8例8

Solving a Dependent System of Linear Equations Using Matrices行列を使って一次の従属な連立方程式を解く

Solve the following system of linear equations using matrices.

行列を使って次の連立一次方程式を解け。

\begin{array}{r} - x −2 y + z = −1 \\ 2 x + 3 y = 2 \\ y −2 z = 0 \end{array}

Solution 解答

Write the augmented matrix.

拡大係数行列を書く。

[\begin{array}{r} −1 & −2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} −1 \\ 2 \\ 0 \end{array}]

First, multiply row 1 by $−1$ to get a 1 in row 1, column 1. Then, perform row operations to obtain row-echelon form.

まず、1行1列を1にするため1行目に $−1$ を掛ける。そして行の演算を行って行階段形にする。

- R_{1} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}]

R_{2} \leftrightarrow R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}]

−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]

The last matrix represents the following system.

最後の行列は次の組を表す。

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ y - 2 z = 0 \\ 0 = 0 \end{array}

We see by the identity $0 = 0$ that this is a dependent system with an infinite number of solutions. We then find the generic solution. By solving the second equation for $y$ and substituting it into the first equation we can solve for $z$ in terms of $x .$

恒等式 $0 = 0$ から、これは解が無限にある従属な組だと分かる。そこで一般の解を求める。二つ目の式を $y$ について解き、それを一つ目の式に代入すれば、 $x$ で表した $z$ について解ける。

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ y = 2 z \\ x + 2 (2 z) - z = 1 \\ x + 3 z = 1 \\ z = \frac{1 - x}{3} \end{array}

Now we substitute the expression for $z$ into the second equation to solve for $y$ in terms of $x .$

では $z$ の式を二つ目の式に代入し、 $x$ で表した $y$ について解く。

\begin{array}{l} y - 2 z = 0 \\ z = \frac{1 - x}{3} \\ y - 2 (\frac{1 - x}{3}) = 0 \\ y = \frac{2 - 2 x}{3} \end{array}

The generic solution is $(x, \frac{2 −2 x}{3}, \frac{1 - x}{3}) .$

一般の解は $(x, \frac{2 −2 x}{3}, \frac{1 - x}{3})$ である。

Try It #5やってみよう5

Solve the system using matrices.

行列を使ってこの組を解け。

\begin{matrix} x + 4 y - z = 4 \\ 2 x + 5 y + 8 z = 15 \\ x + 3 y −3 z = 1 \end{matrix}

Q&A 疑問と答え

Can any system of linear equations be solved by Gaussian elimination?

連立一次方程式はどれもガウスの消去法で解けるか。

Yes, a system of linear equations of any size can be solved by Gaussian elimination.

解ける。どんな大きさの連立一次方程式もガウスの消去法で解ける。

How To 手順

Given a system of equations, solve with matrices using a calculator.

連立方程式が与えられたとき、電卓を使って行列で解く。

1. Save the augmented matrix as a matrix variable $[A], [B], [C], \dots .$ 2. Use the ref( function in the calculator, calling up each matrix variable as needed.

1. 拡大係数行列を行列の変数 $[A], [B], [C], \dots$ として保存する。2. 必要に応じて各行列の変数を呼び出しながら、電卓の ref( 機能を使う。

Example 9例9

Solving Systems of Equations with Matrices Using a Calculator電卓を使い、行列で連立方程式を解く

Solve the system of equations.

この連立方程式を解け。

\begin{array}{r} 5 x + 3 y + 9 z = −1 \\ −2 x + 3 y - z = −2 \\ - x −4 y + 5 z = 1 \end{array}

Solution 解答

Write the augmented matrix for the system of equations.

この連立方程式の拡大係数行列を書く。

[\begin{array}{r} 5 & 3 & 9 \\ −2 & 3 & −1 \\ −1 & −4 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} −1 \\ −2 \\ −1 \end{array}]

On the matrix page of the calculator, enter the augmented matrix above as the matrix variable $[A] .$

電卓の行列の画面で、上の拡大係数行列を行列の変数 $[A]$ として入れる。

[A] = [\begin{array}{r} 5 & 3 & 9 & −1 \\ −2 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & −4 & 5 & 1 \end{array}]

Use the ref( function in the calculator, calling up the matrix variable $[A] .$

行列の変数 $[A]$ を呼び出して、電卓の ref( 機能を使う。

ref ([A])

Evaluate.

値を求める。

\begin{array}{l} [\begin{array}{r} 1 & \frac{3}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{13}{21} & - \frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{24}{187} \end{array}] \to \begin{array}{l} x + \frac{3}{5} y + \frac{9}{5} z = - \frac{1}{5} \\ y + \frac{13}{21} z = - \frac{4}{7} \\ z = - \frac{24}{187} \end{array} \end{array}

Using back-substitution, the solution is $(\frac{61}{187}, - \frac{92}{187}, - \frac{24}{187}) .$

後ろから代入すると、解は $(\frac{61}{187}, - \frac{92}{187}, - \frac{24}{187})$ である。

Example 10例10

Applying 2 × 2 Matrices to Finance2 × 2 行列を金融に応用する

Carolyn invests a total of $12,000 in two municipal bonds, one paying 10.5% interest and the other paying 12% interest. The annual interest earned on the two investments last year was $1,335. How much was invested at each rate?

キャロリンは合わせて12,000ドルを二つの地方債に投じている。一方は利率10.5%、もう一方は利率12%である。去年この二つの投資から得た年の利息は1,335ドルだった。各利率にいくらずつ投じたか。

Solution 解答

We have a system of two equations in two variables. Let $x =$ the amount invested at 10.5% interest, and $y =$ the amount invested at 12% interest.

二変数二式の組がある。 $x =$ を利率10.5%で投じた額、 $y =$ を利率12%で投じた額とする。

\begin{array}{l} x + y = 12,000 \\ 0.105 x + 0.12 y = 1,335 \end{array}

As a matrix, we have

行列にすると、次を得る。

[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0.105 & 0.12 \end{array} | \begin{array}{r} 12,000 \\ 1,335 \end{array}]

Multiply row 1 by $−0.105$ and add the result to row 2.

1行目に $−0.105$ を掛け、その結果を2行目に足す。

[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & 0.015 \end{array} | \begin{array}{r} 12,000 \\ 75 \end{array}]

Then,

そして、

\begin{array}{l} 0.015 y = 75 \\ y = 5,000 \end{array}

So $12,000 −5,000 = 7,000.$

よって $12,000 −5,000 = 7,000.$ である。

Thus, $5,000 was invested at 12% interest and $7,000 at 10.5% interest.

よって、利率12%で5,000ドル、利率10.5%で7,000ドルが投じられた。

Example 11例11

Applying 3 × 3 Matrices to Finance3 × 3 行列を金融に応用する

Ava invests a total of $10,000 in three accounts, one paying 5% interest, another paying 8% interest, and the third paying 9% interest. The annual interest earned on the three investments last year was $770. The amount invested at 9% was twice the amount invested at 5%. How much was invested at each rate?

エイヴァは合わせて10,000ドルを三つの口座に投じている。一つは利率5%、もう一つは利率8%、三つ目は利率9%である。去年この三つの投資から得た年の利息は770ドルだった。利率9%で投じた額は、利率5%で投じた額の2倍だった。各利率にいくらずつ投じたか。

Solution 解答

We have a system of three equations in three variables. Let $x$ be the amount invested at 5% interest, let $y$ be the amount invested at 8% interest, and let $z$ be the amount invested at 9% interest. Thus,

三変数三式の組がある。 $x$ を利率5%で投じた額、 $y$ を利率8%で投じた額、 $z$ を利率9%で投じた額とする。よって、

\begin{array}{l} x + y + z = 10, 000 \\ 0.05 x + 0.08 y + 0.09 z = 770 \\ 2 x - z = 0 \end{array}

As a matrix, we have

行列にすると、次を得る。

[\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0.05 & 0.08 & 0.09 \\ 2 & 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 10, 000 \\ 770 \\ 0 \end{array}]

Now, we perform Gaussian elimination to achieve row-echelon form.

では、ガウスの消去法を行って行階段形にする。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} −0.05 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0.03 & 0.04 \\ 2 & 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 270 \\ 0 \end{array}] \end{array} \\ −2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0.03 & 0.04 \\ 0 & −2 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 270 \\ −20,000 \end{array}] \\ \frac{1}{0.03} R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & −2 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 9,000 \\ −20,000 \end{array}] \\ 2 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 9,000 \\ −2,000 \end{array}] \end{array}

The third row tells us $- \frac{1}{3} z = −2,000;$ thus $z = 6,000.$

3行目から $- \frac{1}{3} z = −2,000;$ が分かるので、 $z = 6,000.$ である。

The second row tells us $y + \frac{4}{3} z = 9,000.$ Substituting $z = 6,000,$ we get

2行目から $y + \frac{4}{3} z = 9,000.$ が分かる。 $z = 6,000$ を代入すると、次を得る。

\begin{array}{r} y + \frac{4}{3} (6,000) = 9,000 \\ y + 8,000 = 9,000 \\ y = 1,000 \end{array}

The first row tells us $x + y + z = 10, 000.$ Substituting $y = 1, 000$ and $z = 6, 000,$ we get

1行目から $x + y + z = 10, 000.$ が分かる。 $y = 1, 000$ と $z = 6, 000$ を代入すると、次を得る。

\begin{array}{l} x + 1, 000 + 6, 000 = 10,000 \\ x = 3,000 \end{array}

The answer is $3,000 invested at 5% interest, $1,000 invested at 8%, and $6,000 invested at 9% interest.

答えは、利率5%で3,000ドル、8%で1,000ドル、9%で6,000ドルを投じた、である。

Try It #6やってみよう6

A small shoe company took out a loan of $1,500,000 to expand their inventory. Part of the money was borrowed at 7%, part was borrowed at 8%, and part was borrowed at 10%. The amount borrowed at 10% was four times the amount borrowed at 7%, and the annual interest on all three loans was $130,500. Use matrices to find the amount borrowed at each rate.

ある小さな靴の会社が、在庫を増やすため1,500,000ドルを借りた。一部は利率7%、一部は8%、一部は10%で借りた。10%で借りた額は7%で借りた額の4倍で、この三つの借り入れの年の利息の合計は130,500ドルだった。行列を使って、各利率で借りた額を求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with solving systems of linear equations using Gaussian elimination.

ガウスの消去法で連立一次方程式を解くことについての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Solve a System of Two Equations Using an Augmented Matrix• Solve a System of Three Equations Using an Augmented Matrix• Augmented Matrices on the Calculator

・拡大係数行列を使って二式の組を解く・拡大係数行列を使って三式の組を解く・電卓での拡大係数行列

Verbal言葉で答える問題

1. Can any system of linear equations be written as an augmented matrix? Explain why or why not. Explain how to write that augmented matrix.

1. 連立一次方程式はどれも拡大係数行列として書けるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。その拡大係数行列の表記を説明せよ。

2. Can any matrix be written as a system of linear equations? Explain why or why not. Explain how to write that system of equations.

2. どの行列も連立一次方程式として書けるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。その連立方程式の表記を説明せよ。

3. Is there only one correct method of using row operations on a matrix? Try to explain two different row operations possible to solve the augmented matrix $[\begin{array}{r} 9 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 6 \end{array}] .$

3. 行列に行の演算を使う正しいしかたは一つだけか。拡大係数行列 $[\begin{array}{r} 9 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 6 \end{array}]$ を解くのにありうる二つの異なる行の演算を説明してみよ。

4. Can a matrix whose entry is 0 on the diagonal be solved? Explain why or why not. What would you do to remedy the situation?

4. 対角線上の成分が0である行列は解けるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。その状況を直すには何をするか。

5. Can a matrix that has 0 entries for an entire row have one solution? Explain why or why not.

5. 一つの行の成分がすべて0である行列に、解が一つあることはありうるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, write the augmented matrix for the linear system.

次の各問について、この一次の組の拡大係数行列を書け。

6. $\begin{array}{l} 8 x −37 y = 8 \\ 2 x + 12 y = 3 \end{array}$

7. $\begin{array}{l} 16 y = 4 \\ 9 x - y = 2 \end{array}$

8. $\begin{array}{l} 3 x + 2 y + 10 z = 3 \\ −6 x + 2 y + 5 z = 13 \\ 4 x + z = 18 \end{array}$

9. $\begin{array}{l} x + 5 y + 8 z = 19 \\ 12 x + 3 y = 4 \\ 3 x + 4 y + 9 z = −7 \end{array}$

10. $\begin{array}{l} 6 x + 12 y + 16 z = 4 \\ 19 x −5 y + 3 z = −9 \\ x + 2 y = −8 \end{array}$

For the following exercises, write the linear system from the augmented matrix.

次の各問について、この拡大係数行列から一次の組を書け。

11. $[\begin{array}{r} −2 & 5 \\ 6 & −18 \end{array} | \begin{array}{r} 5 \\ 26 \end{array}]$

12. $[\begin{array}{r} 3 & 4 \\ 10 & 17 \end{array} | \begin{array}{r} 10 \\ 439 \end{array}]$

13. $[\begin{array}{r} 3 & 2 & 0 \\ −1 & −9 & 4 \\ 8 & 5 & 7 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ −1 \\ 8 \end{array}]$

14. $[\begin{array}{r} 8 & 29 & 1 \\ −1 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 43 \\ 38 \\ 10 \end{array}]$

15. $[\begin{array}{r} 4 & 5 & −2 \\ 0 & 1 & 58 \\ 8 & 7 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 12 \\ 2 \\ −5 \end{array}]$

For the following exercises, solve the system by Gaussian elimination.

次の各問について、この組をガウスの消去法で解け。

16. $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array}]$

17. $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array}]$

18. $[\begin{array}{r} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array}]$

19. $[\begin{array}{r} −1 & 2 \\ 4 & −5 \end{array} | \begin{array}{r} −3 \\ 6 \end{array}]$

20. $[\begin{array}{r} −2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ −1 \end{array}]$

21. $\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 9 \\ 5 x + 4 y = 58 \end{array}$

22. $\begin{array}{l} 6 x + 2 y = −4 \\ 3 x + 4 y = −17 \end{array}$

23. $\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 12 \\ 4 x + y = 14 \end{array}$

24. $\begin{array}{l} −4 x −3 y = −2 \\ 3 x −5 y = −13 \end{array}$

25. $\begin{array}{l} −5 x + 8 y = 3 \\ 10 x + 6 y = 5 \end{array}$

26. $\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ −6 x −8 y = −24 \end{array}$

27. $\begin{array}{l} −60 x + 45 y = 12 \\ 20 x −15 y = −4 \end{array}$

28. $\begin{array}{l} 11 x + 10 y = 43 \\ 15 x + 20 y = 65 \end{array}$

29. $\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ 3 x + 2 y = 17 \end{array}$

30. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} −1.06 x −2.25 y = 5.51 \end{array} \\ −5.03 x −1.08 y = 5.40 \end{array}$

31. $\begin{array}{l} \frac{3}{4} x - \frac{3}{5} y = 4 \\ \frac{1}{4} x + \frac{2}{3} y = 1 \end{array}$

32. $\begin{array}{l} \frac{1}{4} x - \frac{2}{3} y = −1 \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 3 \end{array}$

33. $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 31 \\ 45 \\ 87 \end{array}]$

34. $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 50 \\ 20 \\ −90 \end{array}]$

35. $[\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array} | \begin{array}{r} 4 \\ 7 \\ 9 \end{array}]$

36. $[\begin{array}{r} −0.1 & 0.3 & −0.1 \\ −0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.6 & 0.1 & 0.7 \end{array} | \begin{array}{r} 0.2 \\ 0.8 \\ −0.8 \end{array}]$

37. $\begin{array}{l} −2 x + 3 y - 2 z = 3 \\ 4 x + 2 y - z = 9 \\ 4 x - 8 y + 2 z = −6 \end{array}$

38. $\begin{array}{l} x + y - 4 z = −4 \\ 5 x - 3 y - 2 z = 0 \\ 2 x + 6 y + 7 z = 30 \end{array}$

39. $\begin{array}{l} 2 x + 3 y + 2 z = 1 \\ −4 x - 6 y - 4 z = −2 \\ 10 x + 15 y + 10 z = 5 \end{array}$

40. $\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ - x - 2 y + 2 z = −2 \\ 3 x + 6 y - 3 z = 5 \end{array}$

41. $\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ - x −2 y + 2 z = −2 \\ 3 x + 6 y −3 z = 3 \end{array}$

42. $\begin{array}{l} x + y = 2 \\ x + z = 1 \\ - y - z = −3 \end{array}$

43. $\begin{array}{l} x + y + z = 100 \\ x + 2 z = 125 \\ - y + 2 z = 25 \end{array}$

44. $\begin{array}{l} \frac{1}{4} x - \frac{2}{3} z = - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{3} y = \frac{4}{7} \\ \frac{1}{5} y - \frac{1}{3} z = \frac{2}{9} \end{array}$

45. $\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{7} z = - \frac{53}{14} \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} z = 3 \\ \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y + \frac{1}{3} z = \frac{23}{15} \end{array}$

46. $\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z = - \frac{29}{6} \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{6} y - \frac{1}{7} z = \frac{431}{210} \\ - \frac{1}{8} x + \frac{1}{9} y + \frac{1}{10} z = - \frac{49}{45} \end{array}$

Extensions発展問題

For the following exercises, use Gaussian elimination to solve the system.

次の各問について、ガウスの消去法を使ってこの組を解け。

47. $\begin{array}{l} \frac{x −1}{7} + \frac{y −2}{8} + \frac{z −3}{4} = 0 \\ x + y + z = 6 \\ \frac{x + 2}{3} + 2 y + \frac{z −3}{3} = 5 \end{array}$

48. $\begin{array}{l} \frac{x −1}{4} - \frac{y + 1}{4} + 3 z = −1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 7}{4} - z = 4 \\ x + y - \frac{z −2}{2} = 1 \end{array}$

49. $\begin{array}{l} \frac{x −3}{4} - \frac{y −1}{3} + 2 z = −1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 5}{2} + \frac{z + 5}{2} = 8 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

50. $\begin{array}{l} \frac{x −3}{10} + \frac{y + 3}{2} −2 z = 3 \\ \frac{x + 5}{4} - \frac{y −1}{8} + z = \frac{3}{2} \\ \frac{x −1}{4} + \frac{y + 4}{2} + 3 z = \frac{3}{2} \end{array}$

51. $\begin{array}{l} \frac{x −3}{4} - \frac{y −1}{3} + 2 z = −1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 5}{2} + \frac{z + 5}{2} = 7 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

Real-World Applications現実世界への応用

For the following exercises, set up the augmented matrix that describes the situation, and solve for the desired solution.

次の各問について、状況を述べる拡大係数行列を立て、求める解を求めよ。

52. Every day, Angeni's cupcake store sells 5,000 cupcakes in chocolate and vanilla flavors. If the chocolate flavor is 3 times as popular as the vanilla flavor, how many of each cupcake does the store sell per day?

52. アンジェニのカップケーキ店は毎日、チョコレート味とバニラ味のカップケーキを5,000個売る。チョコレート味がバニラ味の3倍の人気だとすると、この店は一日に各カップケーキを何個ずつ売るか。

53. At Bakari's competing cupcake store, $4,520 worth of cupcakes are sold daily. The chocolate cupcakes cost $2.25 and the red velvet cupcakes cost $1.75. If the total number of cupcakes sold per day is 2,200, how many of each flavor are sold each day?

53. 競合するバカリのカップケーキ店では、毎日4,520ドル分のカップケーキが売れる。チョコレートのカップケーキは2.25ドル、レッドベルベットのカップケーキは1.75ドルである。一日に売れるカップケーキの合計が2,200個なら、各味は毎日何個ずつ売れるか。

54. You invested $10,000 into two accounts: one that has simple 3% interest, the other with 2.5% interest. If your total interest payment after one year was $283.50, how much was in each account after the year passed?

54. あなたは10,000ドルを二つの口座に投じた。一方は単利3%、もう一方は2.5%である。一年後の利息の支払いの合計が283.50ドルなら、一年経った時点で各口座にはいくらあったか。

55. You invested $2,300 into account 1, and $2,700 into account 2. If the total amount of interest after one year is $254, and account 2 has 1.5 times the interest rate of account 1, what are the interest rates? Assume simple interest rates.

55. あなたは口座1に2,300ドル、口座2に2,700ドルを投じた。一年後の利息の合計が254ドルで、口座2の利率が口座1の1.5倍なら、利率はいくらか。単利とする。

56. Bikes’R’Us manufactures bikes, which sell for $250. It costs the manufacturer $180 per bike, plus a startup fee of $3,500. After how many bikes sold will the manufacturer break even?

56. バイクズ・アール・アスは自転車を作っており、1台250ドルで売る。製造にはこの業者が1台あたり180ドル、加えて開業費3,500ドルがかかる。何台売れば損得なしになるか。

57. A major appliance store has agreed to order vacuums from a startup founded by college engineering students. The store would be able to purchase the vacuums for $86 each, with a delivery fee of $9,200, regardless of how many vacuums are sold. If the store needs to start seeing a profit after 230 units are sold, how much should they charge for the vacuums?

57. ある大手の電気製品店が、大学の工学の学生が興した会社に掃除機を注文することに同意した。この店は掃除機を1台86ドルで買え、売れる台数にかかわらず配送料が9,200ドルかかる。230台売れた時点で利益が出始める必要があるとき、掃除機をいくらで売るべきか。

58. The three most popular ice cream flavors are chocolate, strawberry, and vanilla, comprising 83% of the flavors sold at an ice cream shop. If vanilla sells 1% more than twice strawberry, and chocolate sells 11% more than vanilla, how much of the total ice cream consumption are the vanilla, chocolate, and strawberry flavors?

58. もっとも人気のある三つのアイスクリームの味はチョコレート、ストロベリー、バニラで、あるアイスクリーム店で売れる味の83%を占める。バニラがストロベリーの2倍より1%多く売れ、チョコレートがバニラより11%多く売れるとすると、アイスクリームの消費の合計のうちバニラ、チョコレート、ストロベリーはそれぞれ何パーセントか。

59. At an ice cream shop, three flavors are increasing in demand. Last year, banana, pumpkin, and rocky road ice cream made up 12% of total ice cream sales. This year, the same three ice creams made up 16.9% of ice cream sales. The rocky road sales doubled, the banana sales increased by 50%, and the pumpkin sales increased by 20%. If the rocky road ice cream had one less percent of sales than the banana ice cream, find out the percentage of ice cream sales each individual ice cream made last year.

59. あるアイスクリーム店で、三つの味の需要が伸びている。去年、バナナ、パンプキン、ロッキーロードのアイスクリームはアイスクリームの売り上げ全体の12%を占めた。今年、この同じ三つのアイスクリームはアイスクリームの売り上げの16.9%を占めた。ロッキーロードの売り上げは2倍になり、バナナの売り上げは50%増え、パンプキンの売り上げは20%増えた。ロッキーロードのアイスクリームの売り上げの割合がバナナのアイスクリームより1%少なかったとして、去年それぞれのアイスクリームがアイスクリームの売り上げの何パーセントを占めたかを求めよ。

60. A bag of mixed nuts contains cashews, pistachios, and almonds. There are 1,000 total nuts in the bag, and there are 100 less almonds than pistachios. The cashews weigh 3 g, pistachios weigh 4 g, and almonds weigh 5 g. If the bag weighs 3.7 kg, find out how many of each type of nut is in the bag.

60. ある木の実の詰め合わせの袋には、カシューナッツ、ピスタチオ、アーモンドが入っている。袋には合わせて1,000粒あり、アーモンドはピスタチオより100粒少ない。カシューナッツは1粒3g、ピスタチオは4g、アーモンドは5gである。袋の重さが3.7kgのとき、各種類の木の実が何粒ずつ入っているかを求めよ。

61. A bag of mixed nuts contains cashews, pistachios, and almonds. Originally there were 900 nuts in the bag. 30% of the almonds, 20% of the cashews, and 10% of the pistachios were eaten, and now there are 770 nuts left in the bag. Originally, there were 100 more cashews than almonds. Figure out how many of each type of nut was in the bag to begin with.

61. ある木の実の詰め合わせの袋には、カシューナッツ、ピスタチオ、アーモンドが入っている。初めは袋に900粒あった。アーモンドの30%、カシューナッツの20%、ピスタチオの10%が食べられ、今は袋に770粒残っている。初め、カシューナッツはアーモンドより100粒多かった。初めに各種類の木の実が何粒ずつ入っていたかを求めよ。

第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.6 Solving Systems with Gaussian Elimination11.6 ガウスの消去法で連立方程式を解く

Writing the Augmented Matrix of a System of Equations連立方程式の拡大係数行列を書く

Writing the Augmented Matrix for a System of Equations連立方程式の拡大係数行列を書く

Writing a System of Equations from an Augmented Matrix拡大係数行列から連立方程式を書く

Writing a System of Equations from an Augmented Matrix Form拡大係数行列の形から連立方程式を書く

Performing Row Operations on a Matrix行列に行の演算を行う

Solving a 2×2 System by Gaussian Eliminationガウスの消去法で 2×2 の組を解く

Using Gaussian Elimination to Solve a System of Equationsガウスの消去法を使って連立方程式を解く

Solving a Dependent System従属な組を解く

Performing Row Operations on a 3×3 Augmented Matrix to Obtain Row-Echelon Form3×3 の拡大係数行列に行の演算を行って行階段形にする

Solving a System of Linear Equations Using Matrices行列を使って連立一次方程式を解く

Solving a System of Linear Equations Using Matrices行列を使って連立一次方程式を解く

Solving a Dependent System of Linear Equations Using Matrices行列を使って一次の従属な連立方程式を解く

Solving Systems of Equations with Matrices Using a Calculator電卓を使い、行列で連立方程式を解く

Applying 2 × 2 Matrices to Finance2 × 2 行列を金融に応用する

Applying 3 × 3 Matrices to Finance3 × 3 行列を金融に応用する

Real-World Applications現実世界への応用

Solving a $2 \times 2$ System by Gaussian Eliminationガウスの消去法で $2 \times 2$ の組を解く